2024年高考數(shù)學一輪復(fù)習第8章：圓錐曲線（附答案解析）

2024年廣東省高考數(shù)學一輪復(fù)習第8章：圓錐曲線學生版

一、單項選擇題

1.（2023?淄博模擬）雙曲喏一x2=l的離心率為（

)

B遍c.氈

..—3

223

2.（2022?鄭州模擬）已知橢圓C：，+（=13乂＞0）的離心率為|,以C的上、下頂點和一個

焦點為頂點的三角形的面積為48,則橢圓的長軸長為（）

A.5B.10C.15D.20

3.（2022?長春模擬）已知“為拋物線C：7=2抄齢＞0）上一點，點/到C的焦點的距離為7,

到x軸的距離為5,則p等于（）

A.3B.4C.5D.6

4.（2023?河北衡水中學檢測）阿基米德（公元前287年一公元前212年）不僅是著名的物理學家，

也是著名的數(shù)學家，他利用'‘逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短

半軸長的乘積.若橢圓C的對稱軸為坐標軸，焦點在y軸上，且橢圓C的離心率為坐，面積

為12m則橢圓C的方程為（）

D.3=l

C.

436

5.（2022?滁州模擬）已知橢圓^+迷=1的左、右焦點分別為后，點尸在橢圓上且在x軸

43

的下方，若線段的中點在以原點。為圓心，OF2為半徑的圓上，則直線PF2的傾斜角為

（）

A.-B.-C.-D.—

6433

6.（2023?石家莊模擬）已知，點尸是拋物線C：f=4x上的動點，過點P向y軸作垂線，垂

足記為點M點M（3,4）,則|PM+|PN］的最小值是（）

A.2#-IC.3+1D.23+1

7.（2022?德州聯(lián)考）已知雙曲線C：三一三=1（。＞0,6＞0）的左、右焦點分別為*,Fi,曲線C

岸b-

上一點尸到X軸的距離為3c，且/尸尸2尸1=120。，則雙曲線C的離心率為（）

A.3+1B.3+1

2

第1頁共12頁

C.A/5+1D片

8.（2022?連云港模擬）直線/：y=~x+\與拋物線C：y=以交于N,8兩點，圓M過兩點

8且與拋物線C的準線相切，則圓M的半徑是（）

A.4B.10

C.4或10D.4或12

二、多項選擇題

9.（2023?濟南模擬）已知雙曲線C：q一達=1（亦＞0）,則下列說法正確的是（）

2m

A.雙曲線C的實軸長為2

B.雙曲線C的焦點到漸近線的距離為加

C.若（2,0）是雙曲線C的一個焦點，則機=2

D.若雙曲線C的兩條漸近線相互垂直，則用=2

10.（2022?濰坊模擬）已知拋物線爐=多的焦點為尸，Wi-V），Mm,了2）是拋物線上兩點,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.點尸的坐標為18J

B.若直線過點F,則xm=一丄

16

C.若加=7而，則|MM的最小值為3

D.若|加鬥+|而=$則線段的中點「到》軸的距離為:

II.（2023?湖北四地聯(lián)考）已知橢圓C：匕+￡=15＞加0）的左、右焦點分別為尸2,長軸長

為4,點尸（S，1）在橢圓C外，點。在橢圓C上，貝U（）

A.橢圓C的離心率的取值范圍是當

B.當橢圓C的離心率為，時，|0戶i|的取值范圍是[2—3,2+S]

.A"一'"A

C.存在點。使得。円?。尸2=0

D.――I——的最小值為1

12^11。尸2|

12.（2022?濟寧模擬）已知雙曲線C：三一4=1（。＞0,6＞0）的左、右焦點分別為R,Fi,左、

a1bz

右頂點分別為4,A2,點尸是雙曲線C上異于頂點的一點，貝W）

A.||Rh|一|以2||=2。

第2頁共12頁

B.若焦點尸2關(guān)于雙曲線C的漸近線的對稱點在C上，則C的離心率為小

C.若雙曲線C為等軸雙曲線，則直線的斜率與直線必2的斜率之積為1

D.若雙曲線C為等軸雙曲線，且/4以2=3/卩1也，則4以以2=工

10

三、填空題

13.（2022?煙臺模擬）寫岀一個滿足以下三個條件的橢圓的方程.

①中心為坐標原點；②焦點在坐標軸上；③離心率為丄.

3

14.（2023?衡水中學模擬）若雙曲線三一匕=1（心0,6>0）的離心率為2,則其兩條漸近線所成

a-b2

的銳角為.

