§3-模擬方法-概率的應(yīng)用

§3模擬方法—概率的應(yīng)用1.會用模擬方法估計概率,近似計算不規(guī)那么圖形的面積,求π的近似值;2.通過解決具體問題的實例感受,體會模擬方法的根本思想,學(xué)會依據(jù)隨機試驗的試驗結(jié)果設(shè)計合理的模擬方法,通過模擬試驗加深對隨機事件頻率的隨機性和概率的穩(wěn)定性的認識以及用頻率去估計概率的方法;3.通過模擬方法的設(shè)計體驗數(shù)學(xué)的重要性和信息技術(shù)帶給數(shù)學(xué)的幫助;通過動手模擬,動腦思考,體會做數(shù)學(xué)題的樂趣,提高學(xué)習(xí)興趣;通過合作試驗,培養(yǎng)學(xué)生愿意合作與交流的團隊精神，情感態(tài)度與價值觀增強.本節(jié)課的主要特點是隨機試驗多，學(xué)習(xí)時養(yǎng)成勤學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣.重點與難點：幾何概型的概念、公式及應(yīng)用.1、知識回憶：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩種計算事件發(fā)生的概率的方法:〔1〕通過試驗方法得到事件發(fā)生的頻率,來估計概率.(一種近似估計,需通過大量重復(fù)試驗)〔2〕用古典概型的公式來計算概率.(僅適用于根本領(lǐng)件為有限個的情況)在概率論開展的早期，人們就已經(jīng)注意到只考慮那種僅有有限個等可能結(jié)果的隨機試驗是不夠的，還必須考慮有無限多個試驗結(jié)果的情況.常常會遇到試驗的所有可能結(jié)果(即根本領(lǐng)件)為無窮多的情況,且這無窮多個根本領(lǐng)件保持這古典概型的“等可能性”.這時用大量試驗的方法很難獲得一個符合要求的概率,也不能用古典概型的方法求解.例如一個人到單位的時間可能是8：00至9：00之間的任何一個時刻；往一個方格中投一個石子，石子可能落在方格中的任何一點……這些試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果都是無限多個.那怎么辦呢?請觀察以下問題并思考如何確定其概率?問題1：如下圖在邊長為a的正方形內(nèi)有一個不規(guī)那么的陰影局部，那么怎樣求這陰影局部的面積呢？問題2:一個人上班的時間可以是8:00～9:00之間的任一時刻，那么他在8:30之前到達的概率是多大呢？問題3:在邊長為a的正方形內(nèi)有一個半徑為0.5的圓.向正方形內(nèi)隨機地投石頭，那么石頭落在圓內(nèi)的概率是多大呢？帶著上述的問題，我們開始學(xué)習(xí)新的內(nèi)容——模擬方法與概率的應(yīng)用.問題1：射箭比賽的箭靶涂有五個彩色得分環(huán)，從外向內(nèi)為黑色、白色、藍色、紅色，靶心為黃色,靶面直徑為122cm，靶心直徑為12.2cm，運發(fā)動在70m外射擊．假設(shè)射箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)任意一點都是等可能的，那么射中黃心的概率有多大？122cm〔1〕試驗中的根本領(lǐng)件是什么？射中靶面上每一點都是一個根本領(lǐng)件,這一點可以是靶面直徑為122cm的大圓內(nèi)的任意一點.〔2〕每個根本領(lǐng)件的發(fā)生是等可能的嗎？〔3〕符合古典概型的特點嗎？問題2:取一根長度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不小于1m的概率有多大？3m〔1〕試驗中的根本領(lǐng)件是什么？〔2〕每個根本領(lǐng)件的發(fā)生是等可能的嗎？〔3〕符合古典概型的特點嗎？從每一個位置剪斷都是一個根本領(lǐng)件,剪斷位置可以是長度為3m的繩子上的任意一點.問題3:

有一杯1升的水，其中漂浮有1個微生物，用一個小杯從這杯水中取出0.1升，求小杯水中含有這個微生物的概率.〔1〕試驗中的根本領(lǐng)件是什么？〔2〕每個根本領(lǐng)件的發(fā)生是等可能的嗎？〔3〕符合古典概型的特點嗎？微生物出現(xiàn)的每一個位置都是一個根本領(lǐng)件,微生物出現(xiàn)位置可以是1升水中的任意一點.(1)一次試驗的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個；(2)每個結(jié)果發(fā)生的可能性大小相等．上面三個隨機試驗有什么共同特點？≠將古典概型中的根本領(lǐng)件的有限性推廣到無限性，而保存等可能性，就得到幾何概型．1、根本領(lǐng)件的個數(shù)有限.2、每一個根本領(lǐng)件都是等可能發(fā)生的．古典概型的本質(zhì)特征：幾何概型的特點：〔1〕試驗的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個,〔2〕每個試驗結(jié)果的發(fā)生是等可能的.古典概型與幾何概型之間的聯(lián)系:試驗1：取一個矩形，在面積為四分之一的局部畫上陰影，隨機地向矩形中撒一把芝麻〔以數(shù)100粒為例〕，假設(shè)每一粒芝麻落在正方形內(nèi)的每一個位置的可能性大小相等.統(tǒng)計落在陰影內(nèi)的芝麻數(shù)與落在矩形內(nèi)的總芝麻數(shù)，觀察它們有怎樣的比例關(guān)系？

