物理學(xué)教程第二版095電勢新

物理學(xué)教程第二版095電勢新§9-5

靜電場的環(huán)路定律電勢

當帶電體在靜電場中移動時，靜電場力對帶電體要作功，這說明靜電場具有能量。

一.靜電場力的功WEFdq0.==dl.dlEq0=dlcosjqE0=dr=qrπ24εOqOdrdlrrjrd局部放大圖W=rbòr2qπ4εOqOdrra=()ar1qπ4εOqObr1Edlaqrbra0qbjj··對于由n個點電荷所組成的電場有：

試驗電荷qo在靜電場中從一點沿任意路徑運動到另一點時，靜電場力對它所作的功僅與試驗電荷qo以及路徑的起始點和終了點的位置有關(guān)，而與該路徑的形狀無關(guān)。在靜電場中，電場力對試驗電荷作功與路徑無關(guān)是靜電場的一個重要性質(zhì),也說明了靜電場力是保守力，靜電場是保守場。(可以與重力相類比)結(jié)論Edlaqrbra0qbjj··()iar1qπ4εOqOW=Σi＝1nibr1E=.dl0lò

如果試驗電荷從a點出發(fā)經(jīng)過bcd再回到a點則有：二.場強環(huán)流定律：

靜電場力的功和作功的路徑無關(guān)，

靜電力是一保守力，因此可以引入勢能的概念。

其中q0不會=0E電場強度環(huán)流則:在靜電場中，將單位正電荷沿任意閉合路徑繞行一周，靜電場力對它所作的功為零Eq0=.dl0lòE=.dl0lò·bcda·靜電場力對電荷qo所作的功等于靜電勢能的改變量。三.電勢能E

重要結(jié)論：靜電場力作功電勢能減少。外力克服靜電場力作功，則電勢能增加。問題：E＋－電勢能增加還是減少？·－qa·b負電荷在a移動到b的過程中：增加W==Eaabq0EbE.dlaòbEdlaqrbra0qbjj··問題：非均勻電場E中有a、b

兩個點，一個正試驗電荷q

從a

移到b

的過程中，電勢能是增加的，則:

（1）標出電場強度的方向，

（2）

a、b

兩點哪一點的電勢高？

（3）a、b

兩點哪一點的電場強度來得強？左端為＋、右端為－。＋－（1）∴電場強度的方向向右（2）

a、b

兩點中b點的電勢高（看電場線的走向）（3）

b點的電場強度來得強（看電場線的疏密）E·b·qa分析：正試驗電荷q從a移到b的過程中電勢能增加，說明在該過程中是克服電場力作功的。一般在理論計算時，取無窮遠處為電勢能的零點在實際問題中有時選擇地球表面為零勢能點。a點的電勢能為：其中設(shè)b為零勢能點)(或定義：電荷qo

在電場中某點處的電勢能在數(shù)值上等于將它從該點移動到零電勢能處電場力所作的功。W==Eaaq0E.dlaò∞∞W==Eaabq0E.dlaòba

點的電勢在數(shù)值上等于將單位正電荷從a

點移到無窮遠處靜電場力對它所作的功9-6.電勢1.電勢差VbVa=Edla.bò（描述靜電場的另一個重要物理量）一.電勢電勢是一個標量電勢的物理意義Wa==Vaq0E.dla8ò=VaE.dlaò∞VbE.dlbò∞=E.dlaòb2.

靜電場力的功和電勢差的關(guān)系在原子、核子物理中，電子、質(zhì)子的能量常用電子伏特為單位：1eV＝1.602×10－19

(J)WabVbVa=q()VaVb=q()－關(guān)系式很重要是計算題目的依據(jù).

定義：靜電場中a、b兩點的電勢差Vab在數(shù)值上等于把單位正試驗電荷從a點移到b點時靜電場力所作的功。Ur+Ur1.

點電荷的電勢二、電勢的計算電勢的高低看電場線的走向

越靠近正電荷電勢越高、越靠近負電荷電勢越低(也是計算大塊連續(xù)帶電體電勢的基礎(chǔ)工具)q·rp點電荷考察點=VpE.dl8pò=επ2r4q8p0drcos00òV=επr4q0對于點電荷系：2.

