2023年高考數(shù)學二輪復習 定點定值問題學案

拓展專題10定點、定值問題

探究1:定點問題

【典例剖析】

例1.(2022?全國乙卷理科)已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸，y軸，且過4(0,-2),兩點

(1)求E的方程；

(2)設過點P(l,-2)的直線交E于M,N兩點，過M且平行于x的直線與線段AB交于點T,點〃滿足祈=前，證明:

直線HN過定點.

--------------------------------------------------------------------------------------------------、、

:選題意圖:高考真題，主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、向量共線的坐標運算、直線過定點問題.通過對試題情境'

進行變式創(chuàng)設，幵展深度探究，很好的考查學生的創(chuàng)新思維能力.

I思維引導：(1)根據(jù)點在橢圓上，坐標滿足橢圓方程，求岀橢圓的標準方程；

(2)分類討論過點P的直線斜率是否存在，再根據(jù)題干依次表示出T,N坐標，表示出直線HN方程，判

i斷直線過定點即可.，

【解析】(1)設E的方程為1,將2(0,-2),兩點代入得

(^2=172

%1，解得。2=3,餌=4,故E的方程為］+一=1.

上-上丄-134

3a2十戶一丄

(2)由4(0,-2),8(|,-1)可得直線48:y=|x-2

①若過P(l,-2)的直線的斜率不存在，直線為x=l.代入［+3=1，可得“(1,_竽),

N(l,孚)，將丫=一半代入力—2,可得T(3—形,一平)，由麗^二用，

得“(5-2遅,一竽).易求得此時直線〃N:y=(2+竽)x-2.過點(0,-2)；

②若過戶(1,-2)的直線的斜率存在,設kx-y-(k+2)=0,M(xvyi),N(xz,y2)o

fcx—y—(k+2)=0

聯(lián)立x2y2,得(31+4)x2-6/c(2+k)x+3k(k+4)=0,

匕+L

_-8(2+k)

.Y.6k(2+k)

yi+y23必+4口,-24k,、

故有，3k+42,且％1為+%2丫1=-2-(*)

L丫一3旗”)4(4+4憶一2公)"丄3k2+4J

1%2

r一yyyz=3/+4

y=y1

f

聯(lián)立y=-x-2可得7(學+3/1)，H(3yi+6_xlfy1)f

可求得此時，N:y-y2=3V矢?。一打)

將(0,-2)代入整理得2(X1+x2)-6(乃+y2)+叼為+-3yly2-12=0

將(*)式代入，得24k+12k2+96+48k-24k-48-48/c+24fc2-36/c2-48=0,

顯然成立.

綜上，可得直線，N過定點(0,-2).

【變式訓練】

練1-1(2022?湖北省聯(lián)考)設A,B為雙曲線C，—，=l(a>0,b>0)的左、右頂點，直線1過右焦點F且與雙曲

線C的右支交于M,N兩點，當直線I垂直于x軸時，AAMN為等腰直角三角形.

(1)求雙曲線C的離心率；

(2)已知直線AM,AN分別交直線x=5于P,Q兩點，當直線1的傾斜角變化時，以PQ為直徑的圓是否過定點，

若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由.

【解析】(1)由，丄x軸時，AAMN為等腰直角三角形，可得|4F|=|NF|=|MF|,

所以a+c="，即c?—ac—2a2=0,故e?—e—2=0,

a

結(jié)合e>1,解得e=2.故雙曲線C的離心率為2.

