人教版九年級數(shù)學上冊同步壓軸題專題05二次函數(shù)中的線段長度問題（原卷版+解析）

專題05二次函數(shù)中的線段長度問題類型一、單線段長度問題例1．綜合與探究如圖，二次函數(shù)與軸交于，兩點，與軸交于點．點是射線上的動點，過點作，并且交軸于點．(1)請直接寫出，，三點的坐標及直線的函數(shù)表達式；(2)當平分時，求出點的坐標；(3)當點在線段上運動時，直線與拋物線在第一象限內(nèi)交于點，則線段是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，請說明理由．【變式訓練1】如圖，拋物線與x軸交于點、，與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)點M是拋物線對稱軸上的動點，求的最小值；(3)若點P是直線AC下方拋物線上的動點，過點P作于點Q，線段PQ是否存在最大值？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．【變式訓練2】如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，點B的坐標為，頂點C的坐標為．(1)求二次函數(shù)的解析式和直線的解析式；(2)點P是直線上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點M，當點P在第一象限時，求線段長度的最大值．類型二、雙線段長度問題例1．已知拋物線(a，b，c為常數(shù)，)的頂點，拋物線與x交于點和B，與y軸交于點C．平面直角坐標系內(nèi)有點和點．(1)求拋物線的解析式及點B坐標；(2)在拋物線的對稱軸上找一點E，使的值最小，求點E的坐標；(3)若F為拋物線對稱軸上的一個定點，①過點H作y軸的垂線l，若對于拋物線上任意一點都滿足P到直線l的距離與它到定點F的距離相等，求點F的坐標；②在①的條件下，拋物線上是否存在一點P，使最小，若存在，求出點P的坐標及的最小值；若不存在，請說明理由．例2.如圖，平面直角坐標系中，二次函數(shù)圖像交x軸于點A、B，交y軸于點C，圖像對稱軸交x軸于點D．點P是線段OD上一動點，從O向D運動，H是射線BC上一點．(1)則點A的坐標為，點B的坐標為，線段BC的長為；(2)如圖1，在P點運動過程中，若△OPC中有一個內(nèi)角等于∠HCA，求OP的長；(3)如圖2，點在二次函數(shù)圖像上，在P點開始運動的同時，點Q在拋物線對稱軸上從D點向上運動，Q點運動速度是P點運動速度的2倍，連接QM，則的最小值為．【變式訓練1】已知拋物線(b，c為常數(shù))的圖象與x軸交于，B兩點(點A在點B左側(cè))．與y軸相交于點C，頂點為D．(1)當b=2時，求拋物線的頂點坐標；(2)若點P是y軸上一點，連接BP，當PB=PC，OP=2時，求b的值；(3)若拋物線與x軸另一個交點B的坐標為，對稱軸交x軸于點E，點Q是線段DE上一點，點N為線段AB上一點，且AN=2BN，連接NQ，求的最小值．【變式訓練2】已知如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于A，C兩點，交y軸于點，此拋物線的對稱軸交x軸于點D，點P為y軸上的一個動點，連接．(1)求a的值；(2)求的最小值．【變式訓練3】如圖，已知拋物線與x軸相交于，兩點，與y軸相交于點，拋物線的頂點為D．(1)求拋物線的解析式；(2)若P是直線BC下方拋物線上任意一點，過點P作軸于點H，與BC交于點M．①求線段PM長度的最大值．②在①的條件下，若F為y軸上一動點，求的最小值．【變式訓練4】已知拋物線過點，兩點，與軸交于點，．(1)求拋物線的解析式及頂點的坐標；(2)過點作，垂足為，求證：四邊形為正方形；(3)若點為線段上的一動點，問：是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．類型三、周長問題例1．如圖，已知拋物線y＝ax2+4x+c經(jīng)過A(2，0)、B(0，﹣6)兩點，其對稱軸與x軸交于點C．