2023年中考數(shù)學(xué)真題實(shí)戰(zhàn)測(cè)試 矩形B(學(xué)生版)

2023年中考數(shù)學(xué)精選真題實(shí)戰(zhàn)測(cè)試42矩形B

一'單選題（每題3分，共30分）

1.（2022?無錫）下列命題中，是真命題的有（）

①對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形②對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形③四邊相等的四邊

形是正方形④四邊相等的四邊形是菱形

A.①②B.①④C.②③D.③④

2.（2022?黔西）在如圖所示的RtAZBC紙片中，AACB=90°,D是斜邊AB的中點(diǎn)，把紙片沿著CD

折疊，點(diǎn)B到點(diǎn)E的位置，連接AE.若AE||DC,Z.B=a,貝吐區(qū)4。等于（）

1

A.aB.90°—aC.D.90°—2a

3.（2022?寧波）將兩張全等的矩形紙片和另兩張全等的正方形紙片按如圖方式不重疊地放置在矩形

ABCD內(nèi)，其中矩形紙片和正方形紙片的周長相等.若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）

A.正方形紙片的面積B.四邊形EFGH的面積

C.ABEF的面積D.AAEH的面積

4.（2021?北部灣）如圖，矩形紙片ABCDAD：AB=V2；1,點(diǎn)E,F分別在AD,BC上,

把紙片如圖沿EF折疊，點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A,，B；連接AA1并延長交線段CD于點(diǎn)

5.（2021?婁底）如圖，點(diǎn)E,F在矩形ABCD的對(duì)角線BD所在的直線上，BE=DF,則四邊形

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

6.（2022?恩施）如圖，在矩形ABCD中，連接BD,分別以B、D為圓心，大于■JBD的長為半徑畫弧，

兩弧交于P、Q兩點(diǎn)，作直線PQ,分別與AD、BC交于點(diǎn)M、N,連接BM、DN.若40=4,AB=2.則

四邊形MBND的周長為（）

7.（2022?寧波）如圖，在R3ABC中,D為斜邊AC的中點(diǎn),E為BD上一點(diǎn),F為CE中點(diǎn).若AE=AD,

DF=2,則BD的長為（）

A

A.2A/2B.3C.2V3D.4

8.（2021,西藏）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O.點(diǎn)E、F分別是AB,AO的中

C.6D.8

9.（2021?連云港）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)小、的的位置,

ED1的延長線交BC于點(diǎn)G,若乙EFG=64°，則乙EGB等于（）

A.128°B.130°C.132°D.136°

10.（2022?綏化）如圖，在矩形中，P是邊40上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP,CP,過點(diǎn)B作射線，交

線段CP的延長線于點(diǎn)E,交邊于點(diǎn)M,且使得乙4BE=ZCBP,如果4B=2,BC=5,AP=x,PM=y,

其中2<x<5.則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（）

（Dy與x的關(guān)系式為y=久一;（2）當(dāng)4P=4時(shí)，△ABP八DPC；（3）當(dāng)AP=4時(shí)，tan乙EBP=|.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

二、填空題（每空3分，共18分）

11.（2022?邵陽）已知矩形的一邊長為6cm,一條對(duì)角線的長為10cm,則矩形的面積為cm2.

12.（2022?大連）如圖，對(duì)折矩形紙片4BCD,使得4。與BC重合，得到折痕EF,把紙片展平，再一次

折疊紙片，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)才落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B,得到折痕連接MF,若MF1

AB=6cm,則40的長是cm.

13.（2022?梧州）如圖，在△ABC中，乙4cB=90。，點(diǎn)D,E分別是AB,AC邊上的中點(diǎn)，連接

CD,DE.如果AB=E>m,BC=3m,那么CD+DE的長是m.

14.（2022?武威）如圖，在四邊形ABCD中，AB||DC,AD||BC,在不添加任何輔助線的前提

下，要想四邊形ABCD成為一個(gè)矩形，只需添加的一個(gè)條件是.

15.（2022?賀州）如圖，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,E,F分別是AD,AB的中點(diǎn)，乙40c

的平分線交AB于點(diǎn)G,點(diǎn)P是線段DG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，貝UAPEF的周長最小值為.