點電荷系的電勢電勢疊加原理物理量電勢是標量,只要代數(shù)和.=VpE.dl8pò.dl8pò=E1E2(+)+8pò.dl=E1E2+.dl8pò+V1=Vi+=ΣV2+V3+V=επr4q011+επr4q022+V=επr4q0ΣiiPr2q2.r1q13.

連續(xù)帶電體的電勢帶電體上的電荷是連續(xù)分布的，可以無限細分為無限多個電荷元，視為點電荷，每個點電荷在電場中某一處的電勢為：然后將無限多個點電荷在電場中某一處的電勢貢獻加以求積分，進行電勢的疊加（標量疊加）V=επr4q0dd·dqPrqV=επr4q0dò10×=2.463(v)3××=9109×0.101(4.04.0)108C=18=4.0×0

例題:

已知q2q1r=0.10

m=試求：將電荷q0從a點移到b點靜電場力所作的功。

，q0C184.0×0abq12q0qrrr·=Va+=0Vq1Vq2V=επr4q0b31επr4q02+=επr40q11q23)(+由前面得到：=×2.46105(J)由靜電場力的功和電勢差的關(guān)系式=Va+=0Vq1Vq210×=2.463(v)VbWabVbVa=q()WabVbVa=q()0VbVa()=1.0×10

－8×2.46103=1.0×10

－8×abq12q0qrrr·

例題：四個+q

的點電荷，分別在邊長為a

的正方形的四個頂點，對角線相交于0點，P點在0點的正上方，它們相距為a

，求：（1）0點的電場強度

（2）0點的電勢（5）P

點的電勢是多少？（4）在這個過程中，電勢能是增加還是減少？（3）將試驗電荷qo從無窮遠處移到0點，則電場力作功是多少？（設(shè)無窮遠處的電勢為零)opqaqqqa····0Eo=（1）0點的電場強度在0點各個電荷的電場強度疊加，相互抵消（2）0點的電勢電勢是標量。在0點各個電荷的電勢疊加為它們量值的代數(shù)和a22Vo＝4×q4πεo（3）將試驗電荷qo從無窮遠處移到0點，則電場力作功是多少？（設(shè)無窮遠處的電勢為零)opqaqqqa····＝2πεoaq∵電場力作負功，∴電勢能是增加的。其量值為：

（4）在這個過程中，電勢能是增加還是減少？（3）將試驗電荷qo從無窮遠處移到0點，則電場力作功是多少？（設(shè)無窮遠處的電勢為零)opqaqqqa····WV0V∞=q()0-=qo2πεoaq-=qo2πεoaq△E＋=qo2πεoaq（5）P點的電勢是多少？aa2222+=r()qUP44×=ε0πaa2222+()aq6=3ε0π先計算出連接q

到P

點的距離rr0pqaqqqa·····V=επr4q0由：πε4o=R2x2+()12q

例題：求一均勻帶電圓環(huán)軸線上一點的電勢。已知：q

、

R

、

x

。RdqxPr0··xV=επr4q0dd分析：無限細分為無限多個電荷元，視為點電荷，每個點電荷在電場中P點處的電勢為：然后將無限多個點電荷在電場中P點處的電勢貢獻加以求積分，進行電勢的疊加（標量疊加）。V=επr4q0dòP

1.rR≤注意：積分要一段一段進行例題：求一均勻帶電球面內(nèi)外的電勢。已知：q、

R

。=VpE.dl8rò0R+qP.r+++++++=E.dlRrò內(nèi)+E.dR∞ò外l（均勻帶電球面內(nèi)部）=επ2r4q8Rdr0ò0+=επR4q02.rR≥（均勻帶電球面外部任一點）=VE.dr∞ò外rP=επ2r4q8rdr0ò=επr4q0場強分布曲線ERr02r1∝

結(jié)論：均勻帶電球面，球內(nèi)的電勢等于球表面的電勢，球外的電勢等效于將電荷集中于球心的點電荷的電勢。電勢分布曲線VRr0r1∝選擇題：（1）電場強度為零的點，電勢也一定為零。（2）電場強度不為零的點，電勢也一定不為零。

