2021新高考數學基礎訓練卷一(解析)

2021高考數學基礎訓練卷-

一、單選題

1.如圖，集合4={。,2,4},B={1,3,4),則陰影部分表示的集合是()

A.{/B.{0,123,4}

C.10,2}D.{1,3}

【答案】C

【分析】

陰影部分表示集合4中去掉A3部分剩余元素組成的集合.

【詳解】n

AcB={4}

陰影部分表示集合A中去掉A3部分剩余元素組成的集合，即陰影部分表示的集合是{。,2上

故選：Cn

2+i11

2.設"則()

【答案】B

【分析】

利用復數的除法運算先求出z,再求出模即可.

【詳解】

2+z(2+z)z,~

?/z=---=-------=1—2z,

ii2

???|Z|=J12+(—2)2=6.

故選：B.

3.已知直線/：尸的+6）和圓C：%2+（廠1）=1,若直線/與圓C相切，貝!|*=（）

A.0B.莊c.苧或0D.褥或0

【答案】D

【分析】

根據直線與圓相切的條件建立方程，可得選項.

【詳解】

1-1+73^1L

因為直線I與圓C相切，所以圓心C到直線I的距離d=—j=W^=l,解得k=o或k=4.故選：D.

J1+-2

4.已知變量了,丁之間的一組數據如表:

X3456

y2.5344.5

若y關于％的線性回歸方程為亍=°-7x+8,則&=（）

A.0.1B.0.2C.0.35D.0.45

【答案】C

【分析】

先求F,代入亍=0.7x+d,即可得計算6的值.

【詳解】

3+4+5+6,「

x=--------------=4.5,

4，

2.5+3+4+4.5.=

y=---------,---------=3.5,

4

將匯=4.5,了=3.5代入￡=0.7x+6

得方=0.35,

故選：C

5.已知A(1,D,3(2,—4),C(X,-9),且"http://AC,則"()

A.3B.2C.1D.T

【答案】A

【分析】

先求出A8和AC的坐標，利用向量共線的坐標表示列方程即可求解.

【詳解】

A3=（『5）,TC=Q-1,-10）,

因為AB〃AC,所以1x（—10）=—5（x—1）,解得：x=3,

A

6.已知'q為等比數列%｝的公比，且G=-,則4=（）

n12234

A.-1B.4

11

C.--D.+-

22

【答案】C

【分析】

利用等比通項公式直接代入計算，即可得答案；

【詳解】

,_11

aGq)=--a2Q—————1

ii2?2_q2_1

1「農i="2,

aq2=一h^2=416

[i4

故選：C.

7.若球的半徑為10夕”，一個截面圓的面積是36兀cm2,則球心到截面圓心的距離是（）

A.5cmB.6cmc.8cmD.10cm

【答案】C

【分析】

由題意可解出截面圓的半徑，然后利用勾股定理求解球心與截面圓圓心的距離.

【詳解】

由截面圓的面積為3位cm2可知，截面圓的半徑為6°”，則球心到截面圓心的距離二^7=8cm.

故選：C.

【點睛】

解答本題的關鍵點在于，球心與截面圓圓心的連線垂直于截面.

8.已知函數/G)是定義在或上的可導函數，對于任意的實數X,都有;笆=62工，當x<0時,

/(x)+/,G)>0,若e4(2a+l)?/(a+l),則實數a的取值范圍是()

A.0,|B.-|,0c.D.(-oo,01

【答案】B

【分析】

構造函數gG)=e"Q),根據題意，可得函數g(x)的奇偶性，根據x<0時y(x)+/'G)>。，對函數

g(x)求導，可得函數g(x)的單調性，將"/(2。+1)之/Q+1),左右同乘eo+1,可得

e2a+if(2a+1)>ea+ifG+1),即g(2a+l)?g(a+l),利用g(x)的性質，即可求得答案.

【詳解】

/(f))=exf(x)=e-xf(-x),

1aE=團

令gG)=e、/G),貝!Jg(-x)=gG),即g(x)為偶函數，

當x<0時/(x)+/'(x)>0,

Hg'G)=ex[/G)+/G)]>o,即函數g(x)在(一8,0)上單調遞增.

根據偶函數對稱區(qū)間上單調性相反的性質可知g(%)在(0，k)上單調遞減,

0ea/(26!+l)>/G+l),

團e2a+if(2a+1)>ea+if(a+1),

團g(2a+l)之g(a+l),即|2a+l|<k+l],

2

解得，—gVaWO,

故選：B.

