人教版八年級數(shù)學(xué)下冊全冊同步教案 第18章 平行四邊形

18.1平行四邊形

18.1.1平行四邊形的性質(zhì)

第1課時平行四邊形的邊、角的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

【知識與技能】

理解平行四邊形和兩條平行線之間的距離的概念，掌握平行四邊形的邊、角的性質(zhì).

【過程與方法】

通過生活實例引出平行四邊形的概念，經(jīng)歷探究活動掌握平行四邊形邊、角的性質(zhì).

【情感態(tài)度與價值觀】

經(jīng)歷“實驗一猜想一驗證一證明”的過程，發(fā)展學(xué)生的思維.

二、重難點目標(biāo)

【教學(xué)重點】

理解平行四邊形和兩條平行線之間的距離的概念，掌握平行四邊形的邊、角的性質(zhì).

【教學(xué)難點】

利用平行四邊形邊、角的性質(zhì)解決問題.

教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題

【5min閱讀】閱讀教材P41?P43的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

[3min反饋】

I.(1)兩組對邊分別平行的四邊形叫做包四邊形.

(2)平行四邊形的對邊相等:平行四邊形的對角相等.

2.如果兩條直線平行，那么一條直線上所有的點到另一條直線的距離都桓簧一兩條平

行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離.

3.證明平行四邊形的對邊相等，對角相等.

解：已知：如圖，四邊形ABC。是平行四邊形.

求證：AB^CD,BC=DA,NB=ND,/A=NC

AD

RC

證明：連結(jié)4C.

?/四邊形ABCD是平行四邊形,

J.AB∕∕CD,AD//BC,

ΛZ1=Z2,Z3=Z4.

Z1=Z2,

在aA8C和△（7%中，＜AC=CA,

∕3=N4,

二∕?ABC^△CDA（ASA）,

二AB=CZλBC=DA,/B=ND

又；/1=/2,/3=/4,

二/1+/4=/2+/3,

即NBAD=ZDCB.

教師點撥：解決平行四邊形問題可以連結(jié)對角線.

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題

活動1小組討論（師生對學(xué)）

（一）平行四邊形的邊、角性質(zhì)

【例1】如圖，點G、E、F分別在平行四邊形ABCD的邊AD、DC和BC上，DG=DC,

CE=CF,點P是射線GC上一點，連結(jié)FP、EP.求證：FP=EP.

AGD

T

【互動探索】（引發(fā)學(xué)生思考）要證明線段相等可以考慮證明它們所在的兩個三角形全等,

已知條件中有一組邊相等，并且有一組公共邊，只需找它們的夾角相等.

【證明】???四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD//BC,

：.ΛDGC=AGCB.

DG=DC,

???NQGC=NOCG,

：.ZDCG=ZGCB.

?√ZDCG+NECP=I80°,NGC8+ZFCP=180°,

/.ZECP=ZFCP.

CF=CE,

?：??PCF??PCE中，＜NFCP=NECP,

CP=CP9

Λ?PCF^?PCE（SAS）,

：.PF=PE.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）本題的綜合性比較強(qiáng)，利用平行四邊形的性質(zhì)，等

腰三角形的性質(zhì)獲得三角形全等的條件，從而應(yīng)用全等三南形的性質(zhì)得到線段相等.

（二）平行線間的距離

【例2】如圖，已知點E、F在∕∣上，點G、”在/2上，試說明aEGO與4F40

的面積相等.

【互動探索】（引發(fā)學(xué)生思考）結(jié)合平行線間的距離相等和三南形的面積公式即可證明.

【證明】,.?ιl∕∕ι2,

點E、尸到/2之間的距離相等.

設(shè)點瓜F到/2的距離相等為力，

則SAEGH=]GH?/?,SAFGH=]G∕∕?∕?,

:,SAEGH=SAFGH,

?'?S^EGH-SΛGOH-SΛFGH-SΔGOH，

:,SAEGO=SAFHO.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）解題的關(guān)鍵是明確三角形的中線把三角形的面積等

分成了相等的兩部分，同底等高的兩個三南形的面積相等.

活動2鞏固練習(xí)（學(xué)生獨學(xué)）

1.已知平行四邊形ABCO中，ZA=IlO0,則NB的度數(shù)為（D）

A.IlOoB.100°

C.80oD.70°

2.如圖所示，在平行四邊形ABCQ中，EF/∕BC,GH//AB,EF、G”相交于點。，圖

中共有平行四邊形的個數(shù)為2.

3.己知平行四邊形相鄰兩個內(nèi)角相差40。，則該平行四邊形中較小內(nèi)角的度數(shù)是久以

4.如圖所示，已知直線機(jī)〃〃，A、B為直線〃上兩點，C、P為直線m上兩點.

（1）請寫出圖中面積相等的三角形：XABC和△"/＞；XAeP和ABCP;XAoC知ABoP.

