上海市寶山區(qū)2023屆高三年級(jí)上冊(cè)期末模擬數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022-2023學(xué)年上海市寶山區(qū)高三（上）期末模擬數(shù)學(xué)試卷

一.填空題（共12小題，滿分54分）

A=<x|X+<0={x|x<a}

1.已知集合[％—2J,若AC3W0,且則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【答案】（T2）

【解析】

【分析】先解分式不等式，即可得出集合A,再由AC3H0,且即可求出實(shí)數(shù)。的取值范

圍.

x+1f（x+l）（x-2）<0

詳解】由士一40可得：八八7解得：—1W%<2,

x-22

所以4={%卜1W%<2},

因?yàn)锳c5w0,且

所以a?—1,2）.

故答案為：（—1,2）.

2.函數(shù)丁=1082（-%2+2%+3）的定義域?yàn)?

【答案】{x[—l<x<3}

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，結(jié)合一元二次不等式的解法即可求解.

【詳解】由題意得：—必+2%+3>0,即（]—3）（尤+1）<0,

即—l<x<3,

所以函數(shù)y=log2（-f+2x+3）的定義域?yàn)閧R-1<X<3}.

故答案為：{*1<%<3}.

3.設(shè)復(fù)數(shù)z=二，i為虛數(shù)單位，則閆=.

【答案】2&

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)直接計(jì)算即可.

4

【詳解】z=-----,

1+i

44

=2五,

Z|iiTTj-72

故答案為：2夜

【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)，屬于容易題.

4.已知0<avl,0</?<1,不等式依2+%+人20對(duì)于XER恒成立，且方程法2+%+〃=。有實(shí)根，

1?

則;一+--的最小值為.

1-a1-b

【答案】4+謹(jǐn)

3

【解析】

【分析】根據(jù)題意結(jié)合一元二次不等式在R上恒成立可得1-4a》=0,消b整理得

1242

——+——=-------+-------+2,注意到（4—4a）+（4a—1）=3,結(jié)合基本不等式求最值.

1-a1-b4-4a4a-1,7v）

【詳解】由題意可得：

不等式+x+Z?N0對(duì)于xeR恒成立，則△=l-4a》W0

方程Zzr?+x+a=0有實(shí)根，則A=l—

1-1+2-=」_218。42

-----1-------------+-------+2

1—4ab—0,即/?二—，則1—Q\—b1—a[11—ci4a—14一4。4。一1

4aJ元

（4-4a）+（4a-1）=3,

則

1J=[（4—4°）+（4-1）][&+e]_4（4?-1）2（4-4?）4（4?-1）2（4-4。）

3++6>2

4一4。4^-1）4一4。4。一14一4〃4〃一1

當(dāng)且僅當(dāng)4（4。T）=〈（I0）時(shí)等號(hào)成立

4一4〃4。一1

42472-1240

----+---->^—+2則nil——+——>4+—

4-4a4。-13\-a1-b3

故答案為：4+—.

3

5.已知實(shí)數(shù)3。-8,3。乙則它們的大小關(guān)系是

【答案】30-8>30-7

【解析】

【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

【詳解】因?yàn)閥=3,為增函數(shù)，所以3。-8>3。，,

故答案為：3?！?gt;3。，

6.已知某臺(tái)紡紗機(jī)在1小時(shí)內(nèi)發(fā)生0次、1次、2次紗線斷頭的概率分別是0.8,0,12,0.05,則這臺(tái)紡

紗機(jī)在1小時(shí)內(nèi)紗線斷頭不超過(guò)2次的概率和紗線斷頭超過(guò)2次的概率分別為、.

【答案】①.0.97②.0.03

【解析】

【分析】

紗線斷頭不超過(guò)2次的概率等于發(fā)生0次、1次、2次紗線斷頭的概率之和，紗線斷頭超過(guò)2次與線斷頭不

超過(guò)2次是對(duì)立，從而得到答案.

【詳解】因?yàn)榧徏啓C(jī)在1小時(shí)內(nèi)發(fā)生。次、1次、2次紗線斷頭的概率分別是Q8,0.12,0.05,

所以紗線斷頭不超過(guò)2次的概率《=0.8+0.12+0.05=0.97,

所以紗線斷頭超過(guò)2次的概率？=1—《=1—0.97=0.03.

故答案為：0.97、0.03

【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)立事件和互斥事件的概率，屬于簡(jiǎn)單題.

