華大新高考聯(lián)盟2023屆高三年級(jí)下冊(cè)4月教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題(新教材卷)真題卷（含答案與解析）

華大新高考聯(lián)盟2023屆高三4月教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng)

數(shù)學(xué)

本試卷共6頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng):

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題；本題共8小題.每小題5分.共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1設(shè)集合A={x|3d_2x-8<0},B={x|y=ln(7x-4)},則4

B=)

B.心.4fIc4

C.x\—<x<2D."ix|—2<x<—

7-4i.2023

（）

2.已知Z=K~^+15—i,則在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（)

(J)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.某老師為了獎(jiǎng)勵(lì)考試成績(jī)優(yōu)異的同學(xué)，在微信群里發(fā)了一個(gè)拼手氣紅包.己知甲、乙、丙三人搶到的紅

211

包金額超過(guò)1元的概率分別為一，一，一，則這三人中至少有兩人搶到的紅包超過(guò)1元的概率為（）

324

4.已知函數(shù)/（x）的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為（）

B.cos4cos-x+cos4sin—x

22

C.sin[4cos-x|+sinf4sin1-xD.cos4coslx4

2224

5.過(guò)點(diǎn)A(2,5)的直線/與函數(shù)=的圖象交于M,N兩點(diǎn)，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，5(5,1),則

X—2

cos(OM+ON,AB)-()

A14屈R7屈「14V29

l\.-------------------------15.--------------------

145145145

6.已知正三棱臺(tái)ABC-44G的上、下底面面積分別為述、9JJ，若44,=回，則該正三棱臺(tái)的外

4

接球的表面積為()

A.40兀B.80兀C.30兀D.60K

22

7.已知雙曲線，一專■=l(a>01>0)左、右焦點(diǎn)分別為片，與，傾斜角為。的直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(”,0)

和點(diǎn)B,其中%=280,5。丄片伝必=g忻閭，若COS9="L則雙曲線C的漸近線方程為

()

5,4

A.y=±2xB.y=±xC.y=±-xD.y=±-x

33

8.若函數(shù)/(力=￡+/+機(jī)85%在［°，+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍為()

e1

A.(-oo,0]B.—00,—C.(fl]D.-00,

22

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.《塵劫記》是元代一部經(jīng)典的古典數(shù)學(xué)著作，里面記載了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：假設(shè)每對(duì)老鼠每月生子

一次，每月生12只，且雌雄各半.1個(gè)月后，有一對(duì)老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2個(gè)月后，每對(duì)老

鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此類推.記每個(gè)月新生的老鼠數(shù)量為劣,每個(gè)月老鼠的總數(shù)量

為b”,數(shù)列{%},zn1jplh的前"項(xiàng)和分別為S“,7；,可知q=12,4=14,%=84也=98,則下列說(shuō)法正

確的是()

78-7

A.4=12x76B.%=2乂76C.$6=2x76-2D."=

3

10.已知函數(shù)“x)=x(x+l)(x—1),過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線/與曲線y=/(x)相切，則與直線/垂直的直線

為()

A.4元-y+2=0B.x-2y+8=0C.x+y-5=0D.2x+4y—3=0

11.已知函數(shù)〃x）=2sin；cos；—2Gcos2；,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.函數(shù)/（x）的最小正周期為6兀

B.（兀,0）是函數(shù)/（x）圖象一個(gè)對(duì)稱中心

C.將函數(shù)/（x）的圖象向右平移2個(gè)單位后得到一個(gè)偶函數(shù)

6

D.函數(shù)/（6在［0,10可上有7個(gè)零點(diǎn)

12.已知拋物線C:x2=2py（p>0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過(guò)點(diǎn)厶（。,。一5）作拋物線C的兩條切線,

\PQ\

切點(diǎn)分別為P，Q，若焉=2,則點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為（）

PA\

5729

A.2729B.273C.V13

3

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若圓G：無(wú)2+y2-4x+2y=0與圓C2：/+y2-8x+10y+16=0交于P,Q兩點(diǎn)，則直線PQ的方

程為.