（2）如果A、B、C為三個定點，點P在加上移動，那么無論P(yáng)點移動到任何位置，總有

AABP與XABC的面積相等，理由是同底等高的三角形面積相等.

C

in

AR"

活動3拓展延伸（學(xué)生對學(xué)）

【例3】如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=2AD,M為AB的中點，連結(jié)。M、MC,

試問直線DM和MC有何位置關(guān)系？請證明.

AMB

【互動探索】由AB=2AD,M是AB的中點，可得出。M、CM分別是NA。C與NBCO

的平分線，又由平行線的性質(zhì)可得NAOC+NBC￡>=180。，進(jìn)而可得出OM與MC的位置關(guān)

系.

【解答】。M與Me互相垂直.證明如下：

YM是AB的中點，

.?AB=2AM.

^5L"JAB=IAD,

：.AM=AD,

/AOM=ZAMD.

?：四邊形ABCD為平行四邊形，

.?AB∕∕CD,

：.ZAMD=NMDC,

：.NAOM=NMDC,

即NMQC=T/AQC.

同理，NMCD=，BCD.

?/四邊形ABCD為平行四邊形，

：.AD//BC,

.?.∕BCD+∕AOC=I80。，

/.ZΛ∕DC+ZMCD=∣ZBCD+∣ZADC=90o,

/.NDWC=90。，

.?.OΛ∕與MC互相垂直.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）判斷兩直線的位置關(guān)系一般是證明兩直線平行或垂

直，平行就找角相等或互補(bǔ)，垂直就找角互余.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

(學(xué)生總結(jié)，老師點評)

1.平行四邊形的定義

兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

2.平行四邊形的邊和角的性質(zhì)

平行四邊形的對邊相等，平行四邊形的對角相等.

3.平行線之間的距離

(1)如果兩條直線平行，那么一條直線上所有的點到另一條直線的距離都相等.

(2)兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間

的距離.

練習(xí)設(shè)計

請完成本課時對應(yīng)練習(xí)！

第2課時平行四邊形的對角線的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

【知識與技能】

掌握平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì).

【過程與方法】

通過探究、猜想、證明平行四邊形的對角線的性質(zhì)的過程，培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的能力.

【情感態(tài)度與價值觀】

培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力和邏輯思維能力，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

二、重難點目標(biāo)

【教學(xué)重點】

掌握平行四邊形的對角線的性質(zhì).

【教學(xué)難點】

利用平行四邊形對角線互相平分解決有關(guān)問題.

教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題

【5min閱讀】閱讀教材?P43?P44的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

[3min反饋】

1.平行四邊形的對角線互相平分.

2.完成教材P44的問題：證明平行四邊形對角線互相平分.

已知：如圖，D4BC。的對角線AC、8。相交于點Q

求證：OA=OC,OB=OD.

ΛD

證明：:四邊形ABCO是平行四邊形，.?AD=BC,AD∕∕BC9ΛZ1=Z2,N3=N4.

ΛΔC0B（ASA）,.?OA=OCfOB=OD.

3.如圖，若平行四邊形的兩條對角線長分別為6cm和16cm,則下列長度的線段可作

為平行四邊形邊長的是（B）

A.5cmB.8cm

C.12cmD.16cm

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題

活動1小組討論（師生互學(xué)）

［例1］如圖，在O4BC。中，A8=10,AD=S,ACj_BC.求BC、CD、AC.OA的長

以及2BCQ的面積.

【互動探索】（引發(fā)學(xué)生思考）根據(jù)平行四邊形邊、對角線的長度求所求線段的長，根據(jù)

S口ABCD=BCAC求解.

【解答】,??四邊形ABCD是平行四邊形，

：.BC=AD=S.CD=AB=IO.

XVΛC±BC,,ZVLBC是直角三角形，

ΛAC=y∣AB2-BC2=√102-82=6.

又TOA=OC,.?.O4=］AC=3,

S□ABCD=BC?AC=8X6=48.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）平行四邊形的面積=底X高.利用平行四邊形邊、

對角線的性質(zhì)是求對應(yīng)線長度的常用方法.

【例2】如圖，QABC。的周長為60cm,對角線AC、80相交于點0,AAOB的周長

比△力04的周長長5cm,求這個平行四邊形各邊的長.

A-------------斗

【互動探索】（引發(fā)學(xué)生思考）平行四邊形周長為60cm,即相鄰兩邊之和為30cm.AA0B

的周長比AOOA的周長長5cm,而Ao為公共邊，08=0,因而由題可知AB比A。長5cm,

進(jìn)一步解答即可.

【解答】：四邊形ABCD是平行四邊形，

.".OB=OD,AB=CD,AD=BC.

,：∕?AOB的周長比aOOA的周長長5cm,

.,.AB~AD=5cm.