7.如圖有一個(gè)帳篷，它下部的形狀是高為2（單位：米）的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為6（單位：

米）的正六棱錐.則帳篷的體積最大值為_(kāi)___立方米.

【答案】1286

【解析】

【分析】設(shè)出頂點(diǎn)。到底面中心。的距離，再求底面邊長(zhǎng)和底面面積，求出體積表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出高

為何時(shí)體積取得最大值.

【詳解】解：設(shè)。旦為xm,（2<X<8）.

則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為：762-(^-2)2=A/32+4x-x2(m).

于是底面正六邊形的面積為6X3X(32+4X-尤2)=迪(32+4元-Y)(7"2),

42

帳篷的體積為M⑺=%柱+%錐=S底面，柱+；%錐).

可得：V(x)=￥(32+4x—Y)x[2+g(x-2)]=^(128+48x—x3).

求導(dǎo)數(shù)，得丫'(尤)=246一遞V.

2

令V(x)=O,解得％=-4(舍去)，x=4.

當(dāng)2<x<4時(shí),V'(x)>0,V(x)為增函數(shù)；

當(dāng)4cx<8時(shí)，V'(x)<0,V(x)為減函數(shù).

.?.當(dāng)x=4時(shí)，V(x)有最大值為128/(").

故答案為：128百.

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題

的能力，屬于中檔題.

8.耳鳥(niǎo)鳥(niǎo)是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則片弓。?,/=：1,2,3,，#/)取值集合為.

【答案】卜I,—-/1

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義，分別求片心/心、片月?￡片、明?明、片片、片，與衛(wèi)、

呵朋,即可得耳6?PjPj(i,j=1,2,3,i豐j)取值集合.

【詳解】如圖：

由向量數(shù)量積的定義得:

而?而=1網(wǎng)碎。S。=lxlxl=l；

第.麗=質(zhì)|廊|cosl80=lxlx(-l)=-l；

胞/A=|片叫*cos60=lxlx|=-|;

利?學(xué)H明網(wǎng)即120=lxlxL1^

《鳥(niǎo)?鳥(niǎo)鳥(niǎo)=?，閭cos120=lxlx

^.^=|^||^|cos60=lxlx1=1.

故構(gòu)成的集合為：］一1，一15」

【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量數(shù)量積定義，屬于基礎(chǔ)題.

9.某班5名同學(xué)去參加3個(gè)社團(tuán)，每人只參加1個(gè)社團(tuán)，每個(gè)社團(tuán)都有人參加，則滿足上述要求的不同方

案共有種.

【答案】150

【解析】

【分析】先將5名同學(xué)分成3組，在將三組全排列即可.

【詳解】將5名同學(xué)分成3組，根據(jù)每組人數(shù)不同有兩種情況：｛113｝、｛122｝,

則分組的方法有+=10+15=25種,

分組后將三組同學(xué)分派到三個(gè)不同社團(tuán)有A；=6種方法，

故滿足要求的不同方案共有25X6=150種.

故答案為：150.

22

10.已知耳，凡分別是雙曲線與-4=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)工且垂直于X軸的直線與雙曲線的

ab

右支交于A,B兩點(diǎn),若是正三角形，則這條雙曲線C的漸近線方程是.

【答案】y=±y［2x

【解析】

【分析】［解法1］先根據(jù)題意求得A3兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到|A理、|A制，再由，A3可是正三角形得到

a,dc的關(guān)系式，進(jìn)而求得a,。的比值，從而可求得雙曲線C的漸近線方程.

［解法2］根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合正三角形的性質(zhì)，直接得到。的關(guān)系，進(jìn)而取值，并利用a,dc的平方

關(guān)系得到。力的關(guān)系，進(jìn)而得到漸近線的方程.

【詳解】［解法1］根據(jù)題意，易知己(c,0),雙曲線C的漸近線方程為了=士'工，

因?yàn)檫^(guò)工且垂直于x軸的直線與雙曲線的右支交于A,8兩點(diǎn)，

22

所以不妨設(shè)A(GM),5(C,%)(X>0>%)，將A(c,yJ代入雙曲線方程得二—』丁=1,解得

ab

、(C2—t?2)A4A2A2

%--1=b----------2——==，即％=一，同理：%=----，

ya)aaaa

所以=%一為="-,|A周=%="，

aa

>2>2

由雙曲線的定義可知2a=|A周一|Ag|=|A耳|—一,即|A4|=2a+—,

因?yàn)锳3耳是正三角形，所以即絲l=2a+工，得2a2=",即2=0,

aaa

所以雙曲線C的漸近線方程為y=+y/2x.