/24丫

14.已知2x^---展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為256,記展開(kāi)式中的系數(shù)為。，則冬=_______.

I/丿128

15.如圖，已知四棱錐Q—A8CO的底面48CZ）為平行四邊形，M是棱。。上靠近點(diǎn)。的三等分點(diǎn)，N

是BQ的中點(diǎn)，平面AMN交CR于點(diǎn)H,則，器=

16.已知a=ln3，方=log“3,現(xiàn)有如下說(shuō)法：?a<2h；?a+b>3ah,③8一a<—a".則正確的說(shuō)

法有.（橫線上填寫正確命題的序號(hào)）

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17.記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，￡?=〃，且與,心|$+3是等比數(shù)列出｝的前三項(xiàng).

/=113

(1)求打的值；

1

(2)求數(shù)歹!|1-~—+a4n.3\的前n項(xiàng)和Tn.

.。3"+2%"+5J

18.某地區(qū)突發(fā)小型地質(zhì)災(zāi)害，為了了解該地區(qū)受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失，制定合理的補(bǔ)償方案，研究人員經(jīng)

過(guò)調(diào)查后將該地區(qū)所有受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失情況統(tǒng)計(jì)如下圖所示.

(1)求。的值以及所有受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失的平均值：

(2)以頻率估計(jì)概率，若從所有受災(zāi)居民中隨機(jī)抽取4人，記受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失在［2000,4000)的人

數(shù)為X,求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望七(X).

19.已知在一ABC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且

/?cosf—+^4+sin(n+B).-----------=0.

(2)'勺1—cos2c

⑴求csinA的值；

(2)若2SsinC-atanC)=ctanC.且求實(shí)數(shù)丸取值范圍.

20.已知四棱錐S—A3co如圖所示，其中58=6，A5=l,AD=30，

ZABC=ZABS=ZDAB=3ZADC=90°,平面S6A丄平面A3CD，點(diǎn)M在線段A￡＞上，

AM=立，點(diǎn)N在線段SC上.

6

(1)求證：AC丄SM；

(2)若平面AON與平面A8CO所成角的余弦值為圓，求SN的值.

7

22

21.已知橢圓。：3+%=1(。>/?>0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)尸,Q在橢圓C上運(yùn)動(dòng)，且|P冃的最小值為

Ji；當(dāng)點(diǎn)尸不在x軸上時(shí)點(diǎn)尸與橢圓C的左、右頂點(diǎn)連線的斜率之積為

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知直線/：x-2y=0與橢圓C在第一象限交于點(diǎn)A,若NPAQ的內(nèi)角平分線的斜率不存在.探究:

直線PQ的斜率是否為定值，若是，求出該定值；若不是.請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.已知函數(shù)/(xJu/nMlnx-l)-%2

(1)若函數(shù)/(x)在［3,9］上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)，"的取值范圍.

(2)若關(guān)于x的不等式+M4/，(力+1在］,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

參考答案

一、選擇題；本題共8小題.每小題5分.共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1設(shè)集合厶={幻3宀2*-8<0},B={x[y=ln(7x-4)},則4B=()

A.^-x|——<-X<y!B.卜C.<X<2j-D.—2<x<yj-

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意求解集合A,B，進(jìn)而可求AcB.

【詳解】由題意可得：

A=1x|3x2-2x-8<0}=卜|-；<x<2),8={x[y=ln(7x_4)}={x|7x-4>0}={x|x'g},

所以A8={X[T<X<2).

故選：C.

7—4i.2023

2.已知z=7不+1則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

(J)Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)結(jié)合復(fù)數(shù)的除法求復(fù)數(shù)z,進(jìn)而判斷復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限.

2O23

［詳解］vz=-^-^-+i-（5-i）=^-^-+（-i）-（5-i）=1i+2-5i-l=l-|i）

一，1LL

復(fù)數(shù)Z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1,-位于第四象限.

\2丿

故選：D.

