第六章 實數(shù) (大單元教學(xué)設(shè)計)大單元教學(xué)人教版七年級數(shù)學(xué)下冊

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年級學(xué)科七年級數(shù)學(xué)I授課人章果_________

教材版本_________________________________人教版_________________________________

一、單元學(xué)習(xí)主題分析_______________________________________________________________

大單元

走近實數(shù)的世界

主題名稱

畢達哥拉斯是古希臘的著名數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家.他

曾創(chuàng)立了一個集政治、學(xué)術(shù)、宗教三位一體的神秘主

義派別：畢達哥拉斯學(xué)派.由畢達哥拉斯提出的著名命3

題"萬物皆數(shù)”是該學(xué)派的哲學(xué)基石.而"一切數(shù)均可表

成整數(shù)或整數(shù)之比”則是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰.然而，

具有戲劇性的是由畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定

理卻成了畢達哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)信仰的"掘墓人JI

11

畢達哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中的一個成員希

帕索斯考虎了?個問題：i?長為1的正方形其對角線

長度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)，也不能1用分數(shù)表示，而只能用

大情景一個新數(shù)來表示.希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個無理數(shù)痣的誕生.希

帕索斯覺得發(fā)現(xiàn)了新的世界，時不時就上廣場上進行演講，常常讓他的老師畢

達哥拉斯出來解釋一下.畢達哥拉斯其實早就知道這種奇怪的數(shù)的存在，只是他

無法用已有的數(shù)學(xué)知識來解釋這種數(shù)，因此他從來都不會去碰這個燙手山芋.

而希帕索斯把這事捅了出來，動搖了他的“萬物都是數(shù)（指已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的有理數(shù)）"

的理論根基，畢達哥拉斯害怕這件事傳出去會影響自己的威望，于是他第一時

間下令封鎖了消息，并警告希帕索斯不要再研究這個問題.

希帕索斯并沒有就此沉默，而是愈演愈烈，畢達哥拉斯勃然大怒，視其為

叛徒.他對外稱希帕索斯有意破壞本學(xué)派的和諧，于是需要清理門派，令人將其

活埋.希帕索斯聞風(fēng)后連夜乘船流亡他鄉(xiāng)，可出海沒多久就被畢達哥拉斯的門徒

們追上，將他五花大綁，溺入了冰冷的愛琴海之中._________________________

本章內(nèi)容屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域有關(guān)數(shù)的內(nèi)容，學(xué)生在七年級上冊已經(jīng)系

統(tǒng)地學(xué)過有理數(shù)，對有理數(shù)的概念和運算等有了較深的認識.本章是在有理數(shù)的

基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)實數(shù)的初步知識，本章很多內(nèi)容是有理數(shù)相關(guān)內(nèi)容的延續(xù)和推廣，

因此，編寫時注意了加強知識間的相互聯(lián)系，突出類比的作用，使學(xué)生更好的

體會數(shù)的擴充過程中表現(xiàn)出來的概念、運算等的一致性和發(fā)展變化.

本章前兩節(jié)“平方根”“立方根”在內(nèi)容和展開方式上是基本平行的，因

單元概述此，編寫“立方根”時充分利用了類比的方法，通過類比“平方根”展開“立

方根”的內(nèi)容.這樣的編著寫方法，有助于加強知識間的相互聯(lián)系，通過類比己

學(xué)的知識學(xué)習(xí)新知識，使學(xué)生的學(xué)習(xí)形成正遷移.

通過學(xué)生合作探究，揭示出象也這種無限不循環(huán)小數(shù)的存在，從而引入

了無理數(shù)的概念，使學(xué)生把數(shù)的概念從有理數(shù)擴展到實數(shù)，對今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

有著非常重要的意義，并且是同學(xué)們進一步學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等知識的基礎(chǔ).

有理數(shù)的概念平方根、立方根的概念

單元視角會比較數(shù)的大小會求平方根與立方根

會進行數(shù)的運算會估計無理數(shù)的大小

本章教學(xué)約需9課時，具體分配如下：

6.1平方根3課時

單元課時

6.2立方根2課時

劃分

6.3實數(shù)2課時

數(shù)學(xué)活動、單元小結(jié)、單元檢測2課時

實數(shù)單元..■???一.

整體規(guī)劃--

二、學(xué)情分析與學(xué)習(xí)條件支持

從能力而言，七年級學(xué)生思維正處于從以具體形象思維為主向以抽象邏輯

思維成分為主的轉(zhuǎn)折期，教材內(nèi)容的呈現(xiàn)必須注意具體性、形象性，同時還要

有適當(dāng)?shù)某橄蟾艣r要求，教材的安排正是符合學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律，從簡到難,

由具體到抽象.學(xué)生在學(xué)習(xí)這一部分知識時從而既適應(yīng)這一時期的能力發(fā)展水

平，又能促進他們的思維向高一階段的發(fā)展.

