挑戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘(全國(guó)通用)專題04二次根式(12個(gè)高頻考點(diǎn))(舉一反三)(全國(guó)版)(原卷版+解析)

專題04二次根式（12個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)1二次根式的定義】 1【考點(diǎn)2二次根式有意義的條件】 2【考點(diǎn)3二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)】 2【考點(diǎn)4最簡(jiǎn)二次根式】 2【考點(diǎn)5二次根式的乘除】 3【考點(diǎn)6分母有理化】 3【考點(diǎn)7同類二次根式】 4【考點(diǎn)8二次根式的加減法】 5【考點(diǎn)9二次根式的混合運(yùn)算】 5【考點(diǎn)10二次根式的化簡(jiǎn)求值】 6【考點(diǎn)11比較二次根式的大小】 6【考點(diǎn)12二次根式的應(yīng)用】 6【要點(diǎn)1二次根式的定義】一般地，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式?！究键c(diǎn)1二次根式的定義】【例1】（2023·河南·靈寶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)三模）下列式子：①13；②1?2；③x2+1；④327；⑤?4A．①③⑤ B．①③ C．①②③ D．①②③⑤【變式1-1】（2023·廣東·江門市新會(huì)東方紅中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若最簡(jiǎn)二次根式3a?b4a+3b和2a?b+6能合并，則a、bA．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【變式1-2】（2023·廣東·東莞市萬江第三中學(xué)三模）下列各式中是二次根式的為（

）A．a(chǎn)+b B．st C．?x3【變式1-3】（2023·河南省淮濱縣第一中學(xué)三模）已知x=6?25為一元二次方程x2+ax+b=0的一個(gè)根，且a，b為有理數(shù)，則【考點(diǎn)2二次根式有意義的條件】【例2】（2023·四川·綿陽(yáng)市桑棗中學(xué)一模）若等式(x?1)(x+2)=x?1?x+2成立，則字母A．x≥0 B．x≥?2 C．?2≤x≤1 D．x≥1【變式2-1】（2023·四川師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知x，y均為實(shí)數(shù)，y=x?2+4?2x【變式2-2】（2023·遼寧丹東·中考真題）在函數(shù)y＝x+3x中，自變量x的取值范圍是（

A．x≥3 B．x≥﹣3 C．x≥3且x≠0 D．x≥﹣3且x≠0【變式2-3】（2023·湖北黃石·中考真題）函數(shù)y=xx+3+1x?1A．x≠?3且x≠1 B．x>?3且x≠1 C．x>?3 D．x≥?3且x≠1【要點(diǎn)2二次根式的基本性質(zhì)】①(a)2=a(a≥0)；②【考點(diǎn)3二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)】【例3】（2023·四川宜賓·二模）下列計(jì)算正確的是（

）A．721=3 B．3?8=?2 【變式3-1】（2023·內(nèi)蒙古內(nèi)蒙古·中考真題）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置如圖所示，則a2+1+|a?1|的化簡(jiǎn)結(jié)果是（A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a【變式3-2】（2023·福建·莆田第十五中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）若12a是整數(shù)，則正整數(shù)a的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式3-3】（2023·四川南充·中考真題）若8?x為整數(shù)，x為正整數(shù)，則x的值是_______________．【要點(diǎn)3最簡(jiǎn)二次根式】最簡(jiǎn)二次根式滿足的條件：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式?！究键c(diǎn)4最簡(jiǎn)二次根式】【例4】（2023·江蘇·射陽(yáng)縣第四中學(xué)一模）下列二次根式中是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A．30 B．12 C．8 D．1【變式4-1】（2023·湖北襄陽(yáng)·二模）若最簡(jiǎn)二次根式a+1與8是可以合并的二次根式，則a＝______．【變式4-2】（2023·重慶文德中學(xué)校二模）下列二次根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A．8 B．13 C．a(chǎn)b2【變式4-3】（2023·廣東·江門市新會(huì)東方紅中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若最簡(jiǎn)二次根式3a?b4a+3b和2a?b+6能合并，則a、bA．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【要點(diǎn)4二次根式的乘除】二次根式的乘法：；(a≥0，b≥0)二次根式的除法：；(a≥0，b＞0)【考點(diǎn)5二次根式的乘除】【例5】（2023·湖北恩施·中考真題）從2，?3，?2這三個(gè)實(shí)數(shù)中任選兩數(shù)相乘，所有積中小于2的有（A．0 B．1 C．2 D．3【變式5-1】（2023·廣東番禺中學(xué)三模）計(jì)算：abA．1|a|b2ab B．1abab【變式5-2】（2023·廣東佛山·一模）下列整數(shù)中，與(424A．5 B．6 C．7 D．8【變式5-3】（2023·河北·大名縣束館鎮(zhèn)束館中學(xué)三模）能與3÷A．1÷2 B．2÷6 C．6【考點(diǎn)6分母有理化】【例6】（2023·福建·漳州三中八年級(jí)階段練習(xí)）觀察下列一組式子的變形過程，然后回答問題：12+1=2?1