又；UABCD的周長為60cm,

ΛAfi+ΛD=30cm,

,3525

則rιAB=C￡）=丁cm,AD-BC=~γcm.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）平行四邊形被兩條對角線分成四個小三角形，相鄰

兩個三角形的周長之差等于鄰邊邊長之差.

活動2鞏固練習(xí)（學(xué)生獨學(xué)）

1.平行四邊形具有的特征是（C）

A.四個角都是直角B.對角線相等

C.對角線互相平分D.四邊相等

2.如圖，如果SBCD的周長為40cm,Z?A8C的周長為25cm,則對角線AC的長是

（A）

C.6cmD.16cm

3.在&48C。中，點。是對角線AC、BD的交點，AC垂直于BC,且AB=IOCm,AD

=8cm,貝!]OC=3cm.

A1.____—［）

vC

4.如圖，SBC。中，。為對角線AC和BO的交點，BEA.AC,DFA,AC,垂足分別

為E、F.求證：OE=OF.

W

AR

證明：：四邊形ABCQ是平行四邊形，

.'.OB=OD.

）1."：BELAC,DF±AC,

.?.NOEB=NOFD.

又NBoE=/DOF,

.".?BOE^?DOF.

：.OE=OF.

活動3拓展延伸（學(xué)生對學(xué)）

【例3】如圖，平行四邊形A8C。的對角線相交于點O,∩,AB≠AD,過。作OEJ_BD,

交BC于點E,若aCDE的周長為10,則平行四邊形ABCD的周長是多少？

AD

BF.C

【互動探索】由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD,BC=AD,OB=OD,再根據(jù)線段垂

直平分線的性質(zhì)得出BE=DE,由△€1）￡?的周長得出SC+CD=10,即可求由平行四邊形

ABCD的周長.

【解答】；四邊形ABC。是平行四邊形，

.'.AB=CD,BC=AD,OB=OD.

"：OElBD,

：.BE=DE.

的周長為10,

，DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=IO,

二平行四邊形ABCD的周長=2（2C+CZ））=20.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、線段垂直平分線的

性質(zhì)以及三角形、平行四邊形周長的計算；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計算

是解決問題的關(guān)鍵.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

（學(xué)生總結(jié)，老師點評）

'邊：對邊相等

平行四邊形的性質(zhì),角：對角相等

.對角線：對角線互相分

練習(xí)設(shè)計

請完成本課時對應(yīng)練習(xí)！

18.1平行四邊形

18.1.2平行四邊形的判定

第1課時平行卬邊形的捌定

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

【知識與技能】

理解平行四邊形的判定定理，會證明這些判定定理.

【過程與方法】

經(jīng)歷平行四邊形的判定定理的探索過程，在探究活動中發(fā)展學(xué)生的合情推理意識.

【情感態(tài)度與價值觀】

在運(yùn)用平行四邊形的判定定理解決問題的過程中，進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能

力和推理論證的幾何表達(dá)能力.

二、重難點目標(biāo)

【教學(xué)重點】

平行四邊形的判定定理.

【教學(xué)難點】

利用平行四邊形的判定定理解決相關(guān)問題.

教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題

[5min閱讀】閱讀教材P45~P47的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

【3min反饋】

1.平行四邊形的判定定理：

(1)兩組對邊分別拒差的四邊形是平行四邊形.

(2)兩組對角分別也差的四邊形是平行四邊形.

(3)對角線相互上會的四邊形是平行四邊形.

(4)一組對邊平行且擔(dān)筌的四邊形是平行四邊形.

2.如圖，在下列四個選項中，能判定四邊形ABCZ)是平行四邊形的是(D)

A.AB=CD,AD//BCB.AB//DC,NA=NB

C.AB//DC,AD=BCD.AB//DC,AB=DC

3.如圖，已知AB〃CD,添加一個條件A8=CQ(答案不唯一),使得四邊形ABCz)為平

行四邊形.

4.已知：E、尸是平行四邊形ABCO對角線AC上的兩點，并且AE=CF.

求證：四邊形BFDE是平行四邊形.

證明：：四邊形ABa）是平行四邊形，

，AO〃BCJ1AD=BC,

：.NEAD=NFCB,

AE=CF,

在△%￡：￡）和ACFB中，＜/EAO=/FCB,

AD=BC,

ΔAED^ΔCFB（SAS）,

IDE=BF.

同理可證，BE=DF,

.?.四邊形BFDE是平行四邊形.

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題

活動1小組討論（師生對學(xué)）

【例1】如圖，E、尸是四邊形ABC。的對角線AC上的兩點，AF=CE,DF=BE,DF

//BE,四邊形ABCD是平行四邊形嗎？請說明理由.

【互動探索】（引發(fā)學(xué)生思考）證明絲ACEBfAO=C8,乙DAF=乙BCE-ADH

CB,根據(jù)“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可證出結(jié)論.