3.某老師為了獎(jiǎng)勵(lì)考試成績(jī)優(yōu)異的同學(xué)，在微信群里發(fā)了一個(gè)拼手氣紅包.已知甲、乙、丙三人搶到的紅

包金額超過(guò)1元的概率分別為2,丄，丄，則這三人中至少有兩人搶到的紅包超過(guò)1元的概率為（）

324

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)互斥事件的概率加法公式結(jié)合獨(dú)立事件的概率除法公式分析運(yùn)算.

2111

【詳解】三人搶到的紅包都超過(guò)1元的概率為彳x—x—=一,

32412

21（2x1l1-2x1ll13

三人中僅有兩人搶到的紅包超過(guò)1元的概率為鼻x^x1--+-x1--+x

424

1311

所以三人中至少有兩人搶到的紅包超過(guò)1元的概率為一+—=一.

12824

故選：A.

4.已知函數(shù)/（力的部分圖象如下圖所示，則/（x）的解析式可能為（）

A.cos(4cosx)+cos(4sinx)B.cosI4cos—xl+cosl4sin—x

C.sin[4cos—xj+sinf4sin-1xD.cos4cos1lx4

2224

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)圖象可得出/(x)為偶函數(shù)，且/(0)>0,然后逐項(xiàng)求解判斷，即可得出答

案.

【詳解】由圖象可得，"X)為偶函數(shù)，且〃0)>0,且/仁卜一上

A項(xiàng),若.f(x)=cos(4cosx)+cos(4sinx),貝ij/(一x)=cos(4cos(-x))+cos(4sin(r))

=cos(4cosx)+cos(4sinx)=f(x),

所以/(X)為偶函數(shù).

71

而了cos4cos-+cos4sin—=l+cos4〉0,不滿足題意，故A項(xiàng)錯(cuò)誤;

22

cos(4cos1-x|+cos(4sinL1、

B項(xiàng)，若〃x)=,則/(-X)=cos4cos+cos4sin——X

2227

cos4cos1lxcos4sinl

+=〃x)，

22

所以/(x)為偶函數(shù).

/(())=cos(4cos0)+cos(4sin0)=cos4+1>0,

4sin^]=2cos2夜,

cos4cos—H-COS

I4丿I4J

°

因?yàn)椤?lt;2\/2<7i,所以cos2挺<cos型=—丄，所以-l滿足題意，故B項(xiàng)正確;

332(2丿

(；I(1、

C項(xiàng)，若/(x)=sin4cos%|+sin|4sing%J,則/(一x)=sin4cos——X+sin|4sin|--x

2I2丿II2.

1

=sin(4cos-x|-sin|4sin—x|“X)，

22

所以“可不是偶函數(shù)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤;

cos4cos1lx2

D項(xiàng)，若/(%)=+,則

24

\

cos4coslx3

〃x)=+-=/（X），

II2丿丿4I2

74

所以/（X）為偶函數(shù).

[—|=cos|4cos—|+—=cos25/2+—>-1故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

12丿I4丿44

故選:B.

5.過(guò)點(diǎn)A（2,5）的直線/與函數(shù)/（x）=—^的圖象交于例，N兩點(diǎn)，若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，8（5,1）,則

1—2

cos0M+ON,AB^=()

人14758D7屈147297729

145145145145

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性分析可得A為線段MN的中點(diǎn)，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

【詳解】???〃力=旦m=5-一二,

x-2x-2

可知/（X）是由y=-丄向右平移2個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位得到

X

故A(2,5)函數(shù)/(x)的對(duì)稱中心，則A為線段的中點(diǎn)，

UUL1UUU1UliULU

可得OM+ON=2OA=(4,10),AB=(3,T),

/uuiruum、uun

/uuuruunuun、IOM+ONj-AB_2g14yb

所以cos(OM+ON,AB)=-Wr-uuig，|UUfl-=-T=—=---

\/OM+ON\UB2V29X5145

故選：C.

