2024年遼寧高考數(shù)學(xué)模擬試題及答案

1.已知平面向量。=(%一1,—2),b=(6,2—z)，若則x=

A.4B.-2C，4D.5

42

2.已知數(shù)列｛a.｝的前n項和為S“=〃2+〃+l,則a3=

A.5B.6C.7D.8

3.已知a為第一象限角，l+cos(W"+a)=2sin(7t—a),則sin2a=

A返B4CD

A9n9。9-9

4.在長方體ABCD-ABiGDi中，已知AAi=2AD=2CD,點E是線段CD的中點，則異面直

線DiE與BG所成角的余弦值為

A8/85口8「2八/85

人-^一B-JC.虧D.而

5.已知函數(shù)/(l)=13+丁2一工+2,若關(guān)于1的方程/Gr)=2m—1有3個不同的根，則m的取

值范圍為

A.(||,3)B.(2,3)C.(|1,2)D.(-1,2)

6.如圖,在圓錐P0中,用一個平行于底面的平面去截圓錐P0,可得一個圓錐人

尸01和一個圓臺0。若圓錐P0］的體積是圓錐PO體積的則圓錐POi/1\

與圓臺010的側(cè)面積的比值為

A.lB.1匕］

C—D

3-1

7.設(shè)儲,,｝是公差為2的等差數(shù)列，S為其前〃項和，若仇S”｝為遞增數(shù)列，則ai的取值范圍是

A.(一等,+8)B.(1一堂,+8)C.[—~i-,4-oo)D.[l,4-oo)

V乙乙一

8.已知函數(shù)/(1r)=sin工-2ax—axcosx,V①>0"(冗)<0,則實數(shù)a的取值范圍是

A.D1,+8)B.(0,^]C.r1,+oo)D.(0,1]

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分,在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知z(2+i)=i2,則下列說法正確的是

A.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為■，一看)

□□

-21.

pb.Z=--z---

55

C.2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點與點(春,一看)關(guān)于原點對稱

05

D.|引=§

io.已知函數(shù)，①)=|；+，(-1),⑺為/(工)的導(dǎo)函數(shù)，貝j

A"'(-l)=lB./(l)=-5

C./(z)在(0,+s)上單調(diào)遞減D./(l)=3

11.如圖，這是函數(shù)f(i)=Asin(巫+內(nèi)+6(A>0皿>0,0<卯<￡)的部分圖象，則

A"(z)=2sin(2z+/)+l

B./(j?)=2sin(2x+y)+l

C.f(x)=l—2cos(2i+半)

D"(z)=l—2cos(2z+gO

12.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時,發(fā)現(xiàn)了這樣一個數(shù)列：1，1,2,3,5,8,….這

個數(shù)列的前兩項均是1，從第三項開始，每一項都等于前兩項之和.人們把這樣的一列數(shù)組

成的數(shù)列｛EJ稱為斐波那契數(shù)列?現(xiàn)將數(shù)列｛用｝中的各項除以3所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的

數(shù)列記為｛&｝,則下列說法正確的是

20242024

—

A.SF￡=F20261B.SF-=F2023F2024

i=l1=1

2024

C.G2O24=OD.XG=2277

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.已知向量a,b的夾角為令，且⑷=1，a*(a—2b)=—2,則|周=▲

0

14.若tan(0+-y)=—■，則tan6=▲

4乙

15.已知正項等比數(shù)列儲”）的前〃和為S”,若S3=13,且的=&+6g，則滿足S”V123的〃的

最大值為▲.

16.在三棱柱ABC—AiBC中，已知AA」平面ABC,BC=3,AA=8,/8AC=30°,則該三

棱柱外接球的表面積為▲.

四、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）

/o

已知函數(shù)y（a:）=3sinQZCOS（a>>0）.

⑴若VZGRJQOAI/X2）|,求s的取值集合；

⑵若3=1,求“Z）在區(qū)間［0,9］上的值域.