【解答】四邊形ABC。是平行四邊形.理由如下：

?.?DF//BE,：.ZAFD=ZCEB.

XVAF=CE,DF=BE,

：.ΔAFD^ACEB（SAS）,

J.AD=^CB,NDAF=NBCE,

.'.AD//CB,

二四邊形ABCD是平行四邊形.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）此題主要考查了平行四邊形的判定，以及三角形全

等的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件證出△人萬絲△CEB.

［例2］如圖，AB,CD相交于點0,AC//DB,A0=B0,E、尸分別是OC、OD中點.求

證：

(l)?A<9C^?B0D;

(2)四邊形AFBE是平行四邊形.

【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)(1)利用已知條件和全等三角形的判定方法即可證明440C

絲Z?B0Q;(2)此題已知AO=BO,要證四邊形AFBE是平行四邊形，利用全等三角形的性

質(zhì)，只需證OE=OF.

【證明】(1)：AC〃B。,

.?.NC=/D

'NAOC=NBOD,

在440C和ABO力中，；NC=ND,

AO=BO,

：.?AOC^?BOD(AAS).

(2)V?AOC^ΔfiOD,

.'.CO=DO.

,：E.F分別是0C、0。的中點，

OE=^OC,OF=2OD,

IEO=FO.

又,：AO=B0,

二四邊形A尸BE是平行四邊形.

【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)在應(yīng)用判定定理判定平行四邊形時，應(yīng)仔細(xì)觀察題

目所給的條件，仔細(xì)選擇適合于題目的判定方法進(jìn)行解答，避免混用判定方法.熟練掌握平

行四邊形的判定定理是解決問題的關(guān)鍵.

活動2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨學(xué))

1.如圖，點E、F是28C。對角線上兩點，在條件：①DE=BF;②/AOE=NCBF;

③AF=CE;④NAEB=NCF。中，要使四邊形CEBF是平行四邊形,可添加的條件是(D)

A.①②③B.①②④

C.①③④D.②③④

2.如圖，AO=OC,Bo=I6cm,則當(dāng)OB=&cm時，四邊形ABC。是平行四邊形.

3.如圖所示，在四邊形ABCO中，AD//CB,且AO>BC,BC=6cm,動點尸、Q分

別從A、C同時出發(fā),P以1cm/s的速度由八向。運(yùn)動，Q以2cm/s的速度由C向8運(yùn)動，

則2_秒后，四邊形ABQP為平行四邊形.

4.如圖，四邊形ABCO中，AD//BC,AE_L4。交BZ）于點E,CFLBC交BD于點、F,

且AE=C凡求證：四邊形ABC。是平行四邊形.

T正明：'.,AE±AD,CF±BC,

：.ZEAD=ZFCB=90o.

'：AD//BC,：.ZADE=ZCBF.

在Rt?ΛED和Rt?CFB中,

'NADE=NCBF,

?.?<NEAD=NFCB=90。,

AE^CF,

：.Rt∕?AED^Rt^CFB,

.?AD^BC.

■:又AD//BC,

四邊形ABC。是平行四邊形.

活動3拓展延伸（學(xué)生對學(xué)）

【例3】如圖，在直角梯形A8C。中，AD//BC,/8=90。，AG〃C。交BC于點G,

點E、F分別為4G、CO的中點，連結(jié)￡>E、FG.

⑴求證：四邊形OEG尸是平行四邊形；

（2）如果點G是BC的中點，且BC=I2,DC=IO,求四邊形AGCz）的面積.

【互動探索】（1）證明四邊形AGC。是平行四邊形，推出CZ）=AG,推出EG=O尸，EG

//DF,根據(jù)平行四邊形的判定推出即可；(2)由點G是BC的中點，得到BG=CG=TBC,

根據(jù)四邊形AGCZ)是平行四邊形可知AG=OC,根據(jù)勾股定理求出AB的長，進(jìn)而求出四邊

形AGCD的面積.

【解答】(1)證明：：AG〃OC,AD//BC,

；?四邊形AGCo是平行四邊形，.?.AG=OC

；E、F分別為AG、OC的中點，

ΛfG=∣AG,DF=^DC,

J.EG=DF.

又，：EG〃DF,

：.四邊形DEGF是平行四邊形.

(2)：點G是BC的中點，BC=12,

ΛBG=CG=∣BC=6.

：四邊形AGCZ)是平行四邊形，Z)C=I0,

AAG=DC=IO.

在RtAABG中，根據(jù)勾股定理，得AB=8,

四邊形AGCD的面積為6×8=48.

【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，

平行四邊形的面積，掌握定理是解題的關(guān)鍵.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

(學(xué)生總結(jié)，老師點評)

平行四邊形的判定定理：

(1)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

(2)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

(3)對角線相互平分的四邊形是平行四邊形.