(1)求110(2)請(qǐng)你用含n（n為正整數(shù)）的關(guān)系式表示上述各式子的變形規(guī)律：______________；(3)利用這一規(guī)律計(jì)算：1【變式6-1】（2023·安徽·二模）-23的倒數(shù)是（A．-232 B．-23 【變式6-2】（2023·河北保定·一模）已知x=12+3（1）x2（2）(x?y)2【變式6-3】（2023·重慶·西南大學(xué)附中三模）某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)二次根式的時(shí)候發(fā)現(xiàn)：有時(shí)候兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，例如，(5?2)(5+2)=1，甲：13?乙：設(shè)有理數(shù)a，b滿足：a2+1+丙：12022?。阂阎?3?x?11?x=4戊：13+以上結(jié)論正確的有（）A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁【考點(diǎn)7同類二次根式】【例7】（2023·上海普陀·二模）下列二次根式中，與3x是同類二次根式的是（

）A．x3 B．3x C．3x【變式7-1】（2023·上海崇明·二模）如果最簡(jiǎn)二次根式3x?5與x+3是同類二次根式，那么x的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式7-2】（2023·上?！つM預(yù)測(cè)）二次根式5x+8與7是同類二次根式，則x的最小正整數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．?【變式7-3】（2023·湖北·孝感市孝南區(qū)教學(xué)研究室模擬預(yù)測(cè)）如果二次根式x+5與2可以合并，那么x的值可以是_________（只需寫出一個(gè)）【考點(diǎn)8二次根式的加減法】【例8】（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）如果a+1與12的和等于33，那么a的值是___________．【變式8-1】（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）計(jì)算3+3【變式8-2】（2023·河北省保定市第二中學(xué)分校一模）18?【變式8-3】（2022·河北唐山·二模）已知：?50+12=a【考點(diǎn)9二次根式的混合運(yùn)算】【例9】（2023·江蘇·南京師范大學(xué)附屬中學(xué)樹人學(xué)校二模）計(jì)算23【變式9-1】（2023·山東泰安·中考真題）計(jì)算：8?【變式9-2】（2023·江蘇泰州·中考真題）計(jì)算:(1)計(jì)算：18?(2)按要求填空：小王計(jì)算2xx解：2xx==小王計(jì)算的第一步是(填“整式乘法”或“因式分解”)，計(jì)算過程的第步出現(xiàn)錯(cuò)誤.直接寫出正確的計(jì)算結(jié)果是.【變式9-3】（2023·江蘇·九年級(jí)二模）如圖，一次函數(shù)y=x+2的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，把直線AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°交x軸于點(diǎn)C，則線段AC長(zhǎng)為（

A．6+2 B．32 C．2+【考點(diǎn)10二次根式的化簡(jiǎn)求值】【例10】（2023·廣東番禺中學(xué)三模）已知x2＝2x+15，則代數(shù)式(x+2【變式10-1】（2023·四川·隆昌市藍(lán)天育才學(xué)校一模）已知a+b=3，ab=2，則ab【變式10-2】（2023·浙江·舟山市定海區(qū)第七中學(xué)一模）已知x?1x【變式10-3】（2023·湖北·荊門市海慧中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知xy=3，則yx【考點(diǎn)11比較二次根式的大小】【例11】（2023·四川瀘州·中考真題）與2+15最接近的整數(shù)是（

