2023年中考數(shù)學幾何模型-相似三角形的五種模型（講+練）（原卷版）

專題07相似三角形的五種模型

相似三角形考查范圍廣，綜合性強，其模型種類多，其中有關一線三垂直模型在前面的專題

已經很詳細的講解，這里就不在重復。

模;型一、A字型上

4(4).4(4)

BCC

A字型(平行)反A字型(不平行)

AjEAB

例.如圖，在AABC中，點瓦廠分別在A民AC上，且一

Ai「一茄，

(1)求證：MEFAABC；

EC；_FG

(2)若點。在BC上，AD與EF交于點G,求證：一

BL)"CD-

BD%

【變式訓練1】已知：如圖，點O,尸在△ABC邊AC上,點E在邊BC上，且力E〃AB,

CD1=CF-CA.

(1)求證：EF//BD-,

(2)如果AC?C尸=8C?CE,求證：BD1=DE'BA.

B

【變式訓練2】如圖所示，在△ABC中，DE//BC,AD=5,80=10,AE=3.

(1)求CE的長.

(2)在AABC中，點。，E,Q分別是A8,AC,8c上，3.DE//BC,AQ交。E于點P.小

DPPE

明認為二77=二7,你認為小明的結論正確嗎？請說明你的理由?

【變式訓練3】如圖，在&A48c中，ZACB=90°,NS4C=60。，AC=6,AO平分的C，

交邊BC于點D,過點。作C4的平行線，交邊A3于點E.(1)求線段DE的長；(2)

取線段AD的中點/，聯(lián)結BM,交線段OE于點/，延長線段8M交邊AC于點G，求

器的值.

C

模型二'8字型與反8字型相似

例.如圖，已知在△ABC中，BE平分NABC交AC于E,點。在8E延長線上，且BA?BC=8。

?BE.(1)求證：AABDSAEBC；(2)求證：AD2=BD*DE.

【變式訓練1】如圖，AO與BC交于點O,EF過點0,交AB與點E,交CD與點、F,B0

3Q

=1,C0=3,A0=],D0=1.

(1)求證：NA=/￡).

(2)若AE=BE,求證:

【變式訓練2】如圖，AG//BD,AF：FB=1：2,BC：CD=2：1,求一的值

【變式訓練3】如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點R為DE的中點，BR

分別交AC、CD于點P、Q.(1)求證：△PCQS/^RDQ；(2)求BP：PQ：QR的值.

模型三、AX型(A字型及X字型兩者相結合)

例.如圖，ZVIBC中，D.E分別是AB、AC上的點，且BD=24D,CE=2AE.

(1)求證：/\ADE^/SABC；(2)若。F=2,求FC的長度.

【變式訓練1】如圖，在菱形ABCD中，NADE、NCDF分別交BC、AB于點E、F,DF交對

角線AC于點M,且NADE=NCDF.(1)求證：CE=AF；(2)連接ME,若JC*E=——CD，AF

BECE

—2,求ME的長.

281

【變式訓練2】如圖，AB//CD,AC與相交于點￡點F在線段3C上，—=

BF1

CF-2

(1)求證：AB//EF；

(2)求ABE：SAEBC：SAECD-

ID

【變式訓練3】如圖：AD//EG//BC,EG交02于點F,已知AO=6,3c=8,AE=6,EF

=2.

（1）求EB的長；（2）求FG的長.

模型四、共邊角模型（子母型）

?4(C)

例.在R憶ABC中，ZACB=90°,CD上AB,垂足為O,AT>=8,O8=2,求CO的長

AD1

【變式訓練1】如圖，矩形ABCD中，F(xiàn)是。C上一點，BF1AC,垂足為E,—=-，ACEF

AB2

c

的面積為Si，AAEB的面積為52,則臺的值等于（）

S2

11

C.一D.

425

【變式訓練2】如圖，在△ABC中，ZACB=90°,CD是AB邊上的高.如果8D=4,CD=6,

C.3：V13D.2：V13.

【變式訓練3】如圖，在AABC中，AB=AC,點P、D分別是BC、AC邊上的點，且/APD=/

B,(1)求證：AC?CD=CP?BP；(2)若AB=10,BC=12,當PD〃AB時，求BP的長.

模型五'手拉手模型

例.如圖，在△ABC與△AOE中，ZACB^ZAED=90°,ZABC^AADE,連接80、CE,

若4C：BC=3：4,則B￡＞：CE為（）

A.5：3B.4：3C.V5：2D.2：V3

【變式訓練1】如圖，XABCsMADE,ZBAC=ZDAE=()0o,AB與￡>E交于點。，AB

=4,AC=3,尸是OE的中點，連接80,BF,若點E是射線C8上的動點，下列結論：①

/XAOD^AFOB,②△SOOsaEOA,③NFDB+NFBE=9。。,(4)BF=|A￡,其中正確的

是()

EC

A.①②B.③④C.②③D.②③④

【變式訓練2］已知I：如圖，在△ABC中，點。、E分別在邊BC、AC上，點尸在QE的延

長線上，AD=AF,AE?CE=DE?EF.

(1)求證：△AOES/\ACQ；

(2)如果AE?BO=EfAF,求證：AB=AC

A

【變式訓練3】已知，ABC中，AB=AC,NBAC=2a。，點D為BC邊中點，連接AD,點E

為線段AD上一動點，把線段CE繞點E順時針旋轉2a。得到線段EF,連接FG,FD.

BF

（1）如圖1,當NBAC=60。時，請直接寫出一的值；（2）如圖2,當NBAC=90。時，（1）

AE

中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請寫出正確的結論，并說明理由；

課后訓練

1.如圖，在『中，E、尸分別是邊BC、CD的中點，AE.AF分別交8。于點G、H,

則圖中陰影部分圖形的面積與的面積之比為（）

A.7:12B.7:24C.13:36D.13:72

2.如圖，△ABC中，。為BC中點，E為AD的中點，BE的延長線交AC于F,則不為（）

3.如圖平行四邊形ABC。，/為3。中點，延長4）至使。石:AT>=1:3,連結EF交DC

4.如圖，等邊三角形A8C中，A8=3,點。是C8延長線上一點，且80=1,點E在直線

AC上，當N3AO=NCQE時，AE的長為?

5.如圖，在△48C中，點D,E分別在邊48,4c上，/AED=/B,線段4G分別交線段。E,

BC于點F,G,且"=".(1)求證：/\ADF^/\ACG；(2)若空=3求空的值.

ACCGAC7FG

6.如圖，在平行四邊形ABC。中，點E在邊8c上，連結AE并延長，交對角線BD于點F、

FE

求防的值.

7.己知中，ZACB=9Q°,NC48=30。（如圖）.以線段AB為邊向外作等邊

三角形曲，點E是線段AB的中點，連接CE并延長交線段A。于點尸.（1）求證：四

邊形BCE。為平行四邊形；（2）連接CO,交A3于點①若4?=6,求8M的長；

②作M