相交線與平行線知識點總結(jié)及例題解析

相交線與平行線知識點總結(jié)、例題解析知識點1【相交線】在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系有兩種：平行和相交1、相交線相交線的定義：兩條直線交于一點，我們稱這兩條直線相交．相對的，我們稱這兩條直線為相交線．

知識點2【對頂角和鄰補角】兩條相交線在形成的角中有對頂角和鄰補角兩類，它們具有特殊的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。1、鄰補角（1）鄰補角的概念：兩個角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角叫做互為鄰補角．如圖，∠1與∠2有一條公共邊OD，它們的另一條邊OA、OB互為反向延長線，則∠1與∠2互為鄰補角

（2）鄰補角的性質(zhì)：鄰補角互補，即和為180°。例如：若∠1與∠2互為鄰補角，則∠1+∠2=180°注意：①互為鄰補角的兩個角一定互補，但互補的兩個角不一定互為鄰補角；②相交的兩條直線會產(chǎn)生4對鄰補角。2、對頂角（1）對頂角的概念：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角．

如圖，∠3與∠4有一個公共頂點O，并且∠3的兩邊OB、OC分別是∠4的兩邊OA、OD的反向延長線，則∠1與∠2互為對頂角．對頂角的性質(zhì)：對頂角相等．注意：兩條相交的直線，會產(chǎn)生2對對頂角。3、鄰補角、對頂角成對出現(xiàn)，在相交直線中，一個角對頂角只有一個，但鄰補角有兩個．鄰補角、對頂角都是相對與兩個角而言，是指的兩個角的一種位置關(guān)系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．注意：如果多條直線相交于同一點，那么產(chǎn)生的鄰補角的數(shù)量是對頂角的2倍?！纠}1】如圖所示,∠1的鄰補角是()A、∠BOCB、∠BOE和∠AOFC、∠AOFD、∠BOC和∠AOF【解析】】據(jù)相鄰且互補的兩個角互為鄰補角進(jìn)行判斷，∠1是直線AB、EF相交于點O形成的角,所以它的鄰補角與直線CD無關(guān),即它的鄰補角是∠BOE和∠AOF，故選B【答案】B【例題2】下面四個圖形中,∠1與∠2是鄰補角的是()【答案】D【例題3】如圖所示,∠1和∠2是對頂角的圖形有(

)

A、1個B、2個C、3個D、4個【解析】考察對頂角的概念【答案】A【例題4】下列說法中:①因為∠1與∠2是對頂角,所以∠1=∠2;②因為∠1與∠2是鄰補角,所以∠1=∠2;③因為∠1與∠2不是對頂角,所以∠1≠∠2;④因為∠1與∠2不是鄰補角,所以∠1+∠2≠180，其中正確的有________(填序號)【解析】對頂角、鄰補角【答案】①【例題5】如圖1，直線AB、CD、EF都經(jīng)過點O，圖中有幾對對頂角？

幾對鄰補角？【解析】考察對頂角的概念。AB和CD可以形成2對對頂角，CD和EF可以形成2對對頂角，AB和EF可以形成2對對頂角，共6對對頂角，鄰補角的個數(shù)是對頂角的2倍，鄰補角為12對【答案】6對；12對【例題6】（1）已知∠1與∠2是對頂角,∠1與∠3是鄰補角,則∠2+∠3=______（2）若∠α與∠β是對頂角，∠α的補角是35°,則∠β的度數(shù)為_____（3）若∠1的對頂角是∠2，∠2的鄰補角是∠3，∠3=45°，則∠1的度數(shù)為___【解析】根據(jù)對頂角相等、鄰補角互補的性質(zhì)求解?！敬鸢浮浚?）180（2）135°（3）135°【例題7】如圖,直線AB、CD相交于點O，∠BOD分成兩部分(1)直接寫出圖中∠AOC的對頂角為______,∠BOE的鄰補角為________(2)若∠AOC=70°,且∠BOE:∠EOD=2:3,求∠AOE的度數(shù)。【答案】(1)∠BOD;∠AOE(2)152°【例題8】如圖1-2，若∠AOB與∠BOC是一對鄰補角，

OD平分∠AOB，OE在∠BOC內(nèi)部，

并且∠BOE=12∠COE，∠DOE=72°。

求∠COE的度數(shù)【解析】設(shè)∠EOB=x度，∠EOC=2x度，把角用未知數(shù)表示出來，建立x的方程，用代數(shù)方法解幾何問題是一種常用的方法。設(shè)∠EOB=x，則∠EOC=2x，根據(jù)∠AOB+∠BOC=180°（等量關(guān)系），∠AOB=2∠BOD=2（72-x），∠BOC=∠BOE+∠EOC=3x，解得x=36°，故∠EOC=2x=72°．