主題學(xué)情

在學(xué)習(xí)習(xí)慣方式上，由于各種原因，對數(shù)學(xué)的獨立思考，自主探究，合作

分析

交流這一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本過程具有一定的發(fā)展.

為了更好的把握教學(xué)內(nèi)容的整體性、連續(xù)性，本節(jié)課采用問題導(dǎo)入法引入

新課，讓學(xué)生回顧認識數(shù)的過程;通過類比歸納法和探究分析法經(jīng)歷實數(shù)的認識

過程,從而較好地完成實數(shù)概念的構(gòu)建和實數(shù)與數(shù)軸上的點的一一對應(yīng)關(guān)系的

認識，達到教學(xué)目標.

為了有效地突出重點、突破難點，本單元采用以學(xué)生自主探究、小組合

作交流相結(jié)合,把無理數(shù)和實數(shù)的概念及知道實數(shù)與數(shù)軸的點的一一對應(yīng)關(guān)系

學(xué)習(xí)方法

確定為教學(xué)重點;無理數(shù)的認識確定為教學(xué)難點.課堂上充份調(diào)動學(xué)生的積極

和

性，啟發(fā)學(xué)生進行觀察、類比、分析,讓參與到概念的建立，真正的讓學(xué)生進行

條件支持

探究，突出學(xué)生教學(xué)主體的地位.

教師準備多媒體以及課件，需要學(xué)生準備計算器.

三、單元學(xué)習(xí)目標設(shè)計

單元學(xué)習(xí)1、了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，會有根號表示數(shù)的算術(shù)平方根、

目標平方根、立方根；

2、了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求百以內(nèi)整數(shù)的平方根，會用

立方運算求百以內(nèi)整數(shù)（對應(yīng)的負整數(shù)）的立方根，會用計算器求平方根和立

方根；

3、了解開方和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，能求實數(shù)的相

反數(shù)與絕對值：

4、能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍._________________________________

_______________課時安排_______________________________課時學(xué)習(xí)目標________________

L了解算術(shù)平方根的概念，會用根號表示一個數(shù)

的算術(shù)平方根；

課時1算術(shù)平方根2.會求非負數(shù)的算術(shù)平方根，掌握算術(shù)平方根的

非負性.

用計算器求算術(shù)平方根及其1.會用計算器求算術(shù)平方根；

課時2

_________大小比較_________2.掌握算術(shù)平方根的估算及大小比較.___________

1?了解平方根的概念，并理解平方與開平方的關(guān)

課時3平方根系；

2.各求非負數(shù)的平方根._______________________

1.了解立方根的概念，會用立方運算求一個數(shù)的

立方根；

課時4立方根

2.了解立方根的性質(zhì)，并學(xué)會用計算器計算一個

數(shù)的立方根或立方根的近似值.________________

L了解實數(shù)的意義，并能將實數(shù)按要求進行分

類；

課時5實數(shù)2.熟練掌握實數(shù)大小的比較方法；

3.了解實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，能用數(shù)軸上

的點表示無理數(shù)._____________________________

1.理解在實數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的

意義；

課時6實數(shù)的性質(zhì)及運算2.掌星實數(shù)的運算法則，熟練地利用計算器去解

決有關(guān)實數(shù)的運算問題._______________________

課時7復(fù)習(xí)小結(jié)綜合復(fù)習(xí)本單元知識點

四、各課時任務(wù)設(shè)計及學(xué)習(xí)內(nèi)容______________________________________________________

核心任務(wù)__________子任務(wù)__________________________學(xué)習(xí)目標解析________________

任務(wù)一：解決數(shù)學(xué)危機理解并會運用算術(shù)平方根一

任務(wù)二：發(fā)射火箭會求非負數(shù)的平方根一

理解無理

任務(wù)三：測量木星直徑理解并會運用立方根

數(shù)、認識實

任務(wù)四：逃離太陽系會比較無理數(shù)的大小一

數(shù)

任務(wù)五：我在哪里了解實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，能用數(shù)軸上的

點表示無理數(shù)________________________________

五、單元學(xué)習(xí)過程

6/M算相密艮第鬻財

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1.了解算術(shù)平方根的概念，會用根號表示正數(shù)的算術(shù)平方根，并了解算術(shù)平方根的非

負性；

2.了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數(shù)的算術(shù)平方根；

3.通過對實際生活中問題的解決，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)與生活實際是緊密聯(lián)系著的，通過

探究活動培養(yǎng)動手能力和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

課時安排：約1課時

教學(xué)重點：了解算術(shù)平方根的概念、性質(zhì)

教學(xué)難點：根據(jù)算術(shù)平方根的概念正確求出非負數(shù)的算術(shù)平方根

教學(xué)方法/過程：

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■■■3月E￠.

