湖南省懷化市2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

湖南省懷化市2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.拋物線y2=-8x的焦點F到準線I的距離為（）

A.16B.8

C.4D.2

2.在棱長為2的正方體ABCQ-A4GA中，P是棱CG上一動點，點。是面AC的中心，則AO的值為（）

A.4B.2夜

C.2D.不確定

3.連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點數(shù)分別為小，n,記/=〃/+〃，則下列說法正確的是（）

A.事件）=12”的概率為一B.事件“f是奇數(shù)”與“m=n”互為對立事件

21

C.事件“t=2”與“t豐3”互為互斥事件D.事件“f>8且mn<32”的概率為一

4.已知正數(shù)x,y滿足x+2y=l,則上出取得最小值時x=（）

孫

5.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（3,b）,且P（X<4）=0.84,則P（2<X<4）=（

6.空間A、B、C、。四點共面，但任意三點不共線，若尸為該平面外一點且xPC-Lp。，則實數(shù)x的

33

值為（）

2

7.已知空間四個點41,1,1),5(-4,0,2),C(-3,-l,0),。(-1,0,4),則直線4。與平面ABC所成的角為()

A.30°B,45°

C.60°D.90°

8.如圖，在四棱錐P—ABCD中，P3,平面ABC。，ABLBC,PB=AB=2BC=2,則點C到直線24的距

離為。

C.0D.2

9.從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是()

A.“至少有1個白球”和“都是紅球”

B.“至少有2個白球”和“至多有1個紅球”

C.“恰有1個白球”和“恰有2個白球”

D.“至多有1個白球”和“都是紅球”

10.已知tan(/7—a)=7,tan(a+尸)=3,貝!Jtan2/7等于()

A.2B.-2

11.如圖，M為。4的中點，以為基底，DM^xOA+yOC+zOD,則實數(shù)組(x,y,z)等于()

B.

12.若函數(shù)/（%）=%2—X—61nx,則/（x）單調(diào)增區(qū)間為O

u（2,+8）B.（0,2）

C.（2,+00）o（2,+oo）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若拋物線y2=2px上一點P（2,y0）到其準線的距離為4,則拋物線的標準方程為.

14.已知拋物線C：V=2px過點p（l,1）：

①點尸到拋物線焦點的距離為士3

2

②過點尸作過拋物線焦點的直線交拋物線于點Q,則△OPQ的面積為最

③過點P與拋物線相切的直線方程為x-2j+l=0

④過點P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交拋物線于M,N兩點，則直線的斜率為定值

其中正確的是.

15.一支車隊有10輛車，某天下午依次出發(fā)執(zhí)行運輸任務(wù).第一輛車于14時出發(fā)，以后每間隔10分鐘發(fā)出一輛車.假

設(shè)所有的司機都連續(xù)開車，并都在18時停下來休息.截止到18時，最后一輛車行駛了小時，如果每輛車行駛的

速度都是60km/h,這個車隊各輛車行駛路程之和為千米

16.從1,2,3,4,5中任取兩個不同的數(shù)，其中一個作為對數(shù)的底數(shù)”，另一個作為對數(shù)的真數(shù)瓦則log.be（0,1）

的概率為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）動點加（無,y）與定點P（用,0）的距離和它到定直線/：%=走的距離的比是逐，記動點”的軌跡為曲線

3

（1）求曲線C的方程；

（2）已知過點的直線與曲線C相交于兩點A,B,請問點P能否為線段A3的中點，并說明理由.

18.（12分）如圖，已知圓臺下底面圓。的直徑為A3,C是圓。1上異于A、3的點，P是圓臺上底面圓。2上的點，

且平面平面ABC,PA=PC=AC=2,BC=4,E、R分別是PC、網(wǎng)的中點.

（1）證明：平面PAC；

（2）若直線/上平面尸AC且過點A,試問直線/上是否存在點。，使直線PQ與平面A跖所成的角和平面ABC與

平面A即的夾角相等？若存在，求出點Q的所有可能位置；若不存在，請說明理由.