故答案為：y=+y/2x.

［解法2］

由題意人罵可為直角三角形，且NA片招=30。，

故可設(shè)|A閭=2相，則防=4端耳聞=2c=2瓜i，如圖所示:

a=\m,c=6m,；?b=4^m,

.?心=也

a

雙曲線的漸近線方程為y=±V2x,

故答案為：y=±0x

11.一艘輪船向正北航行，航速為40千米/時(shí)，在A處看燈塔P在船北偏東30°的方向上,半小時(shí)后，船

航行到3處，在3處看燈塔在船的北偏東75。的方向上，則此時(shí)船與燈塔之間的距離是—一千米.

【答案】10A/2

【解析】

【分析】畫(huà)出圖形，結(jié)合正弦定理即可求解

【詳解】如圖：

由題意可知：ZPBA=105°,ZBAP=30°,NBB4=45°AB=20,

ABBP即言BP

由正弦定理可得

sinZBPAsinNR4Psin30°

解得BP=100（千米）

故答案為：10V2

12.己知函數(shù)/(x)=log2(4x+l)—x,數(shù)列｛/｝是公差為4的等差數(shù)列，若

a1/(a1)+a2/(a2)+a3/(a3)+a4/(a4)=0,則數(shù)列｛?！埃那皐項(xiàng)和5〃=.

【答案12n2-8〃

【解析】

【分析】設(shè)g(x)=4(尤)，根據(jù)/(%)的奇偶性和單調(diào)性可得g(x)的奇偶性和單調(diào)性，然后結(jié)合等差數(shù)

列的性質(zhì)可得q+為=。，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式即得.

【詳解】因?yàn)?(x)=log2(4￡+l)—X=log2^^=log22、+彳，xeR,

貝I/(-x)=log2g+2J=/(x),

所以了(%)為R上的偶函數(shù)，

Ax_1

當(dāng)X之0時(shí)，r(x)=—>o,

v74“+1

所以函數(shù)〃%)在［0,+s)上單調(diào)遞增，且/(X)蕓/'(0)=1,

設(shè)g(x)=4(x),則g(x)為奇函數(shù)，且在［0,+。)上單調(diào)遞增，

因此g(x)在R上單調(diào)遞增，

由題知g(%)+g(%)+g(?3)+g(a4)=。，

又?jǐn)?shù)列｛??｝是公差為4的等差數(shù)列,可得+4=。2+。3，

若q+。4〉0，貝1|q〉一。4，

gM>g(-a4)=-g(a4),即g(4)+g(a4)>0，

同理可得g(%)+g(%)>。

，g(q)+g(%)+g(a3)+g(%)>。，與g(%)+g(a2)+g3)+g(%)=。矛盾，舍去；

同理若％+%<°，則g(%)+g(%)+g(%)+g(a4)<。，與g(%)+g(4)+g(%)+g(a4)=。矛盾,舍去；

又｛?！埃墓頳=4,

，2q+3x4=0,解得q=-6,

S=—6n+~—x4=2rr—8〃—2n2-8n,

n2

故答案為：2"2一8”.

二.選擇題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.是“人〉工〉0"（）

a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷.

【詳解】當(dāng)。>0時(shí)，由?！?gt;1,可得人〉工〉0,

a

當(dāng)〃<0時(shí)，由得b<—<0；

a

所以“>1"不是“b>!〉0”的充分條件.

a

1a>Q

因?yàn)閎>—>0={ab—l,所以

a----->0

、a

所以“ab>1''是'2>->0''的必要不充分條件.

a

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì)與充分、必要條件的判定，還考查了理解辨析問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.某中學(xué)高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比依次為6：5：7,防疫站欲對(duì)該校學(xué)生進(jìn)行身體健康調(diào)

查，用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取容量為〃的樣本，樣本中高三年級(jí)的學(xué)生有21

人，貝U"等于（）

A35B.45C.54D.63

【答案】C

【解析】

【分析】由某中學(xué)高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為6：5：7,知高三年級(jí)學(xué)生的數(shù)量占總數(shù)的

7

一,再由分層抽樣的方法從三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為〃的樣本，高三年級(jí)被抽到的人數(shù)為21

18

人，能求出n.