Lt

18.（12分）

記△ABC的內(nèi)角的A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知cos人=%記.

⑴求B；

（2）若c=3,6=7■，求AABC的面積.

19.（12分）

已知數(shù)列｛&｝的前〃項和為S”，且S“=2&-2,數(shù)列｛伉｝為等差數(shù)列，仇+仇+仇=21,

66=11.

（1）求｛a“｝,｛d｝的通項公式；

（2）求數(shù)列｛%｝的前〃項和T”.

a律

20.（12分）

如圖，在三棱錐P-ABC中,AB，BC,AB=2,BC=2次,aPBC為等邊三角形,BP,AP,

BC的中點分別為D,E,O,且AD=gDO.

(D證明:平面A8CJ_平面PBC.

(2)若尸為AC的中點，求點C到平面BEF的距離.

21.(12分)

設(shè)函數(shù)/(7)=]2—8工+21nx.

(1)求/(N)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若正數(shù)百，也滿足f(4)+/(0)=7,證明：勾+g29.

22.(12分)

已知函數(shù)/(x)=e4x-1—4aln(2z).

(1)當(dāng)a=l時,求曲線y=f(z)在點(■1?,/(?1))處的切線方程；

乙Lt

(2)當(dāng)a>0時,若關(guān)于工的不等式/(G2a+alnMa)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

1.A【解析】本題考查平面向量的垂直,考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

因為aj_b，所以a,b=6（z—1）—2（2一?。?0,解得x=—.

2.B【解析】本題考查數(shù)列求和，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

=—

因為5="2+"+1,所以a3S3S2=6.

3.D【解析】本題考查誘導(dǎo)公式和二倍角公式,考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

因為1+cos（今+a）=2sin（7t—a）,所以1-sina=2sina,解得sina=，，所以cosa=

sin2a=*

4.A【解析】本題考查異面直線所成的角,考查直觀想象的核心素養(yǎng).

設(shè)AD=CD=2,則AAi=4,易知AA〃BG,所以異面直線QE與所成的角為

NADiE.經(jīng)計算可知。上=，17,4口=2四,A￡：="，所以cosNADi"12?！?/p>

2717X275

8/85

851

5.C【解析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，考查直觀想象與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

因為八了）=/+/—7+2,所以/（7）=3/+2工一1=（3X一1）（7+1）.令/（7）＜0,解得

T＜2＜。令解得1或z＞母，所以/⑺在（一8,—1）上單調(diào)遞增，在

（—1,（）上單調(diào)遞減，在（；，+8）上單調(diào)遞增.因為方程fa）=2m-l有3個不同的根,

/（—1）=3"（"1~）=居,所以發(fā)解得意＜根＜2,即m的取值范圍為.2）.

6.D【解析】本題考查旋轉(zhuǎn)體的體積與側(cè)面積,考查直觀想象的核心素養(yǎng).

設(shè)圓錐POi,PO的底面圓半徑分別為r,R,它們的母線長分別為/L因為d=（《）3=J,

Vpol\o

所以==；，從而f=；，即R=2r,L=2l.所以件=一尸吟——~=^.

7.A【解析】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)與求和，考查數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

2

S〃=〃2+（di—l）n,nSn="+（a]一1）",由題得（%+l）S〃+i—nSn=3n+（2a1+1）/+ai〉0

1力2_1_11

對V%SN*恒成立，即々1〉一啜壬孔令方=2刀+1（方）3）,〃6^,則a[＞一■⑶+

令9（力=一~~^）+1,當(dāng)方=3時用⑺取得最大值一。故”1＞一方.

8.C【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

=in，r

VK》O,/(久)Wo等價于n久記g(rr)?--arc,即g(iX0在[0,+8)上

2十cosx92十cosx-

恒成立?g'(%)=—a=-3(9I----[)2+[—a.

