2023屆河南省五岳在線考試高考模擬數(shù)學試卷（含解析）

2023年高考數(shù)學模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

(2丫

~f=~x2

1.二項式1。尤7的展開式中，常數(shù)項為()

A.一8()B.80C.T60D.160

/G)=x+tg(x)=2x+a；,3，AwL,3]()()

2.已知函數(shù)X，若LZ」，使得,?*2/，則實數(shù)”的取值范圍

是()

A.小B.a>\

C.D.a>0

1

ABx<2x<4>

3.已知集合1~，集合(廣J,則71°二()

{x|x>-2}{r|-2<x<2}{r|-2<x<2}{r|x<2}

4.已知集合"={0』23},B={x\-2<x<2]t則AflB等于()

{(M2}{-2,-1,0,1,2}「{-2,-1,0,1,2,3)nfe)

A.D.C.JJ.

a2b2

5.兩圓Q+j+>"4和X2+(i>=l相外切，且加。，則益石的最大值為()

91

A.4B.9C.3D.1

6.如圖所示，三國時代數(shù)學家在《周脾算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證耀中包含四個全等的直角三角

形及一個小正方形(陰影)，設直角三角形有一個內(nèi)角為3。°,若向弦圖內(nèi)隨機拋擲200顆米粒(大小忽略不計，取

73^1.732),則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為()

A.20B.27C.54D.64

7.已知數(shù)列"J為等差數(shù)列，'%為其前〃項和,

〃+。-a=3

635則$7=()

A.42B.21C.7D.3

/G)=sin|+cos(ux((y>0)

在［。周上的值域為B

8.已知函數(shù),則實數(shù)3的取值范圍為（）

9.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列“1中，鏟5“6=3,則骰彳+峽氣+…+%］。1）

A.1+Iog35B.6C,4D,5

x2+3y

io.已知x>°,y>0,x+2y=3,則砂的最小值為（）

A.3-2版B.2a+1c.也-1D.《+1

P={xlx-2K0},Q=xl二40

11.已知集合〔X」，則”“為（）

A.[0,2)B.(2,3]C.[2,3]D.(0,2]

12.如圖，平面四邊形ACBD中，A8=J5,BC=2,△A8O為等邊三角形，現(xiàn)將△ABO沿AB翻

折，使點。移動至點尸，且則三棱錐尸一ABC的外接球的表面積為（）

872

----------7T

A.版B.金C.4nD.3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x+2y-2<0

'X-y-l<0x+1

13.設滿足約束條件囚+y+i*°,則丁+2的取值范圍是.

14.己知邊長為4曲的菱形A8CO中，NA=60。，現(xiàn)沿對角線80折起，使得二面角A一C為120。，此時點A,

B,C,。在同一個球面上，則該球的表面積為_______.

15.已知函數(shù)八"）=如+珈+%若關(guān)于X的不等式/G）<0的解集是Qg'-iLSz）,則=的值為—.

16.已知向量AB，=（1,2）,AC=（一3,1）,則AB-BC=

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)

保局隨機抽取了一年內(nèi)io。天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的檢測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計如下：

AQIt(),50](50[0。](100,15。](150,20()](200,250](250,300]

空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染

天數(shù)61418272510

（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于'，的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；

0,0—100,

y=<220,100<x^250,

（2）已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟損失丫（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為11480,250<%300,,試估計該

企業(yè)一個月（按30天計算）的經(jīng)濟損失的數(shù)學期望.

上+上=13>》〉0）I"半］e」

18.（12分）如圖，已知橢圓以bi經(jīng)過點I’，且離心率2,過右焦點尸且不與坐標軸

垂直的直線/與橢圓°相交于M'N兩點.

（1）求橢圓C的標準方程;

k+k

—4---

⑵設橢圓C的右頂點為A,線段MN的中點為記直線。"AM,AN的斜率分別為勺,勺應，求證：勺

為定值.

19.(12分)甲、乙兩班各派三名同學參加知識競賽，每人回答一個問題，答對得10分，答錯得0分，假設甲班三名

2221

同學答對的概率都是3，乙班三名同學答對的概率分別是1，2,且這六名同學答題正確與否相互之間沒有影響.

(1)記“甲、乙兩班總得分之和是60分”為事件從，求事件A發(fā)生的概率；

(2)用X表示甲班總得分，求隨機變量X的概率分布和數(shù)學期望.

20.(12分)等差數(shù)列("J中，=1,</6=2%.

(1)求'J的通項公式；

(2)設匕=2”，記與為數(shù)列”｝前〃項的和，若S,,=62,求機.

