湖南省張家界市2022-2023學(xué)年高一年級下冊學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

張家界市2023年普通高中一年級第二學(xué)期期末聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題卷

本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

L答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答

題卡右上角“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)

位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案：不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上

要求作答無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=2—i，則z（5+i）=（）

A.6+2iB.4-2iC.6-2iD.4+2i

2.運(yùn)動(dòng)員甲10次射擊成績（單位：環(huán)）如下：7,8,9,7,4,8,9,9,7,2,則下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)說法中不正確的

是（）

A.眾數(shù)為7和9B.平均數(shù)為7

C.方差為S2=4.8D.中位數(shù)為7

3.據(jù)某市衛(wèi)健委通報(bào)，該市流行的甲型流感病毒，以甲型4/N/亞型病毒為主.假如該市某小區(qū)共有100名感

染者，其中有10名年輕人，60名老年人，30名兒童，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取20人進(jìn)行檢測，則

做檢測的老年人人數(shù)為（）

A.6B.10C.12D.16

4.已知某圓錐的母線長為4,高為2百，則圓錐的全面積為（）

A.107B.12乃C.147D.16萬

5.某校從高一新生中隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為10的身高樣本，數(shù)據(jù)（單位：cm）從小到大排序如下：

158,165,165,167,168,169,x,172,173,175,若樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是170,則％=（）

A.169B,I70C.17ID.I72

6.己知向量”,〃滿足|“|=2,仍|=3,。必=1,則b在a上的投影向量為（）

11-11

A.dB.—（1C.-uD.-ci

4994

7.張益唐是當(dāng)代著名華人數(shù)學(xué)家，他在數(shù)論研究方面取得了巨大成就，曾經(jīng)在《數(shù)學(xué)年刊》發(fā)表《質(zhì)數(shù)間的

有界間隔》，證明了存在無窮多對質(zhì)數(shù)間隙都小于7000萬.2013年張益唐證明了攣生素?cái)?shù)猜想的一個(gè)弱化形

式，李生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個(gè)問題之一，可以這樣描述，存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)P，使得

。+2是素?cái)?shù)，素?cái)?shù)對（p,〃+2）稱為攣生素?cái)?shù)，在不超過12的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，能夠組成

攣生素?cái)?shù)的概率是（）

8.如圖，在三棱錐S—ABC中，54_1平面43。,48_18。，S4=A5=BC.過點(diǎn)A分別作

4￡，53,4產(chǎn)，5。交58,5。于點(diǎn)瓦尸，記三棱錐S—E4E的外接球表面積為5,三棱錐S—A6c的外

接球表面積為$2,則率=

)

32

11

B.—V2D.-

3V2

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)z=3—4i（其中i是虛數(shù)單位），則下列命題中正確的為（）

A.|z|=5

B.z的虛部是4

C.z—3是純虛數(shù)

D.z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)在第四象限

10.有一組樣本數(shù)據(jù)王,々，，王，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)M,%，，％，其中

y=Xj+C（i=l,2,,〃）,C為非零常數(shù)，則兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本（）

A.平均數(shù)相同B.中位數(shù)相同

C.標(biāo)準(zhǔn)差相同D.極差相同

II.設(shè)加，"為不同的直線，。,尸為不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（)

A.若加〃a,〃〃a,則，力〃〃

B.若m,則，力〃〃

C.若m//a,map,則a〃/7

D.若機(jī)則a_L4

12.隨機(jī)投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子兩次，記錄朝上一面的點(diǎn)數(shù).設(shè)事件A=”第一次為偶數(shù)“，8="第二

次為偶數(shù)"，C="兩次點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”，則（）

A.P（A）=1-P（B）B.A與8互為對立

3

C.B與C相互獨(dú)立D.P（ADB）=Z

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.如圖，在正方體中，異面直線A8與CD所成的角為.

14.已知向量a=（m,l）,b=（2,6-1）,若則實(shí)數(shù)機(jī)=.

15.甲、乙兩名羽毛球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行單打比賽，根據(jù)以往比賽的勝負(fù)情況統(tǒng)計(jì)，每一局甲勝的概率為0.6,乙勝的

概率為0.4,如果比賽采用“三局兩勝”制（先勝兩局者獲勝）.若第一局甲勝，則本次比賽甲獲勝的概率為

16.在4ABe中，NA=60,A5=6,AC=4,O為ABC1的外心，則AO=；若

AO=AAB+^AC,則幾+〃的值為.

四.解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）

已知復(fù)數(shù)z=2+bi（b>0,i為虛數(shù)單位），且％?為純虛數(shù).

（1）求實(shí)數(shù)6的值;

（2）若復(fù)數(shù)。=三，求。的模.

1-i

18.（12分）

己知向量滿足|a|=2,|/?|=l,a與b的夾角為60=2a+3b,d=3a+kb,當(dāng)實(shí)數(shù)人為何值時(shí),

⑴cJ_d；

（2）|^|=2A/13.

19.（12分）

某校選拔若干名學(xué)生組建數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)隊(duì)，要求選拔過程分前后兩次進(jìn)行，當(dāng)?shù)谝淮芜x拔合格后方可進(jìn)

入第二次選拔，兩次選拔過程相互獨(dú)立.根據(jù)甲、乙、丙三人現(xiàn)有的水平，第一次選拔，甲、乙、丙三人合格的概

率依次為Q5,Q6,Q4；第二次選拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次為0.6,0.5,0.5.

（1）求第一次選拔后甲、乙兩人中只有甲合格的概率；

（2）求甲、乙、丙經(jīng)過前后兩次選拔后，恰有一人合格的概率.

