《建筑力學(xué)》-李前程-第十二章-力法

假設(shè)EI是常數(shù)就可提到積分號(hào)的外面,上式就變?yōu)?若

和

中有一個(gè)是直線圖,

如圖所示:代入上式有:

是常數(shù),可提到積分號(hào)的外面

M圖

BxxC

M

AByC

AdxC形心MP

dAMP圖

xy0

是

圖對(duì)Y軸的面積矩,可寫(xiě)成:

--是圖的形心到Y(jié)軸的距離

有:

其中:

--是圖的面積

--是圖形心位置所對(duì)應(yīng)的

圖中的豎標(biāo)

得：令:

并且略去下標(biāo)c

上述積分式計(jì)算位移的方法稱(chēng)為圖乘法。應(yīng)用圖乘法需注意以下幾方面：1.滿足前提三個(gè)條件；2.縱坐標(biāo)y必須取自直線的彎矩圖中；3.同側(cè)為正，反之為負(fù)。4.y所在圖形有假設(shè)干直線段組成時(shí)，需分段求解；5.當(dāng)彎矩圖面積或形心不易確定時(shí)，可將圖形分解為假設(shè)干簡(jiǎn)單的圖形，然后分別圖乘，最后求和。hlC2

l/4

3l/4

3l/8

5l/8

C1

ω1

ω2

頂點(diǎn)常見(jiàn)圖形形心及面積lhC2l/3

l/3

hl/2C頂點(diǎn)abl+b/3

l+a/3

hClhll/5

4l/5

C2

2l/5

3l/5

C1

ω1

ω2

頂點(diǎn)常見(jiàn)復(fù)雜圖形處理A2A1y2y1cdba假設(shè)各段剛度不相同，那么應(yīng)分段圖乘。

×=××+×=×+×復(fù)雜圖形的處理：

例：求A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)的

豎向位移。

解：〔1〕求A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角〔2〕求C點(diǎn)的豎向位移

圖

圖

圖ABCDEIEI2EIPLLL/2解：1.作MP圖、PPLMP圖1L；2.圖乘計(jì)算?！鰽y=〔↓〕∑EIyC=EI1(2L?L2PL(L?4=16EIPL2)-2EI123L)PL求A點(diǎn)豎向位移9第十二章力法本章研究?jī)?nèi)容——研究超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算。力法是求解超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力的一種根本方法10第一節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)的概念和超靜定次數(shù)確實(shí)定12-1-1

超靜定結(jié)構(gòu)的概念超靜定結(jié)構(gòu)——有多余聯(lián)系的幾何不變體系。僅用平衡方程不能求解出全部未知量〔約束力或內(nèi)力〕,那么所研究的問(wèn)題是超靜定問(wèn)題。這類(lèi)結(jié)構(gòu)是超靜定結(jié)構(gòu)。未知量〔約束力或內(nèi)力〕個(gè)數(shù)大于獨(dú)立的平衡方程個(gè)數(shù)！ABC11第一節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)的概念和超靜定次數(shù)確實(shí)定12-1-1

超靜定結(jié)構(gòu)的概念與靜定結(jié)構(gòu)相比較,超靜定結(jié)構(gòu)具有如下性質(zhì):2.變形與材料的物理性質(zhì)和截面的幾何性質(zhì)有關(guān)。1.超靜定結(jié)構(gòu)是具有多余聯(lián)系的幾何不變體系。求解超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力,必需考慮變形條件。3.由于具有多余聯(lián)系,因支座移動(dòng)、溫度改變等原因,均會(huì)使超靜定結(jié)構(gòu)產(chǎn)生內(nèi)力。所以,超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與材料的物理性質(zhì)和截面的幾何性質(zhì)有關(guān)。4.由于多余聯(lián)系的作用,局部荷載作用下局部的較大位移和內(nèi)力被減小。FCC12第一節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)的概念和超靜定次數(shù)確實(shí)定12-1-2超靜定次數(shù)確實(shí)定1.超靜定次數(shù)——超靜定結(jié)構(gòu)中多余聯(lián)系的數(shù)目,稱(chēng)為超靜定次數(shù)。2.確定超靜定結(jié)構(gòu)次數(shù)的方法——如果從原結(jié)構(gòu)中去掉n

