2024屆二輪復(fù)習(xí) 復(fù)數(shù) 作業(yè)

第6講復(fù)數(shù)1.[2024河南信陽開學(xué)考試]i＋i2＋i3＋…＋i2025＝（C）A.2025 B.1－i C.i D.－i解析因為i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，i5＝i，i6＝－1，…，i－1－i＋1＝0，所以i＋i2＋i3＋…＋i2025＝i，故選C.2.[2024貴陽模擬]復(fù)數(shù)z滿足（1＋2i）z＝3－i，則｜z｜＝（A）A.2 B.3 C.2 D.5解析解法一因為（1＋2i）z＝3－i，所以z＝3－i1+2i＝（3－i)(1－2i）（1+2i)(解法二因為（1＋2i）z＝3－i，所以z＝3－i1+2i，所以｜z｜＝｜3－i1+2i｜＝｜3.[2023高三名校聯(lián)考]已知a+2ii＝b＋i（a，b∈R），其中i是虛數(shù)單位，則a＋b＝（BA.3 B.1 C.－1 D.－3解析解法一因為a+2ii＝b＋i，所以（a+2i）ii2＝2－ai＝b＋i，所以－a=1，解法二因為a+2ii＝b＋i，所以a＋2i＝（b＋i）i，即a＋2i＝bi－1，所以a＝－1，b=2，4.[2024安徽六校聯(lián)考]復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（3，－1），則1－i｜z｜A.15－35i B.35C.15－15i D.－15解析由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，z＝3－i，所以｜z｜＝2，所以1－i｜z｜＋i＝1－i5.[2024江西四校聯(lián)考]設(shè)a，b∈R且b≠0，若復(fù)數(shù)（a＋bi）3是實數(shù)，則（A）A.b2＝3a2 B.a2＝3b2C.b2＝9a2 D.a2＝9b2解析因為（a＋bi）3＝a3＋3a2bi－3ab2－b3i＝（a3－3ab2）＋（3a2b－b3）i為實數(shù)，（提示：完全立方和公式為（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3）所以3a2b－b3＝0.又因為b≠0，所以3a2＝b2，故選A.6.[角度創(chuàng)新]設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，z1＝1＋2i，i為虛數(shù)單位，則z1z2＝（B）A.1－2i B.－5C.5 D.5i解析因為z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，z1＝1＋2i，所以z2＝－1＋2i，所以z1z2＝（1＋2i）（－1＋2i）＝－5，故選B.7.[2023長沙重點中學(xué)模擬]設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z－z－＝2i，｜z｜＝2，復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點位于第一象限，則1z＝（BA.1+3i2 C.－1+3i2 解析設(shè)z＝a＋bi（a∈R，b∈R），則z－＝a－bi，所以z－z－＝2bi＝2i，則b＝｜z｜＝a2＋b2＝a2+1＝2，解得a＝±3.又因為復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點位于第一象限，所以a＝3，所以z＝3＋i，所以1z＝8.[角度創(chuàng)新]若3+4iz是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z可以是（DA.－3＋4i B.3－4iC.4＋3i D.4－3i解析解法一因為復(fù)數(shù)3+4iz是純虛數(shù)，所以設(shè)3+4iz＝mi（m∈R且m≠0），則z＝3+4imi＝（3+4i)(－i）mi（－i）＝解法二設(shè)z＝a＋bi（a，b∈R），則3+4iz＝（3+4i)(a－bi）（a＋b9.[開放題]已知復(fù)數(shù)z＝4+ai1+i，且z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則a的一個整數(shù)值可以為解析z＝4+ai1+i＝（4+ai)(1－i）（1+i)(1－i）＝（4+ai)(1－i）2＝a+42＋（a－4）i10.[2023廣西聯(lián)考]設(shè)復(fù)數(shù)z＝x＋yi，其中x，y是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，若y1－i＝x＋i，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析因為y1－i＝x＋i，所以y＝（x＋i）（1－i）＝x－xi＋i＋1，所以y＝x+1，1－x=0，解得y=2，x=1，所以z＝1＋2i，所以11.