河北省張家口市2022-2023學年高二年級下冊期末考試數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年河北省張家口市高二（下）期末數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知集合4={x6Z∣x+1≥0},B={x?x<π},貝!M∏B=（）

A.{x∈Z?x≥-1}B.{x∣—1≤X≤π}

C.{-l,0,1,2.3}D.[1,2,3）

2.已知α>0,b>0,則“α=b=1”是“國α+∕gb=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，則函數(shù)/（x）=e2'-l的圖象在原點處的切線方程是（）

A.y=XB.y=2xC.y=exD.y=e2x

4.設隨機變量X的分布歹收口下（其中0<p<l）,O（X）表示X的方差，則當P從0增大至UI時（）

X012

i-p1P

P____________2___________2_2

A.D（X）增大B.D（X）減小C.D（X）先減后增D.D（X）先增后減

5.回文是一種修辭手法，數(shù)學中的“回文數(shù)”是指從左到右讀和從右到左讀都一樣的正整數(shù)，例如

132231,則從五位數(shù)字的回文數(shù)中任取一個恰好取到奇數(shù)的概率為（）

6.某校團委對“學生喜歡體育和性別是否有關”作了一次調查，其中被調查的男、女生人數(shù)相同，男

生喜歡體育的人數(shù)占男生人數(shù)的全女生喜歡體育的人數(shù)占女生人數(shù)的|,若有95%以上的把握認為是否

喜歡體育和性別有關，則調查人數(shù)中男生人數(shù)可能是（）

a0.0500.010

Xa3.8416.635

n{ad-bc)2

【附:其中Ti=a+b+c+d1

(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)'

A.35B.39C.40D.50

7,現(xiàn)有5名大學生準備到甲、乙、丙3所學校實習，每所學校至少有1名，每名大學生只能去一所學校,

若到甲、乙兩所學校實習的人數(shù)不相同，則不同的實習方案種數(shù)為（）

A.243B.200C.100D.50

8.若x+InaNln(x+2)對于任意的x>-2恒成立，則正數(shù)α的最小值為()

A.e~2B.1C.√-eD.e

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.下列說法正確的有()

A.若一組樣本數(shù)據(jù)(X"%)(i=1,2,3,…,n)線性相關，則用最小二乘法得到的經(jīng)驗回歸直線必經(jīng)過樣本

中心點G/)

B.根據(jù)分類變量X與丫的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到爐=5.028,依據(jù)α=0.05的獨立性檢驗殉放=3.841,

則推斷X與y無關不成立，即認為X與丫有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05

C.若隨機變量f和？?滿足7?=2ξ+l,則ES)=2E(f)+1,D(η)=4D(ξ)+1

D.若隨機變量X~N(100,d),且P(X<120)=0.84,則P(IOo<X<120)=0.34

10.已知α>0,。>0且工+絆1,則下列結論正確的有()

ab

A.a+b≤2?∏B.a+b≥3+2√^7C.ab≤2√^D.ab≥Q

11.已知α=eJ9,6=e∣-tC=InAe是自然對數(shù)的底數(shù))，則下列結論正確的有()

43?

A.QCV0,be>0B.ac<0,be<0C.a>b>cD,b>a>c

12.如圖，某高速服務區(qū)停車場中有4至口共8個停車位(每個車位只能停一輛車)，現(xiàn)有2輛黑色車和2輛

白色車要在該停車場停車，則()

ABCD

EFGH

A.4輛車的停車方法共有1680種

B.4輛車恰好停在同一行的概率是表

C.2輛黑色車恰好相鄰(停在同一行或同一歹IJ)的停車方法共有300種

D.相同顏色的車不停在同一行，也不停在同一列的概率是"

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.在(l+x)6的展開式中，系數(shù)最大的項的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

14.已知隨機變量X服從二項分布B(n,p),且X的期望E(X)=4,方差D(X)=2,貝IjTl=.

15.已知離散型隨機事件4,B發(fā)生的概率P(A)=0.3,P(B)=0.4,若PQ4∣B)=0.5,事件3β,A+B

分別表示A,B不發(fā)生和至少有一個發(fā)生，則P(BM+B)=，p(a+B?A+B)=.

16.已知函數(shù)/(x)=x-α-2x"尤(α≠1)有唯一的零點，則實數(shù)ɑ的值可以是.【寫出一個符

合要求的值即可】

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

210

已知(2+X)1。=α0+a1x+a2xH-----Fa10X>其中X∈R.

