高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-3教案2-2-3獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)與二項(xiàng)分布3

2．2.3獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(教師用書(shū)獨(dú)具)●三維目標(biāo)1.知識(shí)與技能(1)理解n項(xiàng)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型．(2)掌握二項(xiàng)分布，并能利用它解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．2．過(guò)程與方法通過(guò)具體例子的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、有創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的能力．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)、探索新知的精神．●重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和二項(xiàng)分布的概念．難點(diǎn)：二項(xiàng)分布的應(yīng)用．教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從n次重復(fù)擲硬幣的試驗(yàn)中，不斷觀察、分析、總結(jié)出n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，掌握獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)必須具有哪些條件，進(jìn)一步以n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)為背景引入二項(xiàng)分布，從而突出重點(diǎn)．通過(guò)例題與練習(xí)讓學(xué)生理解二項(xiàng)分布的應(yīng)用，進(jìn)而化解難點(diǎn)．(教師用書(shū)獨(dú)具)●教學(xué)建議獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是研究隨機(jī)現(xiàn)象的重要途徑之一，很多概率模型的建立都以獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)為背景，二項(xiàng)分布就是來(lái)自于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的一個(gè)概率模型，因此本節(jié)課宜采用以學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)為主的教學(xué)模式，讓學(xué)生從具體試驗(yàn)得到獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，再得出二項(xiàng)分布，體會(huì)知識(shí)的過(guò)渡的思維，讓學(xué)生有充分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究問(wèn)題的機(jī)會(huì)，在活動(dòng)中學(xué)習(xí)、創(chuàng)新、提高．●教學(xué)流程創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，提出問(wèn)題．?引導(dǎo)學(xué)生回答問(wèn)題，掌握n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布的概念．?通過(guò)例1及變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算．?通過(guò)例2及變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握二項(xiàng)分布及其應(yīng)用．?通過(guò)例3及互動(dòng)探究，使學(xué)生掌握二項(xiàng)分布的綜合應(yīng)用．?完成當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)，鞏固所學(xué)知識(shí)，并進(jìn)行反饋、矯正．?歸納整理，進(jìn)行課堂小結(jié)，整體認(rèn)識(shí)所學(xué)知識(shí)．課標(biāo)解讀1.理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型．2．理解二項(xiàng)分布．3．能利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)【問(wèn)題導(dǎo)思】要研究擲硬幣的規(guī)律，需做大量的試驗(yàn)，每次試驗(yàn)的前提是什么？【提示】條件相同．在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．二項(xiàng)分布【問(wèn)題導(dǎo)思】在體育課上，某同學(xué)做投籃訓(xùn)練，他連續(xù)投籃3次，每次投籃的命中率都是0.8，用Ai(i＝1,2,3)表示第i次投籃命中這件事，用B1表示僅投中1次這件事．試用Ai表示B1，試求P(B1)．用Bk表示投中k次這件事，試求P(B2)和P(B3)．由以上問(wèn)題的結(jié)果你能得出什么結(jié)論？【提示】B1＝(A1eq\x\to(A2)eq\x\to(A3))∪(eq\x\to(A1)A2eq\x\to(A3))∪(eq\x\to(A1)eq\x\to(A2)A3)．因?yàn)镻(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8，且A1eq\x\to(A2)eq\x\to(A3)、eq\x\to(A1)A2eq\x\to(A3)、eq\x\to(A1)eq\x\to(A2)A3兩兩互斥，故P(B1)＝P(A1eq\x\to(A2)eq\x\to(A3))＋P(eq\x\to(A1)A2eq\x\to(A3))＋P(eq\x\to(A1)eq\x\to(A2)A3)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22.P(B2)＝3×0.2×0.82，P(B3)＝0.83.結(jié)論：P(Bk)＝Ceq\o\al(k,3)0.8k0.23－k，k＝0,1,2,3.在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中的概率問(wèn)題某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%，計(jì)算(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后面第2位)：(1)5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率；(2)5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確的概率；(3)5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率．