15.（2023?海東模擬）我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”.事

實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：與N（x-a）2+（y—b）2相關(guān)的代數(shù)問

題可以轉(zhuǎn)化為點Z（x,y）與點83,6）之間距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點，可得方程、//+4X+8

+査一敘+8=43的解是.

16.（2022?臨沂模擬）已知拋物線C：爐=2外伊>0）的焦點為尸，0（2,3）為C內(nèi)的一點，M為C

上的任意一點，且依。|+財月的最小值為4,則f=；若直線/過點0,與拋物線C

交于48兩點，且。為線段48的中點，則的面積為.

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2024年廣東省高考數(shù)學一輪復(fù)習第8章：圓錐曲線教師版

一、單項選擇題

1.（2023?淄博模擬）雙曲喏一爐=1的離心率為（）

A重B如C.氈D.氈

2233

答案C

解析雙曲線方一/=1的焦點在〉軸上，。=3，b=l,。=3+1=2,

所以離心率為￡=2=氈.

a3

2.（2022?鄭州模擬）已知橢圓C：5+捺=1（。乂>0）的離心率為，以C的上、下頂點和一個

焦點為頂點的三角形的面積為48,則橢圓的長軸長為（）

A.5B.10C.15D.20

答案D

解析根據(jù)題意，由橢圓的離心率為扌可得￡=2

5a5

又丄X26Xc=48,即6c=48,且。2="+。2,

2

故可得a=10,b=8,c=6,則橢圓的長軸長2〃=20.

3.（2022?長春模擬）已知“為拋物線C：x2=2py/>0）上一點，點M到C的焦點的距離為7,

到x軸的距離為5,則p等于（）

A.3B.4C.5D.6

答案B

解析拋物線C：x2=200>O）的準線方程為了=一旨因為點”到C的焦點的距離為7,到

x軸的距離為5,所以彳=2,所以p=4.

4.（2023?河北衡水中學檢測）阿基米德（公元前287年一公元前212年）不僅是著名的物理學家,

也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短

半軸長的乘積.若橢圓C的對稱軸為坐標軸，焦點在y軸上，且橢圓C的離心率為止，面積

4

為12兀，則橢圓。的方程為（）

A,+圧=1B#+￡=l

91634

第4頁共12頁

2

c.—x+D+=，

18-4^

答案A

解析由題意，設(shè)橢圓C的方程為4+5=1（心6>0）,

出D1

因為橢圓。的離心率為以，面積為12兀,

4

e=￡=~，一」=亞

所以,aV424'

.12兀=。6兀,

解得層=16,備=9,

所以橢圓C的方程為3'+9=1.

169

5.（2022?滁州模擬）已知橢圓?+1=1的左、右焦點分別為冋，F(xiàn)2,點P在橢圓上且在x軸

的下方，若線段的中點在以原點。為圓心，為半徑的圓上，則直線P&的傾斜角為

()

A.-B.-C.-D.—

6433

答案C

解析在橢圓：+；=1中，a=2,b=y[i,c=ya2—b2=1,

設(shè)線段尸入的中點為連接尸為，MFi,如圖所示，則F1F2為圓。的一條直徑，則FyMLPFi,

因為M為尸出的中點，則|P尸||=回/2|=2C=2,貝ij|尸尸2尸2。一廠冃|=2,

所以△尸乃乃為等邊三角形，由圖可知，直線的傾斜角為:.

6.（2023?石家莊模擬）已知，點P是拋物線C：V=4x上的動點，過點P向y軸作垂線，垂

足記為點N,點M（3,4）,則|尸〃|+1尸2的最小值是（）

A.2^-1B.^-lC.3+1D.2^+1

答案A

解析由拋物線C：V=4x知，焦點尸（1,0）,準線方程為x=-l,

第5頁共12頁

過點P作拋物線準線的垂線，垂足為。，如圖,

由拋物線定義知『川+|戶根=1尸01—1+1尸財=1尸網(wǎng)+『河1一1，

當凡P,M三點共線時，IPM+FM取得最小值，則最小值為|〃冃-1=1（3—1>+（4—op—

1=2近一1.

