數(shù)學(xué)方法論期末考核

《數(shù)學(xué)方法論》期末考核作業(yè)題目：構(gòu)造相關(guān)例題對(duì)自選的3種數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用予以說(shuō)明。對(duì)幾種數(shù)學(xué)方法的簡(jiǎn)單探究在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，我們往往有一些特殊的、通用的研究手段和解題方法，我們稱之為數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法是一種重要的數(shù)學(xué)觀念，是解題思維的導(dǎo)航器。我參加工作已經(jīng)兩年半了，在日常教學(xué)中，也經(jīng)常會(huì)給學(xué)生滲透數(shù)學(xué)這門學(xué)科獨(dú)特的思想方法。接下來(lái)，就最常用的幾種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行簡(jiǎn)單探究。一、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)學(xué)是研究客觀世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合思想就是充分利用數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)和形的直觀，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過(guò)圖形的描述、代數(shù)的論證來(lái)研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)形結(jié)合在解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題中占有極其重要的地位，在歷年的高考中也十分注重對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的考查。數(shù)形結(jié)合主要表達(dá)在兩個(gè)方面：一是以形助數(shù)，即借助形的直觀性來(lái)說(shuō)明數(shù)之間的聯(lián)系。常用的有：借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖象；借助單位圓；借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征；借助解析幾何。二是以數(shù)助形，即借助數(shù)的精確性來(lái)說(shuō)明形的某些屬性。常用的有：借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系；借助于運(yùn)算結(jié)果與幾何定理的結(jié)合。由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，往往比擬明顯，而由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化需要轉(zhuǎn)化的意識(shí)，因此，數(shù)形結(jié)合的思想往往偏重于由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化。例題1.解不等式｜x-1｜+｜x-3｜≧3.解：這是一個(gè)含絕對(duì)值的不等式，求解的時(shí)候需要去掉絕對(duì)值符號(hào)，但是，去掉絕對(duì)值符號(hào)時(shí)往往需要復(fù)雜的討論，略顯繁瑣。我們可以將此題理解為“求數(shù)軸上到1和3兩點(diǎn)距離之和大于或等于3的點(diǎn)的集合”。這樣，就可以將不等式用數(shù)軸形象直觀的表示出來(lái)，便于理解和計(jì)算。易得此不等式的解集為例2：1x-y2且2x+y4,求4x-2y的范圍。解此題可直接利用代數(shù)方法用換元法去求解,這里用數(shù)形結(jié)合法來(lái)解決。在平面坐標(biāo)系中作出直線x+y=2，x+y=4,x-y=1,x-y=2,那么1x-y2和2x+y4表示平面上的陰影局部(包括邊界),如圖9所示，令4x-2y=m,那么y=2x-，顯然m為直線系4x-2y=m在y軸上截距2倍的相反數(shù),易看出,直線4x-2y=m過(guò)陰影最左邊的點(diǎn)A〔)時(shí),m取最小值5；過(guò)陰影最右邊的點(diǎn)C(3,1)時(shí),m取最大值10。即4x-2y的范圍是[5，10]。圖9該題是用線性規(guī)劃的思想,數(shù)形結(jié)合解決了具有約束條件的函數(shù)的最值問(wèn)題。線性規(guī)劃問(wèn)題是在約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最值的問(wèn)題。從圖形上找思路恰好就表達(dá)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。二、化歸與轉(zhuǎn)化思想

數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如未知向量轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題轉(zhuǎn)化，新知識(shí)向舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向量平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維的轉(zhuǎn)化，多元向一元的轉(zhuǎn)化，高次向低次轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的表達(dá)?？梢哉f(shuō)每個(gè)方程、不等式的解決都滲透了轉(zhuǎn)化思想，將方程和不等式中的未知數(shù)向數(shù)轉(zhuǎn)化就是一個(gè)典型的轉(zhuǎn)化，當(dāng)然在解題的過(guò)程中轉(zhuǎn)化思想也隨處表達(dá)，例如：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；將無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程；將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式等等.例3解分式方程：．解:方程兩邊同乘以，得解這個(gè)方程，得．檢驗(yàn)：將代入原方程，得左邊右邊所以，是原方程的根．說(shuō)明：在解分式方程或分式不等式時(shí)都要轉(zhuǎn)化為整式方程或整式不等式，在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中注意原式分母的取值情況.例求證等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰距離之和等于腰上的高.：在中，,是上任一點(diǎn)，交于，交于，交于.求證：.分析：由題意如下圖，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為，變得非常簡(jiǎn)單.證明：連結(jié)，那么即∵∴.說(shuō)明：利用面積法解決圖形中的線段關(guān)系，從條件出發(fā)，使未知條件與條件聯(lián)系在一起，找到解題的思路，從而解決未知問(wèn)題.三、分類討論思想

在解題時(shí)，我們常常遇到這樣一種情況，解到某一步之后，不能再以統(tǒng)一的方法，統(tǒng)一的式子繼續(xù)進(jìn)行了，因?yàn)檫@時(shí)被研究的問(wèn)題包含了多種情況，這就必須在條件所給出的總區(qū)域內(nèi)，正確劃分假設(shè)干個(gè)子區(qū)域，然后分別在假設(shè)干個(gè)子區(qū)域內(nèi)進(jìn)行解題，這里集中表達(dá)的是由大化小，由整體化為局部，由一般劃為特殊的解決問(wèn)題的方法，像這樣的“合—分—合”的解決問(wèn)題的過(guò)程，就是分類討論的思想方法。

分類討論是一個(gè)難點(diǎn)，主要考察學(xué)生的邏輯思維能力，其表達(dá)在許多知識(shí)點(diǎn)里，如：求解函數(shù)，求解數(shù)列，解不等式，解方程，排列組合等。例5在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC上的高，并且，那么∠BCA的度數(shù)為_____________。

解析：因未指明三角形的形狀，故需分類討論。例6、〔2009年貴陽(yáng)〕直角三角形兩條邊長(zhǎng)為3和4，那么第三邊長(zhǎng)為_____________.簡(jiǎn)解：分類討論：當(dāng)4為直角邊時(shí)，那么另外一直角邊為3。那么第三邊長(zhǎng)為5。當(dāng)4為斜邊時(shí)，那么另一直角邊為3，那么第三邊長(zhǎng)為根號(hào)7數(shù)學(xué)思想方法很多，本文中提到的數(shù)形結(jié)合思想、劃