2023年高考數(shù)學(xué)大題練習(xí)（新高考） 04 數(shù)列中的存在性與恒成立問題 含解析

專題4數(shù)列中的存在性與恒成立問題

1.（2021?湖北?襄陽四中模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列（??｝的前〃項和S,,滿足s“=（號）_,〃eN”?

2

數(shù)列｛〃,｝滿足bn+?+∣=2n+2π+l,n∈N*

（1）求數(shù)列｛〃“｝的通項公式；

（2）試問:數(shù)列出,-S“｝是否構(gòu)成等比數(shù)列（注:S“是數(shù)列他”｝的前”項和）?請說明理由；

（3）若4=1,是否存在正整數(shù)〃，使得l∑（-'）il??7?≤∑?-成立?若存在

占?+?+lIll念K+瓦+1

求所有的正整數(shù)〃；否則，請說明理由.

【答案】（1）勺=2"-1：（2）不構(gòu)成，理由見解析；（3）存在，n=10.

【解析】

【分析】

[5,,n=l

（1）由4=二得到｛4｝是等差數(shù)列，即可得解；

[S,-5c,ι,“≥2

（2）首先求出S“，則4-S“="-后即可得到aM-S,,…再由"+"“，即可得到

bn+lSn+l=-（bn-Sn）,即可得證；

y（-i/-+1<21<y_K___

（3）由（2）可得d=公，所求不等式即Z4+r+I-Ill-合/+公+1?設(shè)

1"b1

/（%）=&￡+[,利用裂項相消法可得到￡五正77=]（，（1）-/（〃+1））,同理，有

—(?(l)+f(n+l)),n=2m-?,ιneN*

k2+l

∑(-Dt:,再由題意求出”的值;

ki+k2+l

k=?5(川)_/(〃+1)),〃=2m,m∈N*

【詳解】

解：(1)由于S,=α,+D~,"∈N*,故s∣=(%+、-nq=1；“≥2時

"4141

22

45?=(αn+1),45Π.,=(??_,+1)；

22

作差得，4a“=(all+1)-(ΛB.I+?)<=>(an+an,l)(?-?,l-2)=0?

由于｛4｝是正項數(shù)列,故%-%=2,｛a列是等差數(shù)例],an=2n-l;

所以S,,="!/""]):/

"44

222

(2)由于2一Szf=勿-〃2也=2+「(〃+1)2,bn÷bn+x=In+2∕?+1=π+(n+1),

故Se=-電-s“)?由于4-$=/，「I,所以

b-S

當(dāng)乙Wl時，-弋詈=T,數(shù)列也「S〃｝構(gòu)成等比數(shù)列；

D〃一'n

當(dāng)4=1時，數(shù)列｛%-SJ不構(gòu)成等比數(shù)列.

Iy?+ι<55「』k

(3)若4=1,由(2)知4=/,于是，所求不等式即分'?4+?2+l^lll~?r+?2+l

設(shè)/⑹=F?'則小+D=P?Γ

22

,'d‰S4+?k2+l=2I^S(?2+2l)k2-Jt2=1√n((??2++?++ll))(-?(?2-?-?+l+)l)^2Ie/,〃'、-f,,+,八)、

=∣(∕(D-/(?+0)

(?k2+i1(?2?i)(?2-?i)

同理，有盲㈠)出E=(G++z++∣+)(A-++1)

gcΛD+∕("+i)),“=2AH-1,AWGN*

1A=I

=-∑(-ι∕(∕(?)+∕α+D)=

2n∣

(∕(l)-∕(n+D),n≈2m,meN*

由于g(∕⑴+f(n+1))>∣/(1)=g>含,故而只能有n=2m,m≡N*.

于是，∣∑(-1∕^2÷1<^<yk

JE匕'7k4+k2+?-ll∣-??4+?2+l

O?(/(l)-∕(w+l))≤p^≤∣(/(1)-f(n+1)),(〃=2m,m∈N*)

o?(/(1)-f(n+D)=含，(〃=2w,m∈N*)

="2+“+I=]]],(”=2m,m∈N*)O〃=10

綜上所述，所有符合條件的正整數(shù)〃只有〃=10

【點睛】

數(shù)列求和的方法技巧

(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)、對稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和.

(2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和.

(3)分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和.

2.(2021?全國?模擬預(yù)測)從①(4+1)(%+2)=65”,且4<2；②q=1,%+an+l=2an(n≥2),

且存在m≥2,〃?eN使得S,,,=5,(m+l)Sg+(加—1)S,向=13帆—Il；③若/一"“_產(chǎn)"(常

數(shù))，且65,,=%?q向+2(∕1eN*),4<2,這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面題目的橫線

中，并解答.

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛q｝的前∏項和為S“，.