(1)求(2+x)i°展開式中a0和c?的值(用數(shù)字表示)；

(2)求c?—2o?+3o?—4a4+…—IoalO的值.

18.(本小題12.0分)

某健身俱樂部舉辦“燃脂運動，健康體魄”活動，參訓的學員700人中超過90%屬于超重人員，經(jīng)過艱

苦的訓練，近五個月學員體重指標變化如表：

月份工12345

超重人數(shù)y600500420340240

(1)已知變量y與變量X具有線性相關關系，建立以X為解釋變量，y為響應變量的一元經(jīng)驗回歸方程；

(2)俱樂部王教練每天從騎車和游泳中隨機選擇一種對學員進行減脂訓練.選擇方法如下：第一天選擇騎

車，隨后每天用“一次性拋擲4枚質地均勻的硬幣”來確定訓練方式，若正面朝上的枚數(shù)小于3,則該

天訓練方式與前一天相同，否則選擇另一種方式.求前三天騎車訓練的天數(shù)X的分布列和數(shù)學期望.

附：回歸直線y=b%+0中斜率和截距的最小二乘估計分別為：6=誓干等，a=-_b-.

參考數(shù)據(jù)：∑i=1χiyi=5420.

19.(本小題12.0分)

如圖，已知三棱錐P-ABC的三條側棱PA,PB,PC兩兩垂直，且PA=a,PB=b,PC=c,三棱錐P-ABC

的外接球半徑R=2.

(1)求三棱錐P—ABC的側面積S的最大值；

(2)若在底面力BC上，有一個小球由頂點A處開始隨機沿底邊自由滾動，每次滾動一條底邊，滾向頂點B

的概率為：，滾向頂點C的概率為:；當球在頂點B處時，滾向頂點4的概率為|,滾向頂點C的概率為全

當球在頂點C處時，滾向頂點4的概率為|，滾向頂點B的概率為《若小球滾動3次，記球滾到頂點B處的

次數(shù)為X,求數(shù)學期望E(X)的值.

C

B

20.(本小題12.0分)

某校舉辦顛乒乓球比賽，現(xiàn)從高一年級IOOo名學生中隨機選出40名學生統(tǒng)計成績，其中24名女生平均

成績?yōu)?0個，標準差為4；16名男生平均成績?yōu)?0個，標準差為6.

(1)高一年級全員參加顛球比賽的成績近似服從正態(tài)分布N(〃Q2),若用這40名參賽的同學的樣本平均

數(shù)[和標準差s(四舍五入取整數(shù))分別作為“，C估計高一年級顛球成績不超過60個的人數(shù)(四舍五入取

整數(shù))；

(2)顛球比賽決賽采用5局3勝制，甲、乙兩名同學爭奪冠亞軍，如果甲每局比賽獲2勝的概率為W,在甲

獲勝的條件下，求其前2局獲勝的概率.

附：若X~N(μ,/)，則P(IX-μ∣≤σ)=0.6827,P(IX-μ?≤2σ)=0.9545,PQX-μ?≤3σ)=0.9973.

21.(本小題12.0分)

定義min{α,b}表示α,b中的較小者，已知函數(shù)/(x)=min{sinx,cos%}(xC[0,自)，f(x)的圖象與X軸圍

成的圖形的內接矩形PQRS中(如圖所示)，頂點P(點P位于點Q左側)的橫坐標為X,記g(x)為矩形PQRS的

面積.

(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間，并寫出g(x)的解析式；

(2)(i)證明：不等式X<tαnx(0<x<^)；

(五)證明：g(x)存在極大值點劭，且xo<2

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=xlnx.

(1)求函數(shù)/(%)的單調區(qū)間和極值；

(2)若方程f(%)=2x-1的兩個解為%1、X2?求證：?i+X2>2β.

答案和解析

1.答案：C

解析：解：因為力={x6Z∣xN—1},B=(x?x≤π},

所以4ΠB=[-1,0,1,2,3).

故選：C.

根據(jù)交集含義即可得到答案.

本題考查集合的交運算，屬基礎題.

2.答案：A

解析：解：因為α>0,b>0,由匈α+∕gb=lg(α6)=0,可得αb=1,

所以，"a=b=1"="ab=1"；但αb=1推不出a=b=1,比如當a=2,b=時，

所以，已知Ia>0,b>0,則“a=b=1"是"Iga+Igb=0"的充分不必要條件，

故選：A.

由，ga+Igb=0可得ab=1,利用充分條件和必要條件的定義判斷可得出結論.