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益木平方根

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算術(shù)平方根的概念

【問題1】學(xué)校要舉行藝術(shù)節(jié)，小明很高興，他想裁出一塊面積為36平方分米的正

方形畫布，畫上自己的得意之作參加比賽，這塊正方形畫布的邊長應(yīng)取多少？為什么？

【破解方法】

表一和表二中的兩種運算有什么關(guān)系？

【教學(xué)過程】引導(dǎo)學(xué)生填表，通過兩個表格的填寫，讓學(xué)生體會兩種運算的區(qū)別和聯(lián)系：

已知正方形的邊長求正方形的面積和已知正方形的面積求正方形的邊長，本質(zhì)上是互為逆運

算的歡喜關(guān)系.通過簡單的數(shù)值感知，讓學(xué)生初步理解算術(shù)平方根的概念.

一般地，如果一個正數(shù)X的平方等于a,即爐=。，那么這個正數(shù)X叫做a的算

術(shù)平方根.

【問題2】因為32=9,所以9的算術(shù)平方根是.

【答案】3

【問題3】下列說法正確的是.

①7是49的算術(shù)平方根.

②0.01是0.1的算術(shù)平方根.

【答案】①

【破解方法】根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可得到答案.

算術(shù)平方根的符號表示

【問題4】如何用數(shù)學(xué)符號表示：3是9的算術(shù)平方根？

【破解方法】

平方根號

2

X-QX-

-→讀作:根號a

(X

θ)l

被開方數(shù)

l的算術(shù)平方根

(rt≥0)

【教學(xué)過程】引導(dǎo)學(xué)生理解算術(shù)平方根的書寫方式和讀法，讓學(xué)生理解求一個數(shù)的平方

和求算術(shù)平方根互為逆運算.

【問題5】分別求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：(1)100；(2)—；(3)0.49

25

【答案】(1)由于IO?loo,因此J^δ^=ιo.

(2)由于(W)2=3,因此16_4

52525^5

(3)由于O.72=0.49,因此向麗'=0.7.

【破解方法】要求一個數(shù)的算術(shù)平方根，就是要看哪個非負數(shù)的平方會等于這個數(shù).

【教學(xué)過程】幫助學(xué)生強化算術(shù)平方根的概念，會求某個數(shù)的算術(shù)平方根.同時引導(dǎo)學(xué)

生得到一般性結(jié)論：被開方數(shù)越大，對應(yīng)的算術(shù)平方根也越大.

【問題6】計算：(1)眄+J2+7-(2)V4+Λ∕9-Λ∕16.

【答案】解：⑴原式=7+3-1=9.(2)原式=2+3-4=1.

【問題7】填空：

(1)16的算術(shù)平方根是；(2)J證的算術(shù)平方根是.

【答案】4：2

【教學(xué)過程】兩道題有明顯的對比，讓學(xué)生獨立完成之后再讓學(xué)生說出自己的答案，并

和小組同學(xué)進行討論，看看和小組其他同學(xué)的答案是否一致.求一個數(shù)的算術(shù)平方根時，首

先要弄清是求哪個數(shù)的算術(shù)平方根，分清求16與J記的算術(shù)平方根的不同意義，不要被表

面現(xiàn)象迷惑；求一個非負數(shù)的算術(shù)平方根常借助平方運算，因此熟記常用平方數(shù)對求一個數(shù)

的算術(shù)平方根十分有用.教師歸納做這類易錯題的方法：先將原題化簡，再做題！

【破解方法】注意文字或算術(shù)的表述，讀清題意，再進行計算，以防誤解.

【問題8］怎樣用兩個面積為1的小正方形拼成一個面積為2的大正方形？

【破解方法】方法1：課本中的方法，略；

方法2：

區(qū)C

可還有其他方法，鼓勵學(xué)生探究.

【問題9】這個大正方形的邊長應(yīng)該是多少呢？

【答案】大正方形的邊長是痣，表示2的算術(shù)平方根.

【教學(xué)過程】引導(dǎo)學(xué)生進一步理解算術(shù)平方根的含義，結(jié)合圖形理解七含義，并讓學(xué)生

觀察圖形感受后的大小.

算術(shù)平方根的雙重非負性

【問題9】在荷中，。可以取任何數(shù)嗎？而會是負數(shù)嗎？C表示什么含義？

【答案】“必須為非負數(shù)；而不可能是負數(shù)；口無意義.

【教學(xué)過程】通過實際案例，讓學(xué)生理解算術(shù)平方根中被開方數(shù)不能是負數(shù)(借助已

知正方形的邊長求面積來理解)，同時算術(shù)平方根也不可能是負數(shù)(借助已知正方形

的面積求邊長來理解)，最終歸納出算術(shù)平方根的雙重非負性.