(1)求數(shù)列｛q,｝的通項公式；

(2)設(shè)"=券，求數(shù)列出｝的前W項和7“.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】(1)條件選擇見解析，?=3n-21

⑵7；=8一(3〃+4)(￡|.

【解析】

【分析】

(I)選①：根據(jù)S11與的關(guān)系式可求出數(shù)列｛?｝的通項公式；

選②：根據(jù)題意可得出數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，數(shù)列｛｝｝是首項為勾，公差為日的等差數(shù)列，

從而可求出數(shù)列｛a,,｝的通項公式；

選③：令〃=1,可求出《；然后根據(jù)S“與狐的關(guān)系式可求出數(shù)列｛”,,｝的公差，從而可求出

數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)根據(jù)(1)中求出的數(shù)列｛q｝的通項公式，然后利用錯位相減法可求出數(shù)列｛2｝的前〃

項和7“.

(I)

選①：當(dāng)〃=1時，(4+D(α∣+2)=6α∣,因為q<2,所以解得4=1：

當(dāng)〃≥2時,因為(％+1)(4+2)=65",所以(%+1)((+2)=6S,ι,

兩式相減，得。：一。3+34,-341=6勺，即(a,,+(),,,—%—3)=0,

因為4τ>O,所以4-%=3,

所以數(shù)列｛%｝是首項為1,公差為3的等差數(shù)列，

故α,,=l+3("-l)=3"-2.

選②：由%τ+?+l=2?(〃≥2),知數(shù)列｛q,｝是等差數(shù)列，

n(n-l)

因為鼠二"?l二1“，

nnI2C

所以數(shù)列｛1｝是首項為4,公差為?的等差數(shù)列，

所以鳥旦+&!L=至!L,BPAlzL4-AilL=12j

m-?∕n+lmιn-?m+?m

所以⑶I-II=W,又因為“22,相eN*,所以解得m=2；

m-1m

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,則邑=2Ο1+d=5,因為q=l,所以解得d=3,所以

Cin=1+3(〃-1)=3〃-2.

選③：因為4,-∕τ=d,所以數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，

因為6S,=。?an+l+2,所以6S“T=aπ,l?an+2(n≥2),

兩式相減，得6a,,=a,,(a,向-a,-),即64,,=α,,?2d(π≥2),乂〃“>0,所以4=3.

當(dāng)〃=1時?，6S,=al-a2+2,即601=q?(q+3)+2,因為4<2,所以解得α∣=l,

故q=l+3("-l)=3w-2,即氏=3〃-2.

(2)

由⑴得以=券=(3〃-2)｛；),

所以Z,=IXS+4x]J+7x?J++(3〃一2)5,，

所以基=lx[｛Mx?+7x?+÷(3n-2).[l∫)

兩式相減，得g[=l+3xg+(g)+-+[^]-(3∏-2)?W

則Z,=8-(3n+4)?∣jJ.

3.(2021.上海靜安.一模)對于數(shù)列｛%｝：若存在正整數(shù)公，使得當(dāng)”2%時，應(yīng)恒為常數(shù),

則稱數(shù)列是準(zhǔn)常數(shù)數(shù)列.現(xiàn)已知數(shù)列｛4｝的首項卬=。，且。,川=∣4,-l∣,“eN?.

(1)若“=試判斷數(shù)列也｝是否是準(zhǔn)常數(shù)數(shù)列；

(2)當(dāng)α與〃。滿足什么條件時，數(shù)列｛%｝是準(zhǔn)常數(shù)數(shù)列？寫出符合條件的“與%的關(guān)系；

(3)若αe(kM+l/eN*),求｛4,,｝的前弘項的和S?-(結(jié)果用公a表示).

【答案】（1）取“0=2時，4恒等于3,數(shù)列｛%｝是準(zhǔn)常數(shù)數(shù)列；

（2）答案見解析；

⑶一異小+1）

【解析】

【分析】

（1）將代入已知條件，即可求出%=5（〃22）：

（2）根據(jù)已知條件，對。進(jìn)行分類討論，分別寫出答案即可：

（3）由4e（%,%+D（%eN"）和*=Ia“-1|分別求出的，%，…，4，4+∣，aM<...>

?-∣,外?的值，將前％項放在一起，后2k項中，從Z+1項起,每相鄰兩項的和為定值，這樣

即可求解S”.

（1）

331

由4=；得，?=?-∣≈-.