(2)因為e=￡=2,所以雙曲線c：與一兌=1，

a3az

顯然直線，的斜率不為0,設直線Lx=my+2a,M(卬％)，N(x2fy2)^

x=my+2a

x2y2],化簡得(3/一l)y2+12amy+9a2=0,

!溫一姿=1

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得力+?2=-用，"〃2=萼7,①，

所以Xi+x2=mCXi+y2)+4a=盛事，②，

22

Xi-x2=my1-y2+2am(yr+y2)+4a=一§畫了a2,③，

設直刎巾=諡(％+。)，直線私丫=盡5+。)，令V，可得P(2為),Q《,為)，

設G(x,y)是以PQ為直徑的圓上的任意一點，則同QG=0,

則以PQ為直徑的圓的方程為(x-敘+?-券3[7-成希]=°，

由對稱性可得，若存在定點，則一定在x軸上，

令y=o,可得(X-獷+為.烏=。，即(X—獷+痂爲為硒=。，

9a2-^-?q

將①②③代入，可得(x-獷+^^-宮?…広=。，即(》-獷=沁

3m2-i3m2-1

解得x=—a或x=2a,所以以PQ為直徑的圓過定點(-a,0),(2a,0).

練1-2(2022?廣東省廣州市聯(lián)考)已知線段4B是拋物線y2=4久的弦，且過拋物線焦點F.

(1)過點B作直線與拋物線對稱軸平行，交拋物線的準線于點E,求證：4、。、E三點共線(。為坐標原點)；

(2)設M是拋物線準線上一點，過M作拋物線的切線，切點為4、

求證：（i）兩切線互相垂直；3）直線過定點，請求出該定點坐標

【解析】（1）證明：依題意可知，拋物線焦點尸（1,0）,準線方程為x=-l,

直線4B不可能與x軸重合，可設為％=my+l,B（x2,y2^則七（一1,九）?

聯(lián)立直線厶B與拋物線方程得片=以2一47ny一4=0,有產(chǎn)；=4m,

（x=my+1丿（7172=-4

故0E斜率県=-y2,04斜率％=［=?=1=一—=ME,

4

故A、。、E三點共線.

（2）證明：（i）設點易知過點M所作拋物線切線的斜率必存在，

可設切線方程為y=k（x+1）+t,與拋物線方程聯(lián)立得°_y+4+==0

令△=1—+t）=—k2—t/c4-1=0,所得關(guān)于k的二次方程必有兩根，

分別記為七，k2,即為切線M4、MB1的斜率,有修:上=二%也=一1，故切線與互相垂直.

（可另設切點41（無3，%），813）4），

由⑴中所求,將左=自代入方程［y2__y+憶+亡=o,得為=m,則4［（5，臺,同理B］（看,臺，

當拄=煽=1,此時t=0,直線4當方程恰為x=1,

當局力嬪，此時t片O,直線厶$1方程為、=耳。一次）+丫3

4

=-4-3_苧）+丫3=+口_4+^^］=4（》+乎），

力+以4力+h44J戶￡4

=體（*+康），即丫=沁-1）,

綜上，直線直線方程為2x-ty—2=0,必過定點F（l,0）.

練1-3（2022?湖北省武漢市聯(lián)考）已知橢圓「：捻+，=l（a>b>0）的離心率為苧，廠的長軸的左、右端點分別為

&、A2,4與圓（％-2產(chǎn)+y2=1上點的距離的最大值為遅+3.

（1）求橢圓「的方程；

（2）一條不垂直坐標軸的直線C。交「于C、。兩點（C、。位于x軸兩側(cè)），設直線4C、&C、&。、的斜率分

別為七、七、&、七，滿足3七-七=13卜3-七），問直線CD是否經(jīng)過定點，若過定點，求岀該定點，否則

說明理由.

【解析】設4式—a,0）,由題意知：Q+2+1=V6+3,a=\/6

又，?￡=懸，.??c=遅?橢圓方程為：2+5=1.

a263

（2）設直線CO的方程為：x=my+zi聯(lián)立方程得：

222J

（m+2）y+2mny+n-6=0,設。（右用）、D（x2,y2）,■■yxry2=%丿2=^1，

???4也=宀?宀=5=3奧=一；，二的=一；、,同理：fc4=-|x^,

12k

z4+爲x1-x/6xj-6xj-6222k3

334T（3自一3???3k】+Lm（2自-&）（1+?/）=。，

???2ki—的十0k*3=T，■1?=一如Qi+布)(&-俑+6yly2=0，

?'?(m%+幾+y/6)(my2+幾+V6)+6yly2=。，

22

???(m+6)y1y2+m(n+V^)(yi+y2)+(九+V6)=0,

(m2+6)(n2—6)—2xm2n(n+V6)+(n+V6)2(m2+2)=0,

:.2n2+V6n—6=0?：.n=苧或幾=-V6.