(1)求該拋物線和直線BC的解析式；(2)設(shè)拋物線與直線BC相交于點D，求△ABD的面積；(3)在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAB的周長最?。咳舸嬖?，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．【變式訓練1】如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)，經(jīng)過點A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)三點．(1)求拋物線的解析式及頂點M的坐標；(2)連接AC、BC，N為拋物線上的點且在第四象限，當S△NBC=S△ABC時，求N點的坐標；(3)在(2)問的條件下，過點C作直線l∥x軸，動點P(m，3)在直線l上，動點Q(m，0)在x軸上，連接PM、PQ、NQ，當m為何值時，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．【變式訓練2】如圖1，在平面直角坐標中，拋物線與x軸交于點、兩點，與y軸交于點C，連接BC，直線交y軸于點M.P為直線BC上方拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線，分別交直線BC、BM于點E、F．(1)求拋物線的表達式；(2)當點P落在拋物線的對稱軸上時，求△PBC的面積；(3)①若點N為y軸上一動點，當四邊形BENF為矩形時，求點N的坐標；②在①的條件下，第四象限內(nèi)有一點Q，滿足，當△QNB的周長最小時，求點Q的坐標．專題05二次函數(shù)中的線段長度問題類型一、單線段長度問題例1．綜合與探究如圖，二次函數(shù)與軸交于，兩點，與軸交于點．點是射線上的動點，過點作，并且交軸于點．(1)請直接寫出，，三點的坐標及直線的函數(shù)表達式；(2)當平分時，求出點的坐標；(3)當點在線段上運動時，直線與拋物線在第一象限內(nèi)交于點，則線段是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，，；(2)，(3)存在，【解析】(1)解：二次函數(shù)與軸交于，兩點，與軸交于點．令，則，即．令，則，解得，即，，，，．設(shè)直線的表達式為，則解得直線的表達式是：．(2)∵，∴．又∵．∴．∴．由勾股定理，得．分兩種情況．如答圖1，當點在線段上時．過點作軸，垂足為．，則．∴．∴．解得，．∴．∴點．如答圖2，當點在線段的延長線上時．過點作軸，垂足為．，則．∴．∴．解得，．∴．∴點．(3)如答圖3.過點作軸，并且交直線于點,過點作，并且交軸于點．則，．∴．∵，，∴．∴．設(shè)點，．∴．∴．∴．∵，∴有最大值．的最大值為．【變式訓練1】如圖，拋物線與x軸交于點、，與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)點M是拋物線對稱軸上的動點，求的最小值；(3)若點P是直線AC下方拋物線上的動點，過點P作于點Q，線段PQ是否存在最大值？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)線段PQ存在最大值，此時點P坐標為【解析】(1)解：把點A和點B坐標代入拋物線解析式得解得所以拋物線的解析式為．(2)解：如下圖所示，連接MA，設(shè)直線AC與二次函數(shù)的對稱軸交于N．∵、，∴點A和點B關(guān)于二次函數(shù)的對稱軸對稱，OA=2．∴MA=MB．∴MB+MC=MA+MC．∴當點M與點N重合時MA+MC取得最小值，即MB+MC取得最小值為AC．∵拋物線與y軸交于點C，∴．∴OC=2．∴．∴MB+MC的最小值為．(3)解：如下圖所示，過點P作PD⊥x軸于D，交直線AC于E，設(shè)，其中，設(shè)直線AC解析式為y=kx+d．∵OA=2，OC=2，∴OA=OC．∴．∵PD⊥x軸，∴∠ADE=90°．∴∠DEA=180°-∠ADE-∠OAC=45°．∴∠QEP=∠DEA=45°．∵PQ⊥AC，∴∠PQE=90°，．