當(dāng)〃≥2時，恒等于g,數(shù)列｛4｝是準(zhǔn)常數(shù)數(shù)列，取%=2即可；

（2）

..I∣∫?-l,?≥∣

?…T1=L+"1'

.?.”,,≥l時，an+l≠an,

而當(dāng)〃“<1時，若存在小,當(dāng)“≥%時，則必有4=；，

若O<αvl時，則々2=1—。|,?=?-a2=al=a1此時只需％=1—4=4，4=g，

故存在α=g,α,,=g,?。?1（取大于等于1的正整數(shù)也可以），數(shù)列｛4｝是準(zhǔn)常數(shù)數(shù)列.

若4=α≥l,不妨設(shè)α∈["7,m+l）,機(jī)∈N*,則%+1=。一機(jī)￡似1），

。加+2=1一%+1=1-。+"，若4+2=4"+I,貝∣Jl-α+m=α-m,

所以2〃?=Za-I或。=根+；,取%=m+1,當(dāng)?shù)啊?時，a”=g（2〃=2%-1,取大于等于Q+；

的〃。皆可）

KaI=a<。,不妨設(shè)αe（-∕,∕+l],/∈N"，則一〃￡（/-1,/],

所以生=一。+1￡(/,/+1]，a3=a2-l=-afa4=-a-l,...,af+2=-6r-(∕-l)∈(0,l],

所以4+3=1-4+2=l-[-α一(/-1)],若4+3=4+2，則2a=-2∕+l或a=-/+；,

?。?∕+2,當(dāng)“2”<,,a,,=g(a='2產(chǎn),取大于等于一°+g的傳皆可以)

=

存在。和?:~1CIn=3'〃021；q=/H+1,∕lθ≥/H+1?4=Ttl+—,

n0≥m+2(其中m∈N*,"eN*)，(。為某個整數(shù)m加上義時，數(shù)列｛風(fēng)｝是準(zhǔn)常數(shù)數(shù)列).

(3)

：a∈(%,%+D(%∈N*),且aιl+l=∣?-1∣,

：.a2=a-11a3=a-2,...,ak=π-(?-l),

?+,=Λ-*∈(0,1),ak+2=l-ak+l=k+l-a,ak+3=?-ak+2=a-k,

4+4=1-4+3=1+左一4，…，/I=。-%，?jt=?÷l-a.

所以§3*=G+%+/+…+%+?+l+4+2+…/"1+?t

=(4+/+%+…+4)+(4+i+4+2)+(%3+?+4)+???+(?-l+?)

=?+(?—1)+(a—2)H----?-a-(A：—1)+?

-ka+k-^^^-1)

k2.(3)

=--IZ:a+—.

2I2)

4.(2021?四川自貢?一模(理))已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,,也｝是各項均為正數(shù)的

等比數(shù)列，4=仇，,仇=8,bl-3b3=4.在以下三個條件中任選一個①醺=30,

②$4=5%,(3)3a3-a5=?2,補(bǔ)充在上面橫線上，并作答.

⑴求數(shù)列｛%｝,｛〃,｝的通項公式；

(2)是否存在正整數(shù)&.使得數(shù)列的前4項和《>；?若存在，求女的最小值：若不存

在，說明理由.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】(1)條件選擇見解析，a,,=2n,d=i6χ(g)

(2)存在，目"的最小值為4

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列｛4｝的首項和公差，求得等比數(shù)列加“｝的首項和公比，從

而求得數(shù)列?｝,也｝的通項公式.

(2)先求得S由求得女的最小值.

(I)

設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為q,q>0,

：33。2=4解律(1=2,所以或=16x(9.

則

4=1612J

4=仇=16χ(g)=2,

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

若選①，則5al+lOd=Io+l(W=30,d=2,4,=2+("-l)x2=2”.

若選②，則4α∣+64=5(4+d),8+64=5(2+i∕),t7=2,an=2+(〃—l)χ2=2”.

若選③，則3(4+2d)-(q+4d)=8,2q+2√=8,d=2,q,=2+(∕7-l)x2=2”.

(2)

由于4=2,〃“=2n,所以SA=2；2”.〃=「(〃+]),

__1_

SltnM÷1

WlIlI1113

所VXT,-----1---------1-4------------=11-------->一,

A223kk+?女+14

!>Jτ,A+l>4,&>3,所以正整數(shù)%的最小值為4.

4?÷1

5?(2022?天津?南開中學(xué)二模)已知數(shù)列｛αw｝的奇數(shù)項是首項為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項是首

項為2的等比數(shù)列.數(shù)列｛““｝前〃項和為S",且滿足S3-a4,Cl3+a5-2+a4

(1)求數(shù)列｛〃"｝的通項公式；

⑵求數(shù)列｛“”｝前兼項和S2%

(3)在數(shù)列｛〃〃｝中，是否存在連續(xù)的三項G",am+l,am+2,按原來的順序成等差數(shù)列？若存

在，求出所有滿足條件的正整數(shù)機(jī)的值；若不存在，說明理由.

n,n=2k-?

