環(huán)境流體力學(xué) 課件 1.2 張量分析

1.2張量分析如果一個物理量是數(shù)量，則稱之為標(biāo)量，記為，它的表達(dá)式不含有基向量(含有0個基向量)，因此定義其為0階張量。如果一個物理量是向量，，它含有一個基向量，定義其為1階張量。如果我們用兩個基向量的并積來表示坐標(biāo)變換的矩陣Q，即，則稱Q為二階張量，以此類推，如果用n個基向量的并積來表示物理量，則稱其為n階張量。本節(jié)中用單位基向量表示基，即張量表示為令在x坐標(biāo)系中張量在x’坐標(biāo)系中張量根據(jù)有在兩個坐標(biāo)系中相應(yīng)分量之間滿足關(guān)系式

1.2張量分析1.2.1張量運(yùn)算加減：

(2) 乘積(并積)(3) 點(diǎn)積注意是關(guān)于啞標(biāo)求和。例：只有同階同型的張量才可進(jìn)行1.2.1張量運(yùn)算證明：(4) 叉積：根據(jù)，有我們還可以定義置換張量(Eddington張量)，于是，張量的叉積1.2.1張量運(yùn)算(5) 張量判定定理：若和任意向量(1階張量)的點(diǎn)積(內(nèi)積)為n-1階張量，則就是一個n階張量。舉例證明：設(shè)一組帶三個指標(biāo)的量與任意矢量的內(nèi)積是一個二階張量，則可證明必是三階張量證：建立一個指標(biāo)符號帶撇的新坐標(biāo)系，根據(jù)坐標(biāo)變換規(guī)則，有對于原來坐標(biāo)系中的矢量有由于是任意向量，因此必須即服從三階張量的變換規(guī)律，故是三階張量。同理可以證其他任何階張量。于是于是(6) 張量微分：由于在曲線坐標(biāo)系中，基向量的導(dǎo)數(shù)不為0，張量的微分要對每一基向量都進(jìn)行微分，即有n+1項(xiàng)微分相加。1.2.1張量運(yùn)算1.2.1張量運(yùn)算(4) 叉積：根據(jù)，有3n-1×33×33×3m-1物理學(xué)中把某個物理量在空間的一個區(qū)域內(nèi)的分布稱為場，顯然，這個物理量是空間坐標(biāo)的函數(shù)。1.2.2場論如果這個物理量是數(shù)量，則稱此場為標(biāo)量場，記為，如溫度場、密度場等；因?yàn)闃?biāo)量場的表達(dá)式不含有基向量，因此在坐標(biāo)變換時保持不變，即在空間同一點(diǎn)上。如果這個物理量是向量，，則稱此場為向量場，如引力場、電場、磁場等。向量在不同坐標(biāo)系下存在如下關(guān)系：，即如果同一時刻場內(nèi)各點(diǎn)的函數(shù)值都相等，則稱此場為均勻場，即，如果場的物理量只隨空間位置變化，不隨時間變化，這樣的場稱為定常場，則，；1.2.2場論物理量隨空間位置變化，則為不均勻場，隨時間變化，則為非定常場，如果不僅隨空間位置變化，而且還隨時間變化，這樣的場為非定常非均勻場。對于非定常場，可以固定某個時刻，對空間導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究方向?qū)?shù)：在函數(shù)定義域的內(nèi)點(diǎn)，對某一方向求導(dǎo)得到的導(dǎo)數(shù)，定義為函數(shù)的方向?qū)?shù)(注：方向?qū)?shù)可分為沿直線方向和沿曲線方向的方向?qū)?shù))，記為，其中表示函數(shù)，表示方向上的線元。1.2.2場論(1)梯度場梯度表示某一函數(shù)在該點(diǎn)處的方向?qū)?shù)沿著該方向取得最大值，即函數(shù)在該點(diǎn)處沿著該方向(此梯度的方向)變化最快，變化率最大(為該梯度的模)，記為。其中為哈密頓算子(Hamiltonian)，讀作delta或nabla。如圖，，其中為等位面的法向方向，分別對應(yīng)兩個等位面。等位面示意圖，為等位面的法向方向，為任一方向。性質(zhì)1：記為方向的單位矢量，方向?qū)?shù)滿足在直角坐標(biāo)系中，

分別取，有顯然【例1-4】證明：正交曲線坐標(biāo)系中梯度算子的表達(dá)式為微元在坐標(biāo)軸()上的投影，例如，在柱坐標(biāo)中，微元在、上的投影分別是和。于是根據(jù)即性質(zhì)2：梯度滿足：1.2.2場論證明：考查對空間自變量的全微分，性質(zhì)3：函數(shù)的梯度：證明：1.2.2場論(2)散度場散度表示在某點(diǎn)處的單位體積內(nèi)散發(fā)出來的物理量的通量(見數(shù)學(xué)中的高斯公式)，數(shù)學(xué)表達(dá)式為即1.2.2場論(3)旋度場旋度表示向量場對某一點(diǎn)附近的微元造成的旋轉(zhuǎn)程度，數(shù)學(xué)表達(dá)式為即【例1-5】求柱坐標(biāo)中梯度、散度、旋度的表示。已知：于是：【例1-6】求柱坐標(biāo)中速度梯度的表達(dá)式。已知：于是：同理：整理，得【作業(yè)】寫出球坐標(biāo)系中梯度、散度、旋度的表示?！咀鳂I(yè)】寫出球坐標(biāo)系中速度梯度的表達(dá)式。1.2.3二階張量二階張量又稱仿射量，它可以將一個坐標(biāo)系中的向量映射到另一個坐標(biāo)系。定義二階張量，則(1)B

的行列式：

(2)對稱張量：

(4)正交張量：(3)反對稱張量:單位正交坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換矩陣就是正交張量。1.2.3二階張量(5) 二階張量的特征值、特征向量及不變量。

對于正則二階張量B，總存在一非零實(shí)數(shù)和向量，使得,則稱為B的特征值，稱為B的特征向量。顯然由于

，則上式稱為B的特征方程，其左側(cè)展開式稱為B的特征多項(xiàng)式其中分別為B的第一、第二、第三主不變量。1.2.3二階張量(6) 張量分解定理：任意二階張量都可唯一地分解為一個對稱張量和一個反對稱張量的和。

(7) 正定矩陣：設(shè)B是n階矩陣，如果對任何非零向量，都有，就稱B為正定矩陣(判定：求出B的所有特征值。若B的特征值均為正數(shù)，則B是正定的)，如果對任何非零向量，都有，就稱B為半正定矩陣(判定：B的所有特征值)。若如果對任何非零向量，都有，就稱B為負(fù)定矩陣(判定：B的所有特征值)。1.2.3二階張量

(9) 張量函數(shù)表示定理