【點睛】

解題的關鍵是將題干條件轉化為匚上=G)=e-/(-%),根據左右相同的形式，構造函數

ex

g(x)=exf(x),再根據題意，求得函數的奇偶性，單調性；難點在于：由辛。/(2。+1)2/(。+1),不

符合函數g(x)的形式，需左右同乘e〃+i,方可利用函數g(x)的性質求解，屬中檔題.

二、多選題

9.下列函數中，定義域是R且為增函數的是()

A.y=e-xB.y=心

c.y=lnxD.y=x

【答案】BD

【分析】

利用基本初等函數的基本性質可得結論.

【詳解】

對于A選項，0<|<1,所以，函數y=是定義域為R的減函數;

對于B選項，函數，=心是定義域為H的增函數；

對于C選項，函數)=山》是定義域為(0,內)的增函數；

對于D選項，函數丁=%是定義域為H的增函數.

故選：BD.

【點睛】

本題考查基本初等函數定義域和單調性的判斷，屬于基礎題.

10.在下列函數中，最小正周期為兀的所有函數為()

A.J=sin2xB.y=|cosx|

C.y-cosI2x+—ID.y=tan

【答案】ABC

【分析】

利用周期公式或圖像判斷即可.

【詳解】

T2兀

對于A,T=—二兀，

co

對于B,y=COSX的周期是2兀，y=卜05%|的圖像是把》=饃5%的圖像的％軸下方部分關于了軸對稱,

..E2兀

周期減半，故y=|cosx|的周期是兀，對于c,T=w=兀，

E兀兀

對于D,T=-=—,

co2

故選：ABC.

【點睛】

此題考函數的周期的求法，屬于簡單題.

11.已知曲線C:mx2+ny2=1()

A.若機=0,n>0,則。是兩條直線

B.若根=〃>0,則c是圓，其半徑為￡■

C.若m>">0,則C是橢圓，其焦點在X軸上

D.若機〃<0,則。是雙曲線，其漸近線方程為y=±J[x

【答案】AD

【分析】

由曲線方程及圓錐曲線的性質逐項判斷即可得解.

【詳解】

1

對于A,若m=0,n>0,則C:〃y2=l即y=±—尸，為兩條直線，故A正確；

yjn

對于B,若根=〃>0,貝!|。：彳2+尸=1,所以C是圓，半徑為心，故B錯誤;

n、n

對于C,若m>n>0,則。<上<一,

mn

c?2+22=i

所以。：如2+疑2=1即-TT"為橢圓，且焦點在y軸上，故c錯誤;

mn

X2V2

對于D,若加〃＜。，則,?---+---=1

11為雙曲線,

mn

1

且其漸近線為y=±—^x=±r^x,故D正確.

Im

故選：AD.

12.如圖，在正方體4BCD-qq中，點尸在面對角線4C上運動，給出下列四個命題，則其中正確的

命題的是（）

A.。///平面公產q

BDP1BD

?1

c.平面PDA，平面A/q

D.三棱錐A「BPq的體積不變

【答案】ACD

【分析】

確定平面AC，//平面可判斷A,取特殊點可判斷B,證明號。，平面ACR后得面面垂直，可

判斷C,由棱錐體積公式可判斷D.

【詳解】

如下圖，正方體中AC//qq,由線面平行的判定定理，得AC//平面Afq,同理ADJ/平面。Bq,

因此可得平面ACR//平面A,q,從而平面Acq內的直線qp//平面Ayq,A正確；

如下圖，當P是AC與8。交點時，NRP。是銳角，B錯;

如下圖，由正方體中4。，84可得4。，平面8。8],從而同理有AOJ8。，

因此有百。，平面AC?,團平面PDB1平面AC2,C正確；

如上圖，p々q的面積是矩形ACQA面積的一半，不變，8到平面的距離不變是JBD,因此三

棱錐8-及即三棱錐A-BPJ的體積不變，D正確.

故選：ACD.

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查空間線面關系，棱錐的體積，掌握線面平行的判定，線線垂直、線面垂直與面面垂

直的關系是解題關鍵.解題時對三個垂直的間相互轉化需熟練掌握.

第n卷（非選擇題）

三、填空題

1

13.已知X>1,且x—y=l,則x+一的最小值是

y

【答案】3

【分析】

由題得y〉o,再利用基本不等式求函數的最小值.