（3）電勢為零的點，電場強度也一定為零。

（4）電勢在某一區(qū)域內(nèi)為常數(shù)，則電場強度在該區(qū)域內(nèi)必定為零。（1）均勻帶電為Q的空心球面：球面內(nèi)的電場強度E處處為零球面內(nèi)的電勢V等于球表面的電勢而不是等于零的。0RQE＝0×V=επR4Q0（2）電場強度不為零的點，電勢也一定不為零。而在兩個異性點電荷中間P點的電勢（3）電勢為零的點，電場強度也一定為零?！痢粒ɡ碛赏希蹋?）電勢在某一區(qū)域內(nèi)為常數(shù)則電場強度在該區(qū)域內(nèi)必定為零?！Lq+q－Eq－Eq+P點在兩個異性點電荷的中間EP則：＝＋E+E-≠0＋＝0V=επL4q0επL4q0－例題：如圖所示，有一個點電荷q＝10-9C，A、B、C三點分別距該點電荷10cm、20cm、30cm若選B點的電勢為零，則分別求出A點和C點的電勢。解：V=επr4q0由：可以求出：A點電勢V＝90VB點電勢V＝45VC點電勢V＝30V＋···qABC∵選B點的電勢為零所以：A點電勢V＝90V－45V＝45VC點電勢V＝30V－45V＝－15V（練習(xí)冊P2填充題3）例題：電量Q

均勻地分布在長為L

的細棒上如圖示，求：距離細棒一端a

處P點的電場強度和電勢。分析：在細棒上無限細分帶電長度且電荷元在P點的場強方向均相同。解：P點的電場強度沿x軸負向·PdEdqdxxxaQπEε=x241q0dd=πεx24Qx0dLπεx24Qx0dL=òaaL＋EdòE=P=πε4Q01L（aa＋L1)－=πε4Q0（aa＋L)ddxλQdxLldq

==以上求出了P點的電場強度，現(xiàn)再求離距離細棒一端a

處P點的電勢：解：·PdEdqdxxxaQddxλQdxLldq

==V=επx4q0ddV=επx4q0dòPπεx4Qx0dL=πεx4Qx0dL=òaaL＋=πε4Q0Llnaa＋L例題：電場強度為E

的均勻電場中，有一個半徑為R

的半球封閉面S，如圖所示。求：通過半球面的電場強度通量。如果沿著半球面的底面將電荷q從A移到B，則電場力作的功是多少？分析：由高斯定理=E－πR2cos600=－21－EπR2=半球面+E.dSsòòE.dSòò圓面E.dSòò=0j半球面=j－圓面=E－·S通過半球面的電場強度通量ES600AB如果沿著半球面的底面將電荷q

從A

移到B，則電場力作的功是多少？因為靜電場力作功與路徑無關(guān)，所以有：Sdl600AB=－√3qERqW==ABEq.dlABòWAB弧=EqABòcos（900＋600）dl=Eqsin600AB－QR0·例題：電荷Q

均勻分布在半徑為R

的球體內(nèi)，試求：球體內(nèi)外的電場強度和電勢的分布。分析：因為電荷分布具有球?qū)ΨQ性，所以求電場強度分布用高斯定理；電勢分布則用電勢的定義來求。求：場強分布由高斯定理：（在球體內(nèi)作高斯面）r＜R=E.dSsòòqε0r高斯面Er24π＝ε01Q43πR343πr3＝Qr3R3ε0高斯定理等式的左邊高斯定理等式的右邊QRor高斯面Er24π＝ε01Q43πR343πr3＝Qr3R3ε0E=等式左右兩邊相等得：Qε0rπ24E=等式左右兩邊相等得：Qε0Rπ34r（在球體外作高斯面）＜RrEr24π＝Qε01再由電勢的定義求：球體內(nèi)外的電勢分布E=Qε0Rπ34rE=Qε0rπ24由：＜＜RRrr=VpE.dl8Pò電勢定義：（其中V∞＝0）r＜R:=E.drRrò1+E.dR∞ò2r=VpE.dl8ròRQP·r·0=drRrò+dR∞òrQε0Rπ34rQε0rπ24=Qε0Rπ8Rr22（)3-r＞R：例題：如圖所示，BCD

