§3-模擬方法-概率的應(yīng)用

§3模擬方法—概率的應(yīng)用1.會(huì)用模擬方法估計(jì)概率,近似計(jì)算不規(guī)那么圖形的面積,求π的近似值;2.通過解決具體問題的實(shí)例感受,體會(huì)模擬方法的根本思想,學(xué)會(huì)依據(jù)隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果設(shè)計(jì)合理的模擬方法,通過模擬試驗(yàn)加深對(duì)隨機(jī)事件頻率的隨機(jī)性和概率的穩(wěn)定性的認(rèn)識(shí)以及用頻率去估計(jì)概率的方法;3.通過模擬方法的設(shè)計(jì)體驗(yàn)數(shù)學(xué)的重要性和信息技術(shù)帶給數(shù)學(xué)的幫助;通過動(dòng)手模擬,動(dòng)腦思考,體會(huì)做數(shù)學(xué)題的樂趣,提高學(xué)習(xí)興趣;通過合作試驗(yàn),培養(yǎng)學(xué)生愿意合作與交流的團(tuán)隊(duì)精神，情感態(tài)度與價(jià)值觀增強(qiáng).本節(jié)課的主要特點(diǎn)是隨機(jī)試驗(yàn)多，學(xué)習(xí)時(shí)養(yǎng)成勤學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣.重點(diǎn)與難點(diǎn)：幾何概型的概念、公式及應(yīng)用.1、知識(shí)回憶：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩種計(jì)算事件發(fā)生的概率的方法:〔1〕通過試驗(yàn)方法得到事件發(fā)生的頻率,來估計(jì)概率.(一種近似估計(jì),需通過大量重復(fù)試驗(yàn))〔2〕用古典概型的公式來計(jì)算概率.(僅適用于根本領(lǐng)件為有限個(gè)的情況)在概率論開展的早期，人們就已經(jīng)注意到只考慮那種僅有有限個(gè)等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)是不夠的，還必須考慮有無(wú)限多個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的情況.常常會(huì)遇到試驗(yàn)的所有可能結(jié)果(即根本領(lǐng)件)為無(wú)窮多的情況,且這無(wú)窮多個(gè)根本領(lǐng)件保持這古典概型的“等可能性”.這時(shí)用大量試驗(yàn)的方法很難獲得一個(gè)符合要求的概率,也不能用古典概型的方法求解.例如一個(gè)人到單位的時(shí)間可能是8：00至9：00之間的任何一個(gè)時(shí)刻；往一個(gè)方格中投一個(gè)石子，石子可能落在方格中的任何一點(diǎn)……這些試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果都是無(wú)限多個(gè).那怎么辦呢?請(qǐng)觀察以下問題并思考如何確定其概率?問題1：如下圖在邊長(zhǎng)為a的正方形內(nèi)有一個(gè)不規(guī)那么的陰影局部，那么怎樣求這陰影局部的面積呢？問題2:一個(gè)人上班的時(shí)間可以是8:00～9:00之間的任一時(shí)刻，那么他在8:30之前到達(dá)的概率是多大呢？問題3:在邊長(zhǎng)為a的正方形內(nèi)有一個(gè)半徑為0.5的圓.向正方形內(nèi)隨機(jī)地投石頭，那么石頭落在圓內(nèi)的概率是多大呢？帶著上述的問題，我們開始學(xué)習(xí)新的內(nèi)容——模擬方法與概率的應(yīng)用.問題1：射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色得分環(huán)，從外向內(nèi)為黑色、白色、藍(lán)色、紅色，靶心為黃色,靶面直徑為122cm，靶心直徑為12.2cm，運(yùn)發(fā)動(dòng)在70m外射擊．假設(shè)射箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)任意一點(diǎn)都是等可能的，那么射中黃心的概率有多大？122cm〔1〕試驗(yàn)中的根本領(lǐng)件是什么？射中靶面上每一點(diǎn)都是一個(gè)根本領(lǐng)件,這一點(diǎn)可以是靶面直徑為122cm的大圓內(nèi)的任意一點(diǎn).〔2〕每個(gè)根本領(lǐng)件的發(fā)生是等可能的嗎？〔3〕符合古典概型的特點(diǎn)嗎？問題2:取一根長(zhǎng)度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1m的概率有多大？3m〔1〕試驗(yàn)中的根本領(lǐng)件是什么？〔2〕每個(gè)根本領(lǐng)件的發(fā)生是等可能的嗎？〔3〕符合古典概型的特點(diǎn)嗎？從每一個(gè)位置剪斷都是一個(gè)根本領(lǐng)件,剪斷位置可以是長(zhǎng)度為3m的繩子上的任意一點(diǎn).問題3:

有一杯1升的水，其中漂浮有1個(gè)微生物，用一個(gè)小杯從這杯水中取出0.1升，求小杯水中含有這個(gè)微生物的概率.〔1〕試驗(yàn)中的根本領(lǐng)件是什么？〔2〕每個(gè)根本領(lǐng)件的發(fā)生是等可能的嗎？〔3〕符合古典概型的特點(diǎn)嗎？微生物出現(xiàn)的每一個(gè)位置都是一個(gè)根本領(lǐng)件,微生物出現(xiàn)位置可以是1升水中的任意一點(diǎn).(1)一次試驗(yàn)的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè)；(2)每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性大小相等．上面三個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有什么共同特點(diǎn)？≠將古典概型中的根本領(lǐng)件的有限性推廣到無(wú)限性，而保存等可能性，就得到幾何概型．1、根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)有限.2、每一個(gè)根本領(lǐng)件都是等可能發(fā)生的．古典概型的本質(zhì)特征：幾何概型的特點(diǎn)：〔1〕試驗(yàn)的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè),〔2〕每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的發(fā)生是等可能的.古典概型與幾何概型之間的聯(lián)系:試驗(yàn)1：取一個(gè)矩形，在面積為四分之一的局部畫上陰影，隨機(jī)地向矩形中撒一把芝麻〔以數(shù)100粒為例〕，假設(shè)每一粒芝麻落在正方形內(nèi)的每一個(gè)位置的可能性大小相等.統(tǒng)計(jì)落在陰影內(nèi)的芝麻數(shù)與落在矩形內(nèi)的總芝麻數(shù)，觀察它們有怎樣的比例關(guān)系？