【詳解】解：：某中學(xué)高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為6：5：7,

,7

高三年級(jí)學(xué)生的數(shù)量占總數(shù)的一，

18

:分層抽樣的方法從三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為n的樣本，若已知高三年級(jí)被抽到的人數(shù)為21

人，

.7

?.〃=21----=54.

18

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

15.（x+2）（l—2x）5的展開(kāi)式中，x的奇次幕項(xiàng)的系數(shù)之和為

A.-123B.-120C.-1D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

先將（x+2）（1-2x）5展開(kāi)，再利用賦值法求出奇次事項(xiàng)的系數(shù)之和.

【詳解】設(shè)（X+2）（1—2無(wú)）=4+q無(wú)++卜

令X=1,貝|-3=%+------卜，

令X——1,貝I§5=%—Q]+%-------，

兩式相減，整理得％+/+%=-123.

故選：A

16.已知產(chǎn)為拋物線C:>2=6%的焦點(diǎn)，過(guò)/作兩條互相垂直的直線4，/2,直線4與。交于A、B兩

點(diǎn)，直線4與。交于。、后兩點(diǎn)，則IABI+ID0的最小值為（）

A.24B.22C.20D.16

【答案】A

【解析】

【分析】由拋物線的性質(zhì)：過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式|4可=2爪1+《）計(jì)算可得.

【詳解】設(shè)直線k，12的斜率分別為kvk2,

由拋物線的性質(zhì)可得|AB|=20（1+尸）=6（1+尸）,|DE|=2p（l+—y）=6（1+-Jy）,

所以lABl+inE]=6(1++6(1+=12+6(g+

kxK2kxK2

又因?yàn)?1_L，2，所以勺？k2J，

所以|A.+|O周=12+6（4+婷）＞12+6?2gk：=24,

k、Aik、

故選：A.

三.解答題（共5小題）

17.已知函數(shù)/（x）=cosx卜in九一gcosx）（xwR）.

（1）求/（%）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；

（2）在一A3。中，角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c.若/（《）=—乎，b=6,求」13C的面積

的最大值.

JTSJT

【答案】（1）函數(shù)“X）的最小正周期為兀，單調(diào)遞增區(qū)間是kK--,kji+—（左eZ）

⑵9月

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)得出/（x）=sin[2x-乎，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函

數(shù)〃%）的最小正周期，解不等式—]+2E＜2x—三＜]+2E（%eZ）可得出函數(shù)八%）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）由=—與結(jié)合角B的取值范圍可求得角B的值，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得ac的最

大值，再利用三角形的面積公式可求得，A3。面積的最大值.

【小問(wèn)1詳解】

解：f（x）=cos%sinx-73cos2x=-sinx+COS

-22

_1,°.、/叫丁

——sin2%-----cos2x--------sin2x------------,

222I2

所以，函數(shù)八%）的最小正周期為7=笄=兀，

令一c+2而<2x--<—+2kn[kGZ),解得左兀一2<x<—+foi(^eZ),

312112r

jr,兀

故函數(shù)”x)的單調(diào)遞增區(qū)間是+―(左eZ).

【小問(wèn)2詳解】

解：/1:|)=sin(5—5)—￥=—#，即sin13_(1=0,

Be(O,7i),則—二<3—二〈”，:.B—二=0,可得8=女，

''33333

由余弦定理以及基本不等式可得b1-36-a1+c2-2accosB-a1+c1-ac>ac

即ac<36,當(dāng)且僅當(dāng)。=。時(shí)，等號(hào)成立，

故S/SABC=gacsinB=^~acW96，即面積的最大值為9G.

18.1.已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,an+iJ、1)q+1+(；1).

⑴設(shè)4=*，證明：數(shù)列｛bn+1｝為等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛“〃｝的前幾項(xiàng)和S-

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)S?=(n-l)-2,i+1-W(n+1)+2

2

【解析】

【分析】(1)先化簡(jiǎn)a=3-(-1)1+(T),再推導(dǎo)出等于一個(gè)常數(shù)，即可證明結(jié)論；

n

4+122+1

(2)結(jié)合第一問(wèn)，先求出｛2｝的通項(xiàng)公式，再結(jié)合的特點(diǎn)，采用錯(cuò)位相減法和分組求和

法進(jìn)行求解

【小問(wèn)1詳解】

3-(-1)"1+(-1)"[2an,n=2k+l,k&Z

"12”2[a?+l,n=2k,keZ

1=

2+1+%m+1=2%+2=2a⑶f+i+2=2a2“_]+2=2｛aln_x+1)=2(bn+1)

其中4+l=q+l=2,所以數(shù)列也+1｝為以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列.