(2+cosx)62十cos133

當(dāng)—a&O,即。)~^時,且‘(久)或0，4])在[0，+8)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,g(￡)W

g(0)=0,即/(JC)<0恒成立；

當(dāng)0<a<\時，記%(x)=si；,一〃力，則h'(JC)=c。].一。，存在I。e(0,手)，使得h'(10)=

0,當(dāng)16(0,1())時,，(支)〉0,九(1)單調(diào)遞增，所以九(])〉九(0)=0,即汽工〉”支,所以當(dāng)比￡

(0,松)時,mN吟,即/(力)〉0,不符合題意；

20十1co.sx3

當(dāng)a<0時,/優(yōu))=1—號a>0,不符合題意.

綜上,a的取值范圍是[(,+8).

9.BCD【解析】本題考查復(fù)數(shù)的運算與幾何意義，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

由題可得z=U=「l^=一1■十1)即z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(一看，看)，與

點皆,一看)關(guān)于原點對稱,A錯誤,C正確;z=一春一4i,B正確；|z|=./(-|)2+(4)2

5555\55

=*,D正確.

0

10.BCD【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

因為/'⑴=一最+2/'(—1)?了，所以/'(—1)=—3—2/(—1),解得八一1)=—1,則

“力=m一/+l,/'(z)=一2處易知/(7)在(0,+8)上單調(diào)遞減=—5,/⑴

=3,A錯誤,B,C,D正確.

11.BC【解析】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查直觀想象與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

(A+b=3,fA—217T7F

因為4…所以19又小T=73TT一仔=不所以丁=冗，則3=2,故"/)=

[-A+b=~l9〔6=1.41234

2sin(2z+w)+l.將點(,,1)的坐標(biāo)代入/(久)=2sin(2rc+y>)+1,得，，則/(久)=

2sin(2j；+-1-)+1,B正確；若/(3)=2sin(2x+*)+1,則/(得)=2,A錯誤;而1—2cos(2/

+^?)—1—2cos—2sin(2jr+-1-)+1,C正確;若/(rr)—1—2cos(2]+奇),則

/(0)=0,D錯誤.

12.ACD【解析】本題考查數(shù)學(xué)文化與數(shù)列的求和，考查數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

對于A,因為居+2—F〃+1=￡，所以F3—F2=F1,尸4-6=6，居一/4=尸3，…，尸2026—F2025

20242024

=「2詡，上式兩邊分別相加得「2026—，又居所以。26—

B=i2=lE=B=1,i3=l￡=6LA

正確.

對于B,因為F?+1=F,i+2-F?，所以Fi+l=Fn+2Fn+i—F/E,所以Fl=F3F2—BB,Fl=

=F$K—23F?+

F4F3~F3F2，瑤KF3，…，璉詡=F2O25F2O24一￡.￡。，上式兩邊分別相加得

理+…+璉024=-^2025-^2024—1,所以不理=尸2024尸2025，B錯誤.

1=1

對于C,由題意知GI=1,G2=1,G3=2,G4=0,G=2,G6=2,G=1,G8=0,G9=1,Gio=1,…，

所以數(shù)列｛G〃｝是最小正周期為8的數(shù)列，故G2024=G&=0,C正確.

2024

對于D,2G,=253X(1+1+2+0+2+2+1+0)=2277,D正確.

i=i

13,3【解析】本題考查平面向量的夾角與模,考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

因為a?(a-2b)=\a\2—2a?—2\b\義七=一2,所以|b|=3.

14.-3【解析】本題考查三角恒等變換,考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

因為tanS+子)=詈"=-4,所以tan9=~3.

15.5【解析】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)與求和，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

設(shè)公比為q，因為。5=。4+6(23，所以o'—q—6=0,解得q=3.又由S3=13,即/+3ai+9al

=13,解得?=1,所以S”=式』.由三小＜123,得3”V247，因為35=243,36=729,所以〃

的最大值為5.