【答案】72°．【例題9】回答下列問題：

（1）三條直線AB，CD，EF相交于一點O（如圖1），圖形中共有幾對對頂角（平角除外）？幾對鄰補角？

（2）四條直線AB，CD，EF，GH相交于點O（如圖2），圖形中共有幾對對頂角（平角除外）？幾對鄰補角？

（3）m條直線a1，a2，a3，…am-1，am相交于點O，則圖中一共有幾對對頂角（平角除外）？幾對鄰補角？【解析】本題考查了對頂角、鄰補角的定義。（1）根據(jù)對頂角、鄰補角的定義得到3×2=6對對項角，12對鄰補角；

（2）根據(jù)對頂角、鄰補角的定義得到4×3=12對對項角，24對鄰補角；

（3）根據(jù)前面的規(guī)律得到：有n條不同直線相交于一點，可以得到n（n-1）對對頂角，2n（n-1）對鄰補角．【答案】（1）有6對對頂角，12對鄰補角；

（2）有12對對頂角，24對鄰補角；

（3）由m條直線時，有m（m-1）對對頂角，2n（n-1）對鄰補角；知識點3【垂線】1、垂線的定義

當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。如圖：AB⊥CD，垂足為O。垂直的符號記作：“⊥”，讀作：“垂直于”，如：AB⊥CD，讀作“AB垂直于CD”．注：垂直是特殊的相交．2、垂線的畫法(工具:三角板或量角器)步驟：(1)一靠:用三角尺一條直角邊靠在已知直線上(2)二移:移動三角尺使一點落在它的另一邊直角邊上(3)三畫:沿著這條直角邊畫線,不要畫成給人的印象是線段的線2、垂線的性質(zhì)

在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．

注意：“過一點”的點在直線上或直線外都可以．

3、垂線段

（1）垂線段：從直線l外一點P向直線l作垂線,垂足記為O,則線段PO叫做點P到直線l的垂線段。ll（2）垂線段的性質(zhì)：垂線段最短．

連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。注意：實際問題中涉及線路最短問題時，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個中去選擇．

現(xiàn)實生活中開溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質(zhì)的應(yīng)用。4、點到直線的距離

（1）點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。（2）點到直線的距離是一個長度，而不是一個圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段．它只能量出或求出，而不能說畫出，畫出的是垂線段這個圖形．

【例題10】①兩點之間,直線最短；②直線外一點與直線上各點連接的所有線段中,垂線段最短;③連接兩點的線段,叫做兩點的距離；④從直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離;⑤若AC=BC，則點C必定是線段AB的中點。其中正確的序號是_________【解析】①兩點之間,直線最短,說法錯誤,應(yīng)是線段最短;③連接兩點的線段,叫做兩點的距離,說法錯誤,應(yīng)是連接兩點的線段的長度,叫做兩點的距離。【答案】②④【例題11】下列判斷正確的是（）.