6.已知正三棱臺(tái)ABC-44G的上、下底面面積分別為為3、9百，若例=而，則該正三棱臺(tái)的外

4

接球的表面積為（）

A.40兀B.80兀C.3（hrD.60兀

【答案】D

【解析】

【分析】先求上、下底面正三角形的邊長(zhǎng)，根據(jù)外接球的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求半徑，即可得結(jié)果.

【詳解】若正三角形的邊長(zhǎng)為。，則其面積為丄a狀且=立〃

224

由題意可得：AB=3,44=6,

取"sc2ABe的外接圓的圓心為正三棱臺(tái)AB。-A4G的外接球的球心a，連接

OA,OO2,O,A,O^,O2A,,過(guò)A作底面的投影M，

可得CM=QM=G,O24=26，則M4t=6,

由A4,=而，可得。Q=他4=屈"■詬=36，

設(shè)外接球的半徑為R,則?A=。A=R,

&=。庁+0。：=3+oo：

R=y/i5

可得《,2，Ir\2,解得，

R-=QA?+0a=12+06-00,)00,=2G'

所以該正三棱臺(tái)的外接球的表面積5=4兀?2=60K.

故選：D.

22

7.已知雙曲線,一點(diǎn)=1（。＞01＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，與，傾斜角為。的直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（a,0）

和點(diǎn)B,其中%=28D,乙。丄耳8，伝。|=＜忻用，若cos8=A且，則雙曲線C的漸近線方程為

262

)

4

A.y=±2xB.y=+xC.y=±-xD.y=±-x

33

【答案】D

【解析】

【分析】由條件分析得：。是的中點(diǎn)，且△片與8是底角為30的等腰三角形，作出簡(jiǎn)圖，根據(jù)正弦定

理可得a、匕的關(guān)系，得出結(jié)果.

【詳解】

由明=2BD,F2D丄耳8可得。是的中點(diǎn)，且△片尸/是以F2為頂點(diǎn)的等腰三角形,

又因?yàn)閬弧Ｉ稀春汩?，所?硏工=30,

BF?AF)2cc—a

在"AF/中,由正弦定理可得就二石岡詢,即為Tsin(60叫，

2c_c-a_c-a

HPsin0sin60cos夕一cos60sing6八1.八，

——cos?！猻in。

22

代入上式化簡(jiǎn)可得：3c=5。，則9c2=25/,則9（巒+〃）=256,解得，=：

4

故漸近線為：y=+—%.

3

故選：D.

8.若函數(shù)/（x）=l+e三+,〃cosx在[°，+8）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.（-oo,0]B.^-oo,.|C.（-oo,l]D.卜0°,；

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得了'（X）NO在[。,+8）上恒成立，構(gòu)建g（x）=r（x）,結(jié)合定點(diǎn)g（o）=o分析運(yùn)算.

_\

2￡

，則/'(x)*e2

【詳解】因?yàn)?(x)=e±+e5+〃2cosx-e-msinx,

X

由題意可得了'（x）=5e，—e5—msinxNO在［0,+a?)上恒成立,

1(_x

構(gòu)建g(x)=/'(x),則F(x)="e2+e2-mcosx

注意到g(o)=o,則g'(o)=]-mNO,解得相A,,

1

若加〈,，則g〈x)=w-mcosx>—xxez-7?zcosx=——mcosx,

4

當(dāng)且僅當(dāng)￡_°弓，即x=0時(shí)，等號(hào)成立,

V-V

若0〈根W一,因?yàn)镃OSX<1,則T篦COSX之TW,

若加<0,因?yàn)閏osx2-l,則一mcosxN-m,

綜上所述：當(dāng)萬(wàn)時(shí)，g'(x)20在［0,+巧上恒成立,

則g(x)在［(),+e)上單調(diào)遞增，可得g(x)2g⑼=0,符合題意；

故實(shí)數(shù)小的取值范圍為.

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法定睛：兩招破解不等式的恒成立問(wèn)題

(1)分離參數(shù)法

第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；

第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；

第三步：根據(jù)要求得所求范圍.