022

19.（12分）如下圖，已知點A（1,J5）是離心率為上的橢圓C：當+==1（?！?〉0）上的一點，斜率為行的直

2a-b-

線8￡）交橢圓。于3、。兩點，且A、B、D三點互不重合

（1）求橢圓。的方程；

（2）求證：直線AB,A。的斜率之和為定值

20.（12分）求證：

（1）/（x）=|x+3|+|x—3|是R上的偶函數(shù);

（2）g（x）=|x+3|-1%—3|是R上的奇函數(shù).

21.（12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面平面ABC。，底面ABC。是矩形，PA=PB=2,AD=0，

直線物與CZ＞所成角為60°.

(1)求直線產(chǎn)。與平面ABC。所成角的正弦值；

(2)求二面角5—B4—C的正弦值.

22.(10分)已知｛&｝是公差不為零的等差數(shù)列，％=5,且%，生，44成等比數(shù)列

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)或=%+2”,求數(shù)列也｝的前幾項和T.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】根據(jù)拋物線方程求出焦點坐標與準線方程，即可得解；

【詳解】解：因為拋物線方程為V=—8x,所以焦點坐標為尸(-2,0),準線/的方程為x=2,所以焦點廠到準線/的

距離為4；

故選：C

2、A

【解析】畫出圖形，建立空間直角坐標系，用向量法求解即可

【詳解】如圖，以。為原點建立如圖所示的空間直角坐標系。-孫z,

因為正方體ABC。-A與G2棱長為2,點。是面AC的中心，P是棱CG上一動點，

所以4(2,0,0),0(1,1,0),P(0,2,z)

AP=(-2,2,z),AO=(-1,1,0)

AP-AO=2+2+0=4

故選：A

3、D

【解析】計算出事件”=12”的概率可判斷A；根據(jù)對立事件的概念，可判斷B；根據(jù)互斥事件的概念，可判斷C；計

算出事件”>8且““<32”的概率可判斷D；

【詳解】連擲一枚均勻的骰子兩次，

所得向上的點數(shù)分別為機，n,則共有6x6=36個基本事件，

則事件”=12”必須兩次都擲出6點，則事件“/=12”的概率為上，故A錯誤；

36

事件是奇數(shù)"與“?="”為互斥不對立事件,如事件加=3,n=5,故B錯誤；

事件”=2”與“換3”不是互斥事件，故C錯誤；

事件”>8且機〃V32”有

m=3\m=4\m=4\m=5\m=5m=5m-6m=6m-6

<<<<<共9個基本事件,

n=6[n=5[n=6[n=4[n=5n—6n=3〃二4n=5

故事件”>8且根〃V32”的概率為故D正確;

4

故選：D

4、B

【解析】根據(jù)基本不等式進行求解即可.

【詳解】因為正數(shù)X,y,

所以王良=工+號=d+§)(x+2y)=2+&+10之20^+10=18,當且僅當

xyyxyxyxyyx

x16y/2

一=一二時取等號，即x=4y時，取等號，而x+2y=l,所以解得％=—,

VX3

故選：B

5、C

【解析】根據(jù)對稱性以及概率之和等于1求出產(chǎn)(X屋I)=P(X2)=0.16,再由P(2<x<4)=1—P(x..4)—P(x<2)

即可得出答案.

【詳解】???隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,〃)，p(X<4)=0.84

，P(X..4)=1—0.84=0.16

P(X京曲=P(X4)=0.16

.?.P(2<x<4)=l—P(x..4)—P(%<2)=1—0.32=0.68

故選：C.

6、A

【解析】由空間向量共面定理構(gòu)造方程求得結(jié)果.

511

【詳解】空間AB、a。四點共面，但任意三點不共線，—X——=1,解得：]=—,

333

故選：A.

7、A

【解析】根據(jù)向量法求出線面角即可.

【詳解】設(shè)平面A5C的法向量為〃=(%,yz),直線AD與平面A5C所成的角為夕

AD=(-2,-1,3),AB=(-5,-1,1),AC=(-4,-2,-1)

n-AB=0[-5x—y-\-z-0

<

n-AC=0[-4x-2y-z=Q

令x=l,則”=（1,一3,2）

\AD-n\|-2+3+6|1

sin0=7——i~L=—=——=—

|AZ)|-|/Z|V14XV142

貝(16=30。

故選：A

【點睛】本題主要考查了利用向量法求線面角，屬于中檔題.