21.(12分)已知如圖1,在RSABC中，ZACB=30°,ZABC=90°,D為AC中點，AE,BD于E,延長AE交BC

于F,將4ABD沿BD折起，使平面ABD,平面BCD,如圖2所示。

圖1圖2

(I)求證：AE*1?平面BCD；

(II)求二面角A-DC-B的余弦值；

(III)求三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積的比(只需寫出結(jié)果，不要求過程).

/(%)=sin2x+—+cos2%+^/3sinxcosx

22.(10分)設函數(shù)I6J

lxl<—

(1)若4,求函數(shù)f(x)的值域；

/A)554

(2)設為AABC的三個內(nèi)角，若2",求cosC的值;

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

5

-X2

求出二項式的展開式的通式，再令X的次數(shù)為零，可得結(jié)果.

【詳解】

\5

(-X2)=(一1)Cr^-rX+2r

-X22

5

解：二項式/展開式的通式為

-^―^+2r=0

令2,解得/*=1

(-1)'Ci24=一80

則常數(shù)項為5.

故選：A.

【點睛】

本題考查二項式定理指定項的求解，關(guān)鍵是熟練應用二項展開式的通式，是基礎(chǔ)題

2、C

【解析】

4

X€一,3X——

試題分析：由題意知，當112J時，由X,當且僅當X時，即x=2等號是成立，

所以函數(shù)/Q)的最小值為4,當、，。才］時,g(x)=2x+a

-s

為單調(diào)遞增函數(shù)，所以“min,又因

,f(x)>gG)/G)

VxG一,3GXG一,38(°在“科］上的最小

為?22L2」的最小值不小于

，1丈1尋12,即仕

值，即O+4W4,解得故選C.

考點：函數(shù)的綜合問題.

【方法點晴】本題主要考查了函數(shù)的綜合問題，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函數(shù)的單調(diào)性及其應用、全稱

命題與存在命題的應用等知識點的綜合考查，試題思維量大，屬于中檔試題，著重考查了學生分析問題和解答問題的

XGL,3

f(x)gG)六xeLj］」1vl旦?

能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用，其中解答中轉(zhuǎn)化為J在12」的最小值不小于在上的最小

值是解答的關(guān)鍵.

3、C

【解析】

求出集合的等價條件，利用交集的定義進行求解即可.

【詳解】

<2}B={r|-2<x<2}

A

解：;

Ac8={r|-2<x<2}

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了對數(shù)的定義域與指數(shù)不等式的求解以及集合的基本運算屬于基礎(chǔ)題.

4、A

【解析】

進行交集的運算即可.

【詳解】

?.?4={0,93}8={xl-24rW2}

Ap|B={02}

，1，?

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了列舉法、描述法的定義，考查了交集的定義及運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、A

【解析】

由兩圓相外切，得出或+從=9,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案.

【詳解】

因為兩圓)和”.相外切

所以J&2+02=3,即"2+62=9

成+。299

a2b2

，、-/—981丫1—9

當2時，砂+。2取最大值494

故選：A

【點睛】

本題主要考查了由圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)，屬于中檔題

6、B

【解析】

V31

—x―X

設大正方體的邊長為X,從而求得小正方體的邊長為22，設落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為N,利用概率模

擬列方程即可求解。

【詳解】

01

——X

設大正方體的邊長為X,則小正方體的邊長為22,

設落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為N,

巫x-L、2

22

7N

則X2200,解得：Nx27

故選：B

【點睛】

本題主要考查了概率模擬的應用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。

7、B

【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出％的值，然后利用等差數(shù)列求和公式以及等差中項的性質(zhì)可求出5的值.

【詳解】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，-a=3

+4-“5=4+”55

7(a+a)7x2a

：.s---1z-==7x321

72----2

故選：B.

【點睛】

本題考查等差數(shù)列基本性質(zhì)的應用，同時也考查了等差數(shù)列求和，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題

8、A

【解析】

L/八*區(qū)可3

/s叫3c+jw.v+-e-^+-癡）=；,.

將整理為\根據(jù)X的范圍可求得'"力；根據(jù)2,結(jié)合心）的值域和snu-的圖象，可知

兀JT2不

一W箱9+-W-

233,解不等式求得結(jié)果.

【詳解】

nK

乖.3r-(

f\x)sinlwx++COSGXVsinwxcos-+cosG;A*sin-+coscux=~ysin<ux+^coscox=+二

x既兀

axc+-e-XQ）+-

當工￡［。.兀］時，J，

￡匚.不兀2K

由/G）在［Oz］上的值域為］二""’3*3

［/1

a）W--

解得：倭刃

本題正確選項：」

【點睛】

本題考查利用正弦型函數(shù)的值域求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象求得角的范圍的上下限，從

而得到關(guān)于參數(shù)的不等式.

