2024年春季深圳市第三中學高一數(shù)學3月份考試卷附答案解析

2024年春季深圳市第三中學高一數(shù)學3月份考試卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．2．設為單位向量，，當?shù)膴A角為時，在上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．在中，，則（

）A． B．或 C． D．或4．在中，為邊上的中線，，則（

）A． B．C． D．5．在中，（分別為角的對邊），則的形狀可能是（

）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形6．在復數(shù)范圍內方程的根為（

）A．和1 B．和5 C． D．7．一船以每小時15km的速度向東航行,船在處看到一個燈塔在北偏東，行駛4h后，船到達處，看到這個燈塔在北偏東，這時船與燈塔的距離為A．km B．km C．km D．km8．已知邊長為2的菱形中，點為上一動點，點滿足，，則的最大值為（

）A．0 B． C． D．3二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知，，則下列說法正確的為（

）A．若，則B．若，則與的夾角為0°C．若與的夾角為60°，則在上的投影向量為D．的取值范圍為10．設為復數(shù)（為虛數(shù)單位），下列命題正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則11．中國南宋時期杰出數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積．把以上文字寫成公式，即（為三角形的面積，、、為三角形的三邊）．現(xiàn)有滿足，且的面積，則下列結論正確的是（

）A．的周長為 B．的三個內角滿足C．的外接圓半徑為 D．的中線的長為第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．在中，，則.13．已知平面向量，滿足，，且，則向量與的夾角的大小為.14．已知復數(shù)滿足，則（為虛數(shù)單位）的最大值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．設復數(shù)．(1)若是實數(shù)，求；(2)若是純虛數(shù)，求．16．已知向量，滿足，，且，的夾角為.(1)求；(2)若，求實數(shù)的值；17．在銳角三角形中，，，分別為角，，所對的邊，若向量，，且.（1）求；（2）若，且，求，的值.18．在ΔABC中，P為AB的中點，O在邊AC上，BO交CP于R，且，設AB=，AC=(1)試用，表示；(2)若，求∠ARB的余弦值．19．在中，角，，的對邊分別為，，，．(1)求；(2)若點是上的點，平分，且，求面積的最小值．1．D【分析】本題首先可根據(jù)復數(shù)的除法運算得出，然后通過共軛復數(shù)的性質得出，最后兩者相加，即可得出結果.【詳解】因為，所以，，，故選：D.2．A【分析】根據(jù)題意，結合向量投影的概念與計算，即可求解.【詳解】由設為單位向量，，當?shù)膴A角為時，所以在上的投影向量為.故選：A．3．D【分析】根據(jù)題意，結合正弦定理，列出方程，即可求解.【詳解】在中，由，可得，可得，又由正弦定理，得，可得，所以或.故選：D.4．A【分析】根距離向量的線性運算，得到，結合，即可求解.【詳解】由，可得，所以，因為為邊上的中線，可得，所以，所以.故選：A.

5．B【分析】根據(jù)條件先求出，再結合正弦定理和三角形的內角和公式，可求出角，從而判斷三角形的形狀.【詳解】由已知，得，即，由正弦定理可得：，所以，得，在中，所以，又，所以，即三角形為直角三角形.故選：B.6．D【分析】利用根與系數(shù)關系求復數(shù)范圍內方程的根即可.【詳解】由，則方程的根為.故選：D7．B【解析】作出示意圖，在中，可由正弦定理求的長.【詳解】作出示意圖如圖所示，，，，則.由正弦定理，可得，則.所以這時船與燈塔的距離為.【點睛】本題考查解三角形在實際問題中的應用，考查正弦定理.解題的關鍵是根據(jù)題意得出相應三角形的邊與角.8．D【分析】設，求得，得到，以與交點為原點，建立平面直角坐標系，設，求得，進而求得的最大值為.【詳解】由，可得，設，可得，所以，因為，所以，以與交點為原點，以所在的直線分別為軸和軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，，設，且，則，，，當時，.故選：D.

9．AC【分析】通過分析各選項即可得出結論.【詳解】由題意，A項，由數(shù)量積的概念，當時，，A正確；B項，當時，與的夾角為0°或180°，故B錯誤；C項，在上的投影向量為，C正確；D項，，所以的取值范圍為，D錯誤.故選：AC.10．AC【分析】利用共軛復數(shù)的定義可判斷A選項；利用特殊值法可判斷B選項；利用復數(shù)的除法化簡復數(shù)，利用復數(shù)的模長公式可判斷C選項；解方程，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，若，則，A對；對于B選項，若，不妨取，則，但，B錯；對于C選項，若，則，故，C對；對于D選項，若，則，解得，D錯.故選：AC.11．AB【分析】對于選項A，由正弦定理得三角形三邊之比，由面積求出三邊，代入公式即可求出周長；對于選項B，根據(jù)余弦定理可求得的值為，可得，可得三個內角，，成等差數(shù)列；對于選項C，由正弦定理可得，外接圓直徑；根據(jù)可求得，由可得的值；對于選項D，由余弦定理得，在中，由余弦定理即可求得.【詳解】A項：設的內角、、所對的邊分別為、、，因為，所以由正弦定理可得，設，，，因為，所以，解得，則，，，故的周長為，A正確；B項：因為，所以，，故B正確；C項：因為，所以，由正弦定理得，，C錯誤；D項：由余弦定理得，在中，，由余弦定理得，解得，D錯誤.故選：AB．12．##【分析】先根據(jù)正弦定理得到三邊的比例，再根據(jù)余弦定理求出角，進而可得.【詳解】因為，由正弦定理得，不妨設，則，，由余弦定理得：，因，所以，，故答案為：13．##【分析】根據(jù)向量垂直數(shù)量積等于，結合已知條件求出的值，利用向量夾角公式即可求解.【詳解】由，所以，即，因為，，所以，設向量的夾角為，所以，所以.故答案為：.14．6【分析】由復數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】設(為實數(shù))，則復數(shù)滿足的幾何意義是以原點為圓心，以1為半徑的圓上的點，則表示的幾何意義是圓上的點到的距離，根據(jù)圓的性質可知，所求最大值為.故答案為：6.15．(1)；(2).【分析】（1）利用復數(shù)的加法及復數(shù)的分類求出，再利用復數(shù)乘法求解即得.（2）利用復數(shù)除法及復數(shù)的分類求出即得.【詳解】（1）由，得，而是實數(shù)，于是，解得，所以．（2）依題意，是純虛數(shù)，因此，解得，所以．16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，結合向量的數(shù)量積的運算公式，準確計算，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到，結合數(shù)量積的計算公式，列出方程，即可求解.【詳解】（1）解：由向量，，且，的夾角為，可得，則.（2）解：因為，所以，即，即，可得，即，解得.17．（1）或；（2），或，.【詳解】分析：（1）由兩向量的坐標，根據(jù)兩向量垂直，列出關系式求解即可；（2）利用余弦定理即可.詳解：（1）∵，∴，由正弦定理得，∵，∴，∴或.（2）當時，由余弦定理，得.解得：，即，或，.當時，由余弦定理，得.解得：，∵，可得，無解，綜上，或，.點睛：(1)解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．(2)三角形解的個數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷．18．(1)(2)【分析】（1）由兩個三點共線設出來，列出方程組求解即可；（2）由平面向量的數(shù)量積的定義求夾角的余弦值即可.【詳解】（1）因P，R，C共線，則存在使，則，整理得.由共線，則存在使，則，整理得.根據(jù)平面向量基本定理，有，則.（2）由（1），，，則，，.則；19．(1)(2)