三角函數(shù)的恒等變換與公式

三角函數(shù)的恒等變換與公式REPORTING目錄三角函數(shù)基本概念與性質(zhì)恒等變換基本公式恒等變換在解三角形中應(yīng)用恒等變換在數(shù)列求和中應(yīng)用恒等變換在函數(shù)性質(zhì)研究中應(yīng)用總結(jié)回顧與拓展延伸PART01三角函數(shù)基本概念與性質(zhì)REPORTING角度制以度作為角的度量單位，一周角等于360度?；《戎埔曰￠L(zhǎng)等于半徑的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為1弧度，作為角的度量單位，一周角等于2π弧度。角度與弧度的轉(zhuǎn)換1度等于π/180弧度，1弧度等于180/π度。角度與弧度制030201正弦函數(shù)sinx定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，值域?yàn)閇-1,1]。余弦函數(shù)cosx定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，值域?yàn)閇-1,1]。正切函數(shù)tanx定義域?yàn)閧x|x≠kπ+π/2,k∈Z}，值域?yàn)槿w實(shí)數(shù)。余切函數(shù)cotx定義域?yàn)閧x|x≠kπ,k∈Z}，值域?yàn)槿w實(shí)數(shù)。三角函數(shù)定義域值域周期性奇偶性周期性正弦函數(shù)、余弦函數(shù)周期為2π，正切函數(shù)、余切函數(shù)周期為π。奇偶性正弦函數(shù)、正切函數(shù)為奇函數(shù)，余弦函數(shù)、余切函數(shù)為偶函數(shù)。和差公式sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny等。倍角公式sin2x=2sinxcosx，cos2x=cos2x-sin2x等。半角公式sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]，cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]等。積化和差與和差化積公式sinxcosy=(sin(x+y)+sin(x-y))/2，cosxcosy=(cos(x+y)+cos(x-y))/2等。誘導(dǎo)公式PART02恒等變換基本公式REPORTING02030401和差化積公式$sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny$$sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny$$cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny$$cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny$積化和差公式$sinxcosy=frac{1}{2}[sin(x+y)+sin(x-y)]$$cosxcosy=frac{1}{2}[cos(x+y)+cos(x-y)]$$cosxsiny=frac{1}{2}[sin(x+y)-sin(x-y)]$$sinxsiny=frac{1}{2}[cos(x-y)-cos(x+y)]$倍角公式01$sin2x=2sinxcosx$02$cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x$$tan2x=frac{2tanx}{1-tan^2x}$03123$sinfrac{x}{2}=pmsqrt{frac{1-cosx}{2}}$$cosfrac{x}{2}=pmsqrt{frac{1+cosx}{2}}$$tanfrac{x}{2}=pmsqrt{frac{1-cosx}{1+cosx}}=frac{1-cosx}{sinx}=frac{sinx}{1+cosx}$半角公式PART03恒等變換在解三角形中應(yīng)用REPORTING在任意三角形ABC中，有$frac{a}{sinA}=frac{sinB}=frac{c}{sinC}=2R$，其中a、b、c分別為三角形ABC的三邊，A、B、C分別為三角形ABC的三內(nèi)角，R為三角形ABC的外接圓半徑。正弦定理在任意三角形ABC中，有$a^2=b^2+c^2-2bccosA$，以及類似的$b^2=a^2+c^2-2accosB$和$c^2=a^2+b^2-2abcosC$。余弦定理可用于求解三角形的邊和角。余弦定理正弦定理與余弦定理海倫公式對(duì)于任意三角形ABC，其面積S可表示為$S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中p為半周長(zhǎng)，即$p=frac{a+b+c}{2}$。正弦定理求面積在已知兩邊a、b及其夾角C的情況下，三角形面積S可表示為$S=frac{1}{2}absinC$。三角形面積公式已知三邊求角度例如，已知a、b、c，可以利用余弦定理求出三個(gè)角A、B、C。已知兩角及夾邊求其他元素例如，已知A、B和c，可以先求出第三角C，再利用正弦定理求出兩邊a和b。已知兩邊及夾角求其他元素例如，已知a、b和C，可以利用余弦定理求出第三邊c，再利用正弦定理求出其他兩個(gè)角A和B。解三角形實(shí)例分析PART04恒等變換在數(shù)列求和中應(yīng)用REPORTING$S_n=frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]$，其中$a_1$是首項(xiàng)，$d$是公差，$n$是項(xiàng)數(shù)。等差數(shù)列求和公式可以通過(guò)倒序相加法、數(shù)學(xué)歸納法等方法推導(dǎo)得到。等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)適用于求解等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和，以及相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用等差數(shù)列求和公式等比數(shù)列求和公式等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)可以通過(guò)錯(cuò)位相減法等方法推導(dǎo)得到。