∴∠QPE=180°-∠PQE-∠QEP=45°．∴∠QPE=∠QEP．∴QE=PQ．∴．∴．∴當EP取得最大值時，PQ取得最大值．把點A和點C坐標代入直線AC解析式得解得∴直線AC解析式為．∴．．∴當時，EP取得最大值．∴．∴線段PQ存在最大值，此時點P坐標為．【變式訓練2】如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，點B的坐標為，頂點C的坐標為．(1)求二次函數(shù)的解析式和直線的解析式；(2)點P是直線上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點M，當點P在第一象限時，求線段長度的最大值．【答案】(1)，；(2)線段長度有最大值為【解析】(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，將B的坐標代入得：∴二次函數(shù)的解析式為：即：，∵點D是二次函數(shù)與y軸的交點，∴D點坐標為：設(shè)直線的解析式為：將B的坐標代入得：∴直線的解析式為：；(2)解：設(shè)P點的橫坐標為，則，∴，∵，∴當時，線段長度有最大值為．類型二、雙線段長度問題例1．已知拋物線(a，b，c為常數(shù)，)的頂點，拋物線與x交于點和B，與y軸交于點C．平面直角坐標系內(nèi)有點和點．(1)求拋物線的解析式及點B坐標；(2)在拋物線的對稱軸上找一點E，使的值最小，求點E的坐標；(3)若F為拋物線對稱軸上的一個定點，①過點H作y軸的垂線l，若對于拋物線上任意一點都滿足P到直線l的距離與它到定點F的距離相等，求點F的坐標；②在①的條件下，拋物線上是否存在一點P，使最小，若存在，求出點P的坐標及的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=-x2+2x+3；B(3，0)；(2)E(1，)；(3)①；②P(2，3)，最小值為【解析】(1)解：∵拋物線頂點D(1，4)，與x軸交于點A(-1，0)，∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)2+4，把A(-1，0)代入，解得a=-1，∴y=-(x-1)2+4，∴拋物線的解析式y(tǒng)=-x2+2x+3，令y=0，可得-(x-1)2+4=0，解得x1=-1，x2=3，∴B(3，0)；(2)如圖①，連接BH交對稱軸于點E，連接AE，此時AE+HE的值最小，設(shè)直線BH解析式為y=kx+b，把B(3，0)，H(0，)代入，解得k=，b=，∴直線BH解析式為，把x=1代入解得y=，∴E(1，)；(3)①如圖②，設(shè)對稱軸上點F(1，t)，過點P作PN⊥l，過點F作FM⊥PN，，，，，，，，∵拋物線上任意一點P(m，n)，，，，，整理可得：，∵任意一點P(m，n)，與n無關(guān).，，，；②：如圖③，∵拋物線上任意一點P(m，n)滿足PF=PN，∴FP+GP=PN+GP.根據(jù)垂線段最短可知，當G，P，N共線時，F(xiàn)P+GP的值最小，最小值為：，∵G(2，0)，∴把x=2代入y=-x2+2x+3.解得y=3.∴當P(2，3)此時FP+GP的值最小，最小值為例2.如圖，平面直角坐標系中，二次函數(shù)圖像交x軸于點A、B，交y軸于點C，圖像對稱軸交x軸于點D．點P是線段OD上一動點，從O向D運動，H是射線BC上一點．(1)則點A的坐標為，點B的坐標為，線段BC的長為；(2)如圖1，在P點運動過程中，若△OPC中有一個內(nèi)角等于∠HCA，求OP的長；(3)如圖2，點在二次函數(shù)圖像上，在P點開始運動的同時，點Q在拋物線對稱軸上從D點向上運動，Q點運動速度是P點運動速度的2倍，連接QM，則的最小值為．【答案】(1)(－10，0)；(2，0)；；(2)或3；(3)【解析】(1)二次函數(shù)中，令y=0，得：，解得：，∴A(－10，0)，B(2，0)，二次函數(shù)中，令x=0，得：y=2，∴C(0，2)，∴，故答案為：(－10，0)；(2，0)；；(2)如圖，連接AE，設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b．