8、A

【解析】如圖，以3為坐標原點，建立空間直角坐標系3-孫z,然后利用空間向量求解即可

【詳解】因為05,平面ABC。，ABI平面ABC。，BCu平面ABC。，

所以PBLBC,

因為ABLBC

所以如圖，以3為坐標原點，建立空間直角坐標系§—孫z,則。(1,0,0),4(0,2,0),P(0,0,2),PC=(1,0,-2),

PA=（0,2-2）,即PC.PA=4?

PCPA4

PC在PA上的投影向量的長度為而「=運

故點C到直線PA的距離為JWCF=73.

故選：A

9、C

【解析】結(jié)合互斥事件與對立事件的概念，對選項逐個分析可選出答案.

【詳解】對于選項A,“至少有1個白球”和“都是紅球”是對立事件，不符合題意；

對于選項B,“至少有2個白球”表示取出2個球都是白色的，而“至多有1個紅球”表示取出的球1個紅球1個白球，或者2

個都是白球，二者不是互斥事件，不符合題意；

對于選項C,“恰有1個白球”表示取出2個球1個紅球1個白球，與“恰有2個白球”是互斥而不對立的兩個事件,符合題

意；

對于選項D,“至多有1個白球”表示取出的2個球1個紅球1個白球，或者2個都是紅球，與“都是紅球”不是互斥事件，不

符合題意.

故選C.

【點睛】本題考查了互斥事件和對立事件的定義的運用，考查了學(xué)生對知識的理解和掌握，屬于基礎(chǔ)題.

10、D

【解析】利用兩角和的正切公式計算出正確答案.

tan（，-a）+tan（，+a）7+3

【詳解】tan2/=tan［（夕—a）+（〃+a）］=

1-tan（夕-a）tan（'+a）1-7x32

故選：D

11、B

【解析】根據(jù)空間向量減法的幾何意義進行求解即可.

【詳解】DM=OM-OD^^OA+OOC-OD,所以實數(shù)組（x,/z）=]g,0,—1

故選：B

12、C

【解析】求出導(dǎo)函數(shù)/'（%）,令/'（尤）＞0解不等式即可得答案.

【詳解】解：因為函數(shù)=%—61nx,所以/，（x）=2x—］_g=2廠=6（x〉0）,

令_f（x）＞0,得尤＞2,所以（（力的單調(diào)增區(qū)間為（2,+8）,

故選：C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、y2=8x

【解析】先由拋物線的方程求出準線的方程，然后根據(jù)點到準線的距離可求2=4,進而可得拋物線的標準方程.

【詳解】拋物線的準線方程為x=-與，點p（2,%）到其準線的距離為2+巴，

22

由題意可得2+^=4,解得。=4,故拋物線的標準方程為/=8x.

故答案為：y2=8x.

14、②③④

【解析】由拋物線過P點可得拋物線的方程，求出焦點R的坐標及準線方程，由拋物線的性質(zhì)可判斷①;