是以R

為半徑的半圓弧。已知：AB=R。在A處放置點電荷＋q，在0

處放置點電荷－3q

求（1）若把電荷Q從點B經(jīng)C（沿半圓）移至D，電場力對它作的功（2）將電荷－Q從D點沿直線DE移到無限遠處，外力所作的功。RQP·r·0=VpE.dr8ròE.dr8rò=2=rd∞òrQε0rπ24Qε0rπ4=（此題和練習(xí)冊P2計算題2類似，在數(shù)據(jù)上有所改變，解題的思路完全相同）求：（1）若把電荷Q從點B經(jīng)C（沿半圓）移至D電場力對它作的功（2）將電荷－Q從D點沿直線DE移到無限遠處，外力所作的功。解：（1）根據(jù)電場力的功和電勢差的關(guān)系式W＝Q（VB－VD）根據(jù)點電荷電勢的結(jié)論公式和電勢的疊加原理···A0BDERC＋q－3q600επR4q0由：V=B－επR4q03=－επR2q0（2）將電荷－Q從D點沿直線DE

移到無限遠處，外力所作的功。επR4q0V=B－επR4q03=－επR2q0qεπR40V=D－επR4q03=3q－επR203W＝Q（VB－VD）將VB和VD的量值代入W中：=επR6q0Q電荷Q從點B經(jīng)C（沿半圓）移至D電場力對它作的功。···A0BDERC＋q－3q600RW＝Q（VD－V∞）Q（－0）q－επR203==q－επR203Q例題：有一半徑為R的均勻帶電球面，帶電量是Q，沿半徑方向上有一條均勻帶電的細棒，電荷線密度為λ、長度為L，細棒的近端離球心的距離是L，如圖所示。設(shè)球和細棒上的電荷分布固定，求：細棒在電場中的電勢能。解：建坐標、取長度元（電荷元dq＝λdx）帶電量Q

的球面，在x處產(chǎn)生的電勢為：所以dq在Q的電場中具有的電勢能為：RQLx·0LλxdxV=επx4Q0d=dqV=λdxWεπx4Q0所以，整條帶電細棒在Q產(chǎn)生的電場中的電勢能為：如果細棒的電量為q＝λL

，則上述的結(jié)果為：d=dqV=λdxWεπx4Q0W=ò=LλdxdWò2Lεπx4Q0ln2LL=επ4Q0λRQLx·0Lλxdxln2=επ4Q0λWln2=επ4Q0qL····q－q－q2aarP例題：

如圖所示，電荷分布為一種電四極子，(1)證明在電四極子軸線的延長線上，離中心為r的P點處的電場強度的大小為：Eε43=π0rQ4式中的Q＝2qa2稱為電四極子（練習(xí)冊P2計算題1）(2)P的電勢為：Vε4－=π0rQ3分析：本題的第一個證明已在《電場強度》的章節(jié)中證畢，在此證明（2）可以有二種解題方法。第一種解題方法：按電勢的物理定義來求解=VpE.dl8rò····q－q－q2aarPEε43=π0rQ4其中已證畢=Vpdròε43π0rQ4=ε43π0Qr4－dròε43π0Q=3－1r3－ε4－=π0rQ3證畢第二種解題方法：按電勢的疊加原理來求解V1=Vi+=ΣV2+V3+V=επr4q011+επr4q022+VΣV1=i+V2+V3+V1=V2=V3=2επr410q－επr410＋aq－επr410－aqViΣV=V1=+V2+V3+····q－q－q2aarP=－επr420－q（）1a2r2－r=－επr420q（）a2r2－a2∵r＜＜a∴=2επr40q3a2=επr40Q3－式中的Q＝2qa2稱為電四極子證畢例題：已知有一均勻帶電＋Q的四分之一圓環(huán)，其半徑為R，另有一個點電荷＋Q置于A點，如圖所示，求（1）0處的電場強度矢量（2）0處的電勢。（練習(xí)冊P4計算題1）分析：（1）0處的電場強度矢量，已經(jīng)在前一章計算了，其結(jié)果如下：ε42=π01RQE總iε22π0RQ2－）（ε22π0RQ2－j··RRRA＋Q＋Q0yxdq＝λdlθdθ·（2）0處的電勢VA=+V0V41圓弧VA其中=επR4Q0VA其中=επR4Q0··RRRA＋Q＋Q0yxdq＝λdlθdθ·V41圓弧=επR4q0dò02πR4d

＝λdlq=ò0πR2επR40λdl=ò02πR4επR40λdlλ＝πR2Q2πR4Q＝=επR4Q0VA=+V0V41圓弧=επR4Q0+επR4Q0=επR2Q00處的電勢例題：已知電荷均勻分布在半徑為R的圓弧上，如圖所示，電荷線密度為λ，圓弧對圓心所張的圓心角是α，求（1）圓心0處的電場強度矢量（2）圓心0處的電勢。（練習(xí)冊P35計算題1）yxdExdEyR0α2α2·dq＝λdldθθθdE分析：（1）0處的電場強度矢量，已經(jīng)在前一章計算了，其結(jié)果如下：ε=π0Rsinλ2α2Ei（2）圓心0處的電勢。V=επR4q0ddV=επR40θdòRλα2α2d