16.（2022,蘇州）如圖，在矩形ABCD中需=芻.動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AD向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，

動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，沿邊BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，連接MN.動(dòng)點(diǎn)M,N同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的速度為

%，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的速度為v2,且巧＜.當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，M,N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過

程中，將四邊形MABN沿MN翻折，得到四邊形MA'B'N.若在某一時(shí)刻，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B,恰好

在CD的中點(diǎn)重合，則宗的值為

v2---------------

三'解答題（共8題，共72分）

17.（2022?云南）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD,E為線段AD的中點(diǎn)，延長BE與CD的

延長線交于點(diǎn)F,連接AF,ZBDF=90°

（1）求證：四邊形ABDF是矩形;

（2）若AD=5,DF=3,求四邊形ABCF的面積S.

18.（2021?安順）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)M在DC上，AM=AB,且BN1AM,垂足為

N.

(1)求證：XABNMAD；

（2）若力。=2,AN=4,求四邊形BCMN的面積.

19.（2022?貴陽）如圖，在正方形ABC。中，E為4。上一點(diǎn)，連接BE,BE的垂直平分線交AB于點(diǎn)M,

交CD于點(diǎn)N,垂足為。，點(diǎn)F在。C上，RMF||AD.

（1）求證：4ABE34FMN；

（2）若4B=8,AE=6,求ON的長.

20.（2022?西藏）如圖，在矩形ABCD中，AB=4BC,點(diǎn)F在BC邊的延長線上，點(diǎn)P是線段BC上

一點(diǎn)（與點(diǎn)B,C不重合），連接AP并延長，過點(diǎn)C作CGLAP,垂足為E.

（1）若CG為/DCF的平分線.請(qǐng)判斷BP與CP的數(shù)量關(guān)系，并證明;

（2）若AB=3,AABP^ACEP,求BP的長.

21.（2022,泰州）如圖，線段DE與AF分別為△ABC的中位線與中線.

A

（1）求證：AF與DE互相平分；

（2）當(dāng)線段AF與BC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ADFE為矩形？請(qǐng)說明理由.

22.（2022?哈爾濱）已知矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是邊40上一點(diǎn)，連接BE,CE,0E,

且BE=CE.

（2）如圖2,設(shè)BE與AC相交于點(diǎn)F,CE與BD相交于點(diǎn)H,過點(diǎn)D作AC的平行線交BE的延長線

于點(diǎn)G,在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中的四個(gè)三角形（AAEF除外），使寫出的

每個(gè)三角形的面積都與△AEF的面積相等.

23.（2022?長春）【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動(dòng)中，小亮同學(xué)選用了常見的A4紙，如圖①，矩形4BCD

為它的示意圖.他查找了A4紙的相關(guān)資料，根據(jù)資料顯示得出圖①中4。=他先將A4紙沿

過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在4。上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,折痕為ZF；再沿過點(diǎn)F的直線折疊,

使點(diǎn)C落在EF上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H,折痕為FG；然后連結(jié)AG,沿AG所在的直線再次折疊，發(fā)

現(xiàn)點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，進(jìn)而猜想AADG三△AFG.

小亮對(duì)上面AADG三A4FG的猜想進(jìn)行了證明，下面是部分證明過程:

證明：四邊形4BCD是矩形，

."BAD=/LB=^C=^D=90°.

1

由折疊可知,Z-BAF="BAD=45°,^BFA=AEFA.

：.AEFA=Z-BFA=45°.

-,-AF=y[2AB=AD.

請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過程.

(2)【結(jié)論應(yīng)用】

NZMG的度數(shù)為度，器的值為;

⑶在圖①的條件下，點(diǎn)P在線段ZF上，且4P=氣8,點(diǎn)Q在線段4G上，連結(jié)FQ、PQ,如圖

②，設(shè)AB=a,貝UFQ+PQ的最小值為.(用含a的代數(shù)式表示)

24.(2022?天津)將一個(gè)矩形紙片。ABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。(0,0),點(diǎn)。(3,0),點(diǎn)C(0,6),

點(diǎn)P在邊。C上(點(diǎn)P不與點(diǎn)O,C重合)，折疊該紙片，使折痕所在的直線經(jīng)過點(diǎn)P,并與x軸的正

半軸相交于點(diǎn)Q,且NOPQ=30。，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。'落在第一象限.設(shè)。Q=t.

=1時(shí)，求ZOQA的大小和點(diǎn)。'的坐標(biāo);

(2)如圖②,若折疊后重合部分為四邊形，O'Q,?！狈謩e與邊相交于點(diǎn)E,F,試用含有t的

式子表示O'E的長，并直接寫出t的取值范圍;

(3)若折疊后重合部分的面積為38，則t的值可以是

(請(qǐng)直接寫出兩個(gè)不同的值即可).