【答案】⑴%,ksN*.

2?32,n=2k

⑵犬-1+3人

⑶存在，1

【解析】

【分析】

(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為以由已知條件列方程組求得d,g后可得通

項公式；

(2)按奇數(shù)項與偶數(shù)項分組求和；

(3)按〃?分奇偶討論，利用24用=勺+冊+2,尋找■的解.

(1)

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為外

則aι=?,“2=2,aj=1+d,ci4=2q，as=1+2d.

'."S3=a4?1+2+(1+d)=2q,即4+d=2q,

又43+α5=2+w,；.1+d+1+2d=2+2q,即3d=2q,解得d=2,q=3,

:,對于女WN*,有aik-i-l+(?-l)?2=2?-l,

[ιι,n=2k-↑

故J，&∈N*.

[2?32,n=2k

(2)

S2k=｛a∣+as^...+Λ2?-∕)+(^2+6f√+...?2?)=[1÷3÷...÷(2?—1)]+2(1+3+32÷...+3?^,)=

(1+2無二*+?∑?=∕τ+3*.

21-3

(3)

在數(shù)列｛〃｝中，僅存在連續(xù)的三項。按原來的順序成等差數(shù)列，此時正整數(shù)，的

42,a3,w

值為1,下面說明理由

若s"=42”,則由4〃?+加+2=2?！?+/,得2x3M+2x3?=2(2k+l).

化簡得4?3M=2Z+1,此式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，不可能成立.

若4“=〃2"-|,貝IJ由“∕M+α∕n+2=2twn+/,f?(2?-1)+(2?+1)=2×2×3k^,

化簡得*=3N,

令￡=擊(&eN"),則(+∣-7;=?^?一擊=.

因此，∣故只有∕此時

?=T>T2>T3>...,T=l,k=l,m=2xl-l=l.

綜上，在數(shù)列｛“〃｝中，僅存在連續(xù)的三項卬，“2,C13,按原來的順序成等差數(shù)列，此時正整

數(shù)"?的值為1.

?遼寧?鞍山一中模擬預(yù)測)已知,是等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，

6.(2022S%>0,S3=15,

公差d>l,旦.從①%-1為4-1與4+1等比中項，②等比數(shù)列他｝的公比為

q=3,々=4也=4這兩個條件中，選擇一個補(bǔ)充在上面問題的橫線上，使得符合條件的

數(shù)列｛α,,｝存在并作答.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式：

(2)設(shè)數(shù)列」一的前〃項和為7.，求證：Tn<?.

aa

[,,,,+ι6

【答案】(1)選擇條件見解析,an=2n+l

(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)選擇條件求解

(2)數(shù)列求和后證明，使用裂項相消法

(1)

若選①，/T為4-1與%+1的等比中項，

則(4-l)(a3+l)=(α2-l)2,由｛q｝為等差數(shù)列，53=15,得3%=15,出=5,

把出=5代入上式,可得(4-d)(6+d)=16,解得d=2或d=-4(舍)

6z∣=3,an=2n+l?

若選②，9=3為等比數(shù)列0｝的公比，且4=《也=”4,

可得h2=3b],即〃4=3α∣,即有(q+3d)=3α∣,即2q=3d；

又S3=15,可得3α∣+gχ3χ2d=15,即q+d=5,解得d=2,α∣=3,

此時為=24+1；

(2)

..1_1J(I______L｝

*cιllan+l(2π+l)(2n+3)2(2〃+12〃+37

...工…......—‰lf?—Y

"2(35572n+l2π+3j2(32w÷3j

“<!,得證

O

7.(2022?浙江紹興?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛4｝是公差不為0的等差數(shù)列，4=1,且%,

4成等比數(shù)列；數(shù)列出｝的前〃項和是5“，且S,,=2%-l,〃eN1

⑴求數(shù)列｛q,｝,他｝的通項公式；

⑵設(shè)q,二E±%L,是否存在正整數(shù)卬使得4+4+《++c；,JH,-3)%對任意

a0-b,l+2

〃wN"恒成立？若存在，求機(jī)的最小值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)4=",bn=2"-';

⑵存在，5.

【解析】

【分析】

(I)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d(dHθ),根據(jù)6，%,為成等比數(shù)列求出”即可求其通項公

式；根據(jù)5?與"關(guān)系即可求｛"｝的通項公式通項公式；

(2)利用裂項相消法求｛d｝前m項和，設(shè)q=叫H?,根據(jù)％-d.正負(fù)判斷｛4｝單調(diào)性，

求出其最大項，｛4｝前〃?項和大于該最大值即可求出〃?的范圍和最小值.

(1)

設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為d(dwθ),

?.?q,%,%成等比數(shù)列，.?.d=qq?

