解三角形與平面向量結(jié)合問題-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步教學(xué)題型講義（人教A版2019必修第二冊）

解三角形與平面向量結(jié)合問題-【同步題型講義】2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)同

步教學(xué)題型講義（人教A版2019必修第二冊）

一、單選題（共16分）

1.在BC中，已知8=30。，b=1,則亞?冠的最小值為（）

A.-lB.-?C.-?D.-?

43N

【答案】D

【解析】

【分析】

先求得三角形A8C外接圓的半徑，結(jié)合數(shù)量積的定義以及二次函數(shù)的性質(zhì)求得前-元的坡小值.

【詳解】

設(shè)三角形4BC外接圓半徑為r,則=-?;=2=2r=r=l,

所以△48。的外接圓半徑為1,4為鈍角時，荏?前取到負(fù)值；

如圖，E為AB的中點，而在近上的投影向量為而；

由荏AC=?AB??∣^C∣-COSA可知當(dāng)前在荏上的投影長最長時，

即CD與圓。相切時，麗?前可取到最小值：

ABAC=-∣Jβ∣∣^D∣=-2?AE?-（1-|礙）=2∣研-2?AE?,

當(dāng)扉I=泄,2∣AE∣2-2∣4F∣=-?,所以而?衣的最小值為

2.在A48C中，?ABC=y,AC邊的中點為￡>,且BD=L則BA?BC的最大值為（）

A.2B.3C.2√3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

由已知可求I瓦5+前|=|2前I=2,兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，基本不等式可求BABC的最大值.

【詳解】

解：如圖，在AHBC中，4C邊的中點為。

B

由BD=L可得：I瓦5+近∣=∣2前I=2

BA2+BC2+2BA?BC=4,

.?.∣sl∣2+∣βc∣2+2?BA??BC?cos?ABC=4,可得：∣B!∣2+∣BC∣2=4+|sl||S?|,

?.?[BA?2+∣fiC∣2≥2?BA?-?BC?,

.?.4+∣B^∣?∣FC∣>2∣S4∣?∣BC∣,可得：|瓦5∣?∣前|≤4,（當(dāng)且僅當(dāng)|瓦5|=|就|=2時等號成立）

則B4?BC的坡大值為4.

故選：D.

3.在AABC中，NAC8為鈍角，AC=BC=I,CO=xCA+yCB,且x+y=1.若函數(shù)ToW）=I石5-τn3∣（,"GR）的最小值為當(dāng)，則

I而I的最小值為（）

A.1B.2C.-D.-

422

【答案】C

【解析】

【分析】

由題意可得I而I的最小值為AB邊上的高，由函數(shù)/（機(jī)）=|包一機(jī)而I的最小值為手，即點A到BC邊的距離為弓，可求出NACB=

120°,即可求出I而I的最小值.

【詳解】

法一：由而=X85+亢夙且x+y=l,可知A,O,B三點共線，

所以I而I的最小值為AB邊上的高，又AC=BC=1,即。為AB的中點，

且函數(shù)的）=1刀一”，函的最小值為當(dāng)，即點A到BC邊的距離為當(dāng)

又AC=I,所以NACB=I20。，在△4BC中，|而Imin=I前忖tl30°=：,

從而可得而I的最小值為今

故選：C.

法二：由而=xG5+）?而，且x+y=l,可知A,O,B三點共線，

所以IMI的最小值為AB邊上的高.

設(shè)己5,方的夾角為仇所以

?CA—mCB12=CA2+m2CB2-2mCA?CB=1+m2-2mcosθ=（m-CoSe）Z+Sin

依題，可得Sin2。="sin。=￡因為。是鈍角，所以。=尊

在AABCΦ,∣C0∣min=網(wǎng)Sin30。=?,

從而可得I而I的最小值為今

故選：C.