等比數(shù)列求和公式$S_n=frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$，其中$a_1$是首項(xiàng)，$r$是公比，$n$是項(xiàng)數(shù)。等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用適用于求解等比數(shù)列的前$n$項(xiàng)和，以及相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。010203實(shí)例一求等差數(shù)列$1,3,5,ldots,99$的前$50$項(xiàng)和。根據(jù)等差數(shù)列求和公式，可以計(jì)算出$S_{50}=frac{50}{2}[2times1+(50-1)times2]=2500$。實(shí)例二求等比數(shù)列$1,2,4,ldots,2^{n-1}$的前$n$項(xiàng)和。根據(jù)等比數(shù)列求和公式，可以計(jì)算出$S_n=frac{1times(1-2^n)}{1-2}=2^n-1$。實(shí)例三求數(shù)列$1+2x+3x^2+ldots+nx^{n-1}$的和。這個(gè)數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，但可以通過(guò)錯(cuò)位相減法等方法求解得到其和為$frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2}$。數(shù)列求和實(shí)例分析PART05恒等變換在函數(shù)性質(zhì)研究中應(yīng)用REPORTING觀察法通過(guò)觀察函數(shù)的表達(dá)式，判斷其是否滿足奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義。代數(shù)法運(yùn)用奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算判斷函數(shù)的奇偶性。圖像法通過(guò)繪制函數(shù)的圖像，觀察圖像是否關(guān)于原點(diǎn)或y軸對(duì)稱，從而判斷函數(shù)的奇偶性。函數(shù)奇偶性判斷方法根據(jù)周期函數(shù)的定義，判斷是否存在一個(gè)正數(shù)T，使得對(duì)于任意x，都有f(x+T)=f(x)。定義法通過(guò)繪制函數(shù)的圖像，觀察圖像是否呈現(xiàn)周期性變化，從而判斷函數(shù)的周期性。圖像法對(duì)于某些特定的三角函數(shù)，如正弦函數(shù)、余弦函數(shù)等，可以直接運(yùn)用其周期性公式進(jìn)行判斷。公式法函數(shù)周期性判斷方法函數(shù)單調(diào)性判斷方法通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性。如果函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)大于0，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加；如果導(dǎo)數(shù)小于0，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少。定義法根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義，判斷對(duì)于任意x1,x2（x1<x2），是否有f(x1)≤f(x2)或f(x1)≥f(x2)。圖像法通過(guò)繪制函數(shù)的圖像，觀察圖像在某一區(qū)間內(nèi)是否呈現(xiàn)上升或下降趨勢(shì)，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性。導(dǎo)數(shù)法PART06總結(jié)回顧與拓展延伸REPORTING同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$誘導(dǎo)公式：利用周期性和對(duì)稱性，將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。兩角和與差的三角函數(shù)公式：$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$，$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$，$\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$倍角公式：$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$，$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$，$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$三角函數(shù)恒等變換總結(jié)回顧半角公式$sinfrac{alpha}{2}=pmsqrt{frac{1-cosalpha}{2}}$，$cosfrac{alpha}{2}=pmsqrt{frac{1+cosalpha}{2}}$，$tanfrac{alpha}{2}=frac{1-cosalpha}{sinalpha}=frac{sinalpha}{1+cosalpha}$積化和差與和差化積公式$sinalphacosbeta=frac{1}{2}[sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)]$，$cosalphacosbeta=frac{1}{2}[cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)]$，$sinalphasi