天津市南開區(qū)2022-2023學年高一年級下冊6月階段性質量檢測（期末）數(shù)學試題（含答案解析）

天津市南開區(qū)2022-2023學年高一下學期6月階段性質量檢

測（期末）數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.從裝有4個黑球、2個白球的袋中任取3個球，若事件A為“所取的3個球中至多有

1個白球“，則與事件A互斥的事件是（)

A.所取的3個球中至少有一個白球B.所取的3個球中恰有2個白球1個黑

球

C.所取的3個球都是黑球D.所取的3個球中恰有1個白球2個黑

球

2.設復數(shù)z=l-2i,則復數(shù)Z的模為（)

A.1B.10C.3D.

3.已知W=3,W=4,且”與6的夾角6=12（）?,則Gb等于（）

A.-6B.6C.—e?/?D.6√3

4.某研究機構為了解某地年輕人的閱讀情況，通過隨機抽樣調查了100位年輕人，對

這些人每天的閱讀時間（單位：分鐘）進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖（如圖所

C.0.020D.0.010

5.如圖，在正三棱柱48C-ABc中，AB=2,A4,=3,則四棱錐A-BCCB的體積

是（）.

4√2

D.4√6

r

6.某校高-一年級隨機抽取15名男生，測得他們的身高數(shù)據(jù)，如下表所示:

編

123456789101112131415

號

身171717171716171717181617171617

高395309754285296

那么這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（）.

A.170B.175C.176D.176.5

7.從數(shù)字1,2,3,4中任取三個不同的數(shù)字，則所抽取的三個數(shù)字之和能被6整除的概率

為（）

A.—B.—C.-D.一

2545

8.已知正四面體的棱長為2,則其外接球的表面積為（）

A.4πB.6πC.8πD.10π

9.已知三條不同的直線/,犯〃和兩個不同的平面α,4,下列四個命題中正確的是（）

A.若"z∕∕α,”∕∕α,則"]〃"B,若〃∕α,mua,則〃/〃？

C.若C-L￡,/Uα,則D.若〃∕α,/_!_/?,則

10.已知C為ΔABC的一個內角，向量m=（2cosC-L-2）,〃=（CoSC,cosC+l）.若,

則角C=

二、填空題

11.某個年級有男生180人，女生160人，用分層抽樣的方法從該年級全體學生中抽取

一介容量為68的樣本，則此樣本中女生人數(shù)為.

12.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)Z=學的共軌復數(shù)為____.

2-1

試卷第2頁，共4頁

13.已知向量α=(1,3),b=(l,l),則°在b方向上的投影向量為.

14.已知正三棱柱A8C-A4G，。為ΛBC的外心，則異面直線ACl與08所成角的

大小為.

15.在矩形ABCZ)中，AB=I,AZ)=6，點M在對角線AC上，點N在邊8上，且

AM=-AC,DN=-DC,則MMAC=______.

43

三、解答題

16.復數(shù)z=(l-i)2-3α+2+i(α∈R).

(1)若Z為純虛數(shù)求實數(shù)。的值，及Z在復平面內對應的點的坐標；

(2)若Z在復平面內對應的點位于第三象限，求實數(shù)。的取值范圍.

17.甲、乙、丙三人進行投球練習，每人投球一次.已知甲命中的概率是】，甲、丙都

4

未命中的概率是W,乙、丙都命中的概率是若每人是否命中互不影響，

(1)求乙、丙兩人各自命中的概率；

(2)求甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率.

18.已知e∣,e?是平面內兩個不共線的非零向量，AB=2ei+e2,BE=-el+Ae2,

EC=%+G,且AEC三點共線.

(1)求實數(shù)幾的值；

⑵若q=(2,1),?=(2,-2),求BC的坐標；

(3)已知。(3,5),在(2)的條件下，若四邊形A8C3是平行四邊形，求點A的坐標.

19.已知,MC的內角A8,C的對邊分別是α,b,c,且。=1,

SinA-SinC=——(sinB-sinC).

a+c

⑴求角A；

(2)求A3C周長的取值范圍.

20.如圖，四棱錐P-ABCz)的底面ABC。為菱形，PB=PD,E,F分別為AB和PZ)

的中點.

(1)求證：EF〃平面PBC；

(2)求證：平面PBO，平面∕?C.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.B

【解析】根據(jù)互斥事件的定義即可判斷.

【詳解】將事件的結果分為三類：白，白，黑；白，黑，黑；黑，黑，黑.

事件A包含：白，黑，黑；黑，黑，黑.根據(jù)互斥事件的定義可知，

只有事件”所取的3個球中恰有2個白球1個黑球”與事件A互斥.

故選：B.

2.D

【分析】根據(jù)復數(shù)模的定義求解即可.