4.在平面四邊形ABeD中，?BAD=30°,/.ABC=75°,ZjWC=IO5。，AB=2,4。=√1若點E為線段CD上的動點，則荏?亞

的最小值為（）

D

C

B+在

?-∣T4

【答案】B

【解析】

【分析】

取4B中點為F,結(jié)合極化恒等式以及余弦定理，即可求得結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)題意，連接E4EB,取4B中點為F,作圖如下:

AEBE=EA-EB=-=EF2-FB2=EF2-1,

在三角形ADF中，由余弦定理可得：DF2=4-2√3cos30°=1,即。F=1,

則/FD4=?FAD=30°,故NFDE=75°,

顯然當(dāng)且僅當(dāng)FEJ.OC時，I前I取得最小值，

故網(wǎng)min=Sin75。XDF=漁捍，薩-1的最小值為（第?j-1=心+當(dāng)

即荏?麗的最小值為一［+f.

24

故選：B.

二、解答題（共24分）

在△4BC中，角4、B、C的對邊分別是a、b.c,且滿足（2a-c）瓦？?前=C方?日?.

5.求角B的大?。?/p>

6.若b=√3,求AABC的面積S的取值范圍.

【答案】5.8=:

6（。第

【解析】

【分析】

（1）利用平面向量數(shù)量積的定義以及正弦定理化簡得出CoSB的值，結(jié)合角B的取值范圍可求得角B的值；

（2）利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡可得出S=弟in（24-口+￡求出角4的取值范圍，結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可

2\6/4

求得S的取值范圍.

【5題詳解】

由(2α-C)瓦？?近=cCB?g5可得(2α—C)CaCoSB=c?abcosC,

故(2α-C)CoSB=bcosC,由正弦定理得(2SirL4—SinC)CoSB=SinBcosCf

即2sin∕CoSB=SinCcosB÷CosCsinB=Sin(B+C)=Sini4,

力、8∈(0,π),則SinA>0,所以cos8=%故8=1

【6題詳解】

由正弦定理可得=2，則α=2sinA,c=2sinC,

SmASinCSmB

S=?acs?nB=IQC=√3sin?sinC=λ∕3si∏Λsin(A+W)

L/1√3\3√39

=√3sin∕l-s?nA+—cos4=-SinAcosH+—sinz∕l

\22)22

=-sin2∕4——cos2A+-=-sin(2/1—-?+—,

4442\6/4

0<71<y,則一.V24—所以sin(2?-9∈(-3l],

故S=如Q一>畀(0,用

在AABC中，角A,B,C的對邊分別是α,b,c,滿足(c-2α)cosB+灰OSC=0.

7.求NB的值；

8.已知。在邊AC上，HAD=3DC,BD=3,求AABC面積的最大值.

【答案】7.W；

8.4√3.

【解析】

【分析】

<I)利用正弦定理可得sin4=2sin4cosB,從而可求B=?.

(2)利用向量可得前=；瓦5+：阮，平方后結(jié)合基本不等式可得αc≤16,從而可求面積的最大值.

44

【7題詳解】

???(c-2α)cosF+bcosC=0,由三角形正弦定理可得

(sinC-2si∏i4)cosB+SinBCoSC=0

即(SinCCoS8+SinFcosC)—2s?nAcosB=0,Sin(B+C)—2sinAcosB=0,

???A+B+C=71,

：,Sin(8+C)-2si∏i4cosF=sin(τr—A)—2s?nAcosB=SinA—2s?nAcosB=0,

故SirLZl=2sin4cosB,

???4是4ABC的內(nèi)角，

???sin>4≠0,CosB=?,而B為三角形內(nèi)角，

???B=-.

3

【8題詳解】

因為而=3比，所以前一瓦？=3(方-麗)，

所以而=±瓦5+之前，

44

所以9=白以z+白近前?前，故9=白/+502+怖皿

16168161616

由基本不等式可得9≥JQC+3QC=2QC,故αc≤16,

81616

當(dāng)且僅當(dāng)α=W，c=4√5時等號成立，

故面積的最大值為:X16Xy=4√3

在△4BC中，V∑sin4—cos4=1.

9.求COSi4；

10.。在邊BC上，BD=2DC,?AD?=2,求△/BC面積的最大值.

【答案】9.?:

10.經(jīng)

4

【解析】

【分析】

(1)將已知條件兩邊平方得到siM4=2√∑sin4cos4,結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)求得tan4=2√Σ>0,進(jìn)而可求cos4

(2)由而號而+1幅根據(jù)已知模長及向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得;而2+g而?正+：正2=4,結(jié)合基本不等式求得bc≤

7,進(jìn)而求面積最大值，注意等號(最大值)成立條件.