∵函數(shù)圖像經(jīng)過B(2，0)，C(0，2)則，解得．∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為；∵拋物線的對稱軸為x＝－4∴D(4，0)．延長BC交對稱軸為E，∴E(－4，6)，∴DE＝DB＝6．又∵DE⊥DB，∴∠DEB＝∠DBE＝45°．∵A(－10，0)，AD＝DE＝DB＝6，∴△AEB為等腰直角三角形，．∴，．若∠CPO＝∠HCA，則△CPO∽△ACE，∵在△ACE中，AE：CE＝3：2，∴CO：OP＝3：2∵CO＝2，∴；若∠PCO＝∠HCA，則△CPO∽△CAE，∵在△ACE中，AE：CE＝3：2，∴OP：CO＝3：2∵CO＝2，∴OP＝3；綜上所述，OP長為或3．(3)由題意可知：∵，∠COP＝∠QDO＝90°，∴Rt△COP∽Rt△QDO．∴∴OQ＝2CP．作點M關(guān)于直線x＝－4的對稱點M’，則MQ＝M’Q．∵M(－3，)∴M’(－5，)，過點M’作MN⊥x軸于點N，在Rt△M’NO中，．所以QM＋2CP的最小值為．故答案為：【變式訓練1】已知拋物線(b，c為常數(shù))的圖象與x軸交于，B兩點(點A在點B左側(cè))．與y軸相交于點C，頂點為D．(1)當b=2時，求拋物線的頂點坐標；(2)若點P是y軸上一點，連接BP，當PB=PC，OP=2時，求b的值；(3)若拋物線與x軸另一個交點B的坐標為，對稱軸交x軸于點E，點Q是線段DE上一點，點N為線段AB上一點，且AN=2BN，連接NQ，求的最小值．【答案】(1)；(2)；(3)【解析】(1)∵拋物線經(jīng)過點，∴，解得，當時，，∴，∴拋物線的頂點坐標為；(2)由(1)知，拋物線的解析式為，∵拋物線的對稱軸為直線x=b，∴點B的坐標為．∵點P在y軸上，OP=2，∴點P的坐標為或．∵點在y軸負半軸上，∴或．在Rt△POB中，由勾股定理得．∵PB=PC，即，∴或．解得或或．∵在y軸負半軸上，∴，解得，∴；(3)如圖，連接AD，過點Q作QF⊥AD于點F，拋物線與x軸交于，∴拋物線的解析式為，∴頂點，，∴，，∴，∴，∴，∵AN=2BN，∴，AN=2，過點N作NG⊥AD于點G，連DN，則QF+NQ的最小值為NG，由面積相等知：，∴，∴，∴的最小值為．【變式訓練2】已知如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于A，C兩點，交y軸于點，此拋物線的對稱軸交x軸于點D，點P為y軸上的一個動點，連接．(1)求a的值；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)【解析】(1)解：把點代入得：，解得：；(2)解：連接AB，過點D作DH⊥AB于點H，交y軸于點P，由(1)得：二次函數(shù)的解析式為，令y=0，則，解得：，∴點A(-3，0)，C(5，0)，∴拋物線的對稱軸為直線，∴點D(1，0)，∴AD=4，∵點，∴，∴，∴AB=2OA，∵∠AOB=90°，∴∠OBA=30°，∴，∴的最小值為PD+PH=DH的長，∵DH⊥AB，∠OAB=60°，∴∠ADH=30°，∴，∴，∴的最小值為．【變式訓練3】如圖，已知拋物線與x軸相交于，兩點，與y軸相交于點，拋物線的頂點為D．(1)求拋物線的解析式；(2)若P是直線BC下方拋物線上任意一點，過點P作軸于點H，與BC交于點M．①求線段PM長度的最大值．②在①的條件下，若F為y軸上一動點，求的最小值．【答案】(1)y＝x2－2x－3；(2)①；②【解析】(1)解：把，點代入拋物線中得：，解得：，拋物線的解析式為：；(2)解：①如圖，令，即，解得或，，，設(shè)的解析式為：，則，解得：，的解析式為：，設(shè)，則，，當時，有最大值為；②當有最大值，，在軸的負半軸上取一點，使，過作于，當、、三點共線時，最小，即的值最小，中，，，，，中，，，，的最小值是．【變式訓練4】已知拋物線過點，兩點，與軸交于點，．