本題主要考查充分條件和必要條件判斷，根據(jù)對數(shù)運算法則進行化簡求解是解決本題的關鍵，是基礎題.

3.答案：B

解析:解：因為/(0)=0,∕,(x)=2e2x,所以r(O)=2,

所以函數(shù)/(x)的圖象在原點處的切線方程為y=2x,

故選：B.

求導得f'(x)=2e2x,計算f(0)=0,f(0)=2,則得到切線方程.

本題考查導數(shù)的運用：求切線方程，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題.

d1P1

析

解

解O

X2+1X-+2X-=-+P

222

1PΛ11

?2++22++TS2+

-?P-=P-=--

22)-P42

又O<p<l,則D(X)在(Ow)上單調遞增，在?,1)上單調遞減，

即D(X)先增后減.

故選：

根據(jù)期望公式得E(X)=T+p,根據(jù)方差計算公式得D(X)的表達式，利用二次函數(shù)的性質，即可得出答案.

本題考查離散型隨機變量的期望與方差，考查轉化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

5.答案：A

解析：解：根據(jù)題意可知，五位數(shù)字的回文數(shù)中，首位有9種選擇，千位和百位都有10種選擇，

所以五位數(shù)字的回文數(shù)的個數(shù)為9XIO2=900個，

其中五位數(shù)字的回文數(shù)的奇數(shù)，首位有5種選擇，千位和百位都有10種選擇，

所以五位數(shù)字的回文數(shù)的奇數(shù)的個數(shù)為5XIO2=500個，

因此從五位數(shù)字的回文數(shù)中任取一個恰好取到奇數(shù)的概率為P=IS=I-

VUUy

故選：A.

計算出五位數(shù)字的回文數(shù)的個數(shù)和五位數(shù)字的回文數(shù)的奇數(shù)的個數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求

事件的概率.

本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎題.

6.答案：D

解析:解:設男生女生人數(shù)均為則在列聯(lián)表中2

X,2X2α-^5x,b=∣5x,c-^5x,d—∣5x./="嗎±丁lγ4產L=∣Zτl>

25人

若有95%以上的把握認為學生是否喜歡體育和性別有關，

可知音>3.841,解得X>40,3305,

又X是5的整數(shù)倍，可得男生人數(shù)可取50.

故選：D.

設男生女生人數(shù)均為X,根據(jù)卡方公式得乃2=根據(jù)表格得到不等式，解出即可.

本題考查了列聯(lián)表與獨立性檢驗的應用問題，也考查了運算求解能力，是基礎題.

7.答案：C

解析：解：依題意實習方案有兩大類：

①甲3人、乙1人、丙1人（或甲1人、乙3人、丙1人）和②甲1人、乙2人，丙2人（或甲2人、乙1人，丙2人），

若為①甲3人、乙1人、丙1人或甲1人、乙3人、丙1人，則有印&X2=40種；

若為②甲1人、乙2人，丙2人或甲2人、乙1人，丙2人，則有G廢X2=60種；

綜上可得一共有40+60=IoO種.

故選：C.

依題意實習方案有兩大類：①甲3人、乙1人、丙1人（或甲1人、乙3人、丙1人）和②甲1人、乙2人，丙2人（或

甲2人、乙1人，丙2人），分別求出各類的方案數(shù)，最后根據(jù)分類加法計數(shù)原理計算可得.

本題考查了排列組合的簡單計數(shù)問題，考查了學生的分類思想，屬于基礎題.

8.答案：D

解析：解：%+伉α≥ln(x+2)恒成立，即mα≥ln(κ+2)—X.

設g(x)=In(X+2)-x(x>-2),g，(X)=m一I=一滑，

?ICΛΛfI4

令g<x)>O,解得一2<x<-l,令g'(x)<0,解得x>-1,

則g(x)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間(―L+8)上單調遞減，

所以g(x)在(―2,+8)上的最大值是。(—1)=1,

故加α≥InQ+2)-X,只需"α≥l,解得α≥e,

即ɑ的最小值為e.

故選：D.

利用分離參數(shù)法得"α≥ln(x+2)—X,設g(x)=ln(x+2)—x,x>-2,利用導數(shù)求出其最大值，則得到

不等式解出即可.

本題考查利用導數(shù)研究不等式的恒成立問題，考查運算求解能力，屬于中檔題.