(2)函數(shù)思想法

第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；

第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；

第三步：構(gòu)建不等式求解.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.《塵劫記》是元代一部經(jīng)典的古典數(shù)學(xué)著作，里面記載了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：假設(shè)每對(duì)老鼠每月生子

一次，每月生12只，且雌雄各半.1個(gè)月后，有一對(duì)老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2個(gè)月后，每對(duì)老

鼠各生12只小老鼠，一共98只......以此類推?記每個(gè)月新生的老鼠數(shù)量為4,每個(gè)月老鼠的總數(shù)量

為勿，數(shù)列｛《,｝，｛〃｝的前"項(xiàng)和分別為S“,7；,可知囚=12,4=14,4=84,&=98,則下列說(shuō)法正

確的是（）

78一7

A.4=12x76B.%=2X76C.$6=2x76—2D.Tb=-^-

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)題意分析可得數(shù)列｛凡｝,｛〃｝均為等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列分析運(yùn)算.

【詳解】由題意可得：??+1=12x1^,=6^,^1+1=??+1+bn=7bn,

即2+i=72，且仇=14,

所以數(shù)列也｝是以首項(xiàng)伉=14,公比q=7的等比數(shù)列，則以=14X7"T=2X7",

可得丁:上叱二L

"1-73

當(dāng)〃》2時(shí)，a“=6b,i=12X7"T,且4=12滿足上式，

故a“=12x7"T,

可得%1=“言=7,即數(shù)列｛q｝是以首項(xiàng)4=12,公比（7=7的等比數(shù)列，

Cl“1NX/

可得S=12（1-7）=2x7“—2'

"1-7

6

綜上可得：4=12x76,4=2x7,，S6=2X7-2,7；=^L

故A、C正確，B、D錯(cuò)誤.

故選：AC

10.已知函數(shù)/（x）=x（x+l）（x-l）,過(guò)點(diǎn)（1,0）的直線/與曲線y=/（x）相切，則與直線/垂直的直線

為（）

A.4x-y+2=0B.x-2y+8=0C.x+y-5=0D.2x+4y-3=0

【答案】AD

【解析】

【分析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（花，其一%），即可表示出切線方程，再將。,0）代入方程,

即可得到關(guān)于X。的方程，解得X。，從而求出切線的斜率，再一一判斷即可.

［詳解］/（xbMx+iXx—ihMxJibx3-》，則/（%）=3%2—1,

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（毛芯-x0）,則/'（不）=3片-1,所以切線方程為丁一（片一%）=（3x；-1）（工一又0）,

又切線過(guò)點(diǎn)（1,0）,所以0_（X_與）=（3片_1）（1_X。），

1

即2年一3片+1=0,故（2%+1）（玉）—1）~=0,解得%=1或x0=—萬(wàn)，

r］、21

所以直線/的斜率為=3-1_1=—丄或r（l）=3x『-i=2,

、2）44

對(duì)于A：直線4x—y+2=0的斜率為4,符合題意，故A正確；

對(duì)于B：直線x-2y+8=0的斜率為不符合題意，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C：直線x+y—5=0的斜率為T,不符合題意，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：直線2x+4y-3=。的斜率為—丄，符合題意，故D正確;

2

故選：AD

11.已知函數(shù)/（x）=2sin《cos；-2百cos?］，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.函數(shù)/（x）的最小正周期為6兀

B.（九,0）是函數(shù)/（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

C.將函數(shù)/（x）的圖象向右平移g個(gè)單位后得到一個(gè)偶函數(shù)

6

D.函數(shù)/（X）在［0,10可上有7個(gè)零點(diǎn)

【答案】ABC

【解析】

【分析】首先利用二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】f（x）=2sin'cost-2Gcos2土

.、丿333

=sin--\/3cos--\/3

33

J1.2x62無(wú)）R

=2-sin-----------cos——73

（2323）

=2則（當(dāng)一｛|一有，

即f（x）=2sin（與一方）—百，故最小正周期，=爹=3兀，故A錯(cuò)誤;