22

【詳解】z=l-2i,.?.∣z∣=λ∕l+(-2)=√5.

故選：B

3.A

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義進行求解.

【詳解】因為忖=3,W=4,且〃與b的夾角6=120?,

所以“?b=卜M卜OS?20o=3×4×^-^=-6.

故選：A.

4.C

【分析】根據(jù)題意結合頻率和為1列式求解.

【詳解】由頻率分布直方圖可知：每組頻率依次為01,IOa,0.45,10”,0.05,

貝I]0.1+10?+0.45+10?+0.05=20?+0.6=1,解得a=0.020.

故選：C.

5.A

【分析】利用割補法，結合柱體、錐體的體積公式運算求解.

【詳解】由題意可知：正三棱柱48C-ABC的體積LCABC=3加2倉必旦=36,

ΛO<-?Λ∣O∣VI22

三棱錐A-ABC的體積V=!倉L倉22?立√3,

∕ι∣?/1OV322

所以四棱錐A-4GC8的體積4用CQ=心口即-%詼=36-6=26.

故選：A.

6.D

答案第1頁，共9頁

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義運算求解.

【詳解】將身高按升序排列得：168,169,169,170,172,173,173,174,175,175,175,176,177,179,182,

因為15X0.8=12,所以這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是叫⑺=

2]765

故選：D.

7.C

【分析】利用列舉法，結合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.

【詳解】從數(shù)字1,2,3,4中任取三個不同的數(shù)字，方法有：1+2+3,1+2+4,1+3+4,2+3+4共

4種，

其中所抽取的三個數(shù)字之和能被6整除的有：1+2+3=6共I種，

故所求概率為

4

故選：C

8.B

【分析】由正四面體的棱長，求出正四面體的高，設外接球半徑為R,利用勾股定理求出R

的值，可求外接球的表面積.

【詳解】因為正四面體的棱長為2,所以底面三角形的高G，

棱錐的高為h=

設外接球半徑為R,則

所以外接球的表面積為S=4πR2=4π[4J=6π.

故選：B.

9.D

【分析】根據(jù)線線、線面、面面位置關系及平行垂直性質判斷逐一判斷.

【詳解】若應∕αW∕ɑ,可以有血/〃或?！ㄏ嘟?故A錯;

若I/∕a,mua,可以有/〃機或/、加異面，故B錯；

若aLβ,lua,可以有/，￡、/與夕斜交、l∕∕β,故C錯；

過/作平面7Ia=〃，則"/〃，又得〃，nuβ,

答案第2頁，共9頁

所以。，夕，故D正確.

故選:D

【點睛】本題考查空間線、面的位置關系，屬于基礎題.

10.C

【分析】機n=0帶入計算即口J.

【詳解】tn±n=，九?n=0

mn=(2cosC-l)cosC-2(cosC+l)=2cos2C-3cosC-2=0

即(2cosC+l)(cosC-2)=0=CoSC=-LnC=空,選C.

23

【點睛】本題考查向量向量垂直的坐標運算，屬于基礎題.

II.32

【分析】根據(jù)分層抽樣的性質運算求解.

【詳解】由題意可得：樣本中女生人數(shù)為68χ777詈二=32.

180+160

故答案為：32.

12.Ui

55

【分析】根據(jù)復數(shù)的運算結合共軌復數(shù)的概念求解.

3+2i(3+2i)(2+i)=47.

【詳解】由題意可得:2-i^(2-i)(2+i)^5+5*

-47

所以復數(shù)Z的共輒復數(shù)為Z=y-=i.

47

故答案為：---i.

13.(2,2)

【分析】先根據(jù)向量的坐標運算求M,L進而求投影向量.

【詳解】由題意可得：∣ft∣=√l2+l2=√2,L?=1×3+1×1=4,

答案第3頁，共9頁

所以“在8方向上的投影向量為1爺J=2'=(2,2).

故答案為：(2,2).

14.-

2

【分析】根據(jù)異面直線夾角的定義結合線面垂直分析求解.

【詳解】延長8。交AC于點M,

因為ASC為正三角形,則點M為AC的中點，可得EWLAC,

又因為AA_L平面ABC,u平面ABC,可得8例，44-

且ACCAA=A,AC,Λ4∣u平面ACGA,可得/平面ACGA,

由于AGU平面ACGA,所以BM,AC∣,即OBLAG，

所以異面直線AG與OB所成角的大小為∣?.

故答案為：?.

【分析】以｛(48,人。?｝為基底向量表示昭UU乂U人UU。U，再根據(jù)垂直關系結合數(shù)量積的運算律運算求

解.