A．4 B．5 C．6 D．7【變式11-1】（2023·陜西延安·二模）比較大小：23_____3【變式11-2】（2023·湖南懷化·中考真題）比較大?。?2__________1【變式11-3】（2023·貴州安順·中考真題）估計(jì)(25+52A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間【考點(diǎn)12二次根式的應(yīng)用】【例12】（2023·四川眉山·中考真題）將一組數(shù)2，2，6，22，…，42，2，6，2210，23，14…若2的位置記為(1,2)，14的位置記為(2,3)，則27【變式12-1】（2023·江蘇無錫·一模）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：3，82，153，244，……其中第5個(gè)數(shù)為______，第n【變式12-2】（2023·湖北·鄂州市鄂城區(qū)教學(xué)研究室三模）閱讀與應(yīng)用：同學(xué)們，你們已經(jīng)知道(a?b)2≥0，即a2?2ab+b2≥0．所以a2+b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))閱讀1：若a、b為實(shí)數(shù)，且a>0，b>0，∵(a?b)2≥0，∴a?2閱讀2：若函數(shù)y=x+mx(m>0，x>0，m為常數(shù))．由閱讀1結(jié)論可知：x+mx≥2x?m閱讀理解上述內(nèi)容，解答下列問題：?jiǎn)栴}1：已知一個(gè)矩形的面積為4，其中一邊長(zhǎng)為x，則另一邊長(zhǎng)為4x，周長(zhǎng)為2x+4問題2：若函數(shù)y=a+9a?1(a>1)，則a=問題3：建造一個(gè)容積為8立方米，深2米的長(zhǎng)方體無蓋水池，池底和池壁的造價(jià)分別為每平方米120元和80元，設(shè)池長(zhǎng)為x米，水池總造價(jià)為y元，求當(dāng)x為多少時(shí)，水池總造價(jià)y最低？最低是多少？【變式12-3】（2023·貴州銅仁·三模）已知任意三角形的三邊長(zhǎng)，如何求三角形面積？古希臘的幾何學(xué)家海倫解決了這個(gè)問題，在他的著作《度量論》一書中給出了計(jì)算公式—海倫公式S=pp?ap?bp?c（其中a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，p例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面積可以這樣計(jì)算：∵a＝3，b＝4，c＝5∴p=a+b+c∴S=p事實(shí)上，對(duì)于已知三角形的三邊長(zhǎng)求三角形面積的問題，還可用我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解決．根據(jù)上述材料，解答下列問題：如圖，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9（1）用海倫公式求△ABC的面積；（2）求△ABC的內(nèi)切圓半徑r．專題04二次根式（12個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)1二次根式的定義】 1【考點(diǎn)2二次根式有意義的條件】 3【考點(diǎn)3二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)】 5【考點(diǎn)4最簡(jiǎn)二次根式】 6【考點(diǎn)5二次根式的乘除】 8【考點(diǎn)6分母有理化】 10【考點(diǎn)7同類二次根式】 13【考點(diǎn)8二次根式的加減法】 15【考點(diǎn)9二次根式的混合運(yùn)算】 16【考點(diǎn)10二次根式的化簡(jiǎn)求值】 19【考點(diǎn)11比較二次根式的大小】 21【考點(diǎn)12二次根式的應(yīng)用】 23【要點(diǎn)1二次根式的定義】一般地，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式。【考點(diǎn)1二次根式的定義】【例1】（2023·河南·靈寶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)三模）下列式子：①13；②1?2；③x2+1；④327；⑤A．①③⑤ B．①③ C．①②③ D．①②③⑤【答案】A【分析】由二次根式的性質(zhì)和定義進(jìn)行判斷，即可得到答案【詳解】解：13、x2+11?2=?1無意義，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的定義進(jìn)行判斷【變式1-1】（2023·廣東·江門市新會(huì)東方紅中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若最簡(jiǎn)二次根式3a?b4a+3b和2a?b+6能合并，則a、bA．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【答案】D【分析】由二次根式的定義可知3a?b=2，由最簡(jiǎn)二次根式3a?b4a+3b和2a?b+6能合并，可得4a+3b=2a?b+6【詳解】解：∵最簡(jiǎn)二次根式3a?b4a+3b和2a?b+6∴3a?b=24a+3b=2a?b+6∴3a?b=2a+2b=3解得a=1b=1故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的定義和最簡(jiǎn)二次根式的定義，熟知定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·廣東·東莞市萬江第三中學(xué)三模）下列各式中是二次根式的為（