答案解析部分

1.【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命題與假命題

【解析】【解答】解：①對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形，正確，故該命題是真命題；

②對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，故原命題錯(cuò)誤，是假命題；

③四邊相等的四邊形是菱形，故原命題錯(cuò)誤，是假命題；

④四邊相等的四邊形是菱形，正確，故該命題是真命題.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)矩形的判定定理可判斷①；根據(jù)菱形的判定定理可判斷②④；根據(jù)正方形的判定定理

可判斷③.

2.【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；翻折變換(折疊問題)；直角三角形斜邊

上的中線

【解析】【解答】解：ABC中，ZACB=90°,D是斜邊AB的中點(diǎn)，

；.CD=BD=AD,

?.?把紙片沿著CD折疊，點(diǎn)B到點(diǎn)E的位置

；.BD=ED,NB=NCED,

ACD=BD=AD=ED,

ZB=ZDCB=ZDCE=NCED=a,

.,.ZEDC=180°-ZDCE-ZCED=180o-a-a=180°-2a,

VAE//DC,

ZAED=ZEDC=180°-2a,

VED=AD,

.\ZEAD=ZAED=180o-2a,

VZB=a,ZACB=90°,

.".ZCAD=90°-a,

AZEAC=ZEAD-ZCAD=180°-2a-(90°-a)=90°—a.

故答案為：B.

【分析】利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證得CD=BD=AD,利用折疊的性質(zhì)可

推出CD=BD=AD=ED,ZB=ZCED,利用等邊對(duì)等角，可得到NB=NDCB=NDCE=NCED

=%利用三角形的內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)可表示出NAED的度數(shù)，從而可表示出NEAD,ZCAD

的度數(shù)；然后根據(jù)NEAC=NEAD—NCAD,可表示出NEAC的度數(shù).

3.【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；幾何圖形的面積計(jì)算-割補(bǔ)法

【解析】【角牟答】解：設(shè)MD=m,MH=n,則MH=m-n,

,?,矩形紙片和正方形紙片的周長相等,

2AP+2(PG-PH)=2AP+2(m-n)=4m,

AP=m+n,

???陰影部分面積二S矩形ABCD-2SAADH-2SAAEB

=(2m+n)(2m-n)-2xA(m-n)(2m+n)-2xA(2m-n)m

=2mn,

?正方形紙片的面積=m2,四邊形EFGH的面積=#,ABEF的面積=*mn,AAEH的面積=6（m-n）；

.,.△BEF的面積陰影部分面積，

q

一定能求出△BEF的面積.

故答案為：C.

【分析】設(shè)設(shè)MD=m,MH=n,則MH=m-n,根據(jù)矩形紙片和正方形紙片的周長相等，列式求出AP=m+n,

然后根據(jù)面積的和差表示圖中陰影部分的面積，再整理化簡(jiǎn)，再用m、n分別表示出四個(gè)選項(xiàng)的面積，

即可作出選擇.

4.【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖，過點(diǎn)F作FHLAD于點(diǎn)H,

：.EA=EA',FB=FB',

；.EF是AA'的垂直平分線.

ZAOE=90°.

?.?四邊形ABCD是矩形，

ZBAD=/B=ND=90。.

ZOAE+ZAEO=ZOAE+ZAGD,

.\ZAEO=ZAGD.

VFHXAD,

；.NFHE=ND=90。.

；.△EFH^AGAD.

.EF_FH

"AG=AD-

ZAHF=ZBAD=NB=90。，

二四邊形ABFH是矩形.

；.FH=AB.

.EF_FH_AB_1_42

''AG=AD=AD=^=^J'

故答案為：A.

【分析】過點(diǎn)F作FHLAD于點(diǎn)H,利用折疊的性質(zhì)可證得EA'=AE,FB=FBz,同時(shí)可證得EF是

AAZ的垂直平分線，可得到NAOE=90。；利用矩形的性質(zhì)去證明/AEO=NAGD,利用垂直的定義可

證得NFHE=ND=90。；再利用有兩組對(duì)應(yīng)角分別相等的三角形相似，可證得△EFHs/^GAD,利用

相似三角形的性質(zhì)可得對(duì)應(yīng)邊成比例；利用矩形的性質(zhì)可得到FH=AB,由此可求出EF與AG的比值.