9.答案：ABD

解析：解：對于4：若一組樣本數(shù)據(jù)(Xi,%)(i=1,2,3,?”,71)線性相關，

則用最小二乘法得到的經(jīng)驗回歸直線必經(jīng)過樣本中心點Gj),故A正確；

2

對于B：?.?χ=5.028>3.841=x005,

二有95%的把握可判斷分類變量X與丫有關聯(lián)，

此推斷犯錯誤的概率不大于0.05,故8正確；

對于C：若隨機變量GI加滿足J7=2f+1,則Es)=2E(f)+l,Os)=40(f),故C錯誤；

對于。：若隨機變量X~N(100,(χ2),且P(X<120)=0.84,

則P(IOo<X<120)=P(X<120)—P(X<100)=0.84-0.5=0.34,故。正確.

故選：ABD.

根據(jù)回歸方程的性質判斷4,根據(jù)獨立性檢驗的思想判斷8,根據(jù)期望與方差的性質判斷C,根據(jù)正態(tài)分布

的性質判斷D,即可得出答案.

本題考查離散型隨機變量的期望與方差，考查轉化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

10.答案:BD

解析：解：由工+:=1,得2α+b=αb,α>0,6>0,

ab

α+b=(α+b)(W)=l+2+g+與≥3+2J=3+2<7，

當且僅當b=√^2α,即。=/1+1/=2+/2時取等號，故B正確，A錯誤；

ab=2a+b≥2√2a?b<所以?√ab≥2√-2>即αb≥8,

當且僅當b=2α,即α=2,b=4時取等號，故C錯誤，。正確.

故選：BD.

利用乘“1”法即可求出α+b的最小值，利用基本不等式構造一元二次不等式不等式即可求出ab最小值.

本題主要考查基本不等式及其應用，屬于基礎題.

11.答案：BD

解析：解：首先證明切線不等式ex≥x+l,

設/(x)=ex-x-l,貝l∣F(x)=ex-l,

令/'(X)=解得X=o,

又因為尸(乃為單調遞增函數(shù)，

所以有唯一零點X=0，

且當X6(-8,0),f'(x)<0,此時/(無)單調遞減,

當X∈(0,+∞),∕,(x)>0,此時f(x)單調遞增，

故/(x)7nbι=/(0)=0,

則f(x)=ex—X—1≥0,即e*≥%+1,

則α=ei-1=/(?)>/(0)=0，b=/(?)>/(0)=0.

而C=InW<伍1=0,所以B正確，A錯誤；

又因為當%>0時，f(x)單調遞增，α=/&)/=/0),則α<b,

因此c<α<b,故。正確，C錯誤.

故選：BD.

構造函數(shù)/(x)=e`-X-1,利用其單調性和最值一一判斷即可.

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查運算求解能力，屬于中檔題.

12.答案：ABD

解析：解：對4,4輛車的停車方法共有播=1680（種），A正確；

對8,4輛車恰好停在同一行的概率是P=當=白，8正確；

康35

對C,2輛黑色車相鄰且停在同一行有6種，停在同一列有4種，黑色車的停車方法共有（6+4）掰種，

白色車的停車方法共有羔種，故共有（6+4）&?Aj=600（種）方法，故C錯誤；

對D,相同顏色的車不停在同一行也不停在同一列，第一輛黑色車8個車位都可停車，

第二輛黑色車只能有3個車位可停車，黑色車共有8X3種方法，

不妨設黑色車停在A,F兩個車位，則兩白色車只能停BE,BG,BH,CE,CH,DE,DG共7種選擇,

白色車的停車方法共有2X7種方法，故共有8×3×7×2種方法，

其概率是P=%曖”=/，D正確.

故選:ABD.

利用排列公式結合古典概型公式逐項分析即可.

本題主要考查了排列組合知識，考查了古典概型的概率公式，屬于基礎題.

13.答案:20

解析：解：?.?（1+x）6的展開式的通項為幾+1=或?l6-k-Xk=C^xk,

設第k+1項的系數(shù)最大，則氏ζ解，

根據(jù)公式3=解得3≤k≤?

又kwZ,

:?k=3,

???展開式中系數(shù)最大的項為痣=C^x3=20/,

即展開式中系數(shù)最大的項的系數(shù)為20.

故答案為：20.

以≥C尸

設第k+1項的系數(shù)最大，則即可求出展開式中系數(shù)最大的項.

以≥c∕ι'

本題主要考查二項式定理的應用，求出展開式的通項公式，建立不等式組進行求解是解決本題的關鍵，是

中檔題.

