【數(shù)學(xué)】組合 組合數(shù)課件-2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

第六章

計(jì)數(shù)原理6.2排列與組合（2）6.2排列與組合

|組合與組合數(shù)知識(shí)點(diǎn)必備知識(shí)清單破6.2.3組合

6.2.4組合數(shù)1.組合一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素作為一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.2.組合數(shù)(1)組合數(shù)的概念:從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不

同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),用符號(hào)

表示.組合數(shù)還可以用符號(hào)

nm

表示.(2)組合數(shù)公式:

=

=

=

(n,m∈N*,且m≤n).規(guī)定:

=1.知識(shí)拓展組合數(shù)的性質(zhì):

=

;

=

+

.知識(shí)辨析1.“從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)參加社會(huì)調(diào)查,有多少種不同的選法”是組

合問(wèn)題嗎?2.只要兩個(gè)組合的元素完全相同,不管元素的順序如何,這兩個(gè)組合都是相同的組合嗎?3.組合和組合數(shù)是同一個(gè)概念嗎?4.若

=

,則m=p嗎?一語(yǔ)破的1.不是.選出的2名同學(xué)要被分到不同的兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn),與順序有關(guān),故不是組合問(wèn)題,是排列問(wèn)題.2.是.組合中元素的選取與排序無(wú)關(guān).3.不是.組合是指從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素作為一組,它不是一個(gè)數(shù),而是具體的

一件事.組合數(shù)是指從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),它是一個(gè)

數(shù).4.不一定.若

=

,則m=p或m+p=n.1.組合數(shù)的運(yùn)算關(guān)鍵能力定點(diǎn)破1|組合數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)定點(diǎn)形式主要適用范圍乘積式

=

含具體數(shù)字(特別是m是數(shù)字)的組合數(shù)求值階乘式

=

含字母的組合數(shù)的化簡(jiǎn)、證明2.組合數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用(1)

=

:當(dāng)m>

時(shí),計(jì)算

轉(zhuǎn)化為計(jì)算

會(huì)更簡(jiǎn)單.(2)

=

+

:順用可將一個(gè)組合數(shù)拆成兩個(gè),逆用可將兩個(gè)組合數(shù)合并為一個(gè),變形應(yīng)用可為某些項(xiàng)相互抵消提供方便,在解題時(shí)要注意靈活運(yùn)用.典例(1)式子

(n∈N*)可表示為

(

)A.

B.

C.101

D.101

(2)計(jì)算

+

+

+…+

+

+

的值為

(

)A.

B.

C.

-1

D.

-1(3)證明:

=

.DC解析

(1)分式的分母是100!,分子是101個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積,最大的為n+100,最小的為n,故

=101·

=101

.(2)

+

+

+…+

+

+

=

+

+

+

+…+

+

+

-

=

+

+

+…+

+

+

-1=…=

+

-1=

-1.(3)證明:

=

·

=

=

.方法總結(jié)

與組合數(shù)有關(guān)的化簡(jiǎn)、求值或證明問(wèn)題,涉及具體數(shù)字的可以直接用乘積式計(jì)

算,涉及字母的多選用階乘式計(jì)算,計(jì)算時(shí)還應(yīng)注意利用組合數(shù)的性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算.另外要注意

中m,n的范圍,求解后要驗(yàn)證所得結(jié)果是否符合題意.分組問(wèn)題和分配問(wèn)題是有區(qū)別的,前者組與組之間只要元素個(gè)數(shù)相同,就是不可區(qū)分的,

而后者即使兩組元素個(gè)數(shù)相同,但因分配的對(duì)象不同,仍然是可區(qū)分的.1.分組問(wèn)題的求解策略2|分組與分配問(wèn)題定點(diǎn)常見(jiàn)形式處理方法非均勻不編號(hào)分組將n個(gè)不同元素分成m(m≤n)組,每組元素?cái)?shù)

目均不相等,依次記為m1,m2,…,mm,不考慮各

組間的順序,不管是否分盡,其分法種數(shù)N=

·

·

·…·

均勻不編號(hào)分組將n個(gè)不同元素分成不編號(hào)的m(m≤n)組,假

定其中r組元素個(gè)數(shù)相等,不管是否分盡,其分

法種數(shù)為

(其中N為非均勻不編號(hào)分組中的分法種數(shù)).若再有k組均勻分組,則應(yīng)再除

以

非均勻編號(hào)分組將n個(gè)不同元素分成m(m≤n)組,各組元素?cái)?shù)

目均不相等,且考慮各組間的順序,其分法種

數(shù)為N·

(其中N為非均勻不編號(hào)分組中的分法種數(shù))均勻編號(hào)分組將n個(gè)不同元素分成m(m≤n)組,其中r組元素

個(gè)數(shù)相等且考慮各組間的順序,其分法種數(shù)

為

·

(其中N為非均勻不編號(hào)分組中的分法種數(shù))2.相同元素分配問(wèn)題的處理策略(1)隔板法:如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置,那么可看作排成一行的小球的空隙中

插入了若干隔板,相鄰兩塊隔板形成一個(gè)“盒”.每一種插入隔板的方法對(duì)應(yīng)著小球放入盒

子的一種方法,此方法稱(chēng)為隔板法.隔板法專(zhuān)門(mén)解決相同元素的分配問(wèn)題.(2)將n個(gè)相同的元素分給m個(gè)不同的對(duì)象(n≥m),有