5.【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定；矩形的性質(zhì)；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：由題意：

??.AD//BC,???Z.ADB=乙CBD，

Z.FDA=Z.EBC,

又VAD=BC,BE=DF,

：.hADFCBE(SAS),

AF=EC,

???^AFD=乙CEB,AF//EC,

???四邊形AECF為平行四邊形，

故答案為：A.

【分析】證明△4DF三△CBE(SZS),利用全等三角形的性質(zhì)得出4F=EC乙4F0=NCEB

利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，可得AF〃CE,根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等可證四邊形AECF為平行四

邊形.

6.【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；菱形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：???四邊形ABCD是矩形，

LA=90°,AD||BC,

???Z.MDB=乙NBD,

由作圖過程可知，PQ垂直平分BD,

???BM=DM,BN=DN,

???乙MDB=4MBD,乙NBD=乙NDB,

???Z-MBD=Z-NDB,

???BM||DN,

.??四邊形MBND是平行四邊形，

又???BM=DM,

二平行四邊形MBND是菱形，

設(shè)BM=DM=x(x>0),則AM=AD-DM4-x,

在RtZkABM中，AB2+AM2=BM2,即2?+(4—xf=/,

解得久=f,

則四邊形MBND的周長為4BM=4%=4X1=10

故答案為：C.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得NA=90。，AD〃BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NMDB=NNBD,由作圖

過程可知：PQ垂直平分BD,則BM=DM,BN=DN,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NMDB=/MBD,

ZNBD=ZNDB,推出BM〃DN,結(jié)合BM=DM可得四邊形MBND是菱形，設(shè)BM=DM=x,貝!J

AM=AD-DM=4-x,利用勾股定理可得x,進(jìn)而不難求出四邊形MBND的周長.

7.【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的中位線定理；直角三角形斜邊上的中線

【解析】【解答】解：ABC是直角三角形，D為斜邊AC的中點(diǎn)，

；.AD=BD=CD,

VAE=AD,

；.AE=BD,

?.?D為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC的中點(diǎn)，

；.DF為△ACE的中位線，

；.AE=2DF=4,

；.BD=AE=4.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出AD=BD=CD,結(jié)合AE=AD,得出AE=BD,然后由中

位線定理求出AE的長，則可求出BD長.

8.【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；三角形的中位線定理

【解析】【解答】解：???四邊形ABCD是矩形，

；.AC=BD=8,BO=DO=1BD,

；.BO=DO=1BD=4,

?.?點(diǎn)E、F是AB,AO的中點(diǎn)，

；.EF是^AOB的中位線，

；.EF=iBO=2,

故答案為：A.

【分析】由矩形的性質(zhì)可得AC=BD=8,B0=D0=|BD=4,然后根據(jù)中位線的性質(zhì)進(jìn)行解答.

9.【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）

【解析】【解答】解：..?四邊形ABCD是矩形，

AAD//BC,

??,矩形紙片ABCD沿EF折疊，

.??NDEF=NGEF,

XVAD//BC,

.??NDEF=NEFG,

???NDEF=NGEF=NEFG=64°,

■:乙EGB是4EFG的外角，

，乙EGB=ZGEF+ZEFG=128°

故答案為：A.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)求出NDEF=NEFG,由折疊可得NDEF二NGEF,從而求出

NDEF=NGEF=NEFG=64°,根據(jù)三角形的外角可得乙EGB=NGEF+NEFG,據(jù)此計(jì)算即可.

10.【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；四邊形-動(dòng)點(diǎn)問題

【解析】【解答］解：（1）???在矩形43CD中,

：.AD||BC,^A==90°,BC=AD=5,AB=DC=2,

：.^LAPB=乙CBP,

9：Z.ABE=乙CBP,

：.^ABE=^LAPB,

A△ABM?△4PB,

.AB_AM

,,加=而

9CAB=2,AP=x,PM=y,

?2x—y

?五二U-'

解得：y=x--f

Jx

故(1)符合題意；

(2)當(dāng)4P=4時(shí)，DP=AD-AP=5-4=1,

.DC_DP_1

,?加詼=2'

XVzX=ND=90°,

△ABPfDPC,

故（2）符合題意；

（3）過點(diǎn)M作MF1BP垂足為F,

：.^A=Z.MFP=AMFB=90°,

?當(dāng)4P=4時(shí)，此時(shí)久=4,y=x--=4-l=3,

JX

：.PM=3,

在RtaAPB中，由勾股定理得：BP2=AP2+AB2,

；?BP=VAP2+AB2=V42+22=2倔

VzFPM=4ApB,

：.△FPM-AAPB,

.MF_PF_PM

99~AB~AP~TB,

.MF_PF_3

,,丁rF'

?,375675

,?MnFc=-，Pr=-g—?