＝λdlq＝λRθd=επ40αλ圓心0處的電勢ⅠⅡⅢ例題：如圖所示，一均勻帶電Q

的球形膜,在它的半徑從R1擴大到R2的過程中,距球為R

的一點的場強將由____________變?yōu)開______電勢由_________變?yōu)開________,通過以為半徑R的球面的電通量由________變?yōu)開_____。RR2R1（練習(xí)冊P3：填充題1）QRπ24εOQRπ24εO0QRπ4εOOεQ0分析：根據(jù)高斯定理，在距球為R處建立高斯面，其內(nèi)含有Q。所以場強是：半徑擴大到R2則高斯面內(nèi)無電荷，所以場強變?yōu)榱愀咚姑媲騼?nèi)的電勢＝球面的電勢（等勢體）Q例題:一個半徑為R的無限長均勻帶電圓柱面，電荷面密度為σ，求：圓柱面內(nèi)、外電場強度的分布和電勢的分布。（設(shè)中心軸為電勢零點）解：電荷分布軸對稱，取柱面為高斯面后來求：電場強度。由高斯定理可知：E1=0（理由：電荷分布在圓柱面上）2πrh=ε01σ2πRhE2R0·=E.dSsòòqε0高斯面rr＜R（高斯面作在圓柱面內(nèi)）r＞R（高斯面作在圓柱面外）rhh等式左邊等式右邊E20ε=rσR得：求電勢的分布：R0·高斯面rrhE1=0（r＜R）E20ε=rσR（r＞R）電場強度的分布：（r＜R）=V1E.drR0ò1=0因為題設(shè)中心軸為電勢零點所以積分從R積到0=·òrREdr2＋·òR0E1drV=2·òrREdr（r＞R）20ε=òrRdrrσRln=rσR0εR例題：真空中有一段帶電的導(dǎo)線，如圖所示,已知電荷線密度為λ，求該帶電導(dǎo)線對圓心0

的電場強度的貢獻和電勢的大小。已知：AB的長度＝DE的長度解：建立坐標和作圖分析∵AB、DE帶電直線對0點對稱又∵BCD帶電部分相對于y軸對稱RABCDE0·RABCDE0·yx＝E0＋EABEBCDEDE＋∴EABEDE＋＝0EABEDE∴Ex＝0x軸方向抵消∴E0＝Eydòy軸方向疊加dlθdEdEydExdθ再求帶電導(dǎo)線對圓心0的電勢：πEε=R241q0ddπεR24θ0dRλ=∵E0＝Eydòy軸方向疊加sinθ＝Eydò＝òdE-πεR24θ0dRλsinθ＝ò-π0πεR20λ=－RABCDE0·yxdlθdEdEydExdθEABEDEπεR20λ=－E0j帶電導(dǎo)線對圓心0的電場強度的貢獻電荷元對圓心0的電場強度的貢獻：d

λdlq＝λRθd＝BCD帶電部分的電勢=4ε0λddxλldq

=V=επx4q0ddVVAB=òdVDE=l2ε04λn=òR2R=επx4x0dλπddlλldq

=V=επR4q0dd=επR4l0dλVòdVBCD=επR4l0dλ=ò0πRRABCDE0·xxdxVBCD2VDE=V0＋根據(jù)電勢的疊加原理=＋ε2l20λnπ4ε0λ例題：如圖所示，一個帶有－q的點電荷，位于半徑是R的帶有＋Q電量的球面中心0處，試求（1）電場強度的分布（2）電勢的分布情況。（練習(xí)冊P4計算題3）＋＋＋＋＋Q·－qR0＋＋＋分析：此類題目要用高斯定理和電勢的定義來做。設(shè)：帶電球面內(nèi)部為1區(qū)，帶電球面外部為2區(qū)求：（1）場強分布由高斯定理：=E.dSsòòqε0（在球面內(nèi)1區(qū)作高斯面）r＜Rr高斯面Er24π＝ε0－q1r24πE1=ε0－q再由