又/（0）=-2厶，〃2兀）=2sin［與-g）-6=-6，

即/（0）+〃2兀）=—38。0,所以（兀,0）不是函數(shù)f（x）圖象的的一個(gè)對(duì)稱中心,故B錯(cuò)誤;

將函數(shù)/（X）的圖象向右平移￡個(gè)單位得到y(tǒng)=2sin（學(xué)-f］-百，顯然該函數(shù)不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)

6I39丿

誤；

令f（x）=0,即2sin傳聞一布=0,即sin停苫）邛,

所以生—四=工+2航或生一二=a+2也，keZ,

333333

所以工=兀+3E或工=—+3E,ZeZ,

2

47rQjr157r

因?yàn)閄?0,l（）可，所以函數(shù)/（x）在［0』（玩］上有7個(gè)零點(diǎn)分別為兀，y,4兀，y,771,手，

IChr,故D正確；

故選：ABC

12.已知拋物線C:x2=2py（p>0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過(guò)點(diǎn)A（a,a—5）作拋物線C的兩條切線,

\PQ\

切點(diǎn)分別為P，Q，若7—7=2,則點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為（）

PA

A.2729B.2G。當(dāng)

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)〃的幾何意義得到〃=2,即可得到拋物線方程，設(shè)尸（石,%），。（％，三），利用導(dǎo)數(shù)的幾何

意義求出切線方程，將點(diǎn)厶（。,。一5）代入方程，即可得到毛，々是方程f-2"+4（。-5）=0的兩個(gè)解,

\PQ\.

列出韋達(dá)定理，由3=2求出。的值，即可得到A點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出距離.

PA\

【詳解】因?yàn)閽佄锞€。：/=2勿（/?>0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2,所以p=2,

則拋物線C:f=4y,即y=丄/,所以/=丄腔

42

設(shè)P（與，X），則必=］%’

所以>'lxF=gxi，丁'1尸迎=；々，

所以點(diǎn)P處的切線方程為y-y=；玉（x—%）,將A（。,。—5）代入方程得。一5-y=g%（a-玉）,

即%|~—2<zXI+4（a—5）=0,同理可得若一Ztzx?+4（a—5）=0,

所以X],々是方程f-2以+4（。-5）=0的兩個(gè)解，所以玉+工2=2”，①玉w=4（。一5）,②

,y.-yx,+x.1

所以直線尸。的斜率上=二一^2=丄「=彳4,

xy-x242

由尚=2得加+公|西一々|=2小1+%；\xt-a\

又,_司=2,一同，所以,整理得X；="2,

因?yàn)檎糎a,所以％=-。③，

由①②③得3a?+4a—20=0，解得。=2或。=—與,

所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,-3）或（一-1■）

所以|AO|=j2?+（_3）2=J13或|AO|=

故選：CD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)表示出切線方程，設(shè)而不求得到直線尸。的斜率，再利用弦長(zhǎng)

公式及已知條件求出”的值.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若圓￡:x2+y2—4x+2y=0與圓。2：/+、2-8x+10y+16=0交于P,Q兩點(diǎn)，則直線PQ的方

程為.

【答案】x-2y-4=Q

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得：兩圓方程之差即為直線P。的方程，運(yùn)算求解即可.

【詳解】：圓G與圓。2相交，則兩圓方程之差即為直線產(chǎn)。的方程，

將Y+/一4%+2y=0與/+/-8x+10y+16=0作差得4x-8y-16=0,

整理得x-2y-4=0,

即直線P。的方程為尤-2y-4=0.

故答案為：x-2y—4=0.

-4?ci

14.已知2x5一二的展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為256,記展開(kāi)式中獷1°的系數(shù)為。，則——=______.

I/丿128

【答案】-896

【解析】

【分析】令X=1得到展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)之和求出〃，再寫出展開(kāi)式的通項(xiàng)，令出鏟1=一1(),求得

即可求出。，從而得解.