(4)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

練習(xí)設(shè)計

請完成本課時對應(yīng)練習(xí)！

第2課時三角形的中住線

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

【知識與技能】

1.理解并掌握三角形的中位線的定義及其性質(zhì)定理.

2.能夠利用三角形的中位線定理解決有關(guān)的問題.

【過程與方法】

經(jīng)歷探索三角形中位線性質(zhì)定理的證明過程，體會轉(zhuǎn)化的思想方法，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生操

作、觀察、歸納、推理的能力.

【情感態(tài)度與價值觀】

培養(yǎng)合情推理能力，體會在證明過程中所運(yùn)用的歸納、類比、轉(zhuǎn)化等思想方法，激發(fā)學(xué)

習(xí)熱情.

二、重難點目標(biāo)

【教學(xué)重點】

三角形中位線的性質(zhì)定理.

【教學(xué)難點】

利用三角形中位線的性質(zhì)定理解決相關(guān)問題.

教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題

【5min閱讀】閱讀教材P47~P49的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

[3min反饋】

1.連結(jié)三角形兩邊生在的線段叫做三角形的中位線.

2.三角形的中位線定理：三角形的中位線包于三角形的第三邊，并且等于第三邊的

一半.

3.如圖，點。、E分別為BC邊48、AC的中點，求證：DE〃BC且DE=TBC.

證明：如圖，延長。E到F,使EF=DE,連結(jié)CE由題易知，ΔADE^ΔCFE,：.AD

//FC,且AO=FC,：.BD〃FC.又^；D是AB的中點,：.AD=BD,.,.BD=FC,，四邊形

BC尸￡)是平行四邊形.C.DF∕∕BC,DF=BC.義:DE=EF,：.DE〃BC且DE=%C.

教師點撥：此方法是證明三角形中位線定理的另一種方法.

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題

活動1小組討論（師生互學(xué)）

【例1】如圖，為測量池塘邊上兩點4、B之間的距離，小明在池塘的一側(cè)選取一點0,

取OA、OB的中點。、E,測出DE=12米，那么A、B兩點之間的距離是米.

【互動探索】（引發(fā)學(xué)生思考）先判斷出三角形的中位線，再利用三角形中位線定理可得

到AB=2DE,即可求得答案.

【分析】E分別為。4、OB的中點,

，OE為aOAB的中位線，

.?.AB=2OE=24米.

即4、B兩點之間的距離是24米.

【答案】24

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）本題主要考查三角形中位線定理，掌握三角形中位

線平行第三邊且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

【例2】如圖，在AABC中，Aβ=5,AC=3,點N為BC的中點，AM平分NBAC,

CMlAM,垂足為點M,延長CM交AB于點。，求MN的長.

【互動探索】（引發(fā)學(xué)生思考）為證MN為ABC力的中位線，應(yīng)根據(jù)三線合一，得到。M

=MC,即可解決問題.

【解答】TAM平分NBAC,CM±AM,

.?AD=AC=3,DM=CM.

?.'A8=5,.?BD=AB-AD^2.

YN為BC的中點，

：.BN=CN,

JMNgBCD的中位線，

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）當(dāng)已知三角形的一邊的中點時，要注意分析問題中

是否有隱含的中點.如已知一個三角形一邊上的高又是這邊所對角的平分線時，根據(jù)“三線

合一”可知，這實際上是又告訴了我們一個中點.

活動2鞏固練習(xí)（學(xué)生獨學(xué)）

1.如圖，在AABC中，D、E分別為AC、BC的中點，AF平分/C48,交DE于點F.

若DF=3,則4C的長為（C）

3

-3

A.2B.

C.6D.9

2.如圖，C、。分別為E4、EB的中點，NE=30°,/1=110。，則N2的度數(shù)為（A）

A.80oB.90°

C.100°D.IlOo

3.如圖所示，UABC。的對角線AC、BO相交于點0,點、E、F分別是線段A0、BO

的中點，若AC+BO=24厘米，Z?OAB的周長是18厘米，則EF=3J≡米.

4.如圖所示，。是AABC內(nèi)一點，BDlCD,Ao=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H

分別是AB、AC、CD、8。的中點，則四邊形EFG”的周長為U.

5.如圖所示，在BC中，BCAC,點。在BC上，3.DC=AC,NACB的平分線

CF交AO于點凡點E是AB的中點，連結(jié)EF.求證：EF//BC.

證明：：C/平分NACB,DC=AC,CF是44CZ）的中線，；.點尸是AO的中點.；

點E是AB的中點，C.EF∕∕BD,PpEF//BC.