,非負數(shù)GeO

a的算術(shù)平方根逅，

'?非負數(shù)

算術(shù)平方根具有雙重非負性

【問題10］一個正數(shù)的算術(shù)平方根有幾個？-1有算術(shù)平方根嗎？負數(shù)有算術(shù)平方根？

0的算術(shù)平方有幾個？

【答案】一個正數(shù)的算術(shù)平方根有1個；負數(shù)沒有算術(shù)平方根；0的算術(shù)平方根有一

個，是0.

【問題11】下列各式中哪些有意義？哪些無意義？為什么？

V5,-^J3,J-3,J(-3)~

【答案】解：J=3無意義，因為其被開方數(shù)不是非負數(shù).

【教學(xué)過程】引導(dǎo)學(xué)生思考正數(shù)、負數(shù)、O的算術(shù)平方根，進一步鞏固算術(shù)平方根的雙

重非負性.

【問題12](√3)2=?

【答案】開平方和平方互為逆運算(、6)2=3

【破解方法】一個非負數(shù)的算數(shù)平方根的平方等于它本身：(J^)2=a,a≥O

【問題13]己知X,y為有理數(shù)，5.??∣χ-1+3(y-2)2=0,求x—y的值.

【答案】由題意可得χ-l=O,y—2=0,所以x=l,y=2.所以x—y=l—2=-1.

【破解方法】算術(shù)平方根、絕對值和完全平方都具有非負性，即/NO,∣α∣20,層力0,

當(dāng)幾個非負數(shù)的和為0時，各數(shù)均為0.

【教學(xué)過程】算術(shù)平方根和完全平方都具有非負性，即也20,4No,由幾個非負數(shù)

相加和為0,可得每一個非負數(shù)都為0,由此可求出X和y的值，進而求得答案.

畢達哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正

方形其對角線長度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)，也不能用分數(shù)表示，而只能用

一個新數(shù)來表示.希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個無理數(shù)JΣ的誕生.希帕索斯覺得發(fā)

現(xiàn)了新的世界，時不時就上廣場上進行演講，常常讓他的老師畢達哥拉斯出來解釋一下.畢

達哥拉斯其實早就知道這種奇怪的數(shù)的存在，只是他無法用已有的數(shù)學(xué)知識來解釋這種數(shù)，

因此他從來都不會去碰這個燙手山芋.而希帕索斯把這事捅了出來，動搖了他的“萬物都是數(shù)

(指已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的有理數(shù))”的理論根基，小小、歷的出現(xiàn)，卻在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界掀起了一場巨

大風(fēng)暴.它直接動搖了畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰，使畢達哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌.實際上,

這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對畢達哥拉斯學(xué)派的致命打擊.對于當(dāng)時所有古希臘人的觀念這都是一

個極大的沖擊.這一結(jié)論的悖論性表現(xiàn)在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍

內(nèi)都可以表示成有理數(shù).這不但在希臘當(dāng)時是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術(shù)

已經(jīng)高度發(fā)展時，這個斷言也毫無例外是正確的！可是為我們的經(jīng)驗所確信的，完全符合常

識的論斷居然被小小的的存在而推翻了！這應(yīng)該是多么違反常識，多么荒謬的事！它

簡直把以前所知道的事情根本推翻了.更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法.這就在

當(dāng)時直接導(dǎo)致了人們認識上的危機，從而導(dǎo)致了西方數(shù)學(xué)史上一場大的風(fēng)波，史稱"第一次

數(shù)學(xué)危機".你會怎么解決這個問題呢？

【破解方法】

大約在公元前370年，窮竭法的鼻祖一一歐多克索斯建立起一套完整的比例論.他本人

的著作已失傳，他的成果被保存在歐幾里德《幾何原本》一書的第五篇中.歐多克索斯的巧

妙方法可以避開無理數(shù)這一“邏輯上的丑聞"，并保留住與之相關(guān)的一些結(jié)論，從而解決了由

無理數(shù)出現(xiàn)而引起的數(shù)學(xué)危機.但歐多克索斯的解決方式，是借助幾何方法，通過避免直接

出現(xiàn)無理數(shù)而實現(xiàn)的.這就生硬地把數(shù)和量分離開來.在這種解決方案下，對無理數(shù)的使用只

有在兒何中是允許的，合法的，在代數(shù)中就是非法的，不合邏輯的.或者說無理數(shù)只被當(dāng)作

是附在幾何量上的單純符號，而不被當(dāng)作真正的數(shù).一直到18世紀，當(dāng)數(shù)學(xué)家證明了基本常

數(shù)如圓周率是無理數(shù)時，擁護無理數(shù)存在的人才多起來.到十九世紀下半葉，現(xiàn)在意義上的

實數(shù)理論建立起來后，無理數(shù)本質(zhì)被徹底搞清，無理數(shù)在數(shù)學(xué)園地中才真正扎下了根.無理

數(shù)在數(shù)學(xué)中合法地位的確立，一方面使人類對數(shù)的認識從有理數(shù)拓展到實數(shù).至此，第一次

數(shù)學(xué)危機圓滿終結(jié).