【詳解】

由題得％=y+i>i；y

ii?I~,0

所以x+—=y+l+—=y+—+122Iy,—+1=3,

yyyVy

（當且僅當y=i時取等）

所以函數的最小值為3.

故答案為：3

【點睛】

本題主要考查基本不等式求最值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

14.已知（X2—1）=。+〃X+aX2+〃X3++4X16,貝［）〃+〃=.

01231645

【答案】28

【分析】…

先求出二項的通項公式T=cX2）-（-l>,由此通項可知展開式中了的次數均為偶數，所以r=0,

r+185

當「=6時，》的次數為4,從而可求出見,進而可得結果.

4

【詳解】

r

解：因為（T2—1）的第r+1項為T=Cr（X2）（-l>（04rV8且reN*）,

r+18

所以無5不存在，所以4=°,

因為x4的系數為。6（-1%=28,所以a=28,

84

所以+。5=28.

故答案為：28

【點睛】

此題考查二項式展開式的指定項的系數，熟記二項式展開式的通項公式是解題的關鍵，屬于基礎題.

15.某縣城中學安排5位老師（含甲）去3所不同的村?。ê?小學）支教，每位老師只能支教1所村小,

且每所村小學都有老師支教，其中至少安排2位老師去4小學，但是甲不去A校，則不同的安排方法數為

【答案】44

【分析】

4小學若安排3人有8種，4小學若安排2人有36種，利用加法原理計算即可.

【詳解】

解：4小學若安排3人，則有。加=8種；4小學若安排2人.則有C2c2加=36種.

42432

故不同的方法數為8+36=44.

故答案為：44

【點睛】

本題考查排列組合的綜合應用，考查分類討論的思想及邏輯推理能力，屬于基礎題.

16.若數列M｝是等差數列，S是數列的前"項和，則S,S—S,S-S也成等差數列.類比上述

nn112nn3n2n

結論，若數列名｝是等比數列，r是數列的前“項積，則對應的結論為________

nn-----------------

TT

【答案】T,中,產也成等比數列.

n11

n2n

【分析】

TT

根據題中條件，類比等差數列的性質，在等比數列中研究T,聲，之之間關鍵即可.

n11

n2n

【詳解】

因為若數列｛6｝是等比數列，T是數列的前〃項積，

Mn

Tbb?b

則T=bb?…,f■二iQ…戶=bb?…，b,

n12nTbbn+l〃+22n

n12n

bb',h2n+l2n+23n

2n12…2n

所以T^TT=(Z?Z?)?(/?/?)?(/?/?(Z?b)

'nT12n+l22n+232〃+3n3n

2n

=(b).(0).(0>=(幺,

n+ln+2n+32n(T

n

TT

所以T〃，寧，寧成等比數列.

n2n

TT

故答案為：T，中，盧也成等比數列.

n11

n2n

【點睛】

本題主要考查類比推理，涉及等比數列的性質，屬于基礎題型.

四、解答題

17.在等差數列｛。｝中，已知4=16,a=36.在①b=/一；②匕=(-i>.fl；③b=2"…這三個

nO10nClU.nnnn

nn+l

條件中任選一個補充在第(2)問中，并對其求解.

(1)求數列3｝的通項公式；

n

(2)若,求數列的前“項和S”.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】(1)%=2〃+4；(2)答案見解析.

【分析】

(1)設等差數列3｝的公差為d,根據題中條件，求出公差，進而可得通項公式；

n

(2)分別選①②③，根據裂項相消法，分組求和法，以及錯位相減法，即可得出結果.

【詳解】

(1)設等差數列％｝的公差為d,則。=a+(16—6)d,

n166

即36=16+10d,解得d=2,故a=16+("-6)x2=2〃+4.

n

4_4_1_ii

-

(2)選①'由n-—(2n+4)|2(n+l)+4|-U+2)(n+3)~~^2~^+3,

nn+lL」

S3LL1+11_1_1_n

?3445n+2n+33n+33G+3),

選②，b=(-1)/..1(-I)?(2〃+4).

nn

當〃為偶數時，S=2[-3+4-5+6-+(〃+2)]=2x2x1=〃；

當〃為奇數時，S=一3+4—5+6—+(〃+1)—(〃+2)]=2———x1—(〃+2)——n5e

為偶數，

故_5,〃為奇數…

220+4

選③，由。=2?n-a=（2"+4）?得，

nn

S=6-26+8-2s+10-2io++（2〃+4）2八+4,①

n

4s=6-28+8-2io++（2〃+2）?22〃+4+（2〃+4）?22"6,②

n

①.②得，-35=6-26+2?28+2?2io++22〃+4-（2〃+4）2〃+6

n

f28-22n+61/\5，51

=6-26+2-------------（2"+4）?22"+6=——27+—122”+7,

I1—22J..3I3）

03n+5_640

故3=--------22"+7-......

