卡西尼卵形線在高考中應用

高中數(shù)學拓展卡西尼卵形線在高考中的應用卡西尼卵形線是法國數(shù)學家卡西尼在研究土星的運行軌道時提出的，但是近年來在高考試題和?？贾薪?jīng)常出現(xiàn)，考察學生通過方程來研究曲線的性質(zhì)的能力，體現(xiàn)了創(chuàng)新思維.定義：到兩個定點（焦點）的距離之積為常數(shù)的點的軌跡，是卡西尼卵形線.當a<c時，軌跡是兩支封閉曲線，有點像兩個雞蛋，這也是卵形線名字的由來；當a=c時，軌跡是伯努利雙紐線.當時，軌跡是中部凹進的封閉曲線；

當時，軌跡是中部扁平的封閉曲線；

當時，軌跡是中部凸出的封閉曲線.

證明：取為x軸，中點為原點，建立直角坐標系.則整理得：當時，退化為雙紐線方程。卵形線的形狀由決定。若，軌跡是一個封閉的圈若，軌跡是二個封閉的圈，若，軌跡是伯努利雙紐線。例1（2011年北京高考數(shù)學卷第14題改編）曲線C是平面內(nèi)與兩個定點的距離的積為常數(shù)的點的軌跡。給出下列三個結(jié)論：（1）曲線C過坐標原點（2）曲線C關(guān)于坐標原點對稱（3）曲線關(guān)于坐標軸對稱（4）若點P在曲線C上，則的面積為大于詳解：不妨設曲線上任意點由曲線線C的定義可知：將代入可得即與矛盾，故選項A錯誤對于B，將代入曲線C的方程可得化簡可得，方程不變，故曲線關(guān)于原點對稱，故選項B正確對于C；將代入曲線C的方程，方程不變，說明曲線C關(guān)于坐標軸對稱，故C正確對于D；當且僅當時取=例2（2023-2024蘇州三校聯(lián)考）小明同學在完成教材橢圓和雙曲線的相關(guān)內(nèi)容學習后，提出了新的疑問：平面上到兩個定點距離之積為常數(shù)的點的軌跡是什么呢？又具備哪些性質(zhì)呢？老師特別贊賞他的探究精神，并告訴他這正是歷史上法國天文學家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的，這類曲線被稱為“卡西尼卵形線”.在老師的鼓勵下，小明決定先從特殊情況開始研究，假設、是平面直角坐標系內(nèi)的兩個定點，滿足的動點P的軌跡為曲線C，從而得到以下4個結(jié)論：①曲線C既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；②動點P的橫坐標的取值范圍是；③的取值范圍是；④的面積的最大值為1.其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【詳解】令，則，所以，則，將、、代入上述方程后，均有，所以曲線C既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，①正確；令，則，對于，對稱軸為，所以在上遞增，要使在上有解，只需，所以，即，可得，②正確；由，由中，，所以，其中負值舍去，綜上，，又，即，所以，則，③正確；由，當且僅當時等號成立，的面積，而，所以，所以的面積的最大值為1，④正確.綜上，正確結(jié)論的個數(shù)為4個.故選：D例3（2023屆廣州一模）平面上到兩個定點距離之積為常數(shù)的點的軌跡是卡西尼卵形線。他是1675年研究土星及其軌道時提出的。已知在平面直角坐標系中，動點P滿足則下列結(jié)論正確的是（）A動點P的橫坐標的取值范圍是；B的取值范圍是；C的面積的最大值為.D的取值范圍為詳解：設P點坐標為，則.對于A，A錯誤對于B則因此，B正確；對于C,的面積為。當且僅當時取=.C正確對于D，因為點在動點P的軌跡上，當點P在此點上，，D錯誤，故選：BC例4（2021湖北高二月考）2022卡塔爾世界杯會徽如圖正視圖近似伯努利雙紐線把到兩個定點（焦點）的距離之積為常數(shù)的點的軌跡，是雙紐線C上的一點，下列說法正確的有（）.A雙紐線C關(guān)于原點O對稱BC雙紐線C上滿足的點P有2個D的最大值為詳解：對于A，根據(jù)雙紐線的定義可得用替換方程中的方程不變，所以雙紐線C關(guān)于原點O對稱，所以A正確；對于B，根據(jù)三角形的面積法可知即，所以所以B正確對于C，若雙紐線C上的點P滿足則點P在y軸上，即所以則，所以這樣的點P只有一個，故C錯誤對于D,因為所以由余弦定理得所以所以的最大值為，故D正確，故答案為：ABD例5（2021貴陽高三)）Cassni卵形線是由法國天文學家卡西尼引入的，定義是：曲線C到兩個固定點（焦點）的距離之積為常數(shù)的點的軌跡，設的距離為2a，若就得到?jīng)]有自交點的卵形線，若就得到一個雙紐線，若就得到兩個卵形線.若動點P滿足，則動點P的軌跡方程為若是軌跡C與軸交點中距離最遠的點，則面積的最大值為詳解：設P的