【小問(wèn)2詳解】

由⑴知：2+1=2"

所以a=2:1,故泌〃

故S,=1X2+2X22+3X23+---+?X2"-(1+2+3+???+n)

令，=1x2+2x22+3x23+…+"x2"①

234,,+1

2Tn=1X2+2X2+3X2+---+/JX2@

341n+1n+1n+1

兩式相減：-Tn=2+2~+2+2+---+2'-ri-2=2(2"-1)-/i-2=(1-n)2-2

.-.T=(n-l)2"+1+2,又1+2+3+…+〃=*D

所以S"=(〃-1)?2"M—"("+D+2

2

19.如圖是矩形A3CD和以邊A3為直徑的半圓組成的平面圖形，AB=2AD=2a.將此圖形沿A3折

疊，使平面A3CD垂直于半圓所在的平面.若點(diǎn)E是折后圖形中半圓。上異于A,8的點(diǎn).

(I)證明：EA±EC；

n

(II)若異面直線AE和。C所成的角為:，求三棱錐。-ACE的體積.

6

【答案】(I)證明見(jiàn)解析；(II)Ba3.

6

【解析】

【分析】(I)由面面垂直的性質(zhì)得3cl圓O,由線面垂直的性質(zhì)得5CLEA,根據(jù)線面垂直的判定可

得反4_1_面￡3。，再由線面垂直的性質(zhì)可證EC.

JT

(II)由題意知：NBAE=—,過(guò)E作石產(chǎn)，A3于「易證￡F上面A3CD,進(jìn)而求斯、S,應(yīng)

6ACD

用等體積法有力-ACE=%TC?即可求三棱錐D—ACE的體積.

【詳解】(I):面A3CD1圓。，面ABCDc圓。=AB，5Cu平面ABC。，BC1AB,

/.圓。，又EAu圓。，

ABC1EA,又NAEB直角，即3石，石4,而防BC=B,

，區(qū)4，面￡3。，又ECu面EfiC,

EALEC.

7T

(II)在矩形A5CD中，AB//CD,直線A石和OC所成的角為一,

6

TTTR

直線AE和A3所成的角為：，即/明二=二.

66

過(guò)E作石產(chǎn)，于R則石廠上面ABCD.

又AB=2AT>=2?,ZBAE=-,易得AE=6a，即有石歹=苴。，

62

112

Si=—xADxCD=—xax2a=a,由

ACD22

v_v_1c263

匕)-A"=%—ACT)二；XSA。XE尸=；又4X~^~a=~2~a.

332o

/.三棱錐D-ACE的體積是走/.

6

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

(I)綜合應(yīng)用面面垂直、線面垂直的判定及性質(zhì)證線線垂直.

(II)由等體積知力TCE=VETO,結(jié)合已知條件求S及其對(duì)應(yīng)的高即可求三棱錐的體積.

20.已知橢圓C：W+4=l(a〉5〉0),四點(diǎn)片(-M),鳥(niǎo)(0,百)，鳥(niǎo)［1，|］，?中恰有三點(diǎn)

在橢圓。上.

(1)求。的方程；

(2)若斜率存在且不為0的直線/經(jīng)過(guò)C的右焦點(diǎn)冗且與C交于A、B兩點(diǎn),設(shè)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為

D,證明：直線8。過(guò)x軸上的定點(diǎn).

22

【答案】(1)—+^=1

43

（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱性得到橢圓上的點(diǎn)，再將點(diǎn)代入橢圓方程求解即可.

（2）設(shè)直線/:尤=。+1,iwO,A（^,y1）,B（x2,y2）,則。（冷-弘），將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，利

用韋達(dá)定理計(jì)算直線BD與x軸的焦點(diǎn)坐標(biāo)即可.

小問(wèn)1詳解】

根據(jù)橢圓對(duì)稱性，點(diǎn)811，|必在橢圓上,

則耳（-U）不在橢圓上，？（0,、行）在橢圓上,

19,

4=2

a24/,解得＜

b=