7.（2022?德州聯(lián)考）已知雙曲線C：三一M=130,6>0）的左、右焦點分別為尸2,曲線C

a1hz

上一點尸到x軸的距離為3c,且/尸脫尸|=120。，則雙曲線C的離心率為（）

A.S+1口t>.3+1

2

D旦

C.布+1

2

答案B

解析作PM-Lx軸于點A/,如圖,

依題意1PMNPBFi=120。，

則NPF2M=6Q°,

由題意知尸2（C,0）,

由smZPF2M=^-=—,得|PB|=2c,

\PF2\2

由雙曲線的定義知|尸產(chǎn)i|=2a+2c,而國產(chǎn)2|=2C,

在中，由余弦定理得

2

\PFx\=2卩+尸|尸2卩一2|尸尸2卜|FIF2|COSZPF2F1,

解得2a+2c=23以即a=（3-l）c,

又離心率e=￡,于是有e=亜±L

a2

所以雙曲線C的離心率為也±1.

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8.（2022?連云港模擬）直線/：y=—x+l與拋物線C：產(chǎn)=以交于/,8兩點，圓/W過兩點4,

8且與拋物線C的準線相切，則圓M的半徑是（）

A.4B.10

C.4或10D.4或12

答案D

解析可設(shè)4（*1,yi）,8（x2,J2）,

y-=4x9

由「消去x,可得產(chǎn)+%-4=0,

y=-x+1

則歹1+歹2=-4,即yi+?2=-xi+1-為+1=-4,

則沏+&=6,可得45的中點坐標為尸（3,-2）,

易知，直線/過拋物線焦點（1,0）,

則/6|=x]+l+x2+l=8,

且48的垂直平分線方程為歹一（一2）=1X（x—3）,

即歹=x-5,

則可設(shè)圓M的圓心為M（〃，b）,半徑為尸，

所以b=a—59

則圓的方程為（x—〃>+什-6）2=/，

即（工-〃）2+。-4+5）2=戸，

又圓心M。，6）到直線/.丿=一》+1的距離d=乜士仁U=R爺?,且滿足圖2+屋="，

勺2

則16+2（。-3）2=戶，①

又因為圓M與拋物線C的準線相切，所以|a+l|=r,

即（“+1）2=/，②

〃=a仿=1]

①②聯(lián)立解得，’或，'

r=4b=12.

二、多項選擇題

9.（2023?濟南模擬）已知雙曲線C：V—9=1（加>0）,則下列說法正確的是（）

2m

A.雙曲線C的實軸長為2

B.雙曲線C的焦點到漸近線的距離為加

C.若（2,0）是雙曲線C的一個焦點，則機=2

D.若雙曲線C的兩條漸近線相互垂直，則加=2

答案CD

解析由雙曲線C：q一上=1,

2m

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得ci^2yb--\[ni9c=42+加,

則雙曲線。的實軸長為2/，故A錯誤；

雙曲線的漸近線方程為》=書0,即丿晟±/y=0,

取右焦點（42+〃?,0）和漸近線5工+/y=0,

則右焦點（舊7,0）到漸近線拓x+缶=0的距離為由啓畫=拓，故B錯誤；

弋2+〃7

因為（2,0）是雙曲線C的一個焦點，

所以c=、2+〃?=2,則〃?=2,故C正確；

因為漸近線歹=當曲和y=—當&垂直，

所以恒（一圖=—1,解得加=2,故D正確.

2

10.（2022?濰坊模擬）已知拋物線》2=今的焦點為F,M（xi，y\）,N（x2,㈤是拋物線上兩點，

則下列結(jié)論正確的是（）

A.點尸的坐標為0）

B.若直線MV過點F,則xm=—-

16

c.若加=而，則|〃叫的最小值為:

D.若附尸|+|陽=糸則線段WN的中點P到X軸的距離為戰(zhàn)

答案BCD

解析易知點尸的坐標為O'3,選項A錯誤；

根據(jù)拋物線的性質(zhì)知，A/N過焦點尸時，

X\X2=-p1—..-,選項B正確；

16

若加=2標，則MN過點尸，則|MN|的最小值即拋物線通徑的長，為22，即;，選項C正確;

拋物線/=｝的焦點為（85,

準線方程為片一:，

8

過點W,N,P分別作準線的垂線A/M',NN',PP',垂足分別為M',N',P（圖略）,

所以|四川'|=|四用，\NN'|=|2VF|.

第8頁共12頁

所以|+|AW，|=財風+|*|=七

所以線段1，尸出卡幽」v，

所以線段腦V的中點尸到X軸的距離為『尸’|-：=3—：=本選項D正確.