【9題詳解】

由題設(shè)(V∑sin4—COSA)2=2sin2A—2√2sin4cosi4+cos2A=1,

所以SiMA=2?∕∑sin4cos∕l,又sin4>0,故tanA=2魚>0,

所以0<4vJ故CoS4=±

23

【10題詳解】

,>-----*,??1>O??1>??

=AB+BD=4B+4BC=4B+4(4C-4B)=〃B+4AC,

33、733

所以標(biāo)2=(l?g+三而)2=l?gz+l?g.前+±元2=*

v337999

則上C?+—be+-h2=4≥2/?e2?-b2+?be=—be,故be≤—,

9279?j9927274

所以△ABC面積S=ZbCSia4≤"且X也=也,當(dāng)且僅當(dāng)C=2b=辿時等號成立,

224342

故4ABC面積的最大值為平.

4

三、單選題(共20分)

IL△48C的內(nèi)角4B,C的對邊分別為α,b,c,CB-CA=b^c?則A=()

A.-BAC.≡DW

4323

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)數(shù)量積的定義可得αbcosC=若2根據(jù)正弦定理邊角互化即可求解.

【詳解】

因為CB?CA=所以abcosC="2-。,即2b=c+2αcosC,

由正弦定理可得2sinB=sinC+2sin4cosC,且2sinB=2sin(4+C)=2sinΛcosC+2cos4sinC,

所以Sinc=2cos4sinC,且Sine≠0.則CoS4=∣,√1∈(0,π),所以4=]

故選:B

12.如圖，在MBC中，Z-BAC=γAD≈2DB,P為CD上一點，且滿足而=應(yīng)桁+T祠，若畫∣=2,|畫=3,則MPl的值為

()

c√∏D.a

V4

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)加=2萬，根據(jù)平面向量線性運(yùn)算及平面向量基本定理求出入m的值，依題意可得△?!DC為等邊三角形，求出CP,再由余弦

定理求出4P即可；

【詳解】

解：設(shè)前=北6

則屈=前+方=m+4法=前+，(|荏-前)=∣∕l而+(I-Q前=T而+m近,

因為廊|=3,所以4。=例8=2,又國∣=2,ZBzlC=P所以△/!DC為等邊三角形，

所以NACD=BCP=^-CD=?,

342

由余弦定理4p2=4C2+cD2-24C?CDcosN4CD=22+(Iy-2x2XmXT=號，

所以4P=李；

故選：B

13.在△/!BC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為α,b,c,若α=2b=2,且G5?方=-5則C=()

A.2B.2√2C.√5D.√6

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的數(shù)量積以及余弦定理即可求解.

【詳解】

由C/?CB=一工，得αbcosC=又Q=2b=2,故CoSC=

224

由余弦定理，得c2=α2+h2-2abcosC=4÷1-2×2×1×(―：)=6,故C=V6.

故選:D.

14.在△力BC中，角4B,C的對邊分別為α,b,c,若荏JJ=瓦??近=1,則C的值為()

A.1B.√2C.2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

由向量數(shù)量積運(yùn)算法則及正弦定理得SinQI-B)=0,求出4=B,a=b,再利用余弦定理求出c=√∑

【詳解】

由題意得：c?bcosA=c?acosB=l,

因為CH0,所以bcosA=αcos8,

由正弦定理得：SinBcosA=SinAcosB,

即sin8cos4-sinAcos8=sin(A-8)=0,

因為4B∈(0,π),

所以A—8∈(-τr,Tr),

故A-B=O,即4=B,

則Q=b,

由余弦定理及得：cb

c?bcosA=l??"+2：bc-Q=1,

即^?=1,解得：c=y∕2.

故選：B

15.已知44BC滿足I荏Ism1^=BACA,貝IJBC的形狀為()

A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量數(shù)量積將原式化簡，再利用正弦定理和三角恒等變換判斷出A4BC的形狀為等腰三角形.