顯然直線CO不過點(-痣,0),所以直線c。過定點(日,0).

【規(guī)律方法】

解答圓錐曲線的定點問題的策略

參數(shù)法：①動直線，過定點問題，解法：設動直線方程(斜率存在)為曠=/?+3由題設條件將t用k表示為t=mk,

得、=1。：+漢)，故動直線過定點(-m,0).

②動曲線C過定點問題，

解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點。

由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據(jù)動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點

與變量無關(guān)。

答題模板：

第一步：把直線或曲線方程中的變量久，y當作常數(shù)看待，把方程一端化為零；

第二步：參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于x,y的方程組；

第三步：方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點，或者可以通過特例探求；

第四步：用一般化方法證明。

探究2：定值問題

【典例剖析】

例2.(2020?新高考1卷)已知橢圓C:各^=l(a>b>0)的離心率為爭且過點4(2,1).

(1)求C的方程；

(2)點M,N在C上，且AM丄4V,AD1MN,。為垂足.證明：存在定點Q,使得|DQ|為定值.

廠、

!選題意圖：高考真題，這是一道經(jīng)典的定點、定值問題，該問題的綜合性和靈活性都較強，重點考查數(shù)形結(jié)合思

想和分析問題、解決問題的能力.

j思維引導：(1)根據(jù)條件列方程求解即可.

(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合兩直線的斜率之積為一1化簡即可證明，解題關(guān)

【鍵是證明直線MN過定點并求出其坐標.

.................................................................................................，/

【解析】⑴解：由題意可知￡=烏麥+3=1,。2=/+。2,解得a?=6,〃=3,所以橢圓方程為#+?=1.

3

Q2ab6

(2)證明：設點7V(x2ly2),

因為4M丄4N,所以"二1?六卷=一1'所以丫。2—(丫1+曠2)+1=一不無2+2(%i+%2)—4，①

當々存在的情況下，設MN:y=kx+m,聯(lián)立［丫？fcx+m得(1+21)%2+軟瓶工+27n2—6=0,

(+2yz=6

由4>0,得6k2—巾2+3>0,由根與系數(shù)的關(guān)系得勺+久2=-哉，丫62=蚩^

xx22

所以yi+=fc(i+2)+2zn=]j；；2,丫1丫2=kxxx2+km(xx+x2)+m="；+器，

代入①式化簡可得4k2+8km+(m—l)(3m4-1)=0,即(2k+m—l)(2fc+37n+1)=0,

所以m=1-2k或zn=-等工,所以直線方程為y=kx+1-2k或y=依一第，所以直線過定點(2,1)或(|,一扌,

又因為(2,1)和4點重合，故舍去，所以直線過定點E(|,-?

所以4E為定值，乂因為A4ED為直角三角形，4E為斜邊，

所以力E中點Q滿足|QD|為定值不，此時Q?,}.

【變式訓練】

練2-1(2022?湖北省武漢市聯(lián)考)如圖，已知圓0:一+、2=%點8(1,0),以線段AB為直徑的圓內(nèi)切于圓。，點A

的集合記為曲線C.

(1)求曲線C的方程;

(2)已知直線1:x=4,Q(l,|)，過點B的直線厶與C交于M,N兩點，與直線2交于點K,記QMQMQK的斜率分

別為七也也，問：合是否為定值？若是，給出證明，并求出定值；若不是，說明理由.

【解析】(1)設4B的中點為P，切點為Q，連接OP,PQ,

取8關(guān)于y軸的對稱點。,連接厶則|AD|=2|OP|,

故|AB|+\AD\=2\OP\+2\PB\=2|OP|+2\PQ\=2(|OP|+|P8|)=4>\BD\=2.