'-BF=BP-PF=2V5-等=零，

3/5

MFr3

Z.tanzEBP=釜=梟=」

BF4V54

虧

故（3）不符合題意；

故答案為：C.

【分析】利用矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可。

11.【答案】48

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；矩形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，BC=6cm,AC=10cm,

.?.在Rt△ABC中，AB=V102-62=8(cm),

:矩形ABCD=ABXBC-8X6=48(cm2).

故答案為：48.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得/ABC=90。，利用勾股定理求出AB,然后根據(jù)矩形的面積公式進(jìn)行計(jì)

算.

12.【答案】5V3

【知識(shí)點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；翻折變換(折疊問題)；解直角三角形

【解析】【解答】解：如下圖所示，設(shè)Z,E交BM于點(diǎn)。，連接AO,

???點(diǎn)E是中點(diǎn),

.?.在和中，AO=OM=OB,OA'=OB=OM,

.'.^OAE=4)BE,AOBA'=^OA'B,

?:乙OBE=^OBA',

：.AOAE=^OA'B,

VzOXF+^AOE=90°,^OA'B+^OA'M=90°,

：.AAOE=^OA'M,

：.AO//A'M,

'：AM//OA'

，四邊形AOAM是平行四邊形,

：.AM=OA'

：.AM=A。=OM,

.?.△4。”是等邊三角形，

：.AAMO=AOMA'=60"

tanZ-AMO-tan60°=

-,-AM=2V3.

,：MF1BM,NOMA=60",

J.^A'MF=30°,

：.ADMF=180°-150°=30°,

i

■:DF=^AB=3,

-'-AD=AM+MD^5V3.

故答案為：5V3.

【分析】先求出四邊形4。4M是平行四邊形，再求出zAMF=30°,最后求解即可。

13.【答案】4

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的中位線定理；直角三角形斜邊上的中線

【解析】【解答】解：：D、E分別是AB和AC的中點(diǎn)，

.?.DE是△ABC的中位線，

13

:?DE=^BC,

9：^ACB=90°,

由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知：DC==■!，

CD+DE=|+1=4.

故答案為：4.

【分析】由題意可得DE是△ABC的中位線，則DE=|BC=|,根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊

的一半可得DC=1AB=|,據(jù)此計(jì)算.

14.【答案】NA=90。（答案不唯一）

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定；矩形的判定

【解析】【解答】】解：需添加的一個(gè)條件是NA=90。，理由如下：

VAB/7DC,AD//BC,

四邊形ABCD是平行四邊形，

XVZA=90°,

平行四邊形ABCD是矩形，

故答案為：/A=90。（答案不唯一）.

【分析】由已知條件可得四邊形ABCD是平行四邊形，然后結(jié)合矩形的判定定理進(jìn)行解答.

15.【答案】5+V37

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)；軸對(duì)稱的應(yīng)用-最短距離問題；等腰直角三角形

【解析】【解答】解：如圖，在CD上取點(diǎn)H,使DH=DE,連接EH,PH,過點(diǎn)F作FKLCD于點(diǎn)K,

在矩形ABCD中，ZA=ZADC=90°,AD=BC=6,CD=AB=8,

...△DEH為等腰直角三角形，

：DG平分NADC,

.\DG垂直平分EH,

；.PE=PH,

APEF的周長等于PE+PF+EF=PH+PF+EF>FH+EF,

當(dāng)點(diǎn)F、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，△PEF的周長最小，最小值為FH+EF,

VE,F分別是AD,AB的中點(diǎn)，

；.AE=DE=DH=3,AF=4,

；.EF=5,

VFKXCD,

ZDKF=ZA=ZADC=90°,

四邊形ADKF為矩形，

；.DK=AF=4,FK=AD=6,

；.HK=1,

-,-FH=y/FK2+HK2=V37，

；.FH+EF=5+V37,即△PEF的周長最小為5+V37.

故答案為：5+后.