?99

【點睛】

方法點睛：

數列求和的常用方法：

（1）公式法：已知數列是等差或等比的數列，可根據求和公式直接計算；

（2）倒序相加法：如果一個數列｛〃｝的前“項中首末兩端"距離"的兩項的和相等或等于同一常數，那么求

n

這個數列的前n項和即可用導學相加法；

（3）錯位相減法：數列的各項是由一個等差數列與一個等比數列對應項乘積組成，此時求和可采用錯位相

減法；

（4）裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和；

（5）分組轉化法：一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可

用分組轉化法，分別求和后再相加減；

(6)并項求和：一個數列的前"項，可由兩兩結合求解，則稱之為并項求和，形如：a=(-1>/(九)類

型，可采用兩項合并求解.

18.在△加(：中，a、b、c分別為三個內角A、B、C的對邊，且。2-2叵AsinA+c2=以

3

(1)求角A；

(2)若4sinBsinC=3,且。=2,求aABC的面積.

【答案】(1)A=R；(2)0

【分析】

(1)整理匕2-26^^1174+02=a［得：枕+。2-成=2'"bcsinA，再由余弦定理可得cosA=^sinA,

333

問題得解.

2/T1

(2)由正弦定理得：R=」_,6=2Rsin8,c=2RsinC,再代入S=k^csinA即可得解.【詳解】

3AABC2

(1)由題意，得從+。2-。2=2Z?ccosA="bcsinAncosA=sinAtanA=J3,

33

71

團A=；

3

(2)由正弦定理，得一也=J=L=2RnR=3,

sinBsinCsinA3

b=2RsinB,c=2RsinC

if2/TV/T3

國S=—Z?csinA=27?2sinAsinBsinC=2???—=y/3.

AABC2I3J24

【點睛】

本題主要考查了正、余弦定理及三角形面積公式，考查了轉化思想及化簡能力，屬于基礎題.

19.如圖，四棱錐P—3CDE中，BC//DE,BC=2CD=2DE=2PE=2,CE=6,。是BE中點,

PO_L平面BCDE.

(1)求證：平面平面PCE；

(2)求二面角8-PC-。的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)

【分析】

(1)根據題中所給長度可得CE2=Z)E2+CO2,即NC0E=9O。，利用余弦定理，可求得BE=e，

則可得CELBE,利用線面垂直的性質，可得POLCE,根據線面垂直的判定定理即可得證.

(2)如圖建系，分別求得平面PCD和平面P8C的法向量，利用向量法求得二面角8-尸C-D的余弦值，

進而可求得答案.

【詳解】

(1)證明：taCD=DE=l,CE=歷,

0CE2=DE2+CD2,即/CDE=90。，ZCED=45°,

EBC//DE,0ZBCE=ZCED=45°,

136c=2,0BE2=BC^+CEi-2BC-CE-cos45°=2=BC2-CEi,

SCE1BE,

國尸。_L平面BCQE,^POICE,

田POcBE=0,PO,BEu平面P3E,

團?！阓1平面PBE,

0CE<z平面PCE,

國平面PBEL平面PCE.

(2)以。為坐標原點，以過點。且平行于CD的直線為x軸，過點。且平行于BC的直線為1軸，直線P。

為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

D

由P￡=l,OE=LBE=叵,P01BE知P0=叵,

222

則哈-川'嗚京]'小。當'

設平面PCD的法向量為〃]=（5,乂,q）,

n-CD=0x=°

則〈i，即〈1L，

n?。尸二03y-后=0

i1i-1

令氣=也,可得"]

設平面的的法向量為〃2（1%電）,

n-PB=Qx~y~—0

則〈2,即1222

n-BC=0二0

、2

令z「憶可得〃2

n?nJ33

團cos<n,n>=-1-----3—

12

|〃」也I11

則二面角B7PC--D的正弦值為2叵.