求出直線P/的方程與拋物線聯(lián)立切線。的坐標，進而求出三角形。尸。的面積，判斷②；

設(shè)直線方程為7一1=依萬-1),與產(chǎn)=工聯(lián)立求得斜率，進而可得在p處的切線方程，從而判斷③；

設(shè)直線的方程為拋物線聯(lián)立求出河的坐標，同理求出N的坐標，進而求出直線"N的斜率，從而可判斷④

【詳解】解：由拋物線過點PQD,所以f=2p?,所以2P=1,

所以拋物線的方程為：y2=x；

可得拋物線的焦點廠的坐標為：(；，0),準線方程為：x=-;，

對于①，由拋物線的性質(zhì)可得尸到焦點的距離為4=1+,=』，故①錯誤；

44

714

k-------——o3I

對于②，可得直線小的斜率[1-3,所以直線PR的方程為：x=：y+—,

1--44

4

代入拋物線的方程可得：,-3^--1=0,解得y°=—1

所以又0尸°=)。司,%—=-x-x1+-，故②正確；

對于③，依題意斜率存在，設(shè)直線方程為y—l=Hx—1),與y2=x聯(lián)立，

得：ky2—y+l—k—0,

/=1—4A(1—?)=0,442—41+1=0,解得左=；,

所以切線方程為x—2y+l=0,故③正確；

對于④，設(shè)直線加尸的方程為：x=〃?(y-1)+1,

與拋物線聯(lián)立可得/一如+〃2—1=0,所以臥M=〃Z—，

所以y“=〃zT，代入直線AfP中可得均=加(力2-2)+1=0-1)2，即〃((加一1)2,%-1),

直線NF的方程為：x=-m(y—1)+1,代入拋物線的方程V+機'—機—1=。，可得；^=一，"-1,

代入直線NF的方程可得=根？+2m+1=(相+1)2,所以N((〃2+l)2,-m-1),

7(m-1)—(-m-1)1…

所以*=附＞6=一5為定值’故④正確

故答案為：②③④.

15、①.2.5##』##21②.1950

一22

【解析】通過分析，求出最后一輛車的出發(fā)時間，從而求出最后一輛車的行駛時間，這10輛車的行駛路程可以看作等

差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式進行求解.

【詳解】因為14+丁義9=15.5,所以最后一輛車出發(fā)時間為15時30分，則最后一輛車行駛時間為18-15.5=2.5小時,

60

第一輛車行程為(18-14)x60=240km,且從第二輛車開始，每輛車都比前一輛少走手x60=10km,這10輛車的

60

行駛路程可以看作首項為240,公差為-10的等差數(shù)列，則10輛車的行程路程之和為

10x9

S10=240x10+^—x(-10)=1950(km).

故答案為：2.5,1950

3

16、-##0.375

O

【解析】利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計算公式以及對數(shù)的知識求得正確答案.

(詳解1log*的所有可能取值為log21,log23,log24,log25,log3l,log32,log34,log35,

log4l,log42,log43,log45,log5l,log52,log53,log54,共16種，

滿足108加€(0,1)的為10832,10842/0843」0852,10853,10854,共6種，

所以log〃Z，w(0,l)的概率為5=|.

故答案為：-

O

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)/一匕=1

2

(2)不能，理由見解析.

【解析】(1)利用題中距離之比列出關(guān)于動點M(x,y)的方程即可求解；

(2)先假設(shè)點產(chǎn)能為線段A3的中點，再利用點差法求出直線的斜率，最后聯(lián)立直線與曲線進行檢驗即可.

【小問1詳解】

解：動點M(x,y)與定點F(V3,0)的距離和它到定直線l：x=B的距離的比是上

3

等式兩邊平方可得：

x2+y2-2y/3x+3=3x2+1-2y/3x

化簡得曲線C的方程為:

【小問2詳解】

解：點P不能為線段A3的中點，理由如下:

2

由(1)知，曲線C的方程為：V—匕=1

2

過點尸(一1,1)的直線斜率為左，A(玉,%),3(%,%)

因為過點P(-M)的直線與曲線C相交于兩點A,B

2

所以，，兩式作差并化簡得:

9%+%2—"；".左=0①

2

2

當P(-M)為AB的中點時，則石+々=-2,%+%=2②

將②代入①可得：k=-2

此時過點P的直線方程為：2x+y+l=Q

將直線方程與曲線C方程聯(lián)立得：

2x~+4x+3=0,

A=16-4x2x3=-8<0,無解

與過點尸(T，D的直線與曲線C相交于兩點矛盾

所以點P不能為線段A3的中點

【點睛】方法點睛：當圓錐曲線中涉及中點和斜率的問題時，常用點差法進行求解.

18、(1)證明見解析；

(2)存在，點。與點A重合.

【解析】(1)證明出利用面面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；

(2)以C為坐標原點，C4為x軸，CB為丁軸，過。垂直于平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，易知z

軸在平面尸AC內(nèi)，分析可知〃/3C,設(shè)點。(2/,0),利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得出關(guān)于r的

方程，解出r的值，即可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

證明：因為A3為圓的一條直徑，且。是圓上異于A、3的點，故

又因平面？AC，平面ABC,平面24。平面ABC=AC,BCu平面ABC,

所以平面尸AC.