）A．a(chǎn)+b B．st C．?x3【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的定義判定即可．【詳解】解：A、a+b是整式不是二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；B、stC、?xD、aa≥0故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式，熟練掌握二次根式的定義“形如aa≥0【變式1-3】（2023·河南省淮濱縣第一中學(xué)三模）已知x=6?25為一元二次方程x2+ax+b=0的一個(gè)根，且a，b為有理數(shù)，則【答案】

2；

?4；【分析】將x=6?25因式分解求得x=5?1，則x2+ax+b=0可化簡(jiǎn)得5a?2+b?a+6=0，根據(jù)a，b為有理數(shù)，可得【詳解】解：∵x=====∴x∴5∴6?2∴5∴5∵a，b為有理數(shù)，∴a?2，b?a+6也為有理數(shù)，故當(dāng)5a?2+b?a+6=0時(shí)候，只有∴a=2，b=?4，故答案是：2，?4；【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理數(shù)，無理數(shù)的概念的理解，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2二次根式有意義的條件】【例2】（2023·四川·綿陽(yáng)市桑棗中學(xué)一模）若等式(x?1)(x+2)=x?1?x+2成立，則字母A．x≥0 B．x≥?2 C．?2≤x≤1 D．x≥1【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的意義可以得知x?1≥0，x+2≥0構(gòu)成不等式組就可以求出其x的取值范圍．【詳解】解：∵x?1∴x?1≥0解得x≥1．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除法，二次根式有意義的條件及不等式組的解法，根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式組是解答關(guān)鍵.【變式2-1】（2023·四川師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知x，y均為實(shí)數(shù)，y=x?2+4?2x【答案】8【分析】直接利用二次根式有意義的條件得出x的值，進(jìn)而得出y的值，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵y=x?2∴x?2?04?2x?0∴x=2，∴y=3，∴x故答案為：8【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握二次根式的定義是解題關(guān)鍵.【變式2-2】（2023·遼寧丹東·中考真題）在函數(shù)y＝x+3x中，自變量x的取值范圍是（

A．x≥3 B．x≥﹣3 C．x≥3且x≠0 D．x≥﹣3且x≠0【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0列出不等式組，解不等式組即可得到答案．【詳解】解：由題意得：x+3≥0且x≠0，解得：x≥﹣3且x≠0，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍的確定，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023·湖北黃石·中考真題）函數(shù)y=xx+3+1x?1A．x≠?3且x≠1 B．x>?3且x≠1 C．x>?3 D．x≥?3且x≠1【答案】B【分析】直接利用二次根式有意義的條件、分式有意義的條件分析得出答案．【詳解】解：依題意，x+3>0∴x>?3且x≠1故選B【點(diǎn)睛】此題主要考查了函數(shù)自變量的取值范圍，正確掌握二次根式與分式有意義的條件是解題關(guān)鍵．【要點(diǎn)2二次根式的基本性質(zhì)】①(a)2=a(a≥0)；②【考點(diǎn)3二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)】【例3】（2023·四川宜賓·二模）下列計(jì)算正確的是（