14.答案：8

解析：解：依題意X~B(τι,p),所以E(X)=TIP=4,Z)(X)=TIP(I-P)=2,

解得P=g,∏=8.

故答案為：8.

根據(jù)二項分布的期望、方差公式得到方程組，解得即可.

本題主要考查二項分布，屬于中檔題.

15.答案：0.80.6

解析：解：由題意得P(4∣8)=需=需=0.5,

P(AB)=0.2,P(ZB)=0.2,P(ZB)=0.1,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5>

P(B∣4+B)=卷?=靛=08

P04+5M+B)=螺鬻=騁=0.6，

故答案為：0.8；0.6.

空1,空2：利用條件概率公式結合韋恩圖計算即可.

本題主要考查條件概率公式，屬于基礎題.

16.答案：一1(答案不唯一，只需滿足α∈(-8,0]U{2e+}即可)

解析：解：由f(%)=%—Q—2%)X=0,得a=%-2%hιx,其中％>0且Q≠1,

令g(%)=x—2xlnx,其中％>0,得g'(x)=1—2Inx—2=-2Inx—1,

令g'(%)=0可得％=列表如下：

(o.e^?11

Xe-2(e'"2,+8)

g'(χ)+0—

g(χ)增極大值減

由表可知，當χ=e+時，函數(shù)g(x)取得極大值為g(e+)=e《-2e-1(-；)=2e當

當O<X<e：時,gCv)=X(I-2Znx)>0；當X>4時，g(x)=X(I-2Znx)<0,

由題意可知，直線y=α(αH1)與函數(shù)g(x)的圖象有且只有一個公共點，如圖所示：

由圖可知，實數(shù)ɑ的取值范圍是(-8,0]U{2e4}.

故答案為：一1(答案不唯一，只需滿足αe(-8,0]U{2e一句即可)?

由/(x)=0可得α-X-2xlnx,令g(x)=x—2xlnx=X(I-2lnx),利用導數(shù)分析函數(shù)g(x)的單調性與極

值,分析可知直線y=α(α≠1)與函數(shù)g(x)的圖象有且只有一個公共點，數(shù)形結合可得出實數(shù)ɑ的取值范圍，

即可得解.

本題考查函數(shù)零點的判定，訓練了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值，考查運算求解能力，是中檔題.

17.答案：解：(I)(2+%)1。的展開式通項為晨+I=C%?2i°τ.χk(k=0,ι,2,???,lO),

102

所以，劭=2=1024,α8=Cf0?2=45×4=180.

21

(2)令f(x)=(2+X)ι°=a0+a1x+a2x4-----Fα10x°,

9239

則尸(X)=10(2+x)=α1+2a2x+3a3x+4a4x-+------FIOa10X,

9

因此，%-2<?+3a3-4a4+…-IoaIO=/'(T)=IOX(2—I)=10.

解析：(1)求出(2+x)u>的二項展開式的通項公式，即可求得劭、。8的值；

210

(2)令f(x)=(2+X)ι°=a0+a1x+a2x4-----Fa10X>利用賦值法可得出國-2a2+3a3-4a4+…

-10a10=f(-l)-即可得解.

本題主要考查二項式定理的應用，求出展開式的通項公式以及利用賦值法進行求解是解決本題的關鍵，是

中檔題.

18.答案：解：(1)由圖表中的數(shù)據(jù)可得：［=1+2+：+4+5=由

600+500+420+340+240

=420,∑-Xy=5420,∑L猶=55,

y=5=1ii

Σ之1χiy-3χy5420-6300CC

??i=88

?b-c?^2^-55-5X9?->

∑L*-5%

^a=y-bx=420-(-88)×3=684-

???y關于光的經(jīng)驗回歸方程：y=-88%+684;

(2)一次性拋鄭4枚質地均勻的硬幣正面朝上的枚數(shù)記為￠,則f~B(4,),

PG<3)=(C°+C*C∣)φ4=4P(ξ≥3)=(盤+酸心4=?,

X的所有可能取值為1,2,3,

,,?、51155

Pr(zXz=I)=λIx-X-=-

d115-555

P(X=2)=1×16×i6÷1×i6×i6=

16,

P(X=3)=1×?×?=≡

所求分布列為:

X123

555121

P

25616256

L八八Λ55,r5,r121289

￡W=1×256+2×16+3×256=

128

解析：(1)利用線性回歸方程公式計算即可;

(2)首先利用二項分布公式得P(f<3)=/P(f≥3)=,,再得出X的所有可能取值為1,2,3,計算對應

IoIo

概率得到分布列，再利用期望公式即可.

