理學(xué)2-初等方法建模

第二章初等方法建模2.1比例分析模型2.2代數(shù)模型2.4簡單優(yōu)化模型2.1

比例分析模型2.1.2

劃艇比賽成績賽艇2000米成績t(分)種類1234平均單人7.167.257.287.177.21雙人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84艇長l

艇寬b(米)(米)l/b

7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0空艇重w0(kg)

漿手?jǐn)?shù)n

16.313.618.114.7對四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）4次國際大賽冠軍的成績進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)成績與漿手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系。試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系。問題準(zhǔn)備調(diào)查賽艇的尺寸和重量l/b,w0/n

基本不變2.1.2劃艇比賽成績問題分析

前進(jìn)阻力~浸沒部分與水的摩擦力

前進(jìn)動力~漿手的劃漿功率分析賽艇速度與漿手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系賽艇速度由前進(jìn)動力和前進(jìn)阻力決定劃漿功率

賽艇速度賽艇速度前進(jìn)動力前進(jìn)阻力漿手?jǐn)?shù)量艇重浸沒面積

對漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定

運用合適的物理定律建立模型2.1.2劃艇比賽成績模型假設(shè)1）艇形狀相同(l/b為常數(shù)),w0與n成正比2）v是常數(shù)，阻力f與Sv2成正比符號：艇速v,浸沒面積

S,浸沒體積A,空艇重w0,阻力f,漿手?jǐn)?shù)n,漿手功率

p,漿手體重

w,艇重W艇的靜態(tài)特性艇的動態(tài)特性3）w相同，p不變，p與w成正比漿手的特征模型建立f

Sv2p

wv

(n/S)1/3S1/2

A1/3A

W(=w0+nw)

nS

n2/3v

n1/9比賽成績

t

n

–1/9np

fv2.1.2劃艇比賽成績模型檢驗n

t17.2126.8846.3285.84最小二乘法利用4次國際大賽冠軍的平均成績對模型

t

n

–1/9進(jìn)行檢驗tn12487.216.886.325.84????與模型巧合！2.1.2劃艇比賽成績2.2代數(shù)模型森林中的樹木每年都要有一批被砍伐出售。為了使這片森林不被耗盡且每年都有收獲，每當(dāng)砍伐一棵樹時，應(yīng)該就地補種一棵幼苗，使森林樹木的總數(shù)保持不變。被出售的樹木，其價值取決于樹木的高度，開始時森林中的樹木有著不同的高度。我們希望能找到一個方案，在維持收獲的前提下，如何砍伐樹木，才能使被砍伐的樹木獲得最大的經(jīng)濟價值？森林管理問題

模型假設(shè)1）把樹木按高度分為n類，第1類樹木的高度為

[0,h1]，它是樹木的幼苗，第k類樹木的高度為

（hk

-1,hk]，k=2,3,…,n-1，第n類樹木的高度為

（hn-1,∞）；2）幼苗的經(jīng)濟價值為p1=0，第k類的經(jīng)濟價值為

pk

,k=2,3,…,n；3）每年對森林中的樹木砍伐一次，且只砍伐部分樹木，每砍伐一棵樹木就補種一棵幼苗.森林管理問題

5）在一年的生長期內(nèi)，樹木最多生長一個高度類,

即第k類的樹木可能進(jìn)入第k+1類，也可能停留

在第k類，進(jìn)入第k+1類的比例為;

4）補種的幼苗和未被砍伐的樹木經(jīng)過一年的生長期后，與砍伐前樹木的高度狀態(tài)相同；6）忽略兩次砍伐期間樹木的死亡情況.模型假設(shè)森林管理問題

設(shè)為第t年森林中第k類樹木的數(shù)量，每年砍伐第k類樹木數(shù)為建立模型S為森林樹木總數(shù)沒有砍伐時，樹木第t+1年的數(shù)量是(2)森林管理問題

(1)有砍伐時，樹木第t+1年的數(shù)量是(3)建立模型森林管理問題

引入樹木狀態(tài)向量x(t)、收獲向量y、生長矩陣G和種植矩陣R如下建立模型森林管理問題

（2）式和（3）式分別寫為考慮到假設(shè)4），又有（5）本問題即是求滿足（1）式條件下的（5）式的解。建立模型樹木狀態(tài)向量x(t)、收獲向量y、生長矩陣G、種植矩陣R森林管理問題

模型求解由于幼苗無經(jīng)濟價值，故不對其砍伐，即由（5）式可得(6)森林管理問題

利用收獲向量和價值向量，得所收獲樹木的價值為(8)為了獲得最大的收益,要在條件(1)和(7)式限制下,求（8）式的最大值。(7)模型求解森林管理問題

在實際中，往往只砍伐一種類別的所有樹木，設(shè)為k類，且此時及（6）式得解得模型求解即森林管理問題

代入（1）式得此時，收獲樹木的價值為比較各即可獲得最佳砍伐方案。模型求解森林管理問題

求出對其進(jìn)行最優(yōu)采伐的策略。例題

已知森林具有6年的生長期，g1=0.28,

g2=0.32,

g3=0.25,g4=0.23,

g5=0.37,p2=50元，p3=100元，p4=150元，p5=200元，p6=250元。問題森林管理問題

f2=14.0S,f3=14.7S,f4=13.9S,f5=13.2S,f6=14.0S，比較得f3最大，收益是14.7S。因此應(yīng)砍伐第三年中的全部樹木。求解例題