A、從直線外一點到已知直線的垂線段叫做這點到已知直線的距離；

B、過直線外一點畫已知直線的垂線，垂線的長度就是這點到已知直線的距離；

C、畫出已知直線外一點到已知直線的距離；

D、連接直線外一點與直線上各點的所有線段中垂線段最短.【解析】A垂線段的長度；B垂線無限長；C距離只能測量或求出，不能說畫出，畫出的是圖形，比如線段、直線?！敬鸢浮緿【例題12】如圖所示,在這些圖形中,分別過點C畫直線AB的垂線,垂足為O【答案】解如圖所示【例題13】如圖,BC⊥AC,CB=8cm,AC=6cm,AB=10cm,那么點A到BC的距離是________，點B到AC的距離是_______,d點A、B兩點的距離是________,點C到AB的距離是_________.【解析】點C到AB的距離可以利用等面積法求解【答案】6cm；8cm；10cm；4cm【例題14】如圖,已知AB、CD、EF相交于點O,AB⊥CD,OG平分∠AOE,∠FOD=28°,求∠COE、∠AOE、∠AOG的度數(shù)。【答案】∠COE=28°，∠AOE=118°，∠AOG=59°【例題15】如圖,OA是北偏東30方向的一條射線,若射線OB與射線OA垂直,則OB的方向是__________【答案】北偏西50°【例題16】如圖,∠AOC與∠BOC是鄰補角,OD、OE分別是∠AOC與∠BOC的平分線,試判斷OD與OE的位置關(guān)系,并說明理由。【答案】射線OD與OE互相垂直．理由如下：∵OD是∠AOC的平分線，OE是∠BOC的平分線∴∠COD=12∠AOC，∠COE=1∵∠AOC+∠BOC=180°，12∠AOC+1∴∠COD+∠COE=90°，∴∠DOE=90°．∴OD⊥OE．【例題17】如圖所示,小剛準(zhǔn)備在C處牽牛到河邊AB飲水(1)請用三角板作出小剛的最短路線(不考慮其他因素)(2)如圖乙,若小剛在C處牽牛到河邊AB飲水,并且必須到河邊D處觀察河水的水質(zhì)情況,請作出小剛行走的最短路線(不寫作法,保留作圖痕跡)【答案】（1）過C作AB的垂線，垂足與C點之間的線段為最短路線，垂線段最短．連結(jié)CD得線段CD就是最短線段，兩點之間線段最短?！纠}18】如圖,計劃把河水引到水池A中,先作AB⊥CD,垂足為B,然后沿AB開渠,能使所開的渠道最短,這樣設(shè)計的依據(jù)是_______________【答案】垂線段最短【例題19】如下圖所示,公路1邊上有兩個工廠B,C,公路外有工廠A,要在公路邊上修建貨運站P,使P到三個工廠的路程和最短,貨運站P應(yīng)建在何處?請在圖中畫出來，并說明理由?！敬鸢浮坑捎谪涍\站P修建在公路邊上,根據(jù)“兩點之間,線段最短”這一性質(zhì),可知點P應(yīng)在線段BC上，再根據(jù)“垂線段最短”的性質(zhì),可知需要過點A作1的垂線,垂足就是點P的位置,如圖所示。知識點4【同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角】1、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義兩條直線被第三條直線所截形成八個角（三線八角）,它們構(gòu)成了同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角。如下圖,直線a,b被直線l所截。（1）同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同一方，并且在第三條直線（截線）的同側(cè)，則這樣一對角叫做同位角．例如：∠1與∠5都在截線l的右側(cè)，且在被截直線a,b的上方，叫做同位角(位置相同)（2）內(nèi)錯角

：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內(nèi)錯角．

例如：∠5與∠3在截線l的兩旁(交錯),在被截直線a,b之間(內(nèi)),叫做內(nèi)錯角(位置在內(nèi)且交錯）（3）同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角．

例如：∠5與∠4在截線l的同側(cè)（同旁）,在被截直線a,b之間(內(nèi)),叫做同旁內(nèi)角。2、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的辨別判斷兩個角是不是同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角，應(yīng)從角的兩邊入手，同位角的邊構(gòu)成“F“形，內(nèi)錯角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．

3、區(qū)分截線與被截線“三線八角”中沒有公共頂點的兩角，共線的一邊是截線,兩角的另一邊即為被截的兩條直線。注：(1)同位角,內(nèi)錯角,同旁內(nèi)角是指具有特殊位置關(guān)系的兩角,是成對出現(xiàn)的(2)“三線八角”中共有4對同位角,2對內(nèi)錯角,2對同旁內(nèi)角【例題20】如圖,描述同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角關(guān)系正確的是（）A、∠1與∠4內(nèi)錯角B、∠2與∠3是同位角C、∠3與∠4是同旁內(nèi)角D、∠2與∠4是同旁內(nèi)角【答案】C【例題21】下圖中，∠1和∠2是同位角的是（）【答案】D【例題22】如圖所示,圖中能與∠1構(gòu)成同位角的角的個數(shù)有()個。【答案】3【例題23】如圖1，圖2中,∠1和∠2,∠3和∠4各是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的?它們各是什么位置關(guān)系的角?【解析】此題考查同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角以及截線的概念。找到2個角共線的線，此為截線。找到角的兩邊，通過判斷邊組成的形狀判斷是什么角?！敬鸢浮繄D1中:∠1和∠2是直線AB和CD被直線BD所截而成的,是內(nèi)錯角；∠3和∠4是直線AD和BC被直線BD所截而成的,是內(nèi)錯角；圖2中:∠1和∠2是直線AB和CD被直線BC所截而成的,是同旁內(nèi)角;∠3和∠4是直線AD和BC被直線AB所截而成的,是同位角?！纠}24】如圖所示,有下列五種說法:①∠1和∠4是同位角;②∠3和∠5是內(nèi)錯角;③∠2和∠6是同旁內(nèi)角;④∠5和∠2是同位角;⑤∠1和∠3是同旁內(nèi)角;其中正確的序號有_______【答案】①②④⑤【例題25】如圖所示,∠1與∠2是(）同位角B、內(nèi)錯角C、互為補角D、同旁內(nèi)角【答案】D【例題26】如圖，在∠1,∠2,∠3.∠4中,哪些角是同位角?哪些角是內(nèi)錯角?哪些角是同旁內(nèi)角?它們分別是哪兩條直線被哪條直線所截形成的?【答案】解:∠1和∠3是DE和BC被AB所截而成的同位角,∠2和∠4是DE和BC被DC所截而成的內(nèi)錯角,∠3和∠4是DB和DC被BC所截而成的