活動3拓展延伸（學(xué)生對學(xué)）

【例3】如圖，E為平行四邊形ABCD中OC邊的延長線上一點，且CE=DC,連結(jié)AE,

分別交BC、BD于點F、G,連結(jié)AC交8。于0,連結(jié)OF,判斷AB與OF的位置關(guān)系和

大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【互動探索】本題可先證明AAB尸名Z?ECF,從而得出BF=CF,這樣就得出了。尸是

△ABC的中位線，從而利用中位線定理即可得出線段OF與線段AB的關(guān)系.

【解答】A8=2OF,且AB〃。尸.證明如下：

四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB=^CD,OA=OC,

：.NBAF=ZCEF,NABF=NECF.

'：CE=DC,CD=AB,/.AB=CE.

.NBAF=NCEF,

：在AABF和aECF中，＜AB=CE,

'NABF=NECF,

：."BFdECF（ASA）,

：.BF=CF.

'：OA=OC,

：.0尸是AABC的中位線，

：.AB=20F,AB//OF.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）本題綜合的知識點比較多，解答本題的關(guān)鍵是判斷

出。尸是4ABC的中位線.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

（學(xué)生總結(jié)，老師點評）

1.三角形的中位線

連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

2.三角形中位線定理

三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.

練習(xí)設(shè)計

請完成本課時對應(yīng)練習(xí)！

18.2特殊的平行四邊形

18.2.1矩形

第1課時矩形的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

【知識與技能】

1.了解矩形的有關(guān)概念，理解并掌握矩形的有關(guān)性質(zhì).

2.理解并掌握直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì).

【過程與方法】

經(jīng)過探索矩形的性質(zhì)的過程，發(fā)展學(xué)生合情推理意識；掌握幾何思維方法.

【情感態(tài)度與價值觀】

經(jīng)歷觀察、比較和應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動，感受數(shù)學(xué)活動充滿了探索性和創(chuàng)造性，體驗發(fā)現(xiàn)的

快樂，并提高應(yīng)用的意識。

二、重難點目標(biāo)

【教學(xué)重點】

理解并掌握矩形的性質(zhì)定理.

【教學(xué)難點】

會用矩形的性質(zhì)定理解決相關(guān)問題.

教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題

【5min閱讀】閱讀教材P52?P53的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

[3min反饋】

1.有一個角是直度的平行四邊形叫做矩形，也就是長方形.

2.矩形是特殊的平行四邊形,具有平行四邊形的所有性質(zhì):矩形的也植都是直角；

矩形的對角線相等.

3.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

4.請用所學(xué)的知識診斷下面的語句，若正確請在括號里打“”，錯誤打"”.

（1）矩形是特殊的平行四邊形，特殊之處就是有一個角是直角.（）

（2）平行四邊形就是矩形.（）

（3）平行四邊形具有的性質(zhì)，矩形也具有.（）

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題

活動1小組討論（師生互學(xué)）

【例I】求證：矩形的對角線相等.

【互動探索】（引發(fā)學(xué)生思考）畫出圖形，寫出已知求證~根據(jù)矩形的性質(zhì)定理1證明三

角形全等f得出結(jié)論.

【解答】已知：如圖，四邊形ABC。是矩形，AC與8。是對角線.

求證：AC=BD.

AD

證明：：四邊形A8C￡＞是矩形，

：.AB=DC,ZABC=ZDCB=90o.

又,：BC=CB,

：.XABgADCB,

.?AC^BD,

即矩形的對角線相等.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）證明兩個三角形全等是證明角相等的常用方法.

【例2】如圖，在RtZ?ABC中，ZBAC=Wo,AO是BC邊上的中線，ED上BC于點D,

交54延長線于點E,若NE=35。，求/8D4的度數(shù).

【互動探索】（引發(fā)學(xué)生思考）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到D4=QB,根據(jù)三角形內(nèi)角和

定理計算即可.

【解答】?.?NE=35°,ED±BC,

：./8=55。.

'：ZBAC=90o,A。是Be邊上的中線，

.?DA=DB,

ΛZB=ZDAB=550,

ΛZBDA=180o-55o-55o=70o.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角

形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

【例3】如圖，在矩形ABC。中，兩條對角線相交于點O,ZAOD=120°,A8=2.5cm,

求矩形對角線的長.

【互動探索】（引發(fā)學(xué)生思考）矩形中含有直南三角形一判斷AB與BD的數(shù)量關(guān)系一需

確定NOD4的度數(shù).

［證明］：四邊形ABCD是矩形，

."C=BZ）（矩形的對角線相等），

OA-OC=^AC,OB-OD=^BD,

：.OA=OD.

'：ZAOD=120%

.?.ZODA=ZOAD=∣×（180°-120o）=30o.

又YND4B=90。（矩形的四個角都是直角），

ΛBD=2AB=2×2.5=5（cm）.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）利用矩形的對角線相等及直角三角形的性質(zhì)是解決

這類問題的關(guān)鍵.

