河北省衡水市武強(qiáng)縣武強(qiáng)學(xué)校2024屆高三年級上冊開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

武強(qiáng)中學(xué)2023-2024學(xué)年度上學(xué)期綜合素質(zhì)檢測一

高三數(shù)學(xué)試題

出題人：吉巖巖

一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.)

1.已知集合A={xeN]χ2-3x-4<θ},則集合A的真子集有()

A.7個B.8個C.15個D.16個

匕&的共扼復(fù)數(shù)為

2.己知i為虛數(shù)單位,則1()

?-i

13.13.3.κ13.

A.-----1—iB.—÷-1C.—1D.-------i

2222一5一222

3.設(shè)奇函數(shù)/(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，且/⑴=0,則不等式/(x)-∕(-x)<0的解集為()

A.(-4,θ)<j(l,+oo)B.(-00,—1)5。，1)

C.(—00,—])"(],+oo)D.(-l,0)u(0,l)

2

4.函數(shù)/(x)=In(X+1)--的零點所在的大致區(qū)間是()

A.(3,4)B.(2,e)C.(1,2)D.(0,1)

,,CESina+cosa

5.右tana=2,則^----------+cos2a=()

Sina-CoSa

1616C88

A.—B.-----C.一D.----

5555

19

6.正數(shù)〃,匕滿足上+'=1,若不等式。+ZjN-d+4x+18-小對任意實數(shù)X恒成立，則實數(shù)加的取值范

ab

圍是()

A.[3,+∞)B.(-∞,3]C.(-∞,6]D.[6,+∞)

7.已知平面向量4,力滿足,卜2,忖=1,4與8的夾角為且(a+/lb)_L(2a-。)，則實數(shù)4的值

為()

A.-7B.-3C.2D.3

8.六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有()

A.192種B.216種C.240種D.288種

二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得O分.)

9.已知集合A={x∣χ2-3χ+2≤θ},B={Λ∣2<2V≤8},則下列判斷正確的是()

A.ADB=BB.(AB)DA=R

C.ACB={x∣l<x≤2}D.RA)={x∣x≤>2}

10.已知函數(shù)/(x)=√5CoS—(XWR),下列結(jié)論錯誤的是()

A.函數(shù)/(x)的最小正周期為7B.函數(shù)〃尤)的圖象關(guān)于點(∣,θ］對稱

JTJT

C.函數(shù)/(x)在區(qū)間0,-上是減函數(shù)D.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線X=J對稱

II.在(2d—的展開式中，下列說法正確的是()

A.各項系數(shù)和為1B.第2項的二項式系數(shù)為15

C.含/的項的系數(shù)為-160D.不存在常數(shù)項

12.在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，點M(4,4)在拋物線V=2px(p>0)上，拋物線的焦點為產(chǎn)，延長

Mr與拋物線相交于點N,則下列結(jié)論正確的是()

］7

A.拋物線的準(zhǔn)線方程為X=-IB.?MN?=^?

7

C.Z?QMN的面積為:D.∣MF∣+∣7VF∣=∣Λ∕F∣Λ^F∣

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分.)

13.已知函數(shù)小)=［詈：:；，則/(/⑴)+小嗎；)的值是

?JIJL,√V—?J\乙J

2A—1,X>0,

14.已知函數(shù)/(x)=<若函數(shù)g(x)=∕(x)-〃2有3個零點，則實數(shù)加的取值范圍是

-x~-2x,X≤0

15.已知函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)為r(x),且滿足〃x)=2礦⑴+欣，則r⑴=.

X2—V2

16.設(shè)尸是雙曲線C：=?=1的一個焦點.若C上存在點P,使線段P/的中點恰為其虛軸的一個端

a-h~

點，則C的離心率為.

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.在AABC中，內(nèi)角4,B,。所對的邊分別為。，b,c.已知加inA=αcos(5—工］.

(1)求角B的大小；

(2)設(shè)α=2,c=3,求二和sin(2A-B)的值.

18.如圖，S是RtZVlBC所在平面外一點，且S4=SB=SC,。為斜邊AC的中點.

(1)求證：5。_1平面48。；

(2)若AB=BC,求證：i?￡)_L平面S4C.

19.已知數(shù)列｛q｝是遞增的等差數(shù)列，々=3,且％，a1,生成等比數(shù)列?

(1)求數(shù)列｛α,,｝的通項公式凡；

⑵設(shè)2=4+2",求數(shù)列也｝的前〃項和S“；

?74

(3)若設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為7；,求滿足(>'的”的最小值.

4%25

20.某高校為調(diào)查學(xué)生喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計”課程是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了選修課程的55名學(xué)生，得到數(shù)據(jù)

如下表:

喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計”課程不“應(yīng)用統(tǒng)計”課程總計

男生20525

女生102030

合計302555

(1)判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計”課程與性別有關(guān)?

