泛函分析智慧樹知到期末考試答案2024年

泛函分析智慧樹知到期末考試答案2024年泛函分析賦范線性空間任意有界閉子集都是緊集是該空間有限維的什么條件？（）

A:既不充分也不必要條件B:充分非必要條件C:充分必要條件D:必要非充分條件答案:充分必要條件若Banach空間X自反是其共軛空間自反的什么條件？（）

A:必要非充分條件B:充分必要條件C:充分非必要條件D:既不充分也不必要條件答案:充分必要條件以下選項中哪些和F是閉集等價。（）

A:F中任何收斂點列的極限都屬于FB:F等于F的閉包C:F的余集是開集D:F的導(dǎo)集包含于F答案:F的余集是開集;F等于F的閉包;F中任何收斂點列的極限都屬于F;F的導(dǎo)集包含于F關(guān)于賦范線性空間X中弱收斂序列，以下敘述正確的是（）

A:每個子序列也是弱收斂的B:序列有界C:弱極限是唯一的D:若X是Hilbert空間，則該序列強(qiáng)收斂答案:弱極限是唯一的;每個子序列也是弱收斂的;序列有界若X是一個線性空間，A是X的一個子集，包含集合A的一切凸集的交集，稱為A的線性包或稱為凸包。（）

A:錯誤B:正確答案:正確在n維歐氏空間上，Cantor集是疏集。（）

A:正確B:錯誤答案:正確完備的內(nèi)積空間被稱為Hilbert空間。（）

A:正確B:錯誤答案:正確完備的賦范線性空間叫做Banach空間。（）

A:錯誤B:正確答案:正確設(shè)X是n維線性空間，則X任意真子空間的維數(shù)小于n。（）

A:正確B:錯誤答案:正確有限維線性空間定義的任意兩個范數(shù)是等價的。（）

A:正確B:錯誤答案:正確每一個點都是內(nèi)點的集合稱為開集。（）

A:對B:錯答案:對Hilbert空間上任一正交規(guī)范集一定是線性無關(guān)的。（）

A:正確B:錯誤答案:正確設(shè)C為賦范線性空間X中的一個有界閉凸子集，T映C到自身，當(dāng)T是緊映射時，T在C上存在一個不動點。（）

A:錯誤B:正確答案:正確設(shè)X是一個內(nèi)積空間，M是X的一個子集，則M的正交補(bǔ)是一個閉線性子空間。（）

A:正確B:錯誤答案:正確若度量空間的子空間Y由有限個點組成時，則Y是完備的。（）

A:正確B:錯誤答案:正確任意個開集的并集是開集。（）

A:正確B:錯誤答案:正確度量空間的緊子集是閉集并且有界。（）

A:正確B:錯誤答案:正確空間C[a,b]上由通常的范數(shù)可以誘導(dǎo)出一個內(nèi)積使之成為一個內(nèi)積空間。（）

A:錯B:對答案:錯為了賦范線性空間X是有窮維，當(dāng)且僅當(dāng)X的單位球面是列緊的。（）

A:正確B:錯誤答案:正確泛函序列的強(qiáng)收斂，弱收斂和弱*收斂的關(guān)系：強(qiáng)收斂蘊(yùn)含弱收斂，弱收斂蘊(yùn)含弱*收斂。反過來，一般不成立。（）

A:正確B:錯誤答案:正確設(shè)X是一個內(nèi)積空間，則內(nèi)積關(guān)于兩個變元都是連續(xù)的。（）

A:錯B:對答案:對考察線性空間的一個子集是其子空間，只需要考察在該子集上線性運(yùn)算是否封閉。（）

A:對B:錯答案:對如果X是有限維的賦范線性空間，則X上的每個線性算子是有界的。（）

A:正確B:錯誤答案:正確A的聚點全體構(gòu)成的集合稱為A的導(dǎo)集。（）

A:錯誤B:正確答案:正確在度量空間中，一個集合完全有界的充要條件是它中的任意點列存在一個基本列。（）

A:錯B:對答案:對實數(shù)集合，連續(xù)函數(shù)集合都是可分的。（）

A:正確B:錯誤答案:正確若X是一個n維復(fù)線性空間，當(dāng)視X為實線性空間時，它的維數(shù)是2n。（）

A:錯誤B:正確答案:正確非平凡的內(nèi)積空間中不一定存在完備的正交集。（）

A:正確B:錯誤答案:錯誤Banach空間X的子空間Y是完備的充要條件是Y是X的閉子集。（）

A:錯誤B:正確答案:正確在Hilbert空間上，每一個有界線性泛函都可以表示成一個內(nèi)積形式。（）

A:錯誤B:正確答案:正確x是集合A的聚點，則x的任意鄰域內(nèi)必含有A中無限個點。（）

A:錯B:對答案:對賦范線性空間中的任意開球一定是一個開凸集。（）

A:錯誤B:正確答案:正確設(shè)X是Banach空間，線性算子P是冪等的，并且其核空間與值域都是閉集，則它是有界線性算子。（）

A:正確B:錯誤答案:正確度量空間中單點集一定是疏集。（）

A:錯誤B:正確答案:錯誤設(shè)X是一個度量空間，A，B和C是X的三個子集，若A在B中稠密，B在C中稠密，則A在C中稠密。（）

A:錯誤B:正確答案:正確設(shè)X是賦范線性空間，E是X的一個子集，映射T映E到X，稱它是緊映射，如果它是連續(xù)的并且映E中任何有界集為X中的列緊集。（）

A:正確B:錯誤答案:正確一組向量線性相關(guān)的充分必要條件是存在一個向量可由其它向量線性表示。（）

A:錯誤B:正確答案:正確設(shè)X是一個Hilbert空間，M是X的一個非平凡閉線性子空間，P是X到M的正交投影算子，則P具有的性質(zhì)：P是一個有界線性算子，具有冪等性、自共軛。（）

A:錯誤B:正確答案:正確如果距離空間X中任一半徑趨向于0的閉球套都有非空的交，則空間X是完備的。（）

A:正確B:錯誤答案:正確設(shè)X，Y是Banach空間，若T映X到Y(jié)是閉線性算子，并且T的定義域是閉集，則T是有界線性算子。（）

A:正確B:錯誤答案:正確自反Banach空間的任意閉子空間一定是自反的。（）

A:錯誤B:正確答案:正確多項式全體構(gòu)成空間P[a,b]在連續(xù)函數(shù)空間C[a,b]中稠密。（）

A:錯B