【思路探究】由于5次預(yù)報(bào)是相互獨(dú)立的，且結(jié)果只有兩種(即準(zhǔn)確或不準(zhǔn)確)，符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．【自主解答】(1)記預(yù)報(bào)一次準(zhǔn)確為事件A，則P(A)＝0.8.5次預(yù)報(bào)相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，2次準(zhǔn)確的概率為P＝Ceq\o\al(2,5)×0.82×0.23＝0.0512≈0.05，因此5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率約為0.05.(2)“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的對(duì)立事件為“5次預(yù)報(bào)全部不準(zhǔn)確或只有1次準(zhǔn)確”，其概率為P＝Ceq\o\al(0,5)×(0.2)5＋Ceq\o\al(1,5)×0.8×0.24＝0.00672≈0.01.所以所求概率為1－P＝1－0.01＝0.99.所以5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確的概率約為0.99.(3)說(shuō)明第1,2,4,5次中恰有1次準(zhǔn)確．所以概率為P＝Ceq\o\al(1,4)×0.8×0.23×0.8＝0.02048≈0.02，所以恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率約為0.02.1．解答該類問(wèn)題，首先分析隨機(jī)變量是否滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型，再利用公式求解，要抓住“恰有”“至少”等關(guān)鍵性字眼．2．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是相互獨(dú)立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字樣的用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k計(jì)算更簡(jiǎn)單，注意n，p，k的意義．某單位6個(gè)員工借助互聯(lián)網(wǎng)開(kāi)展工作，每個(gè)員工上網(wǎng)的概率都是0.5(相互獨(dú)立)．(1)求至少3人同時(shí)上網(wǎng)的概率；(2)至少幾人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于0.3.【解】(1)至少3人同時(shí)上網(wǎng)，這件事包括3人，4人，5人或6人同時(shí)上網(wǎng)，記“至少3人同時(shí)上網(wǎng)”為事件A，則P(A)＝Ceq\o\al(3,6)(eq\f(1,2))3(eq\f(1,2))3＋Ceq\o\al(4,6)(eq\f(1,2))4(eq\f(1,2))2＋Ceq\o\al(5,6)(eq\f(1,2))5(eq\f(1,2))＋Ceq\o\al(6,6)(eq\f(1,2))6(eq\f(1,2))0＝eq\f(21,32).(2)由(1)知至少3人同時(shí)上網(wǎng)的概率大于0.3，事件B：至少4人同時(shí)上網(wǎng)，其概率為：P(B)＝Ceq\o\al(4,6)(eq\f(1,2))4(eq\f(1,2))2＋Ceq\o\al(5,6)(eq\f(1,2))5(eq\f(1,2))＋Ceq\o\al(6,6)(eq\f(1,2))6(eq\f(1,2))0＝eq\f(11,32)>0.3，事件C：至少5人同時(shí)上網(wǎng)，其概率為：P(C)＝Ceq\o\al(5,6)(eq\f(1,2))5(eq\f(1,2))＋Ceq\o\al(6,6)(eq\f(1,2))6(eq\f(1,2))0＝eq\f(7,64)<0.3.所以至少5人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于0.3.二項(xiàng)分布從學(xué)校乘車到火車站的途中有三個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是eq\f(2,5)，設(shè)ξ為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列．【思路探究】首先應(yīng)根據(jù)題目中的條件確定離散型隨機(jī)變量的取值，然后再計(jì)算離散型隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率．【自主解答】由題意ξ～B(3，eq\f(2,5))，則P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,3)(eq\f(2,5))0(eq\f(3,5))3＝eq\f(27,125)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)(eq\f(2,5))1(eq\f(3,5))2＝eq\f(54,125)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(2,5))2(eq\f(3,5))1＝eq\f(36,125)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,3)(eq\f(2,5))3＝eq\f(8,125).所以分布列為：ξ0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)1．本題屬于二項(xiàng)分布，當(dāng)X服從二項(xiàng)分布時(shí)，應(yīng)弄清X～B(n，p)中的試驗(yàn)次數(shù)n與成功概率p.2．利用二項(xiàng)分布來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵在于在實(shí)際問(wèn)題中建立二項(xiàng)分布的模型，也就是看它是否是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量是否為在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)，滿足這兩點(diǎn)的隨機(jī)變量才服從二項(xiàng)分布，否則就不服從二項(xiàng)分布．某一中學(xué)生心理咨詢中心服務(wù)接通率為eq\f(3,4)，某班3名同學(xué)商定明天分別就同一問(wèn)題詢問(wèn)該服務(wù)中心．且每人只撥打一次，求他們中成功咨詢的人數(shù)X的分布列．【解】由題意可知：X～B(3，eq\f(3,4))所以P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)(eq\f(3,4))k(eq\f(1,4))3－k(k＝0,1,2,3)，P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)(eq\f(3,4))0(eq\f(1,4))3＝eq\f(1,64)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)·eq\f(3,4)·(eq\f(1,4))2＝eq\f(9,64)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(3,4))2·eq\f(1,4)＝eq\f(27,64)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)(eq\f(3,4))3＝eq\f(27,64).