環(huán)境流體力學 課件 4.4 不可壓縮無旋流動

4.4.1知識點:勢函數(shù)4.4.1知識點:勢函數(shù)1知識點:勢函數(shù)1知識點:勢函數(shù)1知識點:勢函數(shù)1知識點:勢函數(shù)1知識點:勢函數(shù)1知識點:勢函數(shù)1知識點:勢函數(shù)1知識點:勢函數(shù)Laplace方程線性方程：方程不顯含時間t，但同樣適用于不可壓縮非定常無旋流動？方程解可線性疊加1知識點:勢函數(shù)4個變量：u1,u2,u3,p4個方程：1個線性，3個非線性速度和壓強聯(lián)立求解無旋帶來的簡化

2個變量：φ，p2個方程：1個線性、1個非線性速度和壓強分開來求解1知識點:勢函數(shù)Laplace方程線性方程：方程不顯含時間t，但同樣適用于不可壓縮非定常無旋流動√方程解可線性疊加1知識點:勢函數(shù)Laplace方程線性方程：方程不顯含時間t，但同樣適用于不可壓縮非定常無旋流動初始條件：邊界條件：方程解可線性疊加壁面遠場自由面1知識點:勢函數(shù)例

：無粘不可壓縮流體的均勻來流，繞過一無窮長直圓柱。已知均勻來流速度V∞，圓柱半徑a，流體密度ρ，不計重力。求流場速度及圓柱表面所受壓強。邊界條件壁面遠場？歐拉方程2例題:勢函數(shù)例

：無粘不可壓縮流體的均勻來流，繞過一無窮長直圓柱。已知均勻來流速度V∞，圓柱半徑a，流體密度ρ，不計重力。求流場速度及圓柱表面所受壓強。邊界條件壁面遠場？歐拉方程2例題:勢函數(shù)在r=a處，在無窮遠處，因此速度勢φ是2例題:勢函數(shù)例：無粘…圓柱繞流無粘2例題:勢函數(shù)例：無粘…圓柱繞流2例題:勢函數(shù)例：2例題:勢函數(shù)例：2例題:勢函數(shù)液體表面波分析考慮在重力場作用下的理想不可壓縮流體，若處于靜止狀態(tài)，根據(jù)靜力學原理，自由面為平面，由于某種外界的作用，流體的表面離開了自己的平衡位置，則由于重力場力圖使自由面恢復到原來的位置，流體中便產(chǎn)生了運動，這種運動以波的形式在整個自由面上傳播，這樣我們在自由面上就看到一種以一定速度運動的表面波，稱為重力波?，F(xiàn)象：風吹過水面形成風浪船行進中在水面產(chǎn)生的波海水的潮汐漲落引起的潮波海底地震引起的海浪稱為海嘯空氣和水中的聲波水面泛起的漣漪液體表面波分析控制方程：分析液體波動時，假設(shè)液體是無粘的，不可壓縮和無旋的，質(zhì)量力只有重力。因此可以定義勢函數(shù)滿足作變換顯然以后的方程還是用表示，設(shè)底部的邊界面表達式，則由，邊界條件為底部，底部邊界面為，代入上式，得設(shè)自由面為，則，由運動學邊界條件或或液體表面波分析控制方程：不考慮表面張力，則自由表面兩側(cè)的壓強必須相等邊界條件：初始條件：設(shè)存在初始擾動，此時，有取自由面上，于是液體表面波分析分析原來靜止的流體受到瞬時壓力沖量后所產(chǎn)生的流動，如物體突然沖入水中而產(chǎn)生的運動將無粘性不可壓流體的歐拉方程關(guān)于時間從零到瞬時力作用時間Δt

積分，有在開始時刻t=0時，流體是靜止的，則表示瞬時力消失時流體的運動速度由于Δt極短，可以認為在Δt時間內(nèi)流體質(zhì)點沒有離開原先位置。這樣方程中和與Δt

同一量級，當Δt→0時的極限為零，由此得到定義瞬時壓力沖量為，于是這就是說，在時刻Δt，當瞬時力停止作用時，流體開始運動，這樣的運動是有勢的，存在速度勢φ，為初始條件：這就說明了勢函數(shù)的力學意義公式總結(jié)量級分析量級分析量級分析小振幅假設(shè)量級分析量級分析平面小振幅簡諧進行波設(shè)波動是一維的，發(fā)生在Oxz平面，液體深度為d，一維有限等深液體中的波動所滿足的控制方程和邊界條件用變量分離法求解，令取β=0，且取A1B為A1，