活動2鞏固練習(xí)（學(xué)生獨學(xué)）

I.矩形具有一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（B）

A.對邊相互平行B.對角線相等

C.對角線相互平分D.對角相等

2.如果矩形的兩條對角線所成的鈍角是120。，那么對角線與矩形短邊的長度之比為

（B）

A.3：2B.2：1

C.1.5：1D.1：1

3.如圖，ZXABC中，若乙4CB=90。;，ZB=550,。是AB的中點，則乙ACD=35°.

4.如圖，E、尸分別為矩形4BC。的邊A。和BC上的點，AE=CF,求證：BE=DF.

證明：：四邊形ABCD為矩形，.?AD∕∕BC,Ao=BC.又=AE=CF,：.AD-AE^BC

-CF,即ED=BF.文；ED〃BF,二四邊形BFQE為平行四邊形，；.BE=CF（平行四邊形對

邊相等）.

5.如圖，在AABC中，ZC=90o,。為AB的中點，CD=BC=2,求點。到AC的距

離.

上，

ADB

解：如圖，過Z）作QEJ?AC于點E.YZ?ABC為直角三角形，且。為AB的中點，，CQ

=DB=DA=2又,：CD=BC,；.△￡)BC為等邊三角形，ΛZβ=60o,NA=30°,：.DE=

2AZ）=1,即點D到AC的距離為1.

活動3拓展延伸（學(xué)生對學(xué)）

【例4】如圖，BD為矩形ABCD的一條對角線，延長BC至E,使CE=BD,連結(jié)AE,

若AB=1,ZAEB=15°,求AO的長.

A-____,D

BCE

【互動探索】在RtZ?ABO中，已知A8=l,要求AZ）的長，需先求出BO的長，由矩形

的性質(zhì)及N4EB=15°,即可求得8。的長.

【解答】連結(jié)AC,交BD于點、a

Y四邊形A8CO是矩形，

ΛZACB=90°,DC=AB=1,AC=BD.

?：CE=BD,：.CE=AC

"：ZAEB=15°,

：.∕ACB=2乙4EB=30。.

.?.N。Co=60。.

NDO=CO,

...△￡>C。是等邊三角形.

：.D0=DC=

：.BD=IDO=I.

又,；NBAD=90。,

.".AD=y∣BD2-AB2=y∣3.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）解決本題的關(guān)鍵是應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，將CE=BQ轉(zhuǎn)化

為AC=CE,再結(jié)合三角形的外角性質(zhì)，將NAEB=I5。轉(zhuǎn)化為NACB=30。.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

（學(xué)生總結(jié)，老師點評）

練習(xí)設(shè)計

請完成本課時對應(yīng)練習(xí)!

第2課時矩形的判定

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

【知識與技能】

理解并掌握矩形的判定方法.

【過程與方法】

經(jīng)歷探究矩形的判定方法的過程，使學(xué)生能應(yīng)用矩形定義、判定等知識，解決簡單的證

明題和計算題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的分析能力.

【情感態(tài)度與價值觀】

鼓勵學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，體驗數(shù)學(xué)活動中的探索和創(chuàng)

新，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

二、重難點目標(biāo)

【教學(xué)重點】

矩形的判定方法.

【教學(xué)難點】

利用矩形的判定方法解決有關(guān)問題.

教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題

[5min閱讀】閱讀教材P53~P55的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

【3min反饋】

I.矩形的定義：有一個角是直魚的平行四邊形是矩形.

2.對角線相差的平行四邊形是矩形.

3.有三個角是直更的四邊形是矩形.

4.能夠判斷一個四邊形是矩形的條件是（C）

A.對角線相等

B.對角線垂直

C.對角線互相平分且相等

D.對角線垂直且相等

5.如圖，直線EF〃MN,PQ交EF、MN于A、C兩點，AB,CB、CD.A。分別是N

EAC.ZMCA,NNCA、NMC的平分線.

P

E-A

⑴判斷：AB//_CD.BC//_AD.

（2）四邊形ABCD是（C）

A.菱形B.平行四邊形

C.矩形D.不能確定

（3）AC和BQ有怎樣的大小關(guān)系？為什么？

解：相等.因為矩形的對角線相等.

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題

活動1小組討論（師生互學(xué)）

【例1】求證：有三個角是直角的四邊形是矩形.

【互動探索】（引發(fā)學(xué)生思考）畫出圖形，寫出已知求證一判定兩對直線平行一判定四邊

形是平行四邊形f根據(jù)矩形的定義得證.

【解答】已知：四邊形ABcD中，NA=NB=NC=90。.

求證：四邊形ABCZ）是矩形.

AB

DC

證明：?.?∕A=NB=∕C=90°,

ΛZA+ZB=180o,NB+NC=180°,

.?AD∕∕BC,AB//DC,

.?.四邊形ABC。是平行四邊形.