按上述方法計算得此時，x2=0.475S，森林群體x=(0.525,0.475,0,0,0，0)T，即第一年樹木占樹木總數(shù)的52.5%，第二年樹木占樹木總數(shù)的47.5%。森林管理問題

2.4簡單的優(yōu)化法2.4.1

存貯問題2.4.2

森林救火

現(xiàn)實世界中普遍存在著優(yōu)化問題

靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù))

建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)

求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法靜態(tài)優(yōu)化模型問題配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費，產(chǎn)量大于需求時要付貯存費。該廠生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時間內(nèi)產(chǎn)出。已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費5000元，貯存費每日每件1元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費用最小。要求不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準(zhǔn)備費、貯存費之間的關(guān)系。2.4.1

存貯問題問題分析與思考

每天生產(chǎn)一次，每次100件，無貯存費，準(zhǔn)備費5000元。日需求100件，準(zhǔn)備費5000元，貯存費每日每件1元。

10天生產(chǎn)一次，每次1000件，貯存費900+800+…+100=4500元，準(zhǔn)備費5000元，總計9500元。

50天生產(chǎn)一次，每次5000件，貯存費4900+4800+…+100=122500元，準(zhǔn)備費5000元，總計127500元。平均每天費用950元平均每天費用2550元10天生產(chǎn)一次平均每天費用最小嗎?每天費用5000元

這是一個優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)。顯然不能用一個周期的總費用作為目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)——每天總費用的平均值

周期短，產(chǎn)量小

周期長，產(chǎn)量大問題分析與思考貯存費少，準(zhǔn)備費多準(zhǔn)備費少，貯存費多存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費用（二者之和）最小模型假設(shè)1.產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)r；2.每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費為c1,每天每件產(chǎn)品貯存費為c2；3.T天生產(chǎn)一次（周期）,每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量為零時，Q件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時間不計）；建模目的設(shè)r,c1,c2已知，求T,Q

使每天總費用的平均值最小。4.為方便起見，時間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。模型建立0tq貯存量表示為時間的函數(shù)q(t)TQrt=0生產(chǎn)Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r遞減，q(T)=0.一周期總費用每天總費用平均值（目標(biāo)函數(shù)）離散問題連續(xù)化一周期貯存費為A=QT/2模型求解求T使模型分析模型應(yīng)用c1=5000,

c2=1，r=100T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)

回答問題

經(jīng)濟批量訂貨公式（EOQ公式）每天需求量r，每次訂貨費c1,每天每件貯存費c2，用于訂貨、供應(yīng)、存貯情形不允許缺貨的存貯模型

問：為什么不考慮生產(chǎn)費用？在什么條件下才不考慮？T天訂貨一次(周期),每次訂貨Q件，當(dāng)貯存量降到零時，Q件立即到貨。允許缺貨的存貯模型AB0qQrT1t當(dāng)貯存量降到零時仍有需求r,出現(xiàn)缺貨，造成損失原模型假設(shè)：貯存量降到零時Q件立即生產(chǎn)出來(或立即到貨)現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨,每天每件缺貨損失費c3,

缺貨需補足T一周期貯存費一周期缺貨費周期T,t=T1貯存量降到零一周期總費用每天總費用平均值（目標(biāo)函數(shù)）一周期總費用求T,Q使為與不允許缺貨的存貯模型相比，T記作T′,Q記作Q?′不允許缺貨模型記允許缺貨模型不允許缺貨允許缺貨模型0qQ

rT1tT注意：缺貨需補足Q

~每周期初的存貯量R每周期的生產(chǎn)量R

（或訂貨量）Q~不允許缺貨時的產(chǎn)量(或訂貨量)森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量。隊員多，森林損失小，救援費用大；隊員少，森林損失大，救援費用小。綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數(shù)量。問題分析問題記隊員人數(shù)x,失火時刻t=0,開始救火時刻t1,滅火時刻t2,時刻t森林燒毀面積B(t).

損失費f1(x)是x的減函數(shù),由燒毀面積B(t2)決定.

救援費f2(x)是x的增函數(shù),由隊員人數(shù)和救火時間決定.存在恰當(dāng)?shù)膞，使f1(x),f2(x)之和最小2.4.2森林救火

關(guān)鍵是對B(t)作出合理的簡化假設(shè).問題分析失火時刻t=0,開始救火時刻t1,滅火時刻t2,畫出時刻t森林燒毀面積B(t)的大致圖形t1t20tBB(t2)分析B(t)比較困難,轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度dB/dt.模型假設(shè)3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1(燒毀單位面積損失費）1）0

t

t1,dB/dt

與t成正比，系數(shù)

(火勢蔓延速度）2）t1

t

t2,

降為

-x

(

為隊員的平均滅火速度）4）每個隊員的單位時間滅火費用c2,一次性費用c3假設(shè)1）的解釋

rB火勢以失火點為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑r與t成正比面積B與t2成正比，dB/dt與t成正比.模型建立b0t1tt2假設(shè)1）目標(biāo)函數(shù)——總費用假設(shè)3）4）假設(shè)2）模型建立目標(biāo)函數(shù)——總費用模型求解求x使C(x)最小結(jié)果解釋

/

是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù)b0t