所以點4的軌跡是以B,0為焦點，長軸長為4的橢圓.

其中a=2,c=l,b=V5，則曲線C的方程為[+<=L

(2)設M(Xi，%),N(%2，y2)，依題意，直線匕的斜率必定存在，

設厶:％=my+l(m00),將其與橢圓方程聯(lián)立：

x=my+l(mW0)_

￡注==>(3m2+4)y2+6my-9=0,由韋達定理得：%+y?=薪1丫1為=施前，

彳十至一丄

易得點K(4,=的=二=紇1,同理的=空1，

、加33m2xt-lmy1/my2

k]_k?_卜1-卜3+卜3-卜2_k]_&3__1,而hzh=(yiT)y2-m("」yiy2=”-2-3及⑴，

kkkkkk

，(y-1)y(

2-32-32-3収一心2tty2叫“2-3%丿'

由%+'2=為，％力=盛前得：乃九=言(乃+丫2)'代入⑴得：匹=款駕；；=-1,

所以.)1一12_切一〃3+k3-々2=)1一％一1二一2

*七一女3k2-〃3%2-々3

練2-2(2022?湖南省長沙市聯(lián)考)已知雙曲線C：x2-y2=1和點8(0,1).

(1)斜率為k且過原點的直線與雙曲線C交于E,F兩點，求厶EBF最小時k的值；

(2)過點B的動直線與雙曲線C交于P,Q兩點，若曲線C上存在定點4,使做P+%Q為定值入，求點4的坐標及實數(shù)入

的值.

【解析】(1)由對稱性可設E(x,y),F(-x,-y).

則能"BF=(x,y-1)?(—x,—y—1)=-x2-y2+1-

因為點E在雙曲線C上，所以/-y2=i,

所以y2=/-l,|x|>1,所以旅?麗=2(1——)wo,

當因=1時，麗.麗=0，4EBF為直角;

當田>1時，前面<0,4EBF為鈍角，

所以/EB尸最小時，|x|=l,k=0,

(2)由題意易知過點8的動直線的斜率存在，

故設4(m,n),過點B的動直線為y=tx+1.

設P(X1，%),Q(X2，y2)，聯(lián)立

rl-t2*0,

21=4t2+8(1-t2)>0,

所以《亠_2t

xi+x2=匸戸，

2

—=一匸9

由1一“#o,且厶〉o,解得/<2且12#1.

kAP+kAQ=X,即厶三+9=九即空12+出里【=；1,

AQ'xx-mx2-m'x^-mx2-m

2

化簡，得(2t-A)xtx2+(-mt+1—九+Am)(xt+x2)—2m+2mn—Am=0,

_?o#-

所以(2t-A)y-―-^2+(-nit+1—71+Am)--^2—2,TH+277m—XlTl^=0,

化簡，得(Am?—2mn)t24-2(Am一九一1)￡+24-2m4-2mn—Am2=0,

Am2—2mn=0,①

加一九一1=0,

{2A—2m+2mn—Am2=0,(2)

將①代入②，得4=m,從而卷：二:

如果m=0,那么n=-l,此時4(0,-1)不在雙曲線C上，舍去.

因此mH0,從而Hi?=2n,代入m2=n+i,解得n=l,m=±V2.

此時4(±e,1)在雙曲線C上.

綜上，4(a,1)，4=e或4(一魚,1)，A=-V2.

練2-3(2022?湖北省四校聯(lián)考)已知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點為尸，點4(2,%)在C上，|4?|=2.

(1)求P；

(2)過F作兩條互相垂直的直線12,厶與C交于M,N兩點，。與直線丫=一1交于點P，判斷厶PMN+/PNM是否

為定值？若是，求出其值；若不是，說明理由.

【解析】(1)因為點4(2,y。)在C上，所以4=2py()①，

因為|A用=2,所以得|4尸|=2=%+纟②，

由①②解得y()=1