【詳解】對(duì)于2爐一二r令x=l可得展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為(2-4)=256,解得〃=8,

[x)

(I4V(2丫一「’4Y

所以2爐一三展開(kāi)式的通項(xiàng)為7；+1=C；2爐?一三=C；28-r.(-4)r?x5，

kx)[丿I]丿

令W±=_]0,解得r=3,所以a=C；-25.(T)3,所以，=《"?(—4)=.896.

5128128

故答案為：-896

15.如圖，己知四棱錐ABC。的底面A8C。為平行四邊形，M是棱。2上靠近點(diǎn)。的三等分點(diǎn)，N

D、H

是的中點(diǎn)，平面AMN交CR于點(diǎn)H,貝IJ,~D^C

a

【答案】1##0.4

【解析】

【分析】將四棱錐補(bǔ)為三棱柱由D}MHCE”求解.

【詳解】解:如圖所示:

/?

補(bǔ)全四棱錐為三棱柱，作2E//AB,且=

因?yàn)锳8CO為平行四邊形，所以AB//CD,

則D.E//AB//CD,且0E=AB=CD,

所以四邊形ABED1和四邊形DQCE都是平行四邊形,

因?yàn)镹為中點(diǎn)，則延長(zhǎng)AN必過(guò)點(diǎn)E,

所以A,N,E,H,M在同一平面內(nèi)，

因?yàn)镺A//CE,所以.CEH,

又因?yàn)镸是棱上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)，

故答案為：—

16.已知a=ln3,b=log“3,現(xiàn)有如下說(shuō)法：@a<2b；?a+b>3abi③8一a<—a".則正確的說(shuō)

法有.（橫線上填寫正確命題的序號(hào)）

【答案】②③

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】因?yàn)閍=ln3>0,b-log,,3>0,

所以a=ln3=loge3,2/?=2log,13=log,n3<loge3=a,所以。>卻，故①錯(cuò)誤；

—+7=loge+log11=log,(1le)>log27=3,所以a+厶>3"，故②正確；

ab333

1i1

------=loge-logll=log—e<log-=-l,所以匕一?！匆怀?，故③正確.

ab3'33'113'3

故答案為：②③

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17.記數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，之"=n,且言,《用$+3是等比數(shù)列｛2｝的前三項(xiàng).

i=\I3

(1)求打的值；

(2)求數(shù)列----1-+%"一31的前八項(xiàng)和Tn-

、°3"+2%"+5J

【答案】⑴1296

n

(2)+2n2-n

15〃+25

【解析】

【分析】(1)依題意可得色+生+幺++%=〃，利用作差法求出?！?〃，再根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到

123n

方程求出々，即可求出｛2｝的通項(xiàng)公式，再計(jì)算可得；

11,C

(2)由(1)可得---------+包“-3=厶丄咋八丄二+4〃-3,利用裂項(xiàng)相消法和分組求和法計(jì)算可得.

。3"+2。3.+5(3/1+2)(3/7+5)

【小問(wèn)1詳解】

依題意幺+&+&■++—=?,當(dāng)〃=1時(shí)4=1,

123n

當(dāng)〃22時(shí)幺+玆+%++也=〃—1,

123n-\

所以2=1,則4=〃，所以

n2

又寺，如宀S?,3是等比數(shù)列也｝的前三項(xiàng)，

所以aj二區(qū)xS"3,即仏+])2=住+3)仏+4),解得厶=5或4=一2(舍去),

32

而4=寺=1,%=4=6,所以2=6"T,所以4=64=1296.

【小問(wèn)2詳解】

11,

由(1)可得--------+?4?-3=TTJk=+4〃—3a

。3.+2%.+5(3〃+2)(3〃+5)

ir_>__

=+4〃-3,

又3〃+23〃+5

〃〃

所以（,=訳-1--1-----1-P11](1+4-3)

88113/2+23〃+5丿2

n

+2n2-n-+2n2-n.