16.IOOK【解析】本題考查三棱柱的外接球的表面積，考查直觀想象的核心素養(yǎng).

設(shè)△A/1G與△ABC的外心分別為Oi,Q，則線段OxO2的中點。為外接球的球心.設(shè)

△ABC外接圓的半徑與該三棱柱外接球的半徑分別為r,R,由正弦定理知一哼二?〃,解得

sin30

廠=3,所以H=J(~1)2+32=5,從而三棱柱ABC—AiBC外接球的表面積S=4^R2=

1007T.

17.解：/（力）=3sincozcos3T—^/3sin2cox

3.石\/1—cosI7^o/<

=-^sinoV3X-----------------1--......................................................................................./分

=y^sin（2cozH--....................................................................................................................3分

⑴因為皆）1，所以直線l看為曲線尸/Cz）的一條對稱軸，

所以?￡+￡=%穴+-^■，氏GZ,...........................................................................................4分

66/

解得s=3左+1,6GZ............................................................5分

又s〉0,所以s=3左+l"GN,s的取值集合為％|s=3人+1/GN}...............6分

⑵當(dāng)s=l時,/CzX?sina"+今).

因為所以聿1牛，.........................................7分

17r

所以--^&sin（2%+w）Wl，....................................................9分

乙0

所以一?！娥雜in（2z十今）W囪,即/⑴在區(qū)間［0,g］上的值域為［,73］....1。分

評分細則：

【1】第一問中皿的取值集合寫成{s1s=3%+l#ez}或％%=3左+1},扣1分，即累計得

5分.

【2】第二問，求出一十Win（27+專）W,累計得9分,最后求出正確答案,累計得10分.

18.解：（1）因為cosA=%%所以殳m..............................3分

整理得a?+c2一加=“，

r-rtH7D<22+c2-Nac1L八

所以c°sB=2ac=荻=1,.............................................5分

又因為呢(0,兀)，所以B=g...................................................6分

(2)因為Z?2=a2+c2—2accosB,c=3,Z?=A/L3,

2

所以13=。2+9—3a9BPa—3a—4=0,.........................................8分

解得Q=4....................................................................10分

所以△ABC的面積S=：acsinB=《X3><4X?=3偌.......................12分

評分細則：

第一問另解：

因為cosA=―陽—，所以26cosA=2C—Q........................................1分

2b

由正弦定理得2cosAsinB=2sin(A+B)—sinA,

整理得2sinAcosB—sinA=0...................................................4分

因為sinA〉0,所以cosB=[...................................................5分

又因為BG(0,3所以口=拳...............................................6分

19.解：(1)當(dāng)〃=1時,?=2ai—2,解得?=2......................................1分

==

當(dāng)">2時，Sn2an—2,Sn—i2an—i—2,

兩式相減得=2a〃_i,即旦-=2（"》2）,...................................................................3分

an—1

所以｛a,J是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列，故a”=2”..................................................4分

設(shè)等差數(shù)列出"的公差為"，由仇+仇十仇=21,可得d=7,.............................................5分

又d=11,所以7+24=11,解得4=2,故勿=2"—1......................................................6分

（2）令金=g，則由（1）可知c“=為/，.........................................7分

則T”=[+貫+卷-I41,①

卜干②

1,8分

①一②，得J7.+（4+/十???+?）2n—12〃-1=3

1-1

乙乙乙乙CJ2〃+i22"'.2"+i—5

2〃+3

11分

2"+i

所以T”=3一券其

12分

評分細則：

n

【1】第一J句，寫出。1=2,得1分，寫出an=2,累計得4分，寫出d=7,累計得5分，求出=

2%—1,累計得6分.

【2】第二問，求出以="，累計得7分，求出［二=1■—黠,累計得11分，直到給出正

確結(jié)論得12分.