口nIi噌曜

【設(shè)計意圖】鞏固所學(xué)，提升能力.

完成教材6.1.1練習(xí).

6.1.2書非第孝骸?

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L掌握平方根的概念，明.確平方根和算術(shù)平方根之間的聯(lián)系和區(qū)別；

2.能用符號正確地表示一個數(shù)的平方根，理解開平方運算和乘方運.算之間的互逆關(guān)系:

3.培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和歸納問題的能力.

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IB月I

7號

課時安排：約1課時

教學(xué)重點：平方根的概念和求數(shù)的平方根

教學(xué)難點：平方根和算術(shù)平方根的聯(lián)系與區(qū)別

教學(xué)方法/過程:

習(xí)HIM

「靜VisaIB

【問題1】什么叫做算術(shù)平方根？判斷下列各數(shù)有沒有算術(shù)平方根，如果有，請求出它

們的算術(shù)平方根.

100；1；需；0；-0.0025；(-3)2：—25.

【破解方法】一般地，如果一個正數(shù)X的平方等于a,即爐=。，那么這個正數(shù)X叫

做a的算術(shù)平方根.根據(jù)算術(shù)平方根的定義，負數(shù)沒有算術(shù)平方根.

【問題2】填空并思考：反過來，如果已知一個數(shù)的平方，怎樣求這個數(shù)？

32=；(∣)2=；OS?=.

(-3)2=：(一|)2=；(-0.8)2=?

【破解方法】根據(jù)基的定義求解即可.

【問題3】如果一.個數(shù)的平方等于9,這個數(shù)是多少？

【答案】±3

【教學(xué)過程】學(xué)生思考并討論，使學(xué)生明白這樣的數(shù)有兩個，它們是3和一3.受前面知

識的影響學(xué)生可能不易想到一3這個數(shù)，這時可提醒學(xué)生，這里的這個數(shù)可以是負數(shù).注意

(-3>=9中括號的作用.再引導(dǎo)學(xué)生填寫下表，通過計算和規(guī)律的尋找，得到求一個非負數(shù)

平方根的基本方法.

f3-=(9)(

(一3)2=(9)-(土3)2=9

(》=(;)-

I(+-)2=—

I-2,4

(-∣)2=(7)(O)2=0

2

：。2=(O)/(不存在)=-4

已知底數(shù)、指數(shù)，求募。已知嘉、指數(shù)，求底數(shù)。

乘方運算乘方的逆運算

給出平方根的概念：如果一個數(shù)的平方等于α,那,么這個數(shù)就叫做α的平方根.即:

如果f=α,那么X叫做。的平方根.求一個數(shù)的平方根的運算，叫做開平方.

例如：±3的平方等于9,9的平方根是±3,所以平方與開.平方互為逆運算，揭示開

平方運算的本質(zhì).讓學(xué)生體驗平方和開平方的互逆關(guān)系，并根據(jù)這個關(guān)系說出1,4,9的平方

根.注意：這階段主要是讓學(xué)生建立平方根的概念，先不引入平方根的符號，給出的數(shù)是完

全平方數(shù).

通過以上計算不難發(fā)現(xiàn)平方根的性質(zhì)，如果X是正數(shù)。的一個平方根，那么4的平方根

有且只有兩個：X與-*.即正數(shù)的平方根互為相反數(shù).

【問題4】144的平方根是什么？O的平方根是什么？義4的平方根是什么？-4有沒有

平方根？為什么？通過這些題目的解答，你能發(fā)現(xiàn)什么?

2

【答案】±12,0,±二，-4沒有平方根.

【破解方法】一個數(shù)的平方不可能是負數(shù).

【問題5](1)正數(shù)有幾個平方根？(2)O有幾個平方根？(3)負數(shù)呢？

【答案】正數(shù)的平方根有兩個，O有一個平方根是0,負數(shù)沒有平方根.

【破解方法】因為任何實數(shù)的平方都為非負數(shù)，所以負數(shù)沒有平方根，也沒有算術(shù)平方

根.

【教學(xué)過程】引導(dǎo)學(xué)生通過觀察f=α中的。和X的取值范圍和取值個數(shù)得出.學(xué)生

剛開始接觸平方根時，有兩點可能不太習(xí)慣，一個是正數(shù)有兩個平方根，即正數(shù)進行開平方

運算有兩個結(jié)果，這與學(xué)生過去遇到的運算結(jié)果惟一的情況有所不同，另一個是負數(shù)沒有平

方根，即負數(shù)不能進行開平方運算，這種某數(shù).不能進行某種運算的情況在有理數(shù)的加、減、

乘、除、乘方五種運算中一般不會遇到(0作除數(shù)的情況除外).教學(xué)時，可以通過較?多實例

說明這兩點，并在本節(jié)以后的教學(xué)中繼續(xù)強化這兩點.