9、D

【解析】

由對數(shù)運算法則和等比數(shù)列的性質(zhì)計算.

【詳解】

由題意^3彳+^3丁.+10g31。=W竽2…%)

=log。)5=51og(aa)=51og3=5

3563563.

故選：D.

【點睛】

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對數(shù)的運算法則.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

10、B

【解析】

2=x2+(x+2y)y/+]+生力2目互=1+2點

孫孫yx，選B

IkB

【解析】

先求出尸=GlxW2}，2=Gl°<xW3},得到CRP={%IX>2},再結(jié)合集合交集的運算，即可求解.

【詳解】

P={xlx-2<o},e=

由題意，集合〔XJ,

P={xlxW2},Q={dO<xW3}CP={x\x>2]

所以QP)DQ={xl2<元43}=(2,3]

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了集合的混合運算，其中解答中熟記集合的交集、補集的定義及運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算能

力，屬于基礎(chǔ)題.

12、A

【解析】

將三棱錐產(chǎn)一480補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心。應在棱柱上下底面三角形

的外心連線上，在Ra°BE中，計算半徑即可

【詳解】

由A8J_8C,P8_L8C,可知8c_L平面PA8.

將三棱錐P-ABC補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同.

由此易知外接球球心。應在棱柱上下底面三角形的外心連線上,

記AABP的外心為E,由△430為等邊三角形,

0E=—=l.

可得8E=1.又2,故在中，0B=壺

此即為外接球半徑，從而外接球表面積為8n

故選：A

【點睛】

本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數(shù)學運算的能力，屬于較難題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分,共20分。

13、

【解析】

x+1L手G)(_1_2)L

Z=------v

作出可行域，將目標函數(shù))'+2整理為zx+1可視為可行解與''的斜率，則由圖可知z?或

Z:分別計算出與”2,再由不等式的簡單性質(zhì)即可求得答案.

【詳解】

x+2y-2<0

x-y-1<0

2x+y+l>0入

作出滿足約束條件的可行域,

顯然當x=T時，z=0；

x+11_y+2

Z(xv)(—1—2)—4k

丁+2整理為zx+i可視為可行解

當時將目標函數(shù)與的斜率，則由圖可知ZI或

—>k

z2

4

x=--1-(-2)

x+2y-2=03

=><k=A--------=-H

2x+y+1=051

y——-1-(-1)

k—i3

顯然2一，聯(lián)立所以3

1<-111>1--<z<0

則z或z，故11或°<zV1

【點睛】

本題考查分式型目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題，屬于簡單題

1⑵

14、

【解析】

分別取3。，AC的中點N,連接MN,由圖形的對稱性可知球心必在MN的延長線上，設球心為°,半徑為

R,°N=x,由勾股定理可得x、R2,再根據(jù)球的面積公式計算可得;

【詳解】

如圖，分別取町AC的中點M,N,連接MN.

則易得AM=CM=6,MN=3,MD=26CN=3。,

由圖形的對稱性可知球心必在陽的延長線上，

R2=+27

設球心為。，半徑為R,ON=x,可得1R2=(X+3)2+12,解得X=1,H2=28

故該球的表面積為S=4兀4=1⑵.

故答案為：1127t

【點睛】

本題考查多面體的外接球的計算，屬于中檔題.

15、-3

【解析】

8+C

根據(jù)題意可知以2+云+。=°的兩根為T，2，再根據(jù)解集的區(qū)間端點得出參數(shù)的關(guān)系再求解a即可

【詳解】

f(x)=ax3+bx^+cx=xCzx2+6x+c)

解：因為函數(shù)，

?.?關(guān)于X的不等式/卻)<°的解集是J0，T)u(0,2)

二狽2+/zx+c=°的兩根為：T和2；

(-1)+2，(-1)X2=￡

所以有：a且0；

b~~-ci且-2。.

b+c—ci—2a

.?.-----=----------=-3

aa；

故答案為：T

【點睛】

本題主要考查了不等式的解集與參數(shù)之間的關(guān)系屬于基礎(chǔ)題.

16、-6

【解析】

由=可求83，然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示可求ASBC.

【詳解】

AC

?.?五月=（1,2）,=（-3,1）,,\BC=AC-AB=（一%-I）,

BC

則A月=[X（，4）+2x（-1）=-6

故答案為-6

【點睛】

本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標表示，屬于基礎(chǔ)試題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

23

17、（1）114（2）9060元

【解析】

（1）根據(jù)古典概型概率公式和組合數(shù)的計算可得所求概率；（2）任選一天，設該天的經(jīng)濟損失為X元，分別求出

P（X=0）P（X=220）P（X=1480）

進而求得數(shù)學期望，據(jù)此得出該企業(yè)一個月經(jīng)濟損失的數(shù)學期望

【詳解】

解：（1）設&為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，則

C2。c3co23

p（22）=pa=2）+pa=3）=k+k=nz

2020?