3〃+5丿15〃+25

18.某地區(qū)突發(fā)小型地質(zhì)災(zāi)害，為了了解該地區(qū)受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失，制定合理的補(bǔ)償方案，研究人員經(jīng)

過(guò)調(diào)查后將該地區(qū)所有受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失情況統(tǒng)計(jì)如下圖所示.

一頻率/組距

0.00020..........-I—

0.00015----------

0.00003----------------------------------------------------

____,

O200040006000800010000經(jīng)濟(jì)損失/元

（1）求。的值以及所有受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失的平均值：

（2）以頻率估計(jì)概率，若從所有受災(zāi)居民中隨機(jī)抽取4人，記受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失在［2000,4000）的人

數(shù)為X,求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望E（X）.

【答案】（1）?=0.00009；所有受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失的平均值為3360元；

（2）分布列見(jiàn)解析，￡（X）=1.6

【解析】

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小長(zhǎng)方形的面積和為1可得a的值；由頻率分布直方圖的平均值

的求法可得所有受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失的平均值；

（2）求出受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失在［2000,4000）的概率，根據(jù)X3（4,0.4）可得X的分布列以及數(shù)學(xué)期

望.

【小問(wèn)1詳解】

由（2x0.00003+a+0.00015+0.00020）x2000=1得a=0.00009；

0.00015x2000x1000+0.00020x2000x3000

-K）.（XXX）9x2000x5000+0.00003x2000x7000+0.00003x2000x9000=3360,

所有受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失的平均值為3360元；

【小問(wèn)2詳解】

受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失在［2000,4000）的概率為0.00020x2000=0.4,

由題意X5（4,0.4）,

P（X=0）=《0.4°x0.64=0.1296,

P（X=1）=C^O.41x0.63=0.3456,

P（X=2）=C^0.42x0.62=0.3456,

P（X=3）=《0.43x0.6=0.1536,

P（X=4）=C4O.44x0.6°=0.0256,

所以X的分布列為

X0I234

P0.12960.34560.34560.15360.0256

數(shù)學(xué)期望￡(X)=4x0.4=1.6.

19.已知在..ABC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且

bcos[—+A+sin(7t+B)J-----------=0.

(2J'勺1-cos2c

(1)求csinA的值；

(2)若2SsinC-atanC)=ctanC.且S^BCN幾?求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)石

(2)(—co,3-^3J

【解析】

【分析】(1)利用三角恒等變換整理得厶sinCsinA_6sin3=0,根據(jù)正弦定理角化邊即可得結(jié)果；

2兀

(2)根據(jù)題意結(jié)合余弦定理可得8=——，進(jìn)而可得改=必，結(jié)合基本不等式和面積公式可求得

3

S/\ABCN30，即可得結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)閮?。s仁+厶"（兀+8）J1T^=0,則加inNn8^g^=0,

整理得bsinCsinA-Gsin8=0，

由正弦定理可得Z;sinA.....-=0，故csinA=G.

c

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)?（Z?sinC-atanC）=ctanC,

由tanC存在，貝UcosCwO,

兩邊同乘以cosC可得：2（Z?sinCcosC-?sinC）=csinC,

又因?yàn)??！辏?,兀），則sinCwO,可得乃cos。一為=c,

〃2.^2_2

由余弦定理可得2bx巴亠一---2a=c,整理得巒+/一6=_訛,

2ab

—r/F1r*a~+c?—b21

可得cos8=--------------=一一，

2ac2

0jr

且Bw（0,兀），則3=彳，

由（1）可知：/?sinCsinA-gsin6=0，可得8sinCsinA=2sin2B，

由正弦定理可得abc=2b\即ac=2b,

由余弦定理可得b1=a2+c2-2accosB=a~+c1+ac>3ac，

當(dāng)且僅當(dāng)。=c時(shí)，等號(hào)成立，

可得％226b，可得626,即w=2Z?N12,

故S厶ABC~ocsin5—x12x—^―3>/3>

由題意可得：243百，

故