個(gè)聯(lián)系后,3.從靜力分析的角度看：超靜定次數(shù)等于與多余聯(lián)系相對(duì)應(yīng)的多余約束反力的個(gè)數(shù)。結(jié)構(gòu)就成為靜定的,那么原結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)就等于n。4.舉例：如何確定超靜定次數(shù)?！?〕超靜定次數(shù)是：n=1(a)去掉1

個(gè)鏈桿支座,相當(dāng)于去掉1個(gè)聯(lián)系。13第一節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)的概念和超靜定次數(shù)確實(shí)定12-1-2超靜定次數(shù)確實(shí)定〔2〕超靜定次數(shù)是：n=3〔3〕超靜定次數(shù)是：n=4獨(dú)立平衡方程數(shù)：2×3=6約束反力數(shù)=10

10-6=4〔固定端A、D約束〕2×3=6〔B固定鉸支座〕2〔C鉸鏈〕2(b)切斷1

根鏈桿,相當(dāng)于去掉1個(gè)聯(lián)系。(c)去掉1個(gè)鉸支座或1

個(gè)單鉸,相當(dāng)于去掉2

個(gè)聯(lián)系。14第一節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)的概念和超靜定次數(shù)確實(shí)定12-1-2超靜定次數(shù)確實(shí)定〔4〕閉合框架超靜定次數(shù)是：n=3對(duì)閉合框架任選一截面切開(kāi)一切口,暴露出3

個(gè)多余力,即變成為靜定結(jié)構(gòu)。重要結(jié)論：一個(gè)閉合框有3個(gè)多余聯(lián)系。(d)切斷1

個(gè)梁式桿,相當(dāng)于去掉3

個(gè)聯(lián)系。15第一節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)的概念和超靜定次數(shù)確實(shí)定12-1-2超靜定次數(shù)確實(shí)定討論圖示兩個(gè)閉合框架的超靜定次數(shù)n=2×3=616第一節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)的概念和超靜定次數(shù)確實(shí)定12-1-2超靜定次數(shù)確實(shí)定〔5〕平面剛架超靜定次數(shù)不會(huì)因采用不同的靜定結(jié)構(gòu)體系而改變。n=317第一節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)的概念和超靜定次數(shù)確實(shí)定12-1-2超靜定次數(shù)確實(shí)定1.去掉1

個(gè)鏈桿支座或切斷1

根鏈桿,相當(dāng)于去掉1個(gè)聯(lián)系。去掉多余聯(lián)系的數(shù)目可如下計(jì)算:2.去掉1個(gè)鉸支座或1

個(gè)單鉸,相當(dāng)于去掉2

個(gè)聯(lián)系。3.去掉1

個(gè)固定端或切斷1

個(gè)梁式桿,相當(dāng)于去掉3

個(gè)聯(lián)系。4.在連續(xù)桿上加1

個(gè)單鉸或?qū)⒐潭ǘ擞霉潭ㄣq支座代替,相當(dāng)于去掉1個(gè)聯(lián)系。超靜定次數(shù)等于去掉多余聯(lián)系的數(shù)目！注意:在去掉超靜定結(jié)構(gòu)的多余聯(lián)系時(shí),得到的靜定結(jié)構(gòu)應(yīng)是幾何不變的。不能是瞬變體系。18ABCABC第二節(jié)力法的典型方程力法的根本思想:1.去掉超靜定結(jié)構(gòu)的多余聯(lián)系,使之成為靜定結(jié)構(gòu)體系——力法的根本結(jié)構(gòu)。2.在根本結(jié)構(gòu)上施加與多余約束相應(yīng)的多余力——力法的根本未知量。3.應(yīng)用變形條件求解多余力。在根本結(jié)構(gòu)上施加相應(yīng)的多余力后,它便于與原超靜定結(jié)構(gòu)等同。例題：X1變形條件:C截面處撓度等于零。19第二節(jié)力法的典型方程12-2-1力法的根本概念A(yù)BCABC例題：X1變形條件:C截面處撓度等于零。令：令