(2)用分層抽樣的方法從喜歡統(tǒng)計課程的學(xué)生中抽取6名學(xué)生做進(jìn)一步調(diào)查，將這6名學(xué)生作為一個樣本,

從中任選2人，求恰有1個男生和1個女生的概率.

下面的臨界值表供參考:

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

X22.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-bc?

參考公式：Z2其中n=a+b+c+d.

(α+A)(c+d)(α+c)(b+d)

21.過橢圓看+?=1內(nèi)一點Λ∕(2,l)引一條弦，使弦被M點平分.

(I)求此弦所在的直線方程；

(2)求此弦長.

22.已知函數(shù)/(x)=±!?-lιιx.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求函數(shù)/(x)在區(qū)間上的最大值和最小值(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)).

高三數(shù)學(xué)答案

1.A2.C3.D4.C5.A6.D7.D8.B

9.CD10.BCH.AC12.AD

13.514.(0,1)15.-116.5

ah

17.解：(1)在AABC中，由正弦定理——二——,

sinAsinB

可得戾inA=αsinB.又因為加inA=Qcos∣3-2),

所以“sin5=αcos[fi-?I,

即sin8=Y^cosB+Lsin3,所以tan3=百.因為3e(0,%),所以B=工

22v73

(2)在AABC中，由余弦定理及α=2,c-3,B=—

3

得b2=a2+c2-2accosB=7,故b=V7.

/?2

由加卜可得

inΛ=gcos(B-2sinΛ—?.因為α<c,所以CoSA=

√77

所以sin2A=2sinAcosA=,cos2A=2cos2A-l??

77

所以sin(2A-B)=sin2AcosB-COS2AsinBu?-?

v,727214

18.證明：(1)如圖所示，取AB的中點E,連接SE,DE.

S

在RtAABC中，RE分別為AC,AB的中點，.?.DE"BC,IDELAB.

VSA=SB,：.SElAB.

又SECZ)E=E,.?.AS_L平面SDE.

又SDU平面SZ)E,.?.AB_LSO.

在aSAC中，VSA=SC,。為AC的中點，；.SOLAC.

又ACCAB=A,.?.S0"L平面A8C.

(2)由于AB=BC,則BZ5_LAC.

由(1)可知，5。_1平面48。，又8。(=平面4?。，，5。，3。,

又SDCAC=。，.?.8D_L平面S4C.

19.解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d(d〉0).

α,=3,a+d=3,伍=1,

由V1得/l、2,、解得4C

?；=?|?5,[(α1+d)=q(q+4d),[a=2.

??Cin=q+(〃—l)d=2〃—1.

(2)由(1)得2=4+2"=2〃一1+2”,

23,

則S“=bi+h2+b3+???+bn=l+3+5+???+(2n-l)+2+2+2+???+2,

(1+2/7-1)//+2-2,,+'

=rΓ+2"+l-2,

21-2

2+

：.Sll=n+2"'-2

2_211

(3)由(1)得C”

α,4+∣(2〃—1)(2〃+1)2/2-12〃+1

.,1111112n

??T=1-----1--------1-…H------------------=--------.

〃3352n-l2n÷l2n÷l

Dn94

由，fL>上得〃>12.又;〃∈N*,???〃的最小值為13.

2n+l25

_55x(20x20-10x5)2

20.(1)由公式力2≈11.978>7.879,

30×25×25×30

所以有99.5%的把握認(rèn)為喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計”課程與性別有關(guān).

6in

(2)設(shè)所抽樣本中有加個男生，則？得加=4,所以樣本中有4個男生，2個女生，

3020

分別記作B2,B3,B4,Gl,G2.從中任選2人的基本事件有(4,與)，(Bl,B3),(B1,B4),

(BI,GI),(4G),(B2,J?).(B2,B4).(B2,GI),(JB2,G2),(β,,β4),(B3,GI),(BVG2),

共個,

(B1,G),(B4,G2),(G,,G2),15

其中恰有1個男生和1個女生的事件有(耳Gj,(BpG2),(B2,GJ，(B2,G2).(B5,Gj,(B,,G2).

(B4,Gl),(B4,G2),共8個,

Q

所以恰有I個男生和1個女生的概率為2.

15

21.［解］(1)法一：設(shè)所求直線方程為＞一1=Z(X-2)?

代入橢圓方程并整理，得(4左2+1)爐—8(2右—左)χ+4(2左一1『一16=0.

又設(shè)直線與橢圓的交點為A(Xl,y),B(x2,y2),

則王，馬是方程的兩個根，于是王+工2=

又M為AB的中點，.?.2L±%=9當(dāng)二9=2,解得Z=-L

24Λ2+12

故所求直線的方程為x+2y-4=0.

法二：設(shè)直線與橢圓的交點為A(%,χ),B(x2,y2).

又"(2,1)為248的中點，；.玉+々=4,yl+y2=2.