2024第三屆圓夢杯（數(shù)學）試題數(shù)學答案

絕密★啟用前

2023年普通高等學校招生“圓夢杯”統(tǒng)一模擬考試(三)

數(shù)學試卷

本試卷共4頁，22題。全卷滿分150分，考試用時120分鐘。

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證

號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在

試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試卷、草

稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用

黑色字跡的簽字筆分別填寫在試題卷和答題卡規(guī)定的位置上。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1.已知向量a=(1,1),6=(1,-1),則a與b的夾角為

.7F

A.-B.-C.-D.7T

432

2.若集合M=={-1,0,2,3},N={xIln(x+1)w1}，則川nN的子集個數(shù)為

A.1B.2C.4D.8

3.二項式(x+v^)4的展開式中，x3的系數(shù)為

A.1B.2C.4D.6

4.圓夢杯第二屆考試中，有:2考生的成績超過70分，有1《考生的成績超過100分，若某考生

3o

的成績超過70分，則該考生的成績超過100分的概率為

A.-B.-C.D.-

5432

5.已知圓臺的上下底面半徑分別為1和2,高為2,則該圓臺的側面積為

A.B.2\/57rC.3方花D.4，^開

試題卷第1頁(共4頁)

6.已知等差數(shù)列｛礪｝的前n項和為Sn,且S5>5,命題p："Sio>10",命題q："d>0",

則命題p是命題q的

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

7.若函數(shù)/（/）=修+ax2單調遞增，則a的取值范圍為

■e1「e-

A.[—e,0]B.——,0C.——,1D.[1,+00）

8.我國在2022年完成了天宮空間站的建設，根據(jù)開普勒第一定律，天宮空間站的運行軌道可

以近似為橢圓，地球處于該橢圓的一個焦點上.已知某次變軌任務前后，天宮空間站的近地

距離（天宮空間站與地球距離的最小值）不變，遠地距離（天宮空間站與地球距離的最大值）

擴大為變軌前的3倍，橢圓軌道的離心率擴大為變軌前的2倍，則此次變軌任務前的橢圓軌

道的離心率為

1nV^-lcnV^-l

AA.-o.------.------U.------

3223

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每個小題給出的選項中，有多項符合題

目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知772,71是兩條不同的直線，a,P是兩個不同的平面，則

A.若m//a,m邛,貝！]Q_L/3

B.若mUa,na,則7n與n為異面直線

C.若m//n,n//a,

D.若m-La9n//a,貝m_Ln

12

10.右0<Q<。<g,且cosacos8=.，tanatan(3=-,貝!]

23

A.cos（a+0=、7F

B.sinfa-(3)=——C.cos2a=-

610636

2

11.已知雙曲線C:-?/2=1的右焦點為F,動點M,N在直線l:x=^±.,且FMLFN,

線段FM,FN分別交。于P,Q兩點，過P作，的垂線，垂足為R.設AFMN的面積

為Si，的面積為S2，則

A.Si2]

■\PF\~2

D.9的最小值為2述

\IMN"\■匚力定值

12.已知數(shù)列｛麗｝的前幾項和為當,若即=1,廝+1（麗+1）=2廝+1,則

A.1—）為等差數(shù)列B.an<an+1

C.cin+。九+2<D.S71szi+2<S搟+1

試題卷第2頁（共4頁）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若過點（3,1）的圓與兩坐標軸都相切，則該圓的半徑為▲.

14.若復數(shù)Zi，Z2滿足㈤=⑸=L\zi—z2\=A/3,則\zi_+z2\=▲.

15.已知函數(shù)/（x）=sinUJX->0）在區(qū)間（1公）有且僅有1個零點，則3的取值范圍

為▲.

16.正四棱錐的外接球半徑與內切球半徑之比的最小值為-4^.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）

已知數(shù)列｛a/滿足的=4,a2=10,｛an+1-3an｝是公比為2的等比數(shù)列.

（I）證明：｛冊―2幾｝是等比數(shù)列；

（II）求｛礪｝的前n項和Sn.