20.（1）證明：因為aPBC為等邊三角形,D,0分別是BP,BC的中點，且BC=27I,所以DO=

BD=42,.....................................................................................................................................1分

所以AD=V3DO=76...........................................................................2分以

又AB=2,所以AB2+_BD2=AD,即..............4分D/\\

因為AB，BC,BCnBD=B，所以AB,平面PBC./TY,i\

又ABU平面ABC,所以平面ABC,平面PBC.............................5分

（2）解:連接PO,由已知可得POXBC,也二

又由（1）可知平面PBC,平面ABC,

所以P。，平面ABC.................................................................................................................6分

因為F為AC的中點，所以點C到平面BEF的距離等于點A到平面BEF的距離.

在直角△ABC中，可知8/=受=避廣=乃，..............................7分

在直角AABP中，可知BE=^=/8產(chǎn)=乃,..............................8分

因為EF是AACP的中位線，所以EF=券=竽=V2,ABEF的面積5小曲=￡*魚><

J—（#）2=彳...........................................................9分

設(shè)點A到平面BEF的距離為d,則三棱錐A-BEF的體積VA-BEF=與&.......10分

又AABF的面積SAABF=jX2X#=72，點E到平面ABF的距離為岑=*，所以三棱

錐E—ABF的體積心―謝=（乂耳〉、當(dāng)=弓...............................11分

由字"二號，得即點C到平面BEF的距離為注貝.................12分

評分細則：

【1】第一問中，求出AD=y3DO=#4#2分，證出ABLBD,累計得4分，證出平面ABC,

平面PBC,累計得5分.

【2】第二問中，證出PO,平面ABC,累計得6分,計算出54回=彳，累計得9分,計算出

嶙―，累計得11分，直至正確求出點C到平面BEF的距離，累計得12分.

21.⑴解：/（了）的定義域是（0,+8）,/（Z）=2Z—8+q=2（f7"+1）............2分

令，（了）<0,解得2—乃Vz<2+偌；令，（了）>0,解得0<z<2—同或X>2+73.……

....................................................................3分

所以/（1）在（0,2一片）上單調(diào)遞增，在（2一遍,2+片）上單調(diào)遞減，在（2+西,+8）上單調(diào)

遞增.......................................................................4分

（2）證明：因為/（e）+/（z為=7,所以21n（ii22）+若+后一8巧一8久2=7........5分

設(shè)夕（方）=ln,一方+1,定義域為（0,+8）,則口（/）=［一］=\_^................7分

當(dāng)0?1時，“⑺>0用⑴單調(diào)遞增；當(dāng)1>1時，“⑴<0呼⑴單調(diào)遞減.因此少⑴W

中（1）=0,所以Ini（方一1對任意的方〉0恒成立..................................9分

令t—x\+12（方〉0），有7=2111（11力2）+病+忌—8Kl—8力2-2+1彳+忌—8Kl—8生

=（11+力2）2—8（/1+12）—2,當(dāng)且僅當(dāng)11力2=1時，等號成立...................11分

因此產(chǎn)一8一920,即（方+1）（方一9））0,解得方>9,即辦+處>9.................12分

評分細則：

【1】第一問，寫出了⑴的定義域和r（z）=2z—8+2=23—47+1）,各得1分，第一問都

XX

正確，累計得4分.

【2】第二問，寫出2111（乃］2）+田+忌一811—8久2=7,累計得5分，證出In方4一1對任意的

t〉0怛成立，累計得9分，寫出7W(?+&)2—8(工1+小)—2,累計得11分,直至求出正確

答案，累計得12分.

【3】采用其他方法，參照本評分標(biāo)準(zhǔn)依步驟給分.

22.解：(1)當(dāng)a=l時，/Gr)=e丘t—41n(2")，所以/'(z)=4e*T—5，............................2分

/(/)=4e—8,/(《)=e,所以切線方程為、一e=(4e—8)(z—t),

即<y=(4e-8)i-e+4.................................................................................