【點睛】

當題中條件有邊的具體長度，考慮用勾股定理證明垂直，再結合線面垂直的判定定理，性質定理進行證明，

學生需熟練掌握各個定理，考查推理證明，求值計算的能力.

20.互聯網在帶給人們工作.學習方便.快捷的同時，網絡游戲也讓一些人沉溺于其中不能自拔，游戲成癮，

無心工作.學習，特別是青少年.前不久，網絡消息稱某985高校有18名學生由本科降為?？?某心理咨詢機

構為了調研青少年網癮成因，隨機地調查了200名大一學生，得到以下2x2列聯表:

伙伴中有沉溺網

合計

伙伴中無沉溺網游游

本人不沉溺網游11060170

本人沉溺網游102030

合計12080200

(1)是否有99.5%的把握認為本人沉溺于網游與伙伴中有沉溺于網游有關？說明你的理由；

(2)在所有受調查的學生中，按分層抽樣的方法抽出20人，再在這20人中隨機地抽取5人進行訪談，求

至少有一名學生沉溺于網游的概率.

附表及公式：

P(K2>k)

0.1000.0500.0250.0100.005

0

輸入S,A,民〃2.7063.8415.0246.6357.879

n(ad-be)

K2tr----------xr-，n二Q+Z?+C+d

\a+b)\c(b+d')

【答案】(1)有99.5%的把握認為本人沉溺于網游與伙伴中有沉溺于網游有關，理由見解析；(2)—.

【分析】

(1)根據列聯表中的數據求得K2的值，再與臨界值表對照下結論.

(2)記"從20人中隨機地抽取5人至少有一名學生沉溺于網游”為事件A,由尸(A)=1-PQ)求解，

【詳解】

200(110x20-10x60〉

(1)Ki?10.458>7.879

~170x30x120x80

有99,5%的把握認為本人沉溺于網游與伙伴中有沉溺于網游有關；

(2)記“從20人中隨機地抽取5人至少有一名學生沉溺于網游”為事件A

..P(A)=1一尸G)=1—￡=巴

C5228

20

21.已知橢圓C：四+二=1（。〉匕〉0）的離心率為監(jiān)，點「

2』在橢圓C上.

Q2力2

27

（1）求橢圓的方程;

（2）設勺，1分別是橢圓C的上、下焦點，過1的直線/與橢圓C交于不同的兩點4、B,求4AB的

內切圓的半徑的最大值.

△

V2[

【答案】（1）丁+12=1；（2）—.

4乙

【分析】

（1）根據橢圓離心率以及點在橢圓上，結合俏=加+。2得到關于a,b,c的方程組，求解出a,b,c的值，則

橢圓方程可求;

（2）根據等面積法將內切圓的半徑與|\一31聯系在一起，采用聯立方程思想并結合韋達定理以及基本不

等式求解出,-%?的最大值，從而內切圓的半徑的最大值可求?

【詳解】

C_y/3

~a~^2

（1）因為￡=正，且P當,11在橢圓上，所以,13,。2=4

——+——=1,所以枕=],所以橢圓方程為:

Q24b2

a2\7

Q2=匕2+。2

V2,

---+X2=1；

4

⑵設屋\,乂）,8（1兀），內切圓的半徑為R，由條件可知直線A3的斜率存在，故設直線

AB:y=kx-v3,

因為s=^\FF\\x-x\=^(\FA\+\FB\+\AB|)-/?,且|＜川+匕回+叫=4fl=8,

\FF\=2c=2j3,

y/3-\x-X

所以當|\一取最大值時尺有最大值，

所以小人一修=4&所以12LR,31

4

又＜N-爪一小,所以Q+4)X2一2dx-1=0,所以X+x=2@^,xx1

4x2+y2=412k2+412k+4

2

I12k2-4^2+4^+1

所以

i3

取等號時際=E'即-土"

A

X-尤

1j<3g=1，所以內切圓的半徑最大值為0.

所以K=4-4

322

【點睛】

方法點睛：圓錐曲線中求解三角形面積的常用方法：

1

(1)利用弦長以及點到直線的距離公式，結合］X底x高，表示出三角形的面積；

(2)根據直線與圓錐曲線的交點，利用公共底或者公共高的情況，將三角形的面積表示為:?“岡-x

或1-y|；

(3)借助三