【分析】在CD上取點(diǎn)H,使DH=DE,連接EH,PH,過點(diǎn)F作FKLCD于點(diǎn)K,根據(jù)矩形的性質(zhì)

可得

ZA=ZADC=90°,AD=BC=6,CD=AB=8,推出△DEH為等腰直角三角形，結(jié)合DG平分NADC可

得DG垂直平分EH,則APEF的周長可轉(zhuǎn)化為PH+PF+EF,易得當(dāng)點(diǎn)F、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，△PEF

的周長最小，最小值為FH+EF,根據(jù)中點(diǎn)的概念可得AE=DE=DH=3,AF=4,利用勾股定理可得EF,

易得四邊形ADKF為矩形，貝1JDK=AF=4,FK=AD=6,利用勾股定理求出FH,據(jù)此解答.

16.【答案】|

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；矩形的性質(zhì)；翻折變換(折疊問題)；相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形全等的判

定(ASA)

【解析】【解答】解：如圖所示：

在矩形ABCD中黎=|,設(shè)AB=2a,=3a,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,

??.CD=AB—2a,AD=BC=3a,BN=172aAM=v^t,

在運(yùn)動(dòng)過程中，將四邊形MABN沿MN翻折，得到四邊形MAEN,

B'N=BN=v2t>A'M=AM—vrt，

若在某一時(shí)刻，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B，恰好在CD的中點(diǎn)重合，

DB'=B'C=a,

在RtAB'CN中，zf=90%B'C=a,B'N=v2t,CN=3a—v2t，貝U"=|a=BN，

???乙A'B'N=ZB=90°，

AA'B'D+乙CB'N=90°,

???乙CNB'+乙CB'N=90°,

???^A'B'D=乙CNB',

AEDB'?AB'CN,

DE_BC_BC_a_3

■'-~^='CN=BC^BN==4'

DB'=B'C=a,

DE=|DBZ=竟,則BE=J(￡)B')2+DE2=Ja2+(1a)2=￡'

A'E=A'B'-B'E=2a-^a=^a,即DE=^a=A'E,

在AA'EM和ADEB'中，

'屋=NO=90°

'AE=DE

<Z-AEM=2DEB

???AArEM=ADEB\ASA),

r

:.A'M—BD=a,即AM-vrt-a,

巧—_ZM_a_3

‘歷=砧=麗="=5

3a

故答案為：|.

【分析】設(shè)AD與AE交于點(diǎn)E,設(shè)AB=2a,則BC=3a,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得CD=AB=2a,AD=BC=3a,

BN=V2t,AM=vit,根據(jù)折疊的性質(zhì)可得B，N=BN=V2t,A，M=AM=vit,由題意可得DB，=BC=a,根據(jù)

線段的和差關(guān)系可得v2t=|a=BN,根據(jù)同角的余角相等可得/ABD=/CNBT證明△EDB^AB^N,

利用勾股定理可得B，E,然后表示出A，E、DE,證明△A，EM四△DEB，，得到A，M=B，D=a,據(jù)此求解.

".【答案】(1)證明：?.?四邊形ABCD平行四邊形，

AAB//CD,即AB〃DE,

.\ZEFD=ZEBA,ZEAB=ZEDF,

?.?E為AD的中點(diǎn),即EF=EB,

AEB^ADEF(AAS),

；.AE=ED,

四邊形ABDF是平行四邊形,

VZBDF=90°,

???四邊形ABDF是矩形；

(2)解：??,四邊形ABDF是矩形，

.\ZAFD=90°,AB=DF,

1?_后必=BD,

???四邊形ABCD平行四邊形，

二?CD=AB二DF=3,

???CF=CD+DF=6,

???S=S梯形ABCF—1(AB+CF)-BD=|x9x4=18,

即四邊形ABCF的面積S為18.

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)；三角形全等的判定(AAS)

【解析】【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得出AB〃DE,則由平行線的性質(zhì)得出角相等，然后利用AAS

證明△AEB0ADEF,得出AE=ED,結(jié)合EF=EB，證出四邊形ABDF是平行四邊形,再結(jié)合NBDF=90。,

證出四邊形ABDF是矩形；

(2)根據(jù)勾股定理求出AF長，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)求出AB和CF的長，最后根

據(jù)梯形的面積公式計(jì)算，即可解答.