11表示在力X1=1作用下，點(diǎn)C沿X1方向所產(chǎn)生的位移。

11和1F

可由計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)位移的方法求出。如采用單位荷載法、圖乘法。20第二節(jié)力法的典型方程12-2-1力法的根本概念A(yù)BCABC例題：X1假設(shè)AB=BC=l/2,EIMF圖Fl/2MF圖lABCF=1MX

圖l=121第二節(jié)力法的典型方程ABCABC例題：X1超靜定結(jié)構(gòu)上由荷載所引起的內(nèi)力,就等于在靜定根本結(jié)構(gòu)上由荷載和多余力共同作用所引起的內(nèi)力。由疊加原理，結(jié)構(gòu)的彎矩可表達(dá)為：將超靜定結(jié)構(gòu)上所有多余力和約束力求出后，可作內(nèi)力圖，并進(jìn)行強(qiáng)度分析。FAyFAxM22第二節(jié)力法的典型方程用力法求解超靜定結(jié)構(gòu)的根本步驟可概述如下:1.去掉多余聯(lián)系,用多余力代替多余聯(lián)系的作用,用靜定的根本結(jié)構(gòu)代替超靜定結(jié)構(gòu)。2.以多余力為根本未知量,令根本結(jié)構(gòu)上多余力作用點(diǎn)的位移與原超靜定結(jié)構(gòu)的位移保持一致,利用這一變形條件求解多余力。3.將外荷載和多余力所引起的根本結(jié)構(gòu)的內(nèi)力疊加,即為原超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下產(chǎn)生的內(nèi)力。注意：全部運(yùn)算過(guò)程都是在靜定的根本結(jié)構(gòu)上進(jìn)行的。23第二節(jié)力法的典型方程12-2-2力法的典型方程[例題2]圖所示剛架為三次超靜定結(jié)構(gòu),根本體系在點(diǎn)B沿X1、X2和X3方向的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)相同,有：式中:Δ1是根本結(jié)構(gòu)上點(diǎn)B沿X1方向的位移;Δ2是根本結(jié)構(gòu)上點(diǎn)B沿X2方向的位移;Δ3是根本結(jié)構(gòu)上點(diǎn)B沿X3方向的位移。用Δ1F、Δ2F和Δ3F分別表示荷載單獨(dú)作用在根本結(jié)構(gòu)上時(shí),點(diǎn)B沿X1、X2和X3方向的位移。用11、21和31分別表示力X1=1單獨(dú)作用在根本結(jié)構(gòu)上時(shí),點(diǎn)B沿X1、X2和X3方向的位移。24第二節(jié)力法的典型方程12-2-2力法的典型方程式中:Δ1

是點(diǎn)B

沿X1

方向的位移;Δ2

是點(diǎn)

B

沿X2

方向的位移;

Δ3

是點(diǎn)

B

沿X3

方向的位移。用Δ1F

、Δ2

F

和Δ3

F

分別表示荷載單獨(dú)作用時(shí),點(diǎn)B

沿X1

、X2

和X3

方向的位移。用

11

、

21

和

31

分別表示力X1

=1

單獨(dú)作用時(shí),點(diǎn)B

沿X1

、X2

和X3

方向的位移。用

12

、

22

和

32

分別表示力

X2

=1

單獨(dú)作用時(shí),點(diǎn)

B

沿X1

、X2

和

X3

方向的位移。用

13

、

23

和

33

分別表示力

X3

=1

單獨(dú)作用時(shí),點(diǎn)

B

沿X1

、X2

和

X3

方向的位移。25第二節(jié)力法的典型方程12-2-2力法的典型方程三次超靜定結(jié)構(gòu)的力法根本方程26第二節(jié)力法的典型方程12-2-2力法的典型方程力法的根本方程這組方程的物理意義是:根本結(jié)構(gòu)在多余力和荷載的作用下,在去掉多余聯(lián)系處的位移與原結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的位移相等。27第二節(jié)力法的典型方程12-2-2力法的典型方程力法的根本方程為：對(duì)于n次超靜定結(jié)構(gòu)，力法的根本未知量是n個(gè)多余未知力X1,X2,…,Xn，稱(chēng)為力法的典型方程典型方程中位于主對(duì)角線上的系數(shù)