.?.(l+"Y=l+3d,解得4=1,：.an=al+(n-?)d=n.

當(dāng)九二1時，?l=S1=2?l-1,/.6l=1.

5,∣=

當(dāng)〃≥2時,bn=Sn-M2bn—2?rt.1,/,bn-2?w,1.

???｛"｝是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)判，???”=2〃7.

(2)

√2∕2+l22n+l11

由題意得?,=X—E，則q，=F—不=^一7一節(jié).

λz7(n+l)n(n+l)〃(〃+1)

?*?cι2+c；++qj

--I----l--4-l----l----4--τ?-----1--------1--4----1-------1-----

222222

I223(w-l)而/(wj+l)

?l-?,

(a+1)

_31(??-3)31(/7-3)_31(∕z-2)31(”3)_31(4-〃)

及b2_2w+1，a_^71~^―--，

???當(dāng)〃=1,2,3時，<,+1><;當(dāng)〃=4時，4=4；當(dāng)〃≥5時，dn+l<dtj1

Ql

/.數(shù)列｛dn｝的最大項為&=4=考，

11312

詬了>啦’整理得W+l)->32,

???存在正整數(shù)"?，且，"的最小值是5.

8.(2022?遼寧遼陽?二模)①｛2"可｝為等差數(shù)列，且4=:；②為等比數(shù)列，且生=；

從①②兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答.

在數(shù)列｛q｝中，％=；，.

(1)求｛%｝的通項公式；

(2)已知｛《,｝的前〃項和為5.，試問是否存在正整數(shù)p,cl,r,使得5,,=。-?…？若存在,

求P，4,r的值；若不存在，說明理由.

.??..2〃-1

【答案】(I)M=3-：

(2)存在，p=3,q=4,r=2.

【解析】

【分析】

(1)若選①，則可根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)求出｛2"4｝的公差％根據(jù)等差數(shù)列通項公式可求2”4,

從而求得若選②，則可證明等比數(shù)列概念求出｛泰■｝的公比，根據(jù)等比數(shù)列通項公式

可求#二，從而求得％；

2n-l

(2)根據(jù)對通項公式的特征，采用錯位相減法即可求其前〃項和，將其化為S“=P-3…形式

即可得P、外r的值.

(1)

若選①：

設(shè)等差數(shù)列｛2%J的公差為d,則d=23α~q=—=2,

3—12

.*.2"a〃=2q+2(〃-1)=2〃—1,

若選②：

%

設(shè)等比數(shù)列J的公比為g,則。二?=:,

[Zn-iJ42

2×1-1

⑵

則兩式相減得,

+—+

32n+3

2(/7+2)-1

——-=3-4×

，存在正整數(shù)p,q,r,使得E,=p-qα,,+r,且p=3,q=4,r=2.

9.(2021?河北衡水中學(xué)三模)已知數(shù)列幾｝的前幾項和為S“，且滿足4=3,

q=xα,τ+〃-2("≥2),其中XeR.

(I)若X=1,求出；

(2)是否存在實數(shù)X,)'使｛/+)，〃｝為等比數(shù)列？若存在，求出S“，若不存在，說明理由.

【答案】(1)"2-3"+8；(2)存在，s,,=2-2—3D-4.

"22

【解析】

【分析】

(1)將X=I代入，由遞推關(guān)系求出通項公式，并檢驗當(dāng)〃=1時是否滿足，即可得到結(jié)果；

(2)先假設(shè)存在實數(shù)X,N滿足題意，結(jié)合已知條件求出滿足數(shù)列｛%+/｝是等比數(shù)列的

實數(shù)X,y的值，運(yùn)用分組求和法求出s”的值.

【詳解】

(1)由題可知：當(dāng)X=I時有:an-an,l=n-2,

當(dāng)“≥2時,

/、/\\、(n-2](n-l)

Cin=q+(出—4)+(%—生)+…+(4一)=3+0+l+2+…—2)=3+----------,

(n—2)(/2—1)_n2—3n÷8

又q=3滿足上式，故%=3+

(2)假設(shè)存在實數(shù)％,y滿足題意，則當(dāng)M≥2時,

由題可得：0,,+y"=x[α.∣+y("-l)]Oa.=xα,ι+(孫-y)〃一孫,

和題設(shè)q,=x%τ+”-2對比系數(shù)可得：孫-y=l,-xy=-2<^x=2,y=l.

故存在x=2,丫=1使得｛4+/｝是首項為4,公比為2的等比數(shù)列.

,,"l

從面an+n=2nan=2"+'-〃=S,,=4+%+…+%="丁)?

1—ZZ

所以S,=2"+2-Kl+11-4.