【問題6】一個正數(shù)的兩個平方根分別是2α+l和a—4,求這個數(shù).

【答案】由于一個正數(shù)的兩個平方根是2a+l和。-4,則有2a+l+a-4=0,即3a一

3=0,解得〃=1.所以這個數(shù)為(2a+1)2=(2+1)2=9.

【破解方法】因為一個正數(shù)的平方根有兩個，且它們互為相反數(shù)，所以2a+l和。-4

互為相反數(shù)，根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0列方程求解.

【教學(xué)過程】引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)求解正數(shù)平方根的過程，觀察這兩個平方根的關(guān)系進行類比

解題，點評學(xué)生的思考過程，總結(jié)方法：一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，即它

們的和為零.已知一個數(shù)，求它的平方的運算，叫做平方運算.反之，已知一個數(shù)的平方，

求這個數(shù)的運算叫開平方.

【問題7】求下列各數(shù)的平方根：

24.—

(?)?^?;(2)0.0001；(3)(—4)2；(4)IO^6;(5)√81.

【答案】⑴,.噫瑙,(奉蜷,.?.諾的平方根為4,即心察烏

(2)：(±0.01)2=0.0001,Λ0.0001的平方根是±0.01,即±√o.oooι=±0.01；

(3)：(±4)2=(—4)2,；.(—4)2的平方根是±4,即*√(—4)2=±4；

(4)：(±10—3)2=10-6,...[0-6的平方根是±]0-3,即±λ師7=±l()-3;

(5)：(±3)2=9=兩，.?.兩的平方根是±3.

【破解方法】把帶分數(shù)化為假分數(shù)，含有乘方運算先求出它的事.注意正數(shù)有兩個互為

相反數(shù)的平方根.

【教學(xué)過程】根據(jù)平方根的定義求解，注意要把原式化簡之后求解.正確理解平方根的

概念，明確是求哪一個數(shù)的平方根.如(5)中是求9的平方根.引入符號：正數(shù)”的算術(shù)平

方根可用右表示；正數(shù)。的負的平方根可用-JZ表示.例如……思考：表示什么意

思,這里的a可取什么樣的數(shù)呢？而對于-JE又該怎樣理解呢？這里的X又可取什么樣

的數(shù)呢？

一個非負數(shù)的平方根的表示方法：

表示?的正的平方根(算術(shù)平方根)]

?記作土石

二萬表示〃的負的平方根.

a(<√≥0)的平方根表示為±

【問題8】求下列各式的值：

(1)√36;(2)-√δJT;(3)±Jy-

[答案](1)ν36=6(2)-Vθ.81=-0.9(3)=±3

［教學(xué)過程】要讓學(xué)生明白各式所表示的意義，根據(jù)平方關(guān)系和平方根概念的格式書寫

解題格式.平方根和算術(shù)平方根的概念是本章重點內(nèi)容，兩者既有區(qū)別又有聯(lián)系.區(qū)別在于

正數(shù)的平方根有兩個，而它的算術(shù)平方根只有一個；聯(lián)系在于正數(shù)的負平方根是它的算術(shù)平

方根的相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫出它的負平方根，因此我們可以利用算術(shù)平

方根來研究平方根.

【問題9］若√7^T+77+l=O，求/22+/°23的值.

【答案】

解：7x-i≥o,√j+ι≥o,√χ-ι+√j+ι=o,

.".X-1=0,?+1=0,.'.X=1,J=-I.

/.χ2。22+j2023=12022+(-1)2023=θ.

【破解方法】非負數(shù)與非負數(shù)的和為0,當(dāng)且僅當(dāng)這兩個非負數(shù)都為0時成立.可列方程

求出X,y的值，從而求出代數(shù)式的值.

【教學(xué)過程】通過計算例題，引導(dǎo)學(xué)生思考式子的特點和表示的含義，進一步認識算術(shù)

平方根的雙重非負性，利用這個特點進行解題，同時復(fù)習(xí)一元一次方程和幕的運算，同時教

師引導(dǎo)學(xué)生思考和歸納平方根和算術(shù)平方根的聯(lián)系和區(qū)別.

聯(lián)系區(qū)別

1.包含關(guān)系：平方根包含算術(shù)平方1.個數(shù)不同：一個正數(shù)有兩個平方

根，算術(shù)平方根是平方根的一種.根，但只有一個算術(shù)平方根.

2.只有非負數(shù)才有平方根和算術(shù)平2.表示法不同：平方根表示為±JZ,

方根.而算術(shù)平方根表示為指.