【小問2詳解】

解：存在，理由如下：

如圖，以C為坐標原點，C4為了軸，CB為V軸，過。垂直于平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，易知

則4（2,0,0）,3（0,4,0）,C（0,0,0）,P（1,O,8）,,F

由直線平面PAC且過點A,以及平面尸AC,得1//BC,

設(shè)Q（21,0）,則AE=_|，°，孝，叮=（020）,PQ=（l,y,—G）,

設(shè)平面AEF的法向量為n=（%,y,z）,

36

AE?n=——xd----z=。nz=A/3X

則則《22即《，取x=l,得〃=(1,0,6),

y=0

EFn=2y=0

易知平面ABC的法向量加=（0,0,1），

設(shè)直線PQ與平面AEF所成的角為4,平面ABC與平面AEF的夾角為%,

??PQ,川21

則sin4=cos<PQ,n>\=~=-j==

11MU2A/W,4+產(chǎn)

COS^2=|cos<m,n>|=

|m|-|H|1X22

i3

由a=&,得sin2q+cos2&=1,即--+-=1,解得/=0,

-4+r4

所以當點。與點A重合時，直線PQ與平面AEF所成的角和平面ABC與平面AEF的夾角相等.

22

19、（1）匕+上=1；（2）證明見解析.

42

【解析】（1）根據(jù)離心率為正可得e=￡=?l,把（1,0）代入方程可得2+5=1,又/=從+o2,解方程組

2a2a'b1

即可求得方程；（2）設(shè)直線的方程為>=岳+加，整理方程組求得玉+々=-交冽,

|2x*+\*=4.-2

占X,二及參數(shù)加的范圍，由斜率公式表示出的°+&8,結(jié)合直線方程和韋達定理整理即可得到定值.

4

試題解析：（1）由題意，可得e=￡=@，代入（1,J5）得之+3=1,又/=/+o2,解得。=2,

a2ab

b—y/2，c=A/2

22

所以橢圓C的方程為

（2）證明：設(shè)直線BD的方程為y=返1+加，又A,B,。三點不重合，，mwO,

設(shè)￡>&,%),B(x2,y2),

.Iv=/x+”

由‘一一得4x2+2y[2mx+m2—4=0>

x*+v*=4,

所以△=—8m2+64>0,解得—2血<根<20，

%72=一名，①

m2-4否

X1X2=^—^②

設(shè)直線AB,A。的斜率分別為心B，kAD，

必_yf2y2—\/2_^/2x1+m—A/2A/2X2+m—A/2/y.x+x9-2

則^AD+^AB-------|-------------------------------------If[L,……1S

再一]%2—1再一1%2—1

分別將①②式代入（*），

V2

------m—2

得2&+m-2----=272-272=0,

m2—4V2

4+三m+1

所以心。+篙8=0,即直線43,AD的斜率之和為定值0

考點：橢圓的標準方程及直線與橢圓的位置關(guān)系.

【方法點睛】本題主要考查了橢圓的標準方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了方程的思想和考試與運算能力，屬于

中檔題.求橢圓方程通常用待定系數(shù)法，注意隱含條件/=》2+。2；研究圓錐曲線中的定值問題，通常根據(jù)交點與方

程組解得對應(yīng)性，設(shè)而不解，表示出待求定值的表達式，利用韋達定理代入整理，消去參數(shù)即可得到定值.

20、(1)證明見詳解

(2)證明見詳解

【解析】利用函數(shù)奇偶性的定義證明即可

【小問1詳解】

由題意函數(shù)“X)定義域為R

且/(一%)=|_尤+3|+|-x-3|=|%—3|+|九+3|=/(%)

故/(x)=|x+3|+|x—3|是R上的偶函數(shù)

【小問2詳解】

由題意函數(shù)g(x)定義域為R

且g(—x)=|—x+3|一|—x-3|=|x—3|一|;t+3|=-g(_x)

故g(x)=|x+3|-|x-3|是R上奇