A分析:由于區(qū)域A的面積是正方形面積的1／4,因此大約有1／4的芝麻(25個(gè))落在陰影局部A內(nèi)落在區(qū)域A內(nèi)的芝麻數(shù)落在正方形內(nèi)的芝麻數(shù)≈區(qū)域A的面積正方形的面積通過計(jì)算機(jī)做模擬試驗(yàn),不難得出下面的結(jié)論:一般地,在向幾何區(qū)域D中隨機(jī)地投一點(diǎn),記事件A為“該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”,那么事件A發(fā)生的概率為:P(A)=區(qū)域d的面積(長(zhǎng)度或體積)區(qū)域D的面積(長(zhǎng)度或體積)注:利用這個(gè)定理可以求出不規(guī)那么圖形的面積、體積.Dd用模擬方法估計(jì)圓周率的值yx01-11-1根本思想:先作出圓的外切正方形,再向正方形中隨機(jī)地撒芝麻,數(shù)出落在圓內(nèi)的芝麻數(shù)和落在正方形中的芝麻數(shù),用芝麻落在圓內(nèi)的頻率來估計(jì)圓與正方形的面積比,由此得出π的近似值.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之早在1500多年前就算出圓周率π的值在3.1415926和3.1415927之間，這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的一大成就，請(qǐng)問你知道祖沖之是怎樣算出π的近似值的嗎？≈正方形的面積=落在區(qū)域A內(nèi)的芝麻數(shù)落在正方形內(nèi)的芝麻數(shù)

圓的面積問題：如果正方形面積不變，但形狀改變，所得的比例發(fā)生變化嗎？每個(gè)事件發(fā)生的概率只與該事件區(qū)域的長(zhǎng)度〔面積或體積〕有關(guān)，與圖形的形狀無(wú)關(guān).例1某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他翻開收音機(jī)，想聽電臺(tái)報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率.解：設(shè)A={等待的時(shí)間不多于10分鐘}，事件A恰好是翻開收音機(jī)的時(shí)刻位于[50，60]分鐘時(shí)間段內(nèi)，因此由幾何概型的概率公式得P〔A〕=〔60-50〕/60=1/6“等待報(bào)時(shí)的時(shí)間不超過10分鐘”的概率為1/6.例題講解：例2．在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM小于AC的概率．C′ACBM解：在AB上截取AC′＝AC，故AM＜AC的概率等于AM＜AC′的概率．記事件A為“AM小于AC”，答：AM＜AC的概率為結(jié)論試驗(yàn)的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度例3、小明家的晚報(bào)在下午5：30～6：30之間的任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地被送到，小明一家人在下午6：00～7：00之間的任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地開始晚餐.〔1〕你認(rèn)為晚報(bào)在晚餐開始之前被送到和在晚餐開始之后被送到哪一種可能性更大？〔2〕求晚報(bào)在晚餐開始之前被送到的概率是多少?〔1〕設(shè)計(jì)一個(gè)模擬方案

晚報(bào)在5:00～6:00之間送到，或晚餐在6：30～7：00之間開始，這兩種情況都使得晚報(bào)的送達(dá)在晚餐開始之前，因此晚報(bào)在晚餐開始之前被送到的可能性更大.我們用模擬方法來估計(jì)晚報(bào)在晚餐開始之前被送到的概率:用兩個(gè)轉(zhuǎn)盤來模擬上述過程，一個(gè)轉(zhuǎn)盤用于模擬晚報(bào)的送達(dá)，另一個(gè)轉(zhuǎn)盤用于模擬晚餐，兩個(gè)轉(zhuǎn)盤各轉(zhuǎn)動(dòng)一次并記錄下結(jié)果就完成一次模擬.〔2〕理論上的精確值:7/8=0.875如果小明家的晚報(bào)在下午5：45～6：45之間的任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地被送到，小明一家人在下午6：00～7：00之間的任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地開始晚餐.你認(rèn)為晚報(bào)在晚餐開始之前被送到可能性是變大了還是變小了呢？變小了有一杯1升的水，其中含有1個(gè)細(xì)菌，用一個(gè)小杯從這杯水中取出0.1升，求小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率.分析：細(xì)菌在這升水中的分布可以看作是隨機(jī)的，取得0.1升水可作為事件的區(qū)域.解：“取出的0.1升水中含有這個(gè)細(xì)菌”這一事件記為A,那么結(jié)論:試驗(yàn)的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的體積構(gòu)成事件A的區(qū)域的體積1.幾何概型是區(qū)別于古典概型的又一概率模型，使用幾何概型的概率計(jì)算公式時(shí)，一定要注意其適用條件：每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度〔面積或體積〕成正比例，而與事件的位置及形狀無(wú)關(guān)；2.幾何概型的兩個(gè)特點(diǎn):根本領(lǐng)件是無(wú)限的