20.（12分）

隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，移動(dòng)支付（又稱手機(jī)支付）越來越普遍，某學(xué)校興趣小組為了了解移動(dòng)支付在大眾中的

熟知度，對15?65歲的人群進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，調(diào)查的問題是“你會使用移動(dòng)支付嗎？其中，回答“會”

的共有〃個(gè)人，把這〃個(gè)人按照年齡（單位：歲）分成5組：第1組［15,25）,第2組［25,35）,第3組

［35,45）,第4組［45,55）,第5組［55,65］,然后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第1組的頻數(shù)為

（1）求”和x的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；

（2）從第1,3,4組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人，求第1,3,4組抽取的人數(shù)：

（3）在（2）抽取的6人中再隨機(jī)抽取2人，求所抽取的2人來自同一個(gè)組的概率.

21.（12分）

如圖，在矩形A8QD中，AB=6,BC=l,沿對角線把JBCO折起，使C移到C',且C'在面43c

內(nèi)的射影。恰好落在AB上.

B

O

cD

(1)求證：AD±CB：

(2)求A3與平面CBD所成的角的正弦值.

22.(12分)

在，ABC中，內(nèi)角的對邊分別為。，4c,K—1-+—1—=—

tanBtanCtanA

h2+c2

(1)求的值;

a

(2)記,ABC的面積為S,點(diǎn)P是.ABC內(nèi)一點(diǎn)，且NPAB=NPBC=NPCA=6,證明:

45

①tanA=-5——z——7；

b+c-a

②tanA=2tan。.

張家界市2023年普通高中一年級第二學(xué)期期末聯(lián)考

數(shù)學(xué)參考答案

一.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

題號12345678

答案ADCBCDCB

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

題號9101112

答案ACDCDBDACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

9]11

13.6014.2或-115.0.8416.2上；—（本題第一空2分，第二空3分）

318

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）

解：（1）由z=2+歷，得z?=（2+歷>=4—尸+4萬，

:2為純虛數(shù).?.<=>8=±2

.,.同=2.

18.（12分）

解：由題意得：a-h=\a\-\b\-cos60=1

（1）當(dāng)c_Ld時(shí)，c-d^O,則（2d+3》）-（3a+初）=0

.?.6/+3妨2+（9+2女）44=0,艮歷*4+3左乂1+（9+2攵）*1=0

33

解得：k=---；

⑵|d|=|3a+如=J（3a+妨『=^9a2+k2b2+6ka-b=y]k2+6k+36=2713

.?.二+6左一16=0,解得：后=2或-8.

19.（12分）

解：（1）分別設(shè)甲、乙經(jīng)第一次選拔后合格為事件巴，

設(shè)E表示第一次選拔后甲合格、乙不合格，

則尸（E）=P（A.瓦）=0.5x0.4=0.2；

（2）設(shè)E表示經(jīng)過前后兩次選拔后，恰有一人合格，則

P（F）=P（AB-C）+P（A-BC）+P（AB-C）

=03x0.7x0.8+0.7x0.3x0.8+0.7x0.7x0.2

217

=0.434=---

500

20.（12分）

20

解：（1）由題意可知，n=--------=100

0.020x10

由10x（0.020+0.036+x+0.010+0.004）=l,得：x=0,030

由頻率分布直方圖可估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為竺土笠=30；

2

（2）第1,3,4組的頻率之比為0.020:0.030:0.010=2:3:1,

23

所以從第1組抽取的人數(shù)為6x—=2,從第3組軸取的人數(shù)為6x2=3,

66

從第4組抽取的人數(shù)為6x1=1；

6

（3）記第1組抽取的2人為A，4,第3組抽取的3人為g第4組抽取的1人為C,則從這6人

中隨機(jī)抽取2人，可能的結(jié)果為

（4,4）'（4,4）,（4也）,（4,33）,（4，。）,（4,4）,（&,B2）,

（4,4）,（怎。）,（4，員）,（四,4）,（4，鳥）,（4，。）,（四,。），

（四,C），共15種，

其中符合“抽取的2人來自同一個(gè)組”的結(jié)果為

（&&）,（4，員）,（名,員）,（4，鳥），共4種，

4

所以抽取的2人來自同一個(gè)組的概率〃=丁.

21.（12分）

（1）證明：由已知易得：。0，平面43￡>,，。0_14。

又?A3,AD,COcAB=O:.AD_L平面C

CBu平面CABADLCB,

（2）解：由（1）知：AD±C'B

又-。'￡>_1。'民4。門。'。=。..。'3_1平面。：4。

又CBu平面CBD平面C'BD_1_平面C'A。

過點(diǎn)A作AGJ_CZ>于點(diǎn)G,由面面垂直的性質(zhì)定理易得：AGJ"平面C'BD

連接GB,則GB為A3在平面CBO內(nèi)的射影，

^ABG即為AB與平面C'BD所成的角

在-CA。中，AGJDXAC，二世到4:叵

C'D63

國

在aAG8中，siM.G=^=^=9

AB63

.?.A3與平面C'BD所成的角的正弦值為注.

3

另解：由（1）知：ADA.CB

又?CD工CB,ADcC'D=D:.C'B±平面C'AD

又C'Au平面C'ADC'B±CA

在配AC,S中，CO=CF*3

AB733

設(shè)點(diǎn)A到平面C'BD的距離為d,

由^A-C,BD=^C'-ABD，,co,

即—3SCDRLD），d=—3SADBUD

得：d=co=^

3

.?.AB與平面C'BD所成的角的正弦值為2-=也.

AB3

22.（12分）

,、&訂?111cosBcosCcosA

（1）解：由----+-----=-----，a即n-----+-----=-----

tanBtanCtanAsinBsinCsinA

4?▲cosBsinC+sinBcosCsin2A

得ZF1：cosA=sinA-----------------------------=-------------

sinBsinCsinBsinC