18.【答案】(1)證明：\?在矩形ABCD中，

.\ZD=90o,AB/7CD,

AZBAN=ZAMD,

*：BN1AM,

；.NANB=90°,即：ZD=ZANB,

又?.FM=AB,

:.XABN三XMAD(AAS)

(2)解：△ABN三AMAD,

；.AN=DM=4,

'：AD=2,

?'-AM=V22+42=2V5，

，AB=2V5，

，矩形ABCD的面積=2V5x2=4V5,

又,S?ABN—S^MAD=2*2X4=4，

，四邊形BCMN的面積=4V5-4-4=4V5-8

【知識(shí)點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)及垂直的定義可得ND=/ANB=90。，ZBAN=ZAMD,根據(jù)AAS

可證△ABNMAD；

（2）由△ABN三△MAD,可得AN=DM=4,利用勾股定理求出AM,即得AB,由四邊形BCMN的

面積=矩形ABCD的面積-△ABN的面積-△MAD的面積，據(jù)此計(jì)算即可.

19.【答案】（1）證明：在正方形ABCD中，有AD=DC=CB=AB,ZA=ZD=ZC=90°,BC||AD,

AB||DC,

'：MF||AD,ZA=ZD=90°,AB||DC,

四邊形ADFM是矩形，

；.AD=MF,ZAMF=90°=ZMFD,

.,.ZBMF=90°=ZNFM,即NBMO+NOMF=90。，AB=AD=MF,

：MN是BE的垂直平分線，

AMN±BE,

ZBOM=90°=ZBMO+ZMBO,

.,.ZMBO=ZOMF,

2NFM=AA=90°

VMF=AB，

1.乙OMF=AMBO

.*.△ABE/△FMN；

（2）解：連接ME,如圖，

VAB=8,AE=6,

...在RtAABE中，BE=yJAB2+AE2=V82+62=10,

根據(jù)(1)中全等的結(jié)論可知MN=BE=10,

VMN是BE的垂直平分線，

.,.BO=OE=1B￡=5,BM=ME,

；.AM=AB-BM=8-ME,

在RtAAME中，AM2+AE2=ME2,

A(8-MF)2+62=ME2,解得：ME=孕，

4

???BM=ME二年，

q

.?.在R3BMO中，MO2=BM2-BO2,

-"-MO=<BM2-BO2=J(第2—52=竽，

AON=MN-MO=10一￥=今.

44

即NO的長為：孕.

q

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理;矩形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；三角形全等的判定(ASA)

［解析］［分析］(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=DC=CB=AB,ZA=ZD=ZC=90°,BC〃AD,AB〃DC,

易得四邊形ADFM是矩形，則AD=MF,ZAMF=90°=ZMFD,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得MNXBE,

由同角的余角相等可得NMBO=NOMF,然后根據(jù)全等三角形的判定定理AASA進(jìn)行證明；

(2)連接ME,利用勾股定理得BE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得MN=BE=10,由垂直平分線的性質(zhì)

得BO=OE=5,BM=ME,則AM=8-ME,利用勾股定理可得ME,MO,然后根據(jù)ON=MN-MO進(jìn)行

計(jì)算.

20.【答案】(1)解：BP=CP,理由如下：

：CG為NDCF的平分線，

.\ZDCG=ZFCG=45°,

；.NPCE=45°,

VCGXAP,

；.NE=/B=90。，

.\ZCPE=45°=ZAPB,

；.NBAP=/APB=45°,

；.AB=BP,

VAB=|BC,

；.BC=2AB,

；.BP=PC

(2)解:'/△ABP^ACEP,

???AP=CP,

,.?AB=3,

,.?BC=2AB=6,

???力p2=AB2+BP2,

???(6-BP)2=9+BP2,

「.BP1

4

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)；等腰直角三角形；角平分線的定義

【解析】【分析】⑴根據(jù)矩形的性質(zhì)得NB=NBCD=90。,根據(jù)角平分線的概念可得NDCG=/FCG=45。，

根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)可得NFCG=/PCE=45。，ZCPE=45°=ZAPB,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得

ZBAP=ZAPB=45°,推出AB=BP,由已知條件可知AB=：BC,貝l|BC=2AB,據(jù)此解答；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AP=CP,由AB=3可得BC=2AB=6,然后在RtAABP中，利用勾

股定理進(jìn)行計(jì)算.

21.【答案】(1)證明：\?線段DE與AF分別為AABC的中位線與中線，

：.D,E,F分別是AB,AC,BC的中點(diǎn)，

線段DF與EF也為△ABC的中位線，

ADFHAC,EF||AB,

四邊形ADFE是平行四邊形，

；.AF與DE互相平分.