3.0的平方根是()，算術(shù)平方根也是

0.

第一宇宙速度(firstcosmicvelocity),又稱為環(huán)繞速度，是指在地球上發(fā)射的物體繞地

球飛行作圓周運動所需的最小初始速度.要作圓周運動，必須始終有一個力作用在航天器上.

其大小等于該航天器運行線速度的平方乘以其質(zhì)量再除以公轉(zhuǎn)半徑，即F=或，其中E是

RR

物體作圓周運動的向心加速度.在這里，正好可以利用地球的引力，在合適的軌道半徑和速

度下，地球?qū)ξ矬w的引力，正好等于物體作圓周運動的向心力.第一宇宙速度的計算公式是:

由于地球表面存在稠密的大氣層，航天器不可能貼近地球表面作圓周運動，必須在150

公里的飛行高度上才能作圓周運動.已知萬有引力常量G=6.75χl(yUN∕Ag2.加,地球質(zhì)量

M=5.97×1024?g,地球半徑R=637:Ikm,請你設(shè)計地球同步衛(wèi)星的發(fā)射速度.

【破解方法】根據(jù)第一宇宙速度的公式可得：H=怦=7.9km∕s

人類要發(fā)射人造地球衛(wèi)星或發(fā)射完成星際航行的飛行器，就要擺脫地球強大的引力，那

如何離開地球呢，這就要使運載飛行器或人造地球衛(wèi)星的航天飛機或運載火箭的速度要達到

宇宙速度.第一宇宙速度，指物體在地面附近繞地球做勻速圓周運動的速度.

因此，地球同步衛(wèi)星的速度至少為7.9Zτn∕s.

課堂互動探究Ketangh∪dongtanjiu.....................................?二........>?師生互動合作探究

完成教材6.1.2練習(xí).

6.2立抿第瞬斯

L使學(xué)生進一步理解立方根的概念，并能熟練地進行求一個數(shù)的立方根的運算；

2.能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍，使學(xué)生形成估算的意識，培養(yǎng)學(xué)生的估算能

力；

3.經(jīng)歷運用計算器探求數(shù)學(xué)規(guī)律的過程，發(fā)展合情推理能力.

口9Ijj

課時安排：約1課時

教學(xué)重點：了解立方根的概念及性質(zhì)，會用根號表示一個數(shù)的立方根

教學(xué)難點：了解開立方與立方是互逆運算，會用開立方運算求一個數(shù)的立方根

教學(xué)方法/過程：

aH

/αw∕>≡0*s

IHIWA/------------------

立方根

【問題11要做一個體積為27cm3的正方體模型（如圖），它的棱長要取多少？你是

怎么知道的？

【答案】解：設(shè)正方體的棱長為XCm,則V=27,這就是要求一個數(shù)，使它的立方等

于27.因為33=27所以X=3,正方體的棱長為3cm.

【問題2］思考（1）什么數(shù)的立方等于-8?

（2）如果問題中正方體的體積為5cm3,正方體的邊長又該是多少？

【教學(xué)過程】通過對以上問題的思考，引導(dǎo)學(xué)生類比平方根的求法，尋找求立方根的方

法，通過實際的正方體的體積，以及求一個數(shù)的立方的過程，倒推求立方根的步驟.然后將

數(shù)據(jù)由特殊向一般進行推廣，引導(dǎo)學(xué)生思考立方根的概念.一般地，一個數(shù)的立方等于a,

這個數(shù)就叫做。的立方根，也叫做。的三次方根.記作UZ.立方根的表示方法如下.

一個數(shù)a的立方根可以表示為：

根指數(shù)------3廠

√a---------?被開方數(shù)

讀作：三次根號。，

其中“是被開方數(shù)，3是根指數(shù)，3不能省略.

【問題3】填空：

因為2'=8,所以8的立方根是2；

因為（）3=0.125,所以0.125的立方根是（）；

因為（）3=0,所以0的立方根是（）；

因為（）3=-8,所以一8的立方根是（）；

QQ

因為（）3=-±,所以一上?的立方根是（）.

2727

【破解方法】根據(jù)例題的展示和問題的引導(dǎo)得到答案.

12

【答案】一,0,—2,—.

23

【教學(xué)過程】通過以上練習(xí)的講解，一方面理解求一個數(shù)立方根的過程和步驟，另一方

面逐漸歸納出立方根的性質(zhì)：

一個正數(shù)有一個正的立方根，一個負數(shù)有一個負的立方根，零的立方根是零.

【問題4】立方根等于本身的數(shù)有個.

【破解方法】在正數(shù)中，?1=1,在負數(shù)中，?Ξ71=-1,又赤=0,.?.立方根等于本

身的數(shù)有1,-1,0.

【答案】3.