【詳解】

∣ΛB∣2sin^=≡?CΛ=∣βΛ∣?∣C4∣?cosΛ,則廊∣=2∣函?cos4,

由正弦定理可得SinC=2sinB?cos4

則sin[π-(4+B)]=2sinB?cos4,即Sin(A+B)=2sinB?cos4,

即SinG4-8)=0,所以∕4=Z8,/UBC的形狀為等腰三角形，

故選：C.

四、解答題(共24分)

在△4BC中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別是α,b,c,bsinC=√3(α-bcosC).

16.求角B的大?。?/p>

17.若點。滿足a而=cDC,S.?BD?=2√3,求△48C面積的最小值.

【答案】16.Bγ

17.4√3

【解析】

【分析】

(1)由正弦定理把邊化為角，再結(jié)合三角恒等變換即可求解；

(2)由題意得色=黑，進(jìn)而利用三角面積可轉(zhuǎn)化黑=受絲=產(chǎn)MSinZ阪=與從而有SinNDBC=Sin"BD,再由面積公

C?AD??AD?StkABD-ABBDsxnLABDAB

式與基本不等式求解即可

【16題詳解】

因為方SinC=√3(a—bcosC),所以SinBsinC=√3(sin√4—SinFcosC).

因為sin4=sin(B+C)=SinBeOSC+COSBSinC,

所以SinBSinC=√3(sinBcosC+CosBsinC-SinBCoSC)=√3cosβsinC.

因為SinC≠0,

所以tanB=√3.

又因為0<B<π,

所以B=I

【17題詳解】

因為a而=cDC,

所以點。在線段AC上，且&=黑.

C?AD?

因為匹1=SABCD=竺OSiMDBC_￡￡,

yj?AD?一SAASD―^ABBD?sin?ABD-ABf

所以Sin4OBC=SinZ-ABD,

即BD為乙4BC的角平分線.

由(1)得B—p

所以ZJlBO=?CBD=

6

由SAABC=SAABD+SXBCD,啰QCSin^=∣a?BDsin^+?e?Bz)Sin?

即QC=2(Q+c)≥4√S？,得QC≥16,當(dāng)且僅當(dāng)Q=C時，等號成立，

SXABC=IaCSing≥?X16sin≡=4√3.

故44BC面積的最小值為46.

已知在aABC中，角A,B,C的對邊分別為mb,ct.

①√5Q—√5CCOSB+bsinC=0：@^：+,'坐—=θ.③2cos2+cos2C-1=0.

a+bSInA+sιnC2

請在以上三個條件中任選一個補(bǔ)充在橫線處，并解答：

18.求角C的值；

19.若C=2√5,CD=^γ^-ii?CD?=√2,求科.麗的值.

【答案】18.1

19.-1

【解析】

【分析】

(I)若選①，由正弦定理及正弦的兩角和可得，若選②，由正弦定理及余弦定理可得，若選③，由余弦的二倍角公式可得:

(2)由平面向量的數(shù)量積及余弦定理可求解.

【18題詳解】

若選①，由已知有V5sin4-V5sinCcos8+SinBsinC=0,又因為,在ZXABC中,有SilVl=Sin(B+C)=SinBCoSC+cosBSinC,

所以有V5(sinBcosC+cosBsinC)—√3sinCcosB+SinBsinC=0,

化簡得百SinBeOSC+SinBsinC=0>由于0<B<τr,所以SinB≠0,

所以有√5cosC+SinC=O,于是有tanC=-√5,因0<C<”，所以得C=g.

若選②，由彳+τ碧7=0，

a+hsιn∕l+SInC

a2+b2-c21

得啜+2=0=α2+b2-c2=—ab=>cosC=-,

a+ba+c2ab2

因O<C<ττ,所以C=g.

若選③，由2cos2"菖+cos2C—1=0,

有COS(4+B)+cos2C=0=>2cos2C—cosC-1=0,

從而有(COSC-I)(2COSC+1)=0,解得CoSC=-I或COSC=I(舍)(因為0<C<τr),

所以C=學(xué)

【19題詳解】

由而="羅，可得點。為48的中點，且有2方=G5+而，

所以有石/+CB2+2CACB=4CD2=8,

若C=2√3,則4D=BD=√3,

又(ADC+Z