[2023廣東六校聯(lián)考]設(shè)復(fù)數(shù)z＝12＋32i，其中i是虛數(shù)單位，z是z的共軛復(fù)數(shù)，下列判斷中錯誤的是（BA.zz＝1B.z2＝zC.z是方程x2－x＋1＝0的一個根D.滿足zn∈R的最小正整數(shù)n為3解析對于A，z·z＝（12＋32i）（12－32i）＝1，故A正確；對于B，z2＝（12＋32i）2＝－12＋32i，z＝12－32i，∴z2＝－z，故B錯誤；對于C，（12＋32i）2－（12＋32i）＋1＝－12＋32i－12－32i＋1＝0，則z是方程x2－x＋1＝0的一個根，故C正確；對于D，z＝12＋32i，z2＝－12＋32i，z3＝12.[多選]18世紀(jì)末，韋塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運算具有了幾何意義.例如，｜z｜＝｜OZ｜，即復(fù)數(shù)z的模的幾何意義為z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z到原點O的距離.下列說法正確的是（BCD）A.若｜z｜＝1，則z＝±1或z＝±iB.若在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6＋5i，－3＋4i分別對應(yīng)向量OA與OB（O為坐標(biāo)原點），則向量BA對應(yīng)的復(fù)數(shù)為9＋iC.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為Z（－1，1），則z對應(yīng)的點位于第三象限D(zhuǎn).若復(fù)數(shù)z滿足1≤｜z｜≤2，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所構(gòu)成的圖形的面積為π解析對于A，令z＝12＋32i，滿足｜z｜＝1，故A錯誤；對于B，由題知BA＝OA－OB，即在復(fù)平面內(nèi)，BA對應(yīng)的復(fù)數(shù)為6＋5i－（－3＋4i）＝9＋i，故B正確；對于C，Z（－1，1），∴z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點（－1，－1），位于第三象限，故C正確；對于D，設(shè)z＝a＋bi，a，b∈R，∵復(fù)數(shù)z滿足1≤｜z｜≤2，∴1≤a2＋b2≤2，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所構(gòu)成的圖形面積為π×（2）2－π×12＝π，故D正確.故選BCD.13.[2024四川成都二中開學(xué)考試]已知復(fù)數(shù)z滿足｜z－1｜＝｜z＋i｜（i為虛數(shù)單位），在復(fù)平面內(nèi)，記z0＝2＋i對應(yīng)的點為點Z0，z對應(yīng)的點為點Z，則點Z0與點Z之間距離的最小值為322解析解法一設(shè)z＝x＋yi（x，y∈R），由｜z－1｜＝｜z＋i｜，得（x－1）2＋y2＝x2＋（y＋1）2，即y＝－x，所以點Z0（2，1）與點Z（x，y）之間的距離d＝（x－2）2＋（y－1）2解法二由｜z－1｜＝｜z＋i｜及復(fù)數(shù)的幾何意義知，點Z在點（1，0）與點（0，－1）連線的垂直平分線上，即點Z的軌跡方程為y＝－x.點Z0與點Z之間距離的最小值即點Z0（2，1）到直線y＝－x的距離，即2+12＝314.1748年，瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式eix＝cosx＋isinx，該公式被稱為歐拉公式，它在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”.設(shè)復(fù)數(shù)z＝eπ4i，根據(jù)歐拉公式可知，z1－A.－22 B.－22i C.22 解析解法一由題意知z＝eπ4i＝cosπ4＋isinπ4＝22＋22i，根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則知z1－i＝解法二根據(jù)公式eix＝cosx＋isinx知，1－i＝2[cos（－π4）＋isin（－π4）]＝2e－π4i，因為z＝eπ4i，所以z1－i＝eπ4i2e－π15.[與數(shù)列綜合]已知復(fù)數(shù)數(shù)列{an}滿足a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，n∈N*，i為虛數(shù)單位，則a10＝－1＋i.解析解法一因為a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，n∈N*，所以a2＝2i·i＋i＋1＝－1＋i，a3＝（－1＋i）i＋i＋1＝0，a4＝0·i＋i＋1＝1＋i，a5＝（1＋i）i＋i＋1