又?.?∕A=90°,

.?.四邊形ABCO是矩形.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）證明四邊形是矩形可以先證四邊形為平行四邊形.

【例2】如圖，在四邊形ABCO中，對角線AC、8。相交于點0,AB〃C￡>且4B=C￡>,

NBAC=NBDC,求證：四邊形ABCC是矩形.

【互動探索】（引發(fā)學(xué)生思考）由AB〃C。且AB=CDf四邊形ABCD是平行四邊形.結(jié)

合NBAC=NBDC,可用對角線相等的平行四邊形是矩形解決問題.

【解答】'：AB//CD3.AB^CD,

，四邊形A8C。是平行四邊形，NABD=NBDC,

"：NBAC=ZBDC,：./ABD=NBAC,

.,.0A=OB,：.AC=BD,

，平行四邊形4BC。是矩形.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）矩形的判定方法有多種，先證明四邊形是平行四邊

形，再證明平行四邊形是矩形是一種常用的判定方法.

活動2鞏固練習(xí)（學(xué)生獨學(xué)）

1.下列說法錯誤的是（D）

A.有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形

B.矩形的四個角都是直角，并且對角線相等

C.對角線相等的平行四邊形是矩形

D.有兩個角是直角的四邊形是矩形

2.如圖，在四邊形ABC。中，已知AB〃Z）C,AB=OC在不添加任何輔助線的前提下，

要想使該四邊形成為矩形，只需再加上一個條件是NA=90。（答案不唯一）.（填上你認(rèn)為正確

的一個答案即可）

AB

3.如圖，在D43C。中，DE±AB,BFLCD,垂足分別為E、E求證：四邊形BFDE

為矩形.

DFC

□

AEB

證明：：四邊形ABCn為平行四邊形，.,.CD∕∕AB,ZCDE+^DEB=180o.,?,D￡±

AB,：.ZDEB=90o,ΛZCDE=90o.VBF±CD,：.ZBFD=90o,：.NCDE=ZDEB=N

BFD=90°.:.四邊形BFDE為矩形.

4.如圖，在矩形ABCI）中，AD=6,對角線4C與8。交于點O,AElBD,垂足為E,

ED=3BE.求AE的長.

解：；四邊形ABC。是矩形，：.AO=BO=DO=^BD,NBAD=90。.；ED=3BE,：.BE

=OE又?.?AE?LBO,.?.A8=AO..?.AB=AO=BO,即4A80是等邊三角形，，NABO=60°,

.?.ZADB=90o-NA8O=30°.在Rt?ΛED中,；ZADB=30o,ΛAE=∣AD=∣×6=3.

活動3拓展延伸（學(xué)生對學(xué)）

【例3】如圖，在6BCE＞中，對角線AC和8。相交于點O,AABO是等邊三角形,

A8=4.求/34BCQ的面積.

【互動探索】4A30是等邊三角形及已知條件一四邊形ABCD是矩形一求出BC的長,

再由矩形的面積公式即可求解.

【解答】；四邊形ABCQ是平行四邊形,

OA=OC,OB=OD.

：aABO是等邊三角形，

：.OA=OB=AB=4,NB4C=60°,

：.OA=OC=OB=OD=^,

.?.AC=BO=2OA=8,

，四邊形ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形），

NA8C=90。（矩形的四個角都是直角），

由勾股定理，得BC=NAC2-AB?=45

：.DABCD的面積是βC?AB=4√3×4=16√3.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）先通過對角線相等證明此平行四邊形為矩形，再通

過矩形的面積公式求解.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

（學(xué)生總結(jié)，老師點評）

f定義：有三個角是直角的四邊形是矩形

矩形的判定（

對角線：對角線相等的平行四邊形是矩形

練習(xí)設(shè)計

請完成本課時對應(yīng)練習(xí)！

18.2特殊的平行四邊形

18.2.2菱形

第1課時菱形的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

【知識與技能】

了解菱形的有關(guān)概念，理解并掌握菱形的有關(guān)性質(zhì).

【過程與方法】

經(jīng)過探索菱形的性質(zhì)的過程，發(fā)展學(xué)生合情推理意識；掌握兒何思維方法.

【情感態(tài)度與價值觀】

經(jīng)歷觀察、比較和應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動，感受數(shù)學(xué)活動充滿了探索性和創(chuàng)造性，體驗發(fā)現(xiàn)的

快樂，并提高應(yīng)用的意識。

二、重難點目標(biāo)

【教學(xué)重點】

理解并掌握菱形的性質(zhì).

【教學(xué)難點】

用菱形的性質(zhì)解決問題.

教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題

【5min閱讀】閱讀教材P55~P56的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

[3min反饋】

(一)菱形的性質(zhì)

1.有一組鄰邊相差的平行四邊形叫做菱形.