）A．721=3 B．3?8=?2 【答案】B【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、平方根、立方根的定義逐項(xiàng)判定即可．【詳解】解：A、721B、3?8C、a2D、25=5故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根、算術(shù)平方根和立方根的定義，熟練掌握三者的概念的區(qū)別與聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·內(nèi)蒙古內(nèi)蒙古·中考真題）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置如圖所示，則a2+1+|a?1|的化簡(jiǎn)結(jié)果是（A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)軸得∶0<a<1，得到a>0，a-1<0，利用二次根式和絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)求解即可．【詳解】解∶∵根據(jù)數(shù)軸得∶0<a<1，∴a>0，a-1<0，∴原式=|a|+1+1-a=a+1+1-a=2．故選∶B．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，掌握a2【變式3-2】（2023·福建·莆田第十五中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）若12a是整數(shù)，則正整數(shù)a的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)12=22×3，若12a是整數(shù)，則12a【詳解】解：∵12=22×3又∵能被3整除的最小平方數(shù)是9，∴a的最小正整數(shù)值是3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，正確理解12a=2【變式3-3】（2023·四川南充·中考真題）若8?x為整數(shù)，x為正整數(shù)，則x的值是_______________．【答案】4或7或8【分析】根據(jù)根號(hào)下的數(shù)大于等于0和x為正整數(shù)，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根據(jù)8?x為整數(shù)即可得x的值．【詳解】解：∵8?x≥0∴x≤8∵x為正整數(shù)∴x可以為1、2、3、4、5、6、7、8∵8?x為整數(shù)∴x為4或7或8故答案為：4或7或8．【點(diǎn)睛】本題考查了利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)、解一元一次不等式等知識(shí)點(diǎn)，掌握二次根式的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【要點(diǎn)3最簡(jiǎn)二次根式】最簡(jiǎn)二次根式滿足的條件：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式?！究键c(diǎn)4最簡(jiǎn)二次根式】【例4】（2023·江蘇·射陽(yáng)縣第四中學(xué)一模）下列二次根式中是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A．30 B．12 C．8 D．1【答案】A【分析】被開方數(shù)含有開不盡方的因數(shù)或因式，且不含分母，這樣的二次根式是最簡(jiǎn)二次根式，根據(jù)此概念進(jìn)行判斷即可．【詳解】A、此二次根式再也不能化簡(jiǎn)了，故是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；B、12=2C、8=2D、12故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的識(shí)別，二次根式的性質(zhì)，掌握最簡(jiǎn)二次根式的概念是關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·湖北襄陽(yáng)·二模）若最簡(jiǎn)二次根式a+1與8是可以合并的二次根式，則a＝______．【答案】1【分析】根據(jù)同類二次根式的定義計(jì)算求值即可；【詳解】解：∵8＝22，根據(jù)題意得：a+1＝2，解得a＝1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，字母因式是整式，被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式；同類二次根式：把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式；掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．【變式4-2】（2023·重慶文德中學(xué)校二模）下列二次根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A．8 B．13 C．a(chǎn)b2【答案】D【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A．8=2B．13C．a(chǎn)bD．3是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義，滿足以下兩個(gè)條件的二次根式，叫最簡(jiǎn)二次根式：①被開方數(shù)中的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因數(shù)或因式．理解和掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023·廣東·江門市新會(huì)東方紅中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若最簡(jiǎn)二次根式3a?b4a+3b和2a?b+6能合并，則a、bA．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【答案】D【分析】由二次根式的定義可知3a?b=2，由最簡(jiǎn)二次根式3a?b4a+3b和2a?b+6能合并，可得4a+3b=2a?b+6【詳解】解：∵最簡(jiǎn)二次根式3a?b4a+3b和2a?b+6∴3a?b=24a+3b=2a?b+6∴3a?b=2a+2b=3解得a=1b=1故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的定義和最簡(jiǎn)二次根式的定義，熟知定義是解題的關(guān)鍵．【要點(diǎn)4二次根式的乘除】二次根式的乘法：；(a≥0，b≥0)二次根式的除法：；(a≥0，b＞0)【考點(diǎn)5二次根式的乘除】【例5】（2023·湖北恩施·中考真題）從2，?3，?2這三個(gè)實(shí)數(shù)中任選兩數(shù)相乘，所有積中小于2的有（A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)題意分別求出這三個(gè)實(shí)數(shù)中任意兩數(shù)的積，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：由題意得：?3∴所有積中小于2的有?6故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的乘法運(yùn)算，熟練掌握二次根式的乘法運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·廣東番禺中學(xué)三模）計(jì)算：abA．1|a|b2ab B．1abab【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，最后根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：ab故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的乘除運(yùn)算和二次根式的性質(zhì)，a?b=【變式5-2】（2023·廣東佛山·一模）下列整數(shù)中，與(424A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再估算出5的值即可判斷．【詳解】解：(4＝4＝8﹣5，∵2.22＜5＜2.32，∴2.2<5∴5.7<8?5∴與(424故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算以及估算無理數(shù)的大小，估算無理數(shù)大小要用逼近法．【變式5-3】（2023·河北·大名縣束館鎮(zhèn)束館中學(xué)三模）能與3÷A．1÷2 B．2÷6 C．6【答案】C【分析】根據(jù)二次根式乘除混合運(yùn)算逐項(xiàng)計(jì)算即可求解．【詳解】解：A.1÷2×B.2÷6C.6÷3×D.3÷故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式乘除混合運(yùn)算，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)6分母有理化】【例6】（2023·福建·漳州三中八年級(jí)階段練習(xí)）觀察下列一組式子的變形過程，然后回答問題：12+1=2?1