11.（2023?湖北四地聯(lián)考）已知橢圓C：5+三=13*0）的左、右焦點分別為Fi，F(xiàn)2,長軸長

a-b-

為4,點尸（価，1）在橢圓C外，點0在橢圓C上，則（）

A.橢圓C的離心率的取值范圍是[°4]

B.當橢圓C的離心率為，時，|。冋的取值范圍是[2—3,2+S]

C.存在點。使得0萬?。芭=0

D.——-1—的最小值為1

郵I\QF2\

答案BCD

解析由題意得。=2,

又點P（/,1）在橢圓C外，

則2+丄＞1,解得*啦，

4b2

所以橢圓C的離心率e=￡=亞三＞也，

a22

11

即橢圓C的離心率的取值范圍是伸12'J,故A不正確;

當e=退時，c=朮,b—^a2—c2—1,

所以|。乃|的取值范圍是[a-c,a+c],

即[2—3,2+S],故B正確；

設(shè)橢圓的上頂點為40,b）,Fi（-c,0）,尸2（c,0）,

由于AF\,AF2=h2-c2=2h2—a2<0,

所以存在點。使得話?話=0,故C正確；

（1。冋+1。尸2|）⑥]+函）=2+聲+需22+2=4,

I。尸|1I。尸2|

當且僅當|0Q|=|0B|=2時，等號成立，

又|。戶||+|。乃|=4,

第9頁共12頁

所以亠+亠21,故D正確.

\QFy\\QH

12.（2022?濟寧模擬）已知雙曲線C：,一￡=15>0,6>0）的左、右焦點分別為尸I,尸2,左、

a1bz

右頂點分別為4,A2,點尸是雙曲線C上異于頂點的一點，則（）

A.||弘1|一|以2||=2。

B.若焦點尸2關(guān)于雙曲線C的漸近線的對稱點在C上，則C的離心率為貼

C.若雙曲線。為等軸雙曲線，則直線以|的斜率與直線以2的斜率之積為1

D.若雙曲線C為等軸雙曲線，且/〃以2=3/RM2，則4％生=工

10

答案BCD

解析對于A,在△R1M2中，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊,

得11Hli-幽211Vl44|=2a,故A錯誤；

對于B,焦點乃（，0）,漸近線不妨取了=々，即bx—佇=0,

a

設(shè)出關(guān)于雙曲線C的漸近線的對稱點為（"］，"）,

口一義纟=—1,

m-ca

則

6比—*=0,

22

解得.2壊

n=----,

c

（cr—b22O￡|

即尸2關(guān)于雙曲線C的漸近線的對稱點為

由題意知該點在雙曲線上，

出㈠一附（2那=

22

ac62c2-’

將/=歩+加代入，

化簡整理得〃一3a2b2—4/=0,即分=4層，

所以02=9=邛=1+號5,

理出az

故e=3,故B正確；

對于C,雙曲線。為等軸雙曲線，

即C：x2—y2=a2（a>0）,

設(shè)P（x。，次）SoWO）,

則xi—yi=a2,則xi-a2=yi,

第10頁共12頁

故kpA-kpA=丹?亠=丿1=1，故C正確；

PA,2

-x0+axo-axi-a

對于D,雙曲線C為等軸雙曲線，

即C:x2—y2=a2（a>0）,

且/小孫2=3/口/2,

設(shè)/刃"2=仇ZA}PA2=30,

則/*=4仇

根據(jù)C的結(jié)論kp“kpA,=1,

即有tan夕tan40—1,

在三角形中，只有兩角互余時，它們的正切值才互為倒數(shù)，

故6?+4，=匹，。=工，故D正確.

210

三、填空題

13.（2022?煙臺模擬）寫出一個滿足以下三個條件的橢圓的方程.

①中心為坐標原點；②焦點在坐標軸上；③離心率為去

答案:+（=1（答案不唯一）

解析只要橢圓方程形如—十足=1（機>0）或上+上=1（加>0）即可.

9m8/n9m8/n

14.（2023?衡水中學模擬）若雙曲線三一三=1（心0,6>0）的離心率為2,則其兩條漸近線所成

a1b1

的銳角為.

答案:

解析V^=2,.-.4=4,故邛=4,

a出a1

a

???兩條漸近線方程為y=±Sx,

.?.兩條漸近線所成的銳角為四.

3

15.（2023?海東模擬）我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”.事

實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：與N（x-“）2+（y-b）2相關(guān)的代數(shù)問

題可以轉(zhuǎn)化為點/（x,力與點83,6）之間距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點，可得方程、9+以+8

+“於一4x+8=4S的解是.

答案x—^\[b