本題考查線性回歸方程的求法，考查離散型隨機變量的期望與方差，考查運算求解能力，是中檔題.

19.答案：解：(1)???三條側棱PA,PB,PC兩兩垂直，S.PA=a,PB=b,PC=c,三棱錐的外接球半徑R=2,

???以α,b,C為長、寬、高的長方體的體對角線為外接球的直徑，即α2+∕√+c2=4R2=16,

.?.a2+b2+C2=；(2。2+2b2+2c2)≥g(2αb+2ac+2bc)=ab+ac+be,當且僅當α=b=C時取等號,

三棱錐的側面積S=?(ɑe+αc+be)≤8,當且僅當α=b=C時取等號，

.??三棱錐P-ABC的側面積S的最大值為8.

(2)依題意X的可能取值為0、1、2,

12111211112

在σ

X-X-=-==XX+-X-X-=-

3262)2339

1211

----

==2==2-3--2=

p(2)69

111219

O+1+2--

X-X--X-=--18

618918

解析：(1)依題意可得α2+∕>2+c2=i6,利用基本不等式求出ab+αc+bc的最大值，即可得解;

(2)依題意X的可能取值為0、1、2,求出所對應的概率，即可求出數(shù)學期望.

本題主要考查離散型隨機變量的分布列和方差，屬于中檔題.

20.答案：解：(1)依題意分=70X24^80X16=74,即〃=74,

)

2Σ空I(Xir72/+耳+…+x%-24√fc2

S女=-S-=-----------24------------=4'

所以好÷%2-1---------卜%24=24(16÷7()2),

同理2_睹。1]瑁)2_/+於+?→y%T6瑁2_

S男=16=16=6'

所以y：+所+…+y1β=16(36+8()2),

所以#_W+χ[+…+?t+y殲必+…+*6-4。？

S-40

24X(16+702)+16X(36+8()2)-40X742_4g,

所以S=√48≈7,即。=7,

因為X~N(74,72),且P(IXrl≤2σ)=0.9545,

所以P(X≤60)=1-黨45=002275.

所以0.02275XIOOO=22.75≈23,即估計顛球成績不超過60個的人數(shù)為23.

(2)設事件Z表示“甲獲勝”，事件B表示“甲前2局獲勝”，甲獲勝有3：0,3：1,3：2三類,

對應的概率分別為(∣)3,C∣×∣×(|)3,Cl×φ2X(|)3,

所以P(A)=(|)3+?×∣×(|)3+Cl×?2X(∣)3=g,

p(^)=?3+∣×?3+?2×φ3=≡.

所以P(BM)=需=羌

所以在甲獲勝的條件下，求其前2局獲勝的概率為甘.

24

解析：(1)根據(jù)平均數(shù)、方差公式求出〃、＜7,再根據(jù)正態(tài)分布的性質求出P(X≤60),即可估計人數(shù)；

(2)設事件4表示“甲獲勝”，事件B表示“甲前2局獲勝”，求出PG4)、P(AB),再利用條件概率的概率公

式計算可得.

本題考查正態(tài)分布相關知識，屬于中檔題.

21.答案：解：(1)由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象可知當0≤x≤押cos%≥Sig

當:<X≤5時SinX>cosx,

sinx,O≤X≤7

nJ

ICOSX,-<x<-

顯然/(X)的單調遞增區(qū)間為［0幣，單調遞減區(qū)間為%芻，

點P、Q關于％=3對稱，設P(X,sinX)(O<X<》，Q(^-x,sinx),

則矩形PQRS的面積g(x)=C-2x)sinx,x∈(0,2).

(2)證明：(i)令Tn(X)=tanx—X,x∈

則M(X)=—^2—1>0,

故TnQ)在(Oq)上單調遞增，

故Tn(X)>m(0)=0,

?tanx>χf即當％∈(0,)時%<tanx.

⑻因為g(x)=G-2x')sinx,x∈(0,；),

則g'(x)=-2sinx+(^—2x)cosx,

令九(X)=g'(x)=-2sinx+(^—2xy)cosx,x∈(0,，)，

則h'(x)=-4cosx-ζ-2x)sinx<0,即g'(x)在(OW)上單調遞減,

又"(O)=*9'ζ)=->Γ2,所以7(X)在(OW)上存在唯一零點沏，

當O<x<%o時W'