(2)解：當(dāng)AF=±BC時(shí)，四邊形ADFE為矩形，理由如下：

\?線段DE為AABC的中位線，

ADE=|BC,

由(1)知四邊形ADFE為平行四邊形，若回ADFE為矩形，則AF=DE,

/.當(dāng)AF=1BC時(shí)，四邊形ADFE為矩形.

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高；平行四邊形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；三角形的中位線定理

【解析】【分析】(1)由題意可得D,E,F分別是AB,AC,BC的中點(diǎn)，則線段DF與EF都為△ABC

的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得DF〃AC,EF//AB,推出四邊形ADFE是平行四邊形，然后根據(jù)

平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得結(jié)論；

(2)根據(jù)中位線的性質(zhì)可得DE=^BC,由(1)知四邊形ADFE為平行四邊形，若平行四邊形ADFE

為矩形，則AF=DE,據(jù)此解答.

22.【答案】(1)證明：???四邊形43。。是矩形，

???4C與3。相等且互相平分，

：.0B=0C,

■:BE=CE,0E=0E,

：.LBEO=^CEO(SSS)；

(2)解：△DEG、ADEH.XBFO、△C”。這4個(gè)三角形的面積與△AEF的面積相等.

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等的判定；矩形的性質(zhì)

【解析】【解答］解：(2)二?四邊形ABCD是矩形，

二?AB=CD,NBAE=NCDE=90。，OA=OD=OB=OC,

又〈BE二CE,

ARtAABE^RtADCE(HL)

???AE=DE,

??S440E=SADOE，

VOA=OD,AE=DE,

AOEXAD,

：.AB||OE,

?=SBOE，

1?SA/OE-S^EOF=S&BOE~S^EOF，

:?S〉BFO=S4/EF；

■:XBEO/CEO,

??NOBF=NOCH,S>BOE=S*OE，

又〈NBOF=NCOH,OB=OC,

.*.△BOF^ACOH(ASA),

:?S>BFO=S^CHO=S〉A(chǔ)EF，

:?S〉BOE~^LBOF-S〉COE~S&COH，

:?SAOEF-SxOEH，

??^LAOE~LOEF=SbDOE~S^OEH，

:?S〉DEH=SA4EF；

*：AC||DG,

.\ZAFE=ZDGE,ZEAF=ZEDG,

XVAE=DE,

Z.△AEF三△CEG(44S),

SxAEF-SADEG；

綜上所述，ADEG、ADEH、XBFO、△CH。這4個(gè)三角形的面積與△AEF的面積相等.

【分析】(1)利用全等三角形的判定方法求解即可；

(2)先求出AB=CD,ZBAE=ZCDE=90°,OA=OD=OB=OC,再利用全等三角形的判定與性質(zhì)求解

即可。

23.【答案】(1)證明：四邊形4BC0是矩形，

：.^BAD=ZB=ZC=ZD=90°.

1

由折疊可知，ABAF=-^ABAD=45°,^BFA=AEFA.

：.^EFA=ABFA=45°.

'-AF=y/2AB=AD.

由折疊得，乙CFG=4GFH=45°,

J.^AFG=LAFE+乙GFE=45°+45°=90°

：.^AFG=4=90°

又AD=AF,AG=AG

??△ADG=△A.FG

(2)22.5°；V2-1

(3)空。

2

【知識(shí)點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；四邊形的綜合

【解析】【解答】解：(2)由折疊得，/BAF=AEAF,

又NBAF+NEAF=90°

ZEAF="BAE=宏x90。=45°,

11

由△ZDG三A4FG得,ZDAG=Z.FAG=^FAD=JX45°=22.5°,

ZAFG=^ADG=90",

又/AFB=45°

：./GFC=45°,

:./FGC=45°,

：.GC=FC.

設(shè)ZB=%,貝=%,AF=V2x=AD=BC,

-?FC=BC-BF=V2x-x=(V2-1)%

,GF=V2FC=(2-V2)x

?GF(2—i/2)x內(nèi)

,寸=H1

(3)如圖，連接FD,

ARED

；DG=FG

AAG是FD的垂直平分線，即點(diǎn)F與點(diǎn)D關(guān)于AG軸對(duì)稱，

連接PD交AG于點(diǎn)Q,則PQ+FQ的最小值為PD的長；

過點(diǎn)P作PR1AC交AD