種方法.可理解為(n-1)個(gè)空中插入(m-1)塊板.典例1把10個(gè)相同的小球全部放入編號(hào)分別為1,2,3的三個(gè)盒子中,要求每個(gè)盒子中的小球數(shù)

不小于盒子的編號(hào)數(shù),則不同的放法共有

種.解析在編號(hào)為2,3的兩個(gè)盒子中分別放入1,2個(gè)小球,這樣還剩10-3=7個(gè)小球,則問(wèn)題變?yōu)榍蟀?個(gè)相同的小球全部放入編號(hào)分別為1,2,3的三個(gè)盒子中,每個(gè)盒子至少放入1

個(gè)小球的不同放法的種數(shù),由隔板法可知共有

=15種放法.15典例2按下列要求分配6本不同的書(shū),各有多少種不同的分配方法?(1)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(2)分成三份,一份4本,另外兩份每份1本.解析

(1)先從6本書(shū)中選擇1本,有

種方法,再?gòu)氖Ｓ?本書(shū)中選擇2本,有

種方法,還剩3本書(shū)全選,有

種方法,所以共有

種不同的方法,再在此基礎(chǔ)上進(jìn)行分配,所以共有

=360種不同的分配方法.(2)從6本書(shū)中選擇4本的方法有

種,從剩余2本書(shū)中選擇1本的方法有

種,因?yàn)樵谧詈?本書(shū)的選擇中發(fā)生了重復(fù),所以不同的分配方法共有

=15(種).1.正確區(qū)分“排列”與“組合”元素是否有序是區(qū)分排列與組合的重要標(biāo)志,無(wú)序的問(wèn)題用組合的知識(shí)解答,有序的問(wèn)題用

排列的知識(shí)解答.要按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi),按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步.2.排列與組合的綜合問(wèn)題的解題思路(1)先特殊后一般;(2)先組合后排列.3|排列與組合的綜合應(yīng)用定點(diǎn)典例如圖,一個(gè)正方形花圃被分成5份.

(1)若給這5個(gè)部分種植花,要求相鄰兩部分種植不同顏色的花,現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色

的花,問(wèn)有多少種不同的種植方法?(2)若在這5個(gè)部分中放入7個(gè)不同的盆栽,要求每個(gè)部分都有盆栽,問(wèn)有多少種不同的放法?解析

(1)先對(duì)A部分種植,有4種不同的種植方法,再對(duì)B部分種植,有3種不同的種植方法,然

后對(duì)C部分種植,分兩類(lèi):①若C部分與B部分種植的花的顏色相同,則D部分有2種不同的種植方法,E部分有2種不同的

種植方法,共有4×3×1×2×2=48種不同的種植方法;②若C部分與B部分種植的花的顏色不同,則C部分有2種不同的種植方法,D部分有1種種植方

法,E部分有2種不同的種植方法,共有4×3×2×1×2=48種不同的種植方法.綜上,共有48+48=96種不同的種植方法.(2)將7個(gè)盆栽分成5組,有兩種分法:①分成2、2、1、1、1,有

種分法;②分成3、1、1、1、1,有

種分法.將分好的5組全排列,對(duì)應(yīng)5個(gè)部分,則一共有

·

=16800種放法.素養(yǎng)解讀排列、組合問(wèn)題的背景豐富、無(wú)特定的模式和規(guī)律可循,解題時(shí)需認(rèn)真審題,把握問(wèn)題

的本質(zhì)特征,化歸為排列、組合的常規(guī)模型,從而找到解決對(duì)策,提高解題效率,培養(yǎng)邏輯推理

的素養(yǎng).學(xué)科素養(yǎng)情境破通過(guò)解決排列與組合問(wèn)題發(fā)展邏輯推理的素養(yǎng)素養(yǎng)例題(多選)某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名老師到A,B,C,D四個(gè)社區(qū)參與志愿活動(dòng),下列說(shuō)

法正確的是

(

)A.每人都只安排到一個(gè)社區(qū)的不同方法種數(shù)為625B.每人都只安排到一個(gè)社區(qū),每個(gè)社區(qū)至少有一人,則不同的安排方法種數(shù)為480C.如果D社區(qū)不安排,其余三個(gè)社區(qū)至少安排一人,則這5名老師全部被安排的不同方法種數(shù)

為150D.每人都只安排到一個(gè)社區(qū),每個(gè)社區(qū)至少有一人,其中甲、乙不去A社區(qū),其余三名老師四

個(gè)社區(qū)均可安排,則不同的安排方法種數(shù)為126典例呈現(xiàn)CD解題思路對(duì)于A,要完成的一件事是“每名老師選一個(gè)社區(qū)”,因?yàn)槊棵蠋熡?種選法,所

以不同的安排方法種數(shù)為45=1024,故A錯(cuò)誤.對(duì)于B,將5名老師分成2,1,1,1的四組,再將分好的四組安排到4個(gè)社區(qū),所以不同的安排方法種

數(shù)為

·

=240,故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,將5名老師分成2,2,1或3,1,1的三組,再將分好的三組安排到A,B,C三個(gè)社區(qū),所以不同

的安排方法種數(shù)為

+

·

=150,故C正確.對(duì)于D,當(dāng)丙、丁、戊中的一人去A社區(qū)時(shí),將其余的4人分成2,1,1的三組,再將其安排到B,C,D

三個(gè)社區(qū),則不同的安排方法種數(shù)為

·

·

=1