A分析:由于區(qū)域A的面積是正方形面積的1／4,因此大約有1／4的芝麻(25個)落在陰影局部A內(nèi)落在區(qū)域A內(nèi)的芝麻數(shù)落在正方形內(nèi)的芝麻數(shù)≈區(qū)域A的面積正方形的面積通過計算機做模擬試驗,不難得出下面的結(jié)論:一般地,在向幾何區(qū)域D中隨機地投一點,記事件A為“該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域d內(nèi)”,那么事件A發(fā)生的概率為:P(A)=區(qū)域d的面積(長度或體積)區(qū)域D的面積(長度或體積)注:利用這個定理可以求出不規(guī)那么圖形的面積、體積.Dd用模擬方法估計圓周率的值yx01-11-1根本思想:先作出圓的外切正方形,再向正方形中隨機地撒芝麻,數(shù)出落在圓內(nèi)的芝麻數(shù)和落在正方形中的芝麻數(shù),用芝麻落在圓內(nèi)的頻率來估計圓與正方形的面積比,由此得出π的近似值.我國古代數(shù)學(xué)家祖沖之早在1500多年前就算出圓周率π的值在3.1415926和3.1415927之間，這是我國古代數(shù)學(xué)家的一大成就，請問你知道祖沖之是怎樣算出π的近似值的嗎？≈正方形的面積=落在區(qū)域A內(nèi)的芝麻數(shù)落在正方形內(nèi)的芝麻數(shù)

圓的面積問題：如果正方形面積不變，但形狀改變，所得的比例發(fā)生變化嗎？每個事件發(fā)生的概率只與該事件區(qū)域的長度〔面積或體積〕有關(guān)，與圖形的形狀無關(guān).例1某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他翻開收音機，想聽電臺報時，求他等待的時間不多于10分鐘的概率.解：設(shè)A={等待的時間不多于10分鐘}，事件A恰好是翻開收音機的時刻位于[50，60]分鐘時間段內(nèi)，因此由幾何概型的概率公式得P〔A〕=〔60-50〕/60=1/6“等待報時的時間不超過10分鐘”的概率為1/6.例題講解：例2．在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點M，求AM小于AC的概率．C′ACBM解：在AB上截取AC′＝AC，故AM＜AC的概率等于AM＜AC′的概率．記事件A為“AM小于AC”，答：AM＜AC的概率為結(jié)論試驗的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度構(gòu)成事件A的區(qū)域長度例3、小明家的晚報在下午5：30～6：30之間的任何一個時間隨機地被送到，小明一家人在下午6：00～7：00之間的任何一個時間隨機地開始晚餐.〔1〕你認為晚報在晚餐開始之前被送到和在晚餐開始之后被送到哪一種可能性更大？〔2〕求晚報在晚餐開始之前被送到的概率是多少?〔1〕設(shè)計一個模擬方案

晚報在5:00～6:00之間送到，或晚餐在6：30～7：00之間開始，這兩種情況都使得晚報的送達在晚餐開始之前，因此晚報在晚餐開始之前被送到的可能性更大.我們用模擬方法來估計晚報在晚餐開始之前被送到的概率:用兩個轉(zhuǎn)盤來模擬上述過程，一個轉(zhuǎn)盤用于模擬晚報的送達，另一個轉(zhuǎn)盤用于模擬晚餐，兩個轉(zhuǎn)盤各轉(zhuǎn)動一次并記錄下結(jié)果就完成一次模擬.〔2〕理論上的精確值:7/8=0.875如果小明家的晚報在下午5：45～6：45之間的任何一個時間隨機地被送到，小明一家人在下午6：00～7：00之間的任何一個時間隨機地開始晚餐.你認為晚報在晚餐開始之前被送到可能性是變大了還是變小了呢？變小了有一杯1升的水，其中含有1個細菌，用一個小杯從這杯水中取出0.1升，求小杯水中含有這個細菌的概率.分析：細菌在這升水中的分布可以看作是隨機的，取得0.1升水可作為事件的區(qū)域.解：“取出的0.1升水中含有這個細菌”這一事件記為A,那么結(jié)論:試驗的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的體積構(gòu)成事件A的區(qū)域的體積1.幾何概型是區(qū)別于古典概型的又一概率模型，使用幾何概型的概率計算公式時，一定要注意其適用條件：每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度〔面積或體積〕成正比例，而與事件的位置及形狀無關(guān)；2.幾何概型的兩個特點:根本領(lǐng)件是無限的