(1)求拋物線的解析式及頂點的坐標；(2)過點作，垂足為，求證：四邊形為正方形；(3)若點為線段上的一動點，問：是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，；(2)見解析；(3)存在，【解析】(1)∵拋物線過點，兩點，∴設(shè)拋物線解析式為，∵，∴，∵這個拋物線與軸交于點，∴，∴，∴拋物線的解析式為：．∵，∴這個拋物線的頂點；(2)連接，，由(1)得：，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴四邊形為菱形，∵，∴四邊形為正方形；(3)存在，理由：如圖，點作與軸夾角為的直線，交軸于點，過點作，垂足為，交于點，則，的最小值，∵，，∴．∵，∴．∵，∴．∴∴的最小值為．類型三、周長問題例1．如圖，已知拋物線y＝ax2+4x+c經(jīng)過A(2，0)、B(0，﹣6)兩點，其對稱軸與x軸交于點C．(1)求該拋物線和直線BC的解析式；(2)設(shè)拋物線與直線BC相交于點D，求△ABD的面積；(3)在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAB的周長最??？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y＝﹣x2+4x﹣6，y＝x﹣6；(2)；(3)存在，點Q的坐標為(4，﹣2)【解析】(1)解：將A(2，0)、B(0，﹣6)代入拋物線解析式得：，解得：，故拋物線的解析式為：y＝﹣x2+4x﹣6，其對稱軸為：x＝4，故點C的坐標為(4，0)，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，將點B、點C的坐標代入可得：，解得：，故直線BC的解析式為y＝x﹣6；(2)解：聯(lián)立直線BC與拋物線的解析式：，解得：或，故點D的坐標為(5，)，則S△ABD＝S△ACD+S△ABC＝AC×D縱+AC×|B縱|＝．(3)解：存在點Q，使得△QAB的周長最小；點A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為A'，連接A'B，則A'B與對稱軸的交點即是點Q的位置：A'坐標為(6，0)，B(0，﹣6)，設(shè)直線A'B的解析式為：y＝mx+n，代入兩點坐標可得：，解得：，即直線A'B的解析式為y＝x﹣6，故點Q的坐標為(4，﹣2)．即存在點Q的坐標(4，﹣2)時，使得△QAB的周長最?。咀兪接柧?】如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)，經(jīng)過點A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)三點．(1)求拋物線的解析式及頂點M的坐標；(2)連接AC、BC，N為拋物線上的點且在第四象限，當S△NBC=S△ABC時，求N點的坐標；(3)在(2)問的條件下，過點C作直線l∥x軸，動點P(m，3)在直線l上，動點Q(m，0)在x軸上，連接PM、PQ、NQ，當m為何值時，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．【答案】(1)y=-x2+2x+3，頂點M坐標為(1，4)；(2)點N坐標為(4，-5)；(3)當m=時，PM+PQ+QN有最小值，最小值為3+3．【解析】(1)解：∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)，∴，解得：，∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，則拋物線的頂點M坐標為(1，4)；(2)解：∵N是拋物線上第四象限的點，∴設(shè)N(t，-t2+2t+3)(t＞3)，又點C(0，3)，設(shè)直線NC的解析式為y=k1x+b1，則，解得：，∴直線NC的解析式為y=(-t+2)x+3，設(shè)直線CN與x軸交于點D，當y=0時，x=，∴D(，0)，BD=3-，∵S△NBC=S△ABC，∴S△CDB+S△BDN=AB?OC，即BD?|yC-yN|=[3-(-1)]×3，即×(3-)[3-(-t2+2t+3)]=6，整理，得：t2-3t-