18.（12分）A

在三棱錐A—8。石中，點。在AB上，=

60°,ZAEC=ZBEC,EA=EB.D/j\

（I）證明：平面ABCL平面CDE-,\

（II）若CD=1,CE=2,當三棱錐A-BCE的體積最大

時，求二面角A—8E—。的余弦值.B'E

19.（12分）

記鈍角△ABC的內角4B,。的對邊分別為a,b,c,已知c=l,cosC=bcosB.

TT

（I）若8=/，求△AB。的面積；

6

（II）若線段BC上存在點。，使得\BD\=2\AD\,求a的取值范圍.

試題卷第3頁（共4頁）

20.(12分)

某市教育局為了調查學生熱愛數(shù)學是否與學生的年級有關，從全市隨機抽取了50位高二學

生和mCm>50)位高三學生進行調查，每位學生對“是否熱愛數(shù)學”提出“熱愛”或“不

熱愛”的觀點，得到如下數(shù)據(jù)：

高二IWJ三

熱愛3020

不熱愛20

(I)以該50名高二學生熱愛數(shù)學的頻率作為全市高二學生熱愛數(shù)學的概率，從全市的高二

學生中隨機抽取3名學生，記X為這3名學生中熱愛數(shù)學的學生人數(shù)，求X的分布列和期

望；

(II)若至少有99%的把握認為熱愛數(shù)學與學生的年級有關，求m的最小值.

2

*2n(ad—be)

附：X=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

21.(12分)

已知函數(shù)/(/)=卜+a+工In/.

(I)若①=1是于⑺的極值點，求a；

(II)討論函數(shù)g(x)=f(x)-4(x-1)的零點個數(shù).

22.(12分)

2

已知橢圓。：千+獷=1的左焦點為尸，直線，與圓川：/+短=1相切于點p且與。

交于4,8兩點，其中4在第一象限，8在第四象限.

(I)求\AB\的最小值;

(II)設。為坐標原點，若AABF=2AAOP,求I的方程.

試題卷第4頁(共4頁)

2023年普通高等學校招生“圓夢杯”統(tǒng)一考試

數(shù)學試題參考答案

選擇題

題號123456789101112

答案CBDBCCBCADADBCBCD

填空題

題號13141516

12513

答案4+或4-，61(一,一)U(一,—]V2+1

6366

解答題

H+1

17.(1)做—3al=—2,%+]—3an=一2",/.cin+\—2=3(%—2"),

,｛因-2"｝為首項為2,公比為3的等比數(shù)列；

nn+1

(2)因一2〃=2?3'1,an=2-3'—+2,Sn=2+3"—3.

18.(1)EA=EB,AAEC=ABEC,EC=EC,：./\AEC^/\BEC,

：.AC=BC,ZACD=NBCD,CD=CD,/.AACD^/\BCD,二。為AB中

點，WAC=BC,AE=BE,CD1Afi,DEVAB,AB1平面CD石，

ABG平面ABC,平面ABC1平面COE

(2)當C石1面ABC時，吟一BCE最大，以W為%軸，源為y軸，過。垂直于平面石

的線為z軸，A(-l,0，V3)，5(2,0。)，石(0,2,0),芯=(3,0,-/羽，前=(—2,2,0),

記面AH石一個法向量為蘇，m-AB=0,m-BE=0,/.m=

-m-~nv15

n=(0,0,1),cos0=————=.

m-n°

19.(1)ccosC=bcosfi,sinCcosC=sinBcosB,sin2C=sin2B,5=C或

兀，人、兀\J

B+C=-舍,.?.5=。=一，5=—;

264

71

(2)作AK15C,VABAC>-,:.BK>AK,二。在KC上，設=2根，

n",A

AD=m,DC=n,BK=CK=m+—,DK=m——,在Rt/\AK5和

5+2]+5)2=-

上2\A°K中’[1一萬)⑺一.,^+2mn=l,記

2m+n=a,由NBAC>g,/.BC>^/2,/.a>\/^且a<AB+AC=2,

m2+2m(a-2m)=1,ci=一tnH------N2、/—I—=a.G[■^/3,2).

22mV22

3032a8?3?2,36

20.(1設P=—=—,P(X=0)=(一)3=一,P(X=D=C：(—)1(一)2=一

505