【教學(xué)過程】

方法總結(jié)：不論正數(shù)、負數(shù)還是零，都有立方根.立方根是它本身的數(shù)有1,-1,0；

平方根是它本身的數(shù)只有0.

每個數(shù)α都有一個立方根，記作MT,讀作“三次根號如：d=7時，X是7的立

方根.講解3的含義是根指數(shù)，并且絕對不能省略，類似地，。叫做被開方數(shù).

注意：這個根指數(shù)

3絕對不可省略.√a<

3叫做根指數(shù)”二》被開方數(shù)

【問題5】求下列各數(shù)的立方根:

o3

(1)一27;⑵石;(3)3-;(4)0.216;(5)-5.

【答案】

(1)-27；

解χi)?.?(-3)3=-27,

.?.-27的立方根是-3,

即V=房=-3.

⑶4(4)0.216；

O

解:

解:?.?∣η'=j：(0.6)3=0.216,

388Λ0.216的立方根是0.6,

.?.32的立方根是上,即加.216=06

82

(5)-5.

解：-5的立方根是加3.

【問題6】填空:

因為"=-2,-我=一2,所以"√8;

因為47=,-炳=,所以".

【答案】=,-3,-3,=.

【教學(xué)過程】通過例子得到口=圾;進一步思考后面類似地題目，通過兩個例子引

導(dǎo)學(xué)生思考負數(shù)的立方根也是負數(shù)，并且和對應(yīng)正數(shù)立方根互為相反數(shù)，從而得到一般性的

結(jié)論：一般地，f=近.通過對學(xué)生進行提問和點評，共同歸納出平方根和立方根之間

的關(guān)系.

平方根立方根

正數(shù)兩個，互為相反數(shù)一個，為正數(shù)

性

質(zhì)000

負數(shù)沒有平方根一個，為負數(shù)

表示方法G而

被開方數(shù)的范圍非負數(shù)可以為任何數(shù)

【問題7】求下列各式的值:

(l)-?343i(2中棄5：(3)_牛/#^+X(7)儂

【答案】⑴一4說=-7：(2N瑞-5=守-野=-1；

l00

(3)-2∣+√(—1)=2÷Λιy^+√l=2÷∣+1=2×∣+1=∣.

【破解方法】做開平方或開立方運算時，一般都是利用它們的定義去掉根號；當(dāng)被開方

數(shù)不是單獨一個數(shù)時，則需先將它們進行化簡，再進行開方運算.

【問題8】根據(jù)表格中的例題，也利用計算器計算，并將計算結(jié)果填在表中，你發(fā)現(xiàn)

了什么嗎？你能說說其中的道理嗎？___________

…:0.00G216:0.216Vi話’…

…0.06…

【答案】0.6;6

【破解方法】小結(jié)：被開方數(shù)的小數(shù)點向左或向右移動3n位時立方根的小數(shù)點就相應(yīng)

的向左或向右移動n位(n為正整數(shù)).

4

【問題9】已知球的體積公式是V=I五r3(r為球的半徑，n取3.14),現(xiàn)已知一個小皮

球的體積是113.04Cm3,求這個小皮球的半徑二

【破解方法】將公式變形為，=言"，從而求匚

43V3Fw

【答案】由V=τπ得r3=j-,Λr=y/~7~~.VV=1?3.04cm3,兀取3.14,；?一

3/3X113.043,—

74X3.14=歷=3(Cm).

答：這個小皮球的半徑I■約為3cm.

【教學(xué)過程】解此題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用球的體積公式，并將公式適當(dāng)變形.通過實際問

題的求解，進一步加深對開立方運算的熟悉.

【問題10］已知χ-2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求f+y*2的*47算術(shù)平方根.

【破解方法】根據(jù)平方根、立方根的定義和已知條件可知x—2=4,2Λ-+.V+7=27,從

而解出X,y,最后代入x2+j2,求其算術(shù)平方根即可.

【答案】..“一2的平方根是±2,.?.x—2=4,.?.x=6.?.?2x+y+7的立方根是3,.?.2x+

y+7=27.把x=6代入解得y=8,.?.∕+y2=62+82=100..?.x2+y2的算術(shù)平方根為10.

【教學(xué)過程】本題先根據(jù)平方根和立方根的定義，運用方程思想列方程求出X,y的值,

再根據(jù)算術(shù)平方根的定義求出Λ2+/的算術(shù)平方根.

太陽系八大行星是太陽系的八個大行星,按照離太陽的距離從近到遠,它們依次為水星、

金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星.木星是離太陽第五顆行星，而且是最大

的一顆，木星質(zhì)量是地球的三百一十七點八九倍，而體積則是地球的一千三百一十六倍.木

星古稱歲星，是離太陽第五顆行星，而且是最大的一顆，比所有其他的行星的合質(zhì)量大2

倍.木星是天空中第四亮的物體(次于太陽，月球和金星；有時候火星更亮