(1)求110(2)請(qǐng)你用含n（n為正整數(shù)）的關(guān)系式表示上述各式子的變形規(guī)律：______________；(3)利用這一規(guī)律計(jì)算：1【答案】(1)10(2)1(3)20【分析】（1）根據(jù)題目中的例子進(jìn)行分母有理化求解即可；（2）按照所給等式的變化規(guī)律寫出第n個(gè)等式即可；（3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式計(jì)算即可．【詳解】（1）由題意可得：110故答案為：10?（2）由題意可得：1n+1故答案為：1n+1（3）1=(=(?1+=(=202=2019【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的分母有理化及二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．【變式6-1】（2023·安徽·二模）-23的倒數(shù)是（A．-232 B．-23 【答案】D【分析】乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)，依此即可得出答案．【詳解】解：∵-2∴-23的倒數(shù)是故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了倒數(shù)，分母有理化，正確掌握倒數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．【變式6-2】（2023·河北保定·一模）已知x=12+3（1）x2（2）(x?y)2【答案】

14

11【分析】根據(jù)分母有理化得到x=2?3，將x和y【詳解】解：∵x=1∴x=1∴（1）x=2?=4?43=14，故答案為：14；（2）x?y2=2?=?2=12?1=11，故答案為：11．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分母有理化、二次根式的混合運(yùn)算法則，理解相關(guān)知識(shí)是解答關(guān)鍵．【變式6-3】（2023·重慶·西南大學(xué)附中三模）某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)二次根式的時(shí)候發(fā)現(xiàn)：有時(shí)候兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，例如，(5?2)(5+2)=1，甲：13?乙：設(shè)有理數(shù)a，b滿足：a2+1+丙：12022丁：已知43?x?11?x=4戊：13+以上結(jié)論正確的有（）A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁【答案】B【分析】根據(jù)分母有理化進(jìn)行計(jì)算逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：甲：13?乙：設(shè)有理數(shù)a，b滿足：a2+1+丙：∵1∴12022?。骸?3?x?11?x則43?x+戊：1====33?故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)7同類二次根式】【例7】（2023·上海普陀·二模）下列二次根式中，與3x是同類二次根式的是（