A2B

為A2

，則平面小振幅簡諧進行波由邊界條件，得

于是，即由邊界條件，得，即。令，有

平面小振幅簡諧進行波(1)自由面形狀自由面形狀為一余弦曲線，振幅為，

A0或A將由初始條件決定。隨x及t均作周期性變化。固定時間t，使相位變化后的值將相同，此相應一個波的距離稱波長λ，即定義由此，k表示個單位長度內(nèi)所包含波的個數(shù)，稱波數(shù)(圖)。曲線上最高處稱波峰，最低處稱波谷。平面小振幅簡諧進行波(1)自由面形狀固定x，使相位變化后的值將相同，相應的時間間隔稱周期T，即定義這里，

表示個單位時間內(nèi)波面振動的次數(shù)，稱圓頻率(圖)。表示單位時間內(nèi)振動的次數(shù)，稱頻率。平面小振幅簡諧進行波另外，若視某一值(或相位角)不變，則此將沿x軸移動，其移動速度由常數(shù)而得到，由此有這表明，整個波面(任意)將以速度c向右推進，故稱c為波速(或相速度)，與此相應的波稱為進行波，波速c隨k而變(圖)，小k(或大λ)的波，c較大，即長波傳播速度較快，而短波則傳播較慢。這種波的傳播速度與波長有關(guān)的現(xiàn)象稱為波的頻散或色散。這是波動的一個重要現(xiàn)象。以后將會看到，一些波動是頻散的(頻率不同的波如果相位分離)，另一些波動則是無頻散的(相位不分離)。圖中還顯示c隨水深d增加而減小，淺水波的波速最小，深水波波速最大。波速c與波長λ的關(guān)系(d表示深度)平面小振幅簡諧進行波(2)質(zhì)點速度于是由式可見，質(zhì)點速度分量是周期性變化的。并且根據(jù)雙曲余弦和雙曲正弦函數(shù)的性質(zhì)(

時是增函數(shù))，z和x方向的速度在液面處最大，離液面愈深，速度愈小，在底面處z方向速度為零，x方向的速度達到最小值，說明在水底有液體的平動。平面小振幅簡諧進行波

(3)質(zhì)點的跡線求質(zhì)點運動跡線的方程考慮到質(zhì)點運動的幅度為小量，故速度表示式中x0、z0可以分別代替x、z積分不致產(chǎn)生很大誤差，從而有消去上式中的t，得可見跡線為一橢圓，長半軸為x軸，短半軸為z軸，長短半軸都隨深度增加而減小，在底部退化為一直線。平面小振幅簡諧進行波(4)流線將速度分量代入流線微分方程平面小振幅簡諧進行波(5)壓強將速度勢代入基本方程顯然，有限等深水波波動特征會受到深度d的影響，并且各處的壓強不滿足靜水壓強。將跡線方程代入，并用x0、z0分別代替壓強表達式右端第二項的x、z，得平面小振幅駐波前進的進行波，如果遇到障礙反射，則產(chǎn)生傳播方向相反，其它與原進行波完全一致的波，根據(jù)線性理論，這兩列波可以迭加，設(shè)原進行波為它的反射波它們的迭加(1)自由面形狀這表明，對某一固定時刻，自由面為一正弦曲線(圖)，波面與x軸交于這些交點的位置不隨時間變化，這些交點稱為節(jié)點。兩相鄰節(jié)點間交替地出現(xiàn)最高和最低液面，分別稱為波峰與波谷(統(tǒng)稱腹點)，峰谷將隨時間交替出現(xiàn)，若前半周期為峰，則后半周期變?yōu)楣?。A0仍稱振幅，則稱為波幅，波面上僅在波峰和波谷處達到。與進行波不同，此波面只作上下振動，不向左右傳播，因此，稱這種波為駐波。駐波的波長、波數(shù)、周期和圓頻率，與進行波有一樣的關(guān)系：平面小振幅駐波(2)質(zhì)點速度于是這表明，在節(jié)點x=nπ/k處，w=0，而u≠0，即質(zhì)