"2

【點睛】方法點睛：數(shù)列求和方法：(1)等差等比公式法(2)錯位相減法(3)分組求和法

(4)倒序相加法(5)裂項相消法.

10.(2022?浙江?模擬預(yù)測)已知遞增的等差數(shù)列｛4｝滿足：％=1,且％,4,%成等比數(shù)列.數(shù)

列也｝滿足：35“=2+〃,(“€N*),其中S“為色｝的前〃項和.

(1)求數(shù)列｛q,｝,｛2｝的通項公式；

Q)設(shè)3=a而二瘋W為數(shù)列｛c,,｝的前"項和,是否存在實數(shù)/U使得不等式

7；≤；l≤S“對一切"€N*恒成立？若存在，求出義的值；若不存在，說明理由.

【答案】(1)4=2〃-1,'g[(neN*)

⑵存在，2=1

【解析】

【分析】

(1)設(shè)｛q｝的公差為d(d>O),根據(jù)％g,小成等比數(shù)列，由(1+7")2=(1+44)(1+12")求

解，由3S,,=2+"("∈N*),利用數(shù)列的通項與前〃項和的關(guān)系求解；

得3S,,τ=2+%("eN?),

⑵由⑴SL弩，得到⑸LjC,,T看-W,利用裂項相消法求

得(，再由不等式(≤2≤S“對-切〃cN*恒成立求解.

(1)

解：設(shè)｛q｝的公差為d(d>O),

貝∣J(l+7d)2=(l+4d)(l+12d),

所以d=2,%=2〃一1.

當(dāng)九=1時，b[=l；

當(dāng)”22時,由3S,,=2+d("eN*),

得3S.T=2+%(〃eN)

兩式相減得：“S

所以｛2｝是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列，

所以d=E￡T(〃eN*)

(2)

S,,=弩，顯然心L=H=j

所以(S)m=J,

由〃〃=2〃-1得

11

Q=---------------------------=—■■—--——

(2〃-I)j2"+1+(2/7+1)>2”-1?∣2,n—1?+1?(J2〃-1+J2〃+1)

?√2"+l-j2"_l_1(1_______1]

^2x√2n-l?√2n+l-2∣,√2n-l√2π+lJ'

=于一標(biāo)N

顯然（,＜；恒成立，且當(dāng)“→8時，Z,→;,

所以存在唯一實數(shù)4=；.

11.（2022?江西?二模（理））已知等差數(shù)列｛%｝中，4=2,公差d〉0,其前四項中去掉某

一項后（按原來的順序）恰好構(gòu)成一個等比數(shù)列.

⑴求d的值.

⑵令〃,=——,數(shù)列｛2｝的前〃項和為S,,,若S,,＜萬-2-4對V"N,恒成立，求2取值

anan+?2

范圍.

【答案】⑴2；

13

（2）2≤-/或4≥].

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)給定條件，寫出等差數(shù)列｛q｝前4項，按去掉的項討論求解作答.

(2)由(1)求出等差數(shù)列｛q｝的通項，再利用裂項相消法求出，并討論其單調(diào)性，列式

計算作答.

(1)

等差數(shù)列｛q｝的前四項為2,2+4,2+2d,2+3d,

若去掉第一項，則有(2+2d＞=(2+d)(2+3d),解得d=0,不符合題意，

若去掉第二項，則有(2+2df=2(2+34),解得4=0,或d=-g,不符合題意，

若去掉第三項,則有(2+d)2=2(2+34),解得4=0(舍去)，或d=2,

若去掉第四項，則有(2+d)2=2(2+2d),解得4=0,不符合題意，

所以d=2.

(2)

1

由(1)知4=2+2("-l)=2鹿，bn=??(?--?.

2〃(2〃+2)4nn+ι

于是得s,,=)(i-3+d-3+d-3++(,――?=7∏—一二)，顯然數(shù)列｛S,J是遞增數(shù)

422334nn+?4n+1

列，恒有$,,＜；，

因S“＜分—4對V"eN+恒成立，「是有義2*5—2—=≥[,解得4≤或2≥?∣?,

22422

13

所以4取值范圍是2≤√?或

12.(2022.浙江?效實中學(xué)模擬預(yù)測)已知等差數(shù)列｛4｝中，公差d≠0,?=5,%是%與應(yīng)

的等比中項，設(shè)數(shù)列｛2｝的前”項和為S,,,滿足4S,,=d-l("eN*).

⑴求數(shù)列(??)與低｝的通項公式；

(2)設(shè)g=。也，數(shù)列｛?,｝的前—項和為若?7；+：卜1對任意的〃eN*恒成立，求實數(shù)4

的取值范圍.