）A．x3 B．3x C．3x【答案】A【分析】根據(jù)同類二次根式的定義：一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．求解即可．【詳解】解：A.原式=3x3B.不是同類二次根式，不符合題意；C.不是同類二次根式，不符合題意；D.原式=x3故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了同類二次根式，以及二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同類二次根式的概念．【變式7-1】（2023·上海崇明·二模）如果最簡(jiǎn)二次根式3x?5與x+3是同類二次根式，那么x的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．進(jìn)行求解即可．【詳解】∵最簡(jiǎn)二次根式3x?5與x+3是同類二次根式，∴3x?5=x+3，∴x=4，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查同類二次根式，熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023·上?！つM預(yù)測(cè)）二次根式5x+8與7是同類二次根式，則x的最小正整數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．?【答案】A【分析】把x=4、5、6、?15分別代入【詳解】解：A．x=4時(shí)，5x+8=28=2B．x=5時(shí)，5x+8=33，與C．x=6時(shí)，5x+8=38，與D．x=?15時(shí)，5x+8=7，與故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同類二次根式的定義，化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式，理解同類二次根式的定義是解答關(guān)鍵．【變式7-3】（2023·湖北·孝感市孝南區(qū)教學(xué)研究室模擬預(yù)測(cè)）如果二次根式x+5與2可以合并，那么x的值可以是_________（只需寫出一個(gè)）【答案】?3（答案不唯一）【分析】當(dāng)x+5和2可以合并，所以它們是同類二次根式時(shí)，那么可以令x+5=2，解得x即可．【詳解】當(dāng)x+5和2可以合并，所以它們是同類二次根式，當(dāng)x+5是最簡(jiǎn)二次根式，令x+5=2，解得，x=-3,故答案為：-3（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了同類二次根式的概念，同類二次根式是化為最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式，此題是開放題，只要滿足題意即可．【考點(diǎn)8二次根式的加減法】【例8】（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）如果a+1與12的和等于33，那么a的值是___________．【答案】2【分析】根據(jù)題意二次根式的加減運(yùn)算即可求解．【詳解】解：∵a+1與12的和等于33，∴a+1=33?∴a+1=3∴a=2故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算，掌握二次根式的加減運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）計(jì)算3+3【答案】2【分析】先化簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式即可．【詳解】解：3=3+=23故答案為：23【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減，把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023·河北省保定市第二中學(xué)分校一模）18?【答案】2+3【分析】首先化簡(jiǎn)各二次根式，進(jìn)而合并得出答案．【詳解】解：原式=3=2+故答案為：2+【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)以及合并同類二次根式，正確將每個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2022·河北唐山·二模）已知：?50+12=a【答案】-7【分析】先將原式中二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，合并，則可求得a=?5，b=12，【詳解】解：?50∵?50∴a=?5，b=12，∴ab+c=?5×1故答案為：-7．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的加減，掌握二次根式加減的運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)9二次根式的混合運(yùn)算】【例9】（2023·江蘇·南京師范大學(xué)附屬中學(xué)樹人學(xué)校二模）計(jì)算23【答案】12##【分析】根據(jù)二次根式混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：2====【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式混合運(yùn)算法則．【變式9-1】（2023·山東泰安·中考真題）計(jì)算：8?【答案】2【分析】先計(jì)算乘法，再合并，即可求解．【詳解】解：8==4=23故答案為：23【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023·江蘇泰州·中考真題）計(jì)算:(1)計(jì)算：18?(2)按要求填空：小王計(jì)算2xx解：2xx==小王計(jì)算的第一步是(填“整式乘法”或“因式分解”)，計(jì)算過程的第步出現(xiàn)錯(cuò)誤.直接寫出正確的計(jì)算結(jié)果是.【答案】(1)2(2)因式分解；三和五；1【分析】(1)先化成最簡(jiǎn)二次根式，然后根據(jù)二次根式的四則運(yùn)算法則求解即可；(2)按照分式的加減運(yùn)算法則逐步驗(yàn)算即可.（1）解：原式=32（2）解：由題意可知：2x故小王的計(jì)算過程中第三步和第五步出現(xiàn)了錯(cuò)誤；最終正確的計(jì)算結(jié)果為1x?2故答案為：因式分解，第三步和第五步，1【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的四則運(yùn)算法則及分式的加減運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.【變式9-3】（2023·江蘇·九年級(jí)二模）如圖，一次函數(shù)y=x+2的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，把直線AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°交x軸于點(diǎn)C，則線段AC長(zhǎng)為（