所以X的分布列為X0123Peq\f(1,64)eq\f(9,64)eq\f(27,64)eq\f(27,64)二項(xiàng)分布的綜合應(yīng)用某車間有10臺(tái)同類型的機(jī)床，每臺(tái)機(jī)床配備的電動(dòng)機(jī)功率為10kW，已知每臺(tái)機(jī)床工作時(shí)，平均每小時(shí)實(shí)際開(kāi)動(dòng)12min，且開(kāi)動(dòng)與否是相互獨(dú)立的．(1)現(xiàn)因當(dāng)?shù)仉娏?yīng)緊張，供電部門只提供50kW的電力，這10臺(tái)機(jī)床能夠正常工作的概率為多大？(2)在一個(gè)工作班的8h內(nèi)，不能正常工作的時(shí)間大約是多少？【思路探究】由題意知工作機(jī)床臺(tái)數(shù)服從二項(xiàng)分布．【自主解答】每臺(tái)機(jī)床正常工作的概率為eq\f(12,60)＝eq\f(1,5)，而且每臺(tái)機(jī)床分“工作”和“不工作”兩種情況，所以工作機(jī)床臺(tái)數(shù)ξ～B(10，eq\f(1,5))，P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,10)(eq\f(1,5))k(eq\f(4,5))10－k(k＝0,1,2,3，…，10)，(1)50kW電力同時(shí)供給5臺(tái)機(jī)床開(kāi)動(dòng)，因而10臺(tái)機(jī)床同時(shí)開(kāi)動(dòng)的臺(tái)數(shù)不超過(guò)5臺(tái)時(shí)都可以正常工作．這一事件的概率為P(ξ≤5)．P(ξ≤5)＝Ceq\o\al(0,10)(eq\f(4,5))10＋Ceq\o\al(1,10)·eq\f(1,5)·(eq\f(4,5))9＋Ceq\o\al(2,10)(eq\f(1,5))2·(eq\f(4,5))8＋Ceq\o\al(3,10)(eq\f(1,5))3(eq\f(4,5))7＋Ceq\o\al(4,10)(eq\f(1,5))4·(eq\f(4,5))6＋Ceq\o\al(5,10)(eq\f(1,5))5·(eq\f(4,5))5≈0.994.(2)在電力供應(yīng)為50kW的條件下，機(jī)床不能正常工作的概率僅約為0.006，從而在一個(gè)工作班的8h內(nèi)，不能正常工作的時(shí)間只有大約8×60×0.006＝2.88(min),這說(shuō)明，10臺(tái)機(jī)床的工作基本上不受電力供應(yīng)緊張的影響．1．本題的解答關(guān)鍵是判斷隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布．2．對(duì)于概率問(wèn)題的綜合題，首先，要準(zhǔn)確地確定事件的性質(zhì)，把問(wèn)題化歸為古典概型、互斥事件、獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)四類事件中的某一種；其次，要判斷事件是A＋B還是AB，確定事件至少有一個(gè)發(fā)生，還是同時(shí)發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘事件公式，最后，選用相應(yīng)的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨(dú)立事件、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解．若將本題題設(shè)“每臺(tái)機(jī)床配備的電動(dòng)機(jī)功率為10kW”換成“每臺(tái)機(jī)床配備的電動(dòng)機(jī)功率為7.5kW”，其余條件不變，求全部機(jī)床用電量超過(guò)48kW的可能性有多大？【解】因?yàn)?8kW可供6臺(tái)機(jī)床同時(shí)工作，如果用電超過(guò)48kW，即7臺(tái)或7臺(tái)以上的機(jī)床同時(shí)工作，這一事件的概率為：P(ξ＝7)＝Ceq\o\al(7,10)(eq\f(1,5))7·(eq\f(4,5))3，P(ξ＝8)＝Ceq\o\al(8,10)(eq\f(1,5))8·(eq\f(4,5))2，P(ξ＝9)＝Ceq\o\al(9,10)·(eq\f(1,5))9·(eq\f(4,5))1，P(ξ＝10)＝Ceq\o\al(10,10)·(eq\f(1,5))10·(eq\f(4,5))0，P(ξ≥7)＝P(ξ＝7)＋P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)≈0.00086.事件關(guān)系判斷不準(zhǔn)致誤(2012·湘潭調(diào)研)為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，某市決定新建一批重點(diǎn)工程，分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類．這三類工程所含項(xiàng)目的個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,6).現(xiàn)在3名工人獨(dú)立地從中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè)．(1)求他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率；(2)記ξ為3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，求ξ的分布列．【錯(cuò)解】記“第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程”分別為事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由題意知A1，A2，A3相互獨(dú)立，B1，B2，B3相互獨(dú)立，C1，C2，C3相互獨(dú)立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3且i，j，k互不相同)相互獨(dú)立，且P(Ai)＝eq\f(1,2)，P(Bj)＝eq\f(1,3)，P(Ck)＝eq\f(1,6).(1)他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率P＝P(A1B2C3)＝P(A1)·P(B2)·P(C3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,36).(2)設(shè)3名工人中選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的人數(shù)為η，由已知η～B(3，eq\f(1,3))，且ξ＝3－η.所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝Ceq\o\al(3,3)(eq\f(1,3))3＝eq\f(1,27)，P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(1,3))2(eq\f(2,3))＝eq\f(2,9)，P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝Ceq\o\al(1,3)(eq\f(1,3))(eq\f(2,3))2＝eq\f(4,9)，P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝Ceq\o\al(0,3)(eq\f(2,3))3＝eq\f(8,27).故ξ的分布列是ξ0123Peq\f(1,27)