【答案】⑴凡=2"-l,2=(-；)

24

(2)——≤Λ≤8

5

【解析】

【分析】

,、?a-,=5,、IS,H=1

(1)對于等差數(shù)列｛4｝直接列方程,2；“&求解，數(shù)列他｝根據(jù)仇=JS1〃>2求解:

(2)利用錯位相減法可得7；=-4+四里Jrf,根據(jù)題意討論得：當(dāng)〃是奇數(shù)時,

88I3J

ΛoA，N4〃?CQON1

-4≤口；當(dāng)〃是偶數(shù)時，2≤『，再通過定義證明數(shù)列口的單調(diào)性,

14〃+1.4〃+1.47?+1

\/min\/minI)

進(jìn)入確定相應(yīng)情況的最值.

⑴

a+2d=5

則LdiiG+旬，解得(a｛3=j或(a1M

(舍去)

a”=1+2(〃-1)=2/1—1.

又???45〃=勿-1,

當(dāng)”=1時，4?l=?l-l,則4=—3，

b,1

當(dāng)〃22時，4S,ι=%-l,貝IJ也=2-6,1，即廣=二，

θn-?3

則數(shù)列｛以｝是以首項偽=-;，公比為的等比數(shù)列，

?3

⑵

?.?Λ^,+∣J≤1對任意的〃∈N*恒成立，即^?f-??≤?對任意的〃∈N*恒成立

4n+11

①當(dāng)〃是奇數(shù)時，-義三？?241任意的〃eN*恒成立

83

??.-λ<亙工對任意的”∈N*恒成立

4〃+1

②當(dāng)“是偶數(shù)時，4竽?!≤1對任意的〃∈N"恒成立

83

.?.2≤l?對任意的〃eN恒成立

4n+l

二8?3”8?3n+'8-3"16(41)3"

令q,>O對任意的〃eN”恒成立

47?+14〃+54〃+1(4〃+5)(4〃+1)

，｛q｝為遞增數(shù)列

①當(dāng)”是奇數(shù)時，則-幾4年24，SIU>-2y4

②當(dāng)"是偶數(shù)時，則;l≤8

24

——<2≤8.

5

13.(2022?浙江省臨安中學(xué)模擬預(yù)測)各項均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,

s'=Jd+；4,，數(shù)列｛a｝為等比數(shù)列，且〃=%也=4.

(1)求數(shù)列｛%｝、｛2｝的通項公式；

(3n-2)??,,六蚪

------J?,“為AM奇數(shù)

a+2

⑵記c“="■"'^",7,為數(shù)列｛q,｝的前”項和,對任意的〃eN*?乙,≥力恒成立,

3,”為偶數(shù)

Ibn

求&及實數(shù)的，取值范圍.

n

【答案】(I)%=〃，bn=2

?-l,λ≤-

⑵%=

2/7+14"12

【解析】

【分析】

(1)先求出％,再當(dāng)〃22時，由S“=ga：+；a“，得S+J4τ，兩式相減化簡可

得。“一4τ=l,從而可得數(shù)列｛為｝是公差為1，首項為1的等差數(shù)列，則可求出外,從而可

求出4也,進(jìn)而可求出為,

(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時?，利用裂項和消求和法可求出q+C3+…+Ai，當(dāng)”為偶數(shù)時，利用等

比數(shù)列的求和公式求出c'2+C4+…+G”，從而可求出弓,，進(jìn)而可求出實數(shù)的4取值范圍

(1)

1,1

4=5十萬4,'?*t∕1≠O,=1

當(dāng)〃22時，S.T=；a；T+：a.T②，

由①-②得4=/+?ɑ,,-?^-?ɑn-l

???4+%τ=*_°3，又4,>0,

??-?-∣=1，

???數(shù)列｛《,｝是公差為1,首項為1的等差數(shù)歹∣J?

an=n

??bl=a2=2,?2=?=4,數(shù)列｛4,｝為等比數(shù)歹I],

.?.q=2,2=2"

⑵

12k2t

、/：―卜(6?-5)?22-'ι2÷'

n'h'i數(shù)'，—(2JI-1)(2?+1)——2k-l2k+\

.2,7×232(6"5)?2"

??G+Q+…+1=-----------1---------------F...H-------------------------------------

13-h^11×33×5(2H-1)(2H+1)

n+w+

2325/^2n-l<2~^212~*

---+一+…+-------------H-------------—I---------=----------2

35、2/2—12n÷l12n+12n+l

33

〃為偶數(shù)時，c2,=^r=v

-×l1

.3334

Ac+c+...+c=不+不■+...H----=

242π=T

4"14

2,+I

,2'C,1

??&=匕+C3+…+C2"T)+(。2++…+。2“)----------2+1-■-1

2/7+1-----------4"2/z+l4"

???%>0,?,?｛4,,｝單調(diào)遞增,

1717

≥7ζ=—t.*.Λ≤—

2〃2J212

14.(2022?江蘇?阜寧縣東溝中學(xué)模擬預(yù)測)已知正項等差數(shù)列｛q,｝滿足：ɑ3,,=‰,,(Λ∈N?