ii

稱(chēng)為主系數(shù)。它的物理意義是:當(dāng)單位力Xi=1

單獨(dú)作用時(shí),力Xi

作用點(diǎn)沿Xi

方向產(chǎn)生的位移。主系數(shù)與外荷載無(wú)關(guān),不隨荷載而改變,是根本體系所固有的常數(shù)。28第二節(jié)力法的典型方程稱(chēng)為力法的典型方程主系數(shù)

ii式中：Mi

是單位力

Xi=1

單獨(dú)作用下的彎矩值。不在主對(duì)角線上的系數(shù)

ij

稱(chēng)為副系數(shù)，它的物理意義是:副系數(shù)與外荷載無(wú)關(guān),不隨荷載而改變,也是根本體系所固有的常數(shù)。當(dāng)單位力Xj=1

單獨(dú)作用時(shí),力Xi

作用點(diǎn)沿

Xi

方向產(chǎn)生的位移。副系數(shù)

ijM

i

、Mj

分別是單位力Xi=1、Xj=1

單獨(dú)作用下的彎矩值。29第二節(jié)力法的典型方程稱(chēng)為力法的典型方程系數(shù)

ij

的前一個(gè)腳標(biāo)指示位移發(fā)生的地點(diǎn)和方向,

后一個(gè)腳標(biāo)指示產(chǎn)生位移的原因。根據(jù)位移互等定理,副系數(shù)有如下互等關(guān)系：其值愈大,說(shuō)明結(jié)構(gòu)在此方向的位移愈大,即柔性愈大,所以稱(chēng)ij為柔性系數(shù)。系數(shù)

ij

表示單位力Xj=1

作用下結(jié)構(gòu)沿Xi

方向的位移,30第二節(jié)力法的典型方程稱(chēng)為力法的典型方程典型方程中系數(shù)

iF

稱(chēng)為自由項(xiàng),它的物理意義是:根本體系在荷載(F)作用下力Xi作用點(diǎn)沿Xi方向產(chǎn)生的位移。它與荷載有關(guān),由作用在根本體系上的荷載所確定。

ij

或

iF

得正值(負(fù)值)說(shuō)明位移的方向與相應(yīng)的未知力Xi

的正向相同(相反)。31第三節(jié)用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)[例

12–1]圖所示超靜定梁,

EI

=常量。繪制內(nèi)力圖。解:(1)選取根本結(jié)構(gòu)屬一次超靜定問(wèn)題(2)列力法方程、求系數(shù)力法方程為繪制

X1=1

單獨(dú)作用下的彎矩圖M1繪制

荷載

單獨(dú)作用下的彎矩圖MF主系數(shù)

11

由M1

圖自乘得到：自由項(xiàng)

1F

由M1

圖與MF圖相乘得到：32第三節(jié)用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)[例

12–1]圖所示超靜定梁,

EI

=常量。繪制內(nèi)力圖。解:(3)求多余力、繪內(nèi)力圖由力法方程得：按疊加法繪彎矩圖：繪制剪力圖：FD=F/3FC=2F/333第三節(jié)用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)排架是工業(yè)廠房常用結(jié)構(gòu)形式。排架由屋架、柱子和根底組成。柱子通常采用階梯形變截面構(gòu)件,柱底為固定端。柱頂與屋架為鉸接。圖示為一排架的結(jié)構(gòu)及其計(jì)算簡(jiǎn)圖。34第三節(jié)用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)[例12–4]圖所示不等高兩跨排架,EI1∶EI2=4∶3,受水平均布荷載作用。試作出該排架的彎矩圖。解：(1)選取根本結(jié)構(gòu)該排架是二次超靜定結(jié)構(gòu)。(2)列力法方程、求系數(shù)多余未知力分別為：BC

桿的軸力X1

DF

桿的軸力X2

變形條件是：根本體系B、C二點(diǎn)間的相對(duì)位移和D、F二點(diǎn)間的相對(duì)位移同時(shí)等于零,即為求主、副系數(shù)和自由項(xiàng),分別作出相應(yīng)的M1

圖、M2

圖和圖MF

圖35第三節(jié)用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)解：(2)列力法方程、