（2）任選一天，設該天的經(jīng)濟損失為X元，則X的可能取值為o,220,1480,

p（x=0）=P（0<x<100）=-=1

1005

P（X=220）=Ml00<x<250）=—=

、10010

P（X=1480）=P（250<4300）=州」

10010

171

EX=0x_+220x_+1480x_=302

所以51010（元），

故該企業(yè)一個月的經(jīng)濟損失的數(shù)學期望為3°EX=906°（元）.

【點睛】

本題考查古典概型概率公式和組合數(shù)的計算及數(shù)學期望，屬于基礎(chǔ)題

三+二=1

18、（1）43.（2）詳見解析.

【解析】

（1）由橢圓離心率、系數(shù)關(guān)系和已知點坐標構(gòu)建方程組，求得出”,代入標準方程中即可;

（2）依題意，直線/的斜率存在，且不為o,設其為％,則直線/的方程為y=Mx-D,設"（氣匕），

通過聯(lián)立直線方程與橢圓方程化簡整理和中點的坐標表示用含k的表達式表示X”，進而表示勺；由韋達定理表

示根與系數(shù)的關(guān)系進而表示用含k的表達式表示勺+勺，最后做比即得證.

【詳解】

C_1

（1）設橢圓的焦距為2c,則。2,即a=2c,所以從=以一‘2=3c?.

依題意，a?2枚，即4c22x3c2,解得"=1,c=l

所以。=2,b2=3.

X2y2

+J=1

所以橢圓C的標準方程為43

（2）證明：依題意，直線/的斜率存在，且不為0,設其為女,

則直線”的方程為y=Mx-D,設M”',；），"凡匕）.

X2V2

=1,

v=k(x-1)(1422+3)"-8左2ex+4k2-12=0

與橢圓聯(lián)立I)"X13整理得

8A2

X+x=---------,

I24左2+3

4^2-12

xx=------.

故.124女2+3

x+x4k23k

x=-1--a-=------y=k(x-1)

所以"24公+3HH4也+3

3k

k="=一而轉(zhuǎn)―

0x4&24k

H-----

所以4攵2+3

fyyk^x-1)k{x-1)f2xx-3(x+x)+4

k+k=--4—+2-=----1------+2-=k?——1—2——-^―12v—

_12x-2x-2x-2x-2xx-2\x4-x)+4

乂12121212

c4攵2-12.8%2

2--3------------+4嗔

=k-〃2+34-2+3=_3

4」—12二~8^7k

-------2-------+4

4^2+34左2+3

3

0--ry

所以4A為定值，得證

【點睛】

本題考查由離心率求橢圓的標準方程，還考查了橢圓中的定值問題，屬于較難題

16

19、(1)243(2)分布列見解析，期望為20

【解析】

1)利用相互獨立事件概率公式求解即可；

(2)

由題意知，隨機變量X可能的取值為0,10,20,30,分別求出對應的概率，列出分布列并代入數(shù)學期望公式求解即可.

【詳解】

…、,222、，22116

&A)=(-x—x—)x(―x—x—)=------

(1)由相互獨立事件概率公式可得，333332243

(2)由題意知，隨機變量X可能的取值為0,10,20,30.

P（X=20）=C;（|j（l—1）=[

P（X=30）甸|j嚕

所以，X的概率分布列為

X0102030

1248

P

279927

￡（X）=0x—+10x^+20xl+30xA=20

所以數(shù)學期望279927

【點睛】

本題考查相互獨立事件概率公式和離散型隨機變量的分布列及其數(shù)學期望；考查運算求解能力;確定隨機變量可能的取

值，求出對應的概率是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.

a=n

20、(1)(2)m=5

【解析】

(1)由基本量法求出公差d后可得通項公式；

C

(2)由等差數(shù)列前〃項和公式求得“，可求得機.

【詳解】

解：(1)設"1的公差為“，由題設得

a=1+(〃-1)4

n

因為，=2%,

所以1+(6-1)4=2口+(3-1)町

解得1=1，

..a二n

故〃

⑵由⑴得幺=2"

fe}

所以數(shù)列n是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列,

2—2〃+i

S=---------=2〃+i—2

所以”1-2

由S「62得2-2=62

解得m=5.

【點睛】

本題考查求等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的前〃項和公式，解題方法是基本量法.

正

21、(I)證明見解析；(II)5；(III)1:5

【解析】

(I)由平面ABD_L平面BCD,交線為BD,AEJ_BD于E,能證明AE_L平面BCD;

(II)以E為坐標原點，分別以EF、ED、EA所在直