且2%,4+1，4成等比數(shù)列.

(1)求｛4,,｝的通項公式；

⑵設(shè)g=(ι+2"?)(l+i)，段是數(shù)列｛cj的前"項和，若對任意"WN*均有&<4恒成立，

求2的最小值.

【答案】(1)%=〃

(2)最小值為專

【解析】

【分析】

(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由%,=3%及等差數(shù)列的通項公式得到4=",則《,=，辦，

再根據(jù)等比中項的性質(zhì)得到方程，求出d，即可得解；

(2)由(1)可得C"=2(S-R?H)利用裂項相消法求和得到此，即可得到R“<|，

從而求出/1的取值范圍，即可得解；

(I)

解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由%,=3q,得4+(3"IM=3[q+5-l)”],則4=d,

所以a“=aλ+(n-?)d=nd.

因為2卬、見+1、成等比數(shù)列，所以(/+1『=2q?%,即(3d+l)2=2/8",

所以7j-6d-l=0,解得d=l或d=-；,

因為｛q｝為正項數(shù)列，所以d>0,所以d=l,所以q=”.

2β^*'2,'+1J1]、

⑵由⑴可得cn-0+24)(1+2"”“)—(1+2")(1+2"M)一11+2"-1+2,,+l)'

所以凡=2[(備-力)+(右-備卜+(I?-T?Γ]]=23-T?Γ｝

222

因為對任意〃∈N*均有4<彳，所以幾≥^,所以實數(shù)4的最小值為彳

j??

15.(2022.山東濰坊.模擬預(yù)測)已知｛《,｝和也｝均為等差數(shù)列，at=bl=l,a3=ai+a2,

bs=b4+a2,記?,=max｛4-叼，b2-na2,bn-nall｝(n=l,2,3,...),其中max｛藥,

了2，…，XJ表示X∣,%，…，X,這S個數(shù)中最大的數(shù).

(1)計算。，c2,c3,猜想數(shù)列｛c,,｝的通項公式并證明；

(2)設(shè)數(shù)列行?τJ的前”項和為S“，若S,,<τ"+4∕w對任意〃≡N*恒成立，求偶數(shù)

1(3-q,)(2-a)J

m的值.

【答案】(I)Cl=o,C2=-],c3=-2,cn=?-n,證明見解析

(2)∕n=2

【解析】

【分析】

(1)設(shè)等差數(shù)列｛q,｝，也,｝的公差分別為4,d2,利用a,=4=l,a3=ai+a2,bs=b4+a2,

利用通項公式可得1+24=2+4,%=l+4,可得a,，bn.根據(jù)Cl=0,c2=-?,C3=-2.猜

想數(shù)列｛%｝的通項公式%=證明數(shù)列他-wj為單調(diào)遞減數(shù)列，即可得出結(jié)論.

(2)=上Tm?rW-*,利用裂項求和方法即可得出S“，根據(jù)

5?<-m2+4m對任意〃eN*恒成立即可得出用的取值范圍.

(1)

解：設(shè)等差數(shù)列｛q｝和色｝的公差為4、d1,

j1+24=1+(1+4)版但M=I

‘'-'卜+44=(1+34)+(1+4)'"'"4=2'

?,?4=〃，hn=2n-?,

那么，c1=?1-=1-1=0,c2=max(?1-26∕1,?2-2?)=max｛l-2×1,3-2×21=-1,

C3=max｛b∣-3q也-3a2,b3-3o3｝=max｛l-3×l,3-3×2,5-3×3)=-2,

猜想｛%｝的通項公式為％=

當(dāng)〃≥3時，(?+,-Λ?+l)-(?-∕∞A.)=(?+∣-?)-?(?+,-?)=2-M<0,

所以數(shù)列｛4-”6｝關(guān)于％∈N*單調(diào)遞減，

所以?,=max｛bi-naλ,b2-na2,,bll-nan｝=bl-nα,=l-n；

(2)

j[__________1__________]__1_____1_

解：(3-?,)(2-?,)[3-(l-n)][2-(l-n)]("+2)("+l)”+1〃+2'

所以S"=ι?-(Hl｛l++(?~?H-?'

因為S“<-m2+4m對任意〃eN恒成立，

所有-加+4,"二，解得上qia≤"i≤土匚叵，所以"?=2.

222

16.(2022.天津.耀華中學(xué)一模)設(shè)數(shù)列｛4｝5