A．6+2 B．32 C．2+【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)表達(dá)式求出點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)，得到△OAB為等腰直角三角形和AB的長(zhǎng)，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，證明△ACD為等腰直角三角形，設(shè)CD=AD=x，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，用兩種方法表示出BD，得到關(guān)于x的方程，解之即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)y=x+2的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B令x=0，則y=2，令y=0，則x=?2則A（?2，0），B（0，2則△OAB為等腰直角三角形，∠ABO=45°，∴AB=22過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，∵∠CAD=∠OAB=45°，∴△ACD為等腰直角三角形，設(shè)CD=AD=x，∴AC=AD2+CD∵旋轉(zhuǎn)，∴∠ABC=30°，∴BC=2CD=2x，∴BD=BC2?CD又BD=AB+AD=2+x，∴2+x=3x，解得：x=3+1，∴AC=2x=2（3+1）=6+故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運(yùn)算，知識(shí)點(diǎn)較多，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造特殊三角形．【考點(diǎn)10二次根式的化簡(jiǎn)求值】【例10】（2023·廣東番禺中學(xué)三模）已知x2＝2x+15，則代數(shù)式(x+2【答案】202或【分析】直接將原式分解因式，再把x的值代入進(jìn)而計(jì)算得出答案．【詳解】解：(x+＝(x+＝2x×2＝42∵x2∴x2（x﹣5）（x+3）＝0，∴x＝5或x＝﹣3．當(dāng)x＝5時(shí)，原式＝42×5=20當(dāng)x＝﹣3時(shí)，原式＝42【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，正確運(yùn)用乘法公式是解題關(guān)鍵．【變式10-1】（2023·四川·隆昌市藍(lán)天育才學(xué)校一模）已知a+b=3，ab=2，則ab【答案】3【分析】先把二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后把a(bǔ)+b=3，ab=2，代入計(jì)算，即可得到答案.【詳解】解：a=(a+b)ab∵a+b=3，ab=2，∴原式=3×2故答案為：32【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，以及二次根式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算的運(yùn)算法則進(jìn)行解題.【變式10-2】（2023·浙江·舟山市定海區(qū)第七中學(xué)一模）已知x?1x【答案】15【分析】通過平方或分式的性質(zhì)，把已知條件和待求式的被開方數(shù)都用的代數(shù)式表示，然后再進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：由x?1x∴x+1原式=x+1x2?4?故答案為：152【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，難度不大，關(guān)鍵是把已知條件和待求式的被開方數(shù)都用x+1【變式10-3】（2023·湖北·荊門市?；壑袑W(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知xy=3，則yx【答案】±2【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)將原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，注意要結(jié)合二次根式有意義的條件進(jìn)行分情況討論【詳解】求解．解：∵xy=3，∴x與y同號(hào)，①當(dāng)x>0，y>0時(shí)，原式=y?===23②當(dāng)x<0，y<0時(shí)，原式=y?=?=?=?23故答案為：±23【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用二次根式有意義的條件．【考點(diǎn)11比較二次根式的大小】【例11】（2023·四川瀘州·中考真題）與2+15最接近的整數(shù)是（

A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】估算無理數(shù)的大小即可得出答案．【詳解】解：∵12.25＜15＜16，∴3.5＜15＜4，∴5.5＜2+15＜6，∴最接近的整數(shù)是6，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小，無理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式11-1】（2023·陜西延安·二模）比較大?。?3_____3【答案】＜【分析】先把根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，再比較大小即可．【詳解】∵23=12，32=18，12＜∴23＜3故答案為：＜【點(diǎn)睛】本題考查了比較二次根式的大小，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū容^兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小是解此題的關(guān)鍵．【變式11-2】（2023·湖南懷化·中考真題）比較大?。?2__________1【答案】＞【分析】直接用22?12，結(jié)果大于0，則【詳解】解：22∴22故答案為：＞．【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的大小比較，常用的比較大小的方法有作差法、作商法、平方法等，正確理解和記憶方法背后的知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【變式11-3】（2023·貴州安順·中考真題）估計(jì)(25+52A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而估算即可求解．【詳解】解：原式=2＝2+10∵3<10∴5<2+10故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，無數(shù)的估算，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)12二次根式的應(yīng)用】【例12】（2023·四川眉山·中考真題）將一組數(shù)2，2，6，22，…，42，2，6，2210，23，14…若2的位置記為(1,2)，14的位置記為(2,3)，則27【答案】(4,2)【分析】先找出被開方數(shù)的規(guī)律，然后再求得27【詳解】數(shù)字可以化成：2，4，6，8；10，12，14，16；∴規(guī)律為：被開數(shù)為從2開始的偶數(shù)，每一行4個(gè)數(shù)，∵27=∴27的位置記為故答案為：(4,2)【點(diǎn)睛】本題考查了類比點(diǎn)的坐標(biāo)解決實(shí)際問題的能力和閱讀理解能力．被開方數(shù)全部統(tǒng)一是關(guān)鍵．【變式12-1】（2023·江蘇無錫·一模）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：3，82，153，244，……其中第5個(gè)數(shù)為______，第n【答案】

355，

【分析】首先將3轉(zhuǎn)換成31【詳解