【詳解】以｛A8,AL>｝為基底向量，

Unuι

uuDmuuιnπUulruuιruιππ?UInn7U3/Uimuunλ7≡1????3UInn

貝IJAC=A8+AO,MN=MC+CN=-AC——AB=-AB+AD——AB=-AB+-AD

434、/3124f

,ltLL,UUUULlUl

因為AB=1,AD=y∣3f且AB_LA。，則ABAO=O，

UUirUUH(IUl?3UUln?/UlmUUBl、IUIJ∏23UUil)7

所以MNAC=I五A8+qAD)(A8+Aθ)=歷AB+-ΛD=-.

答案第4頁，共9頁

7

故答案為：y.

【解析】(1)先化簡出Z的代數(shù)形式，再根據(jù)題意求實數(shù)”的值和Z在復平面內對應的點的

坐標；

(2)先化簡出Z的代數(shù)形式，再根據(jù)題意建立不等式求實數(shù)”的取值范圍即可.

【詳解】解：因為z=(l-i)2-3n+2+i,所以z=(I-i)2-3α+2+i=(2-3a)-i

(1)若Z為純虛數(shù)，則2-%=0,解得：a=(,

此時z=T,Z在復平面內對應的點的坐標為：(0,-1),

所以Z為純虛數(shù)時實數(shù)Z在復平面內對應的點的坐標為：(0,-1)

(2)若Z在復平面內對應的點位于三象限，

2—3。<02

則解得a>~

-l<0

所以Z在復平面內對應的點位于第三象限，則實數(shù)〃的取值范圍：g,+∞).

【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式、利用復數(shù)的幾何意義求對應的點的坐標與求參數(shù)、利用

復數(shù)的分類求參數(shù)的范圍，是基礎題.

17.(1)乙、丙兩人各自命中的概率分別為：、9

?O

嗚

【分析】(1)根據(jù)題意結合獨立事件的概率乘法公式運算求解；

(2)分甲、乙、丙三人中2人命中和甲、乙、丙三人中都命中兩種情況，結合獨立事件的

概率乘法公式運算求解.

【詳解】(1)記“甲投球命中”為事件A,“乙投球命中”為事件B,“丙投球命中”為事件C,

則P(A)="畫)=[1"(A)][I-P(C)]:口-P(C)]=:，解得P(C)=彳，

答案第5頁，共9頁

91o

P(BC)=P(B)P(C)=-P(B)=-,解得P(8)=?

34?

?a

所以乙、丙兩人各自命中的概率分別為彳、I

JO

(2)甲、乙、丙三人中2人命中的概率

I↑=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

=—×-×-÷-×-×-+-×-×-=—,

48348348332

、/,3323

甲、乙、丙三人中都命中的概率鳥=P(A)P⑻P(C)=IX￡§二次

15321

所以甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率P=P+∣H=二+==.

327Io732

18.(l)-?

⑵(-7,-2)

(3)(10,7)

【分析】(1)根據(jù)題意求月E，結合向量共線的判定定理運算求解;

(2)根據(jù)題意結合向量的線性運算以及坐標運算求解；

(3)根據(jù)題意結合向量相等運算求解.

【詳解】⑴由題意可得：AE=AB+BE=(2e,+e2)+(-e,+λe2)=el+(1+λ)e2,

若AE,C三點共線，則存在唯一實數(shù)k,使得AE=ZEC,

ITif/UrtΓ?IIIr

艮IJq+(l+4)e,=k1—2q+eJ=—2kq+ke2,

?=-2k

可得,解得

?+λ=k

3

即實數(shù)2的值為

3

(2)由(1)可知：BE=-el--c2f

IllH

則BC=

UlJnif1Lr

因為q=(2,1),/=(2,-2),則BC=Tq-]/=(—7,—2),

所以8C的坐標為(-7,-2).

答案第6頁，共9頁

（3）設點A的坐標為（x,y）,則AO=（3—x,5-y）,

若四邊形A8C3是平行四邊形，則A。=BC,

3-x=-7X=IO

可得5,-2,解得

)=7

所以點A的坐標(10,7).

19.⑴Y

(2)(2,3]

【分析】（1）根據(jù)題意結合正、余弦定理運算求解；

⑵利用正弦定理邊化角，結合三角恒等變換可得a+"c=2sin（B+]+I,再根據(jù)三角

函數(shù)的性質運算求解.

由正弦定理可得=高（。）,

【詳解】(1)因為SinA-SinC=SinB-SinC)αrb-

a+c

整理得從+/一儲=反，

222

b1+c-a-be1

由余弦定理可得cos4=

2bc2bc~2

且4∈（0㈤，所以A哼

a_b_c_l_2?[i

可得b=氈SinB,c=-^sinC，

(2)由正弦定理SinAsinBsinC?/?3

33

T

4Rr國必,2Λ∕3.25∕3.2Λ∕3.25/3

則AβC∕∏jpcα+Z?+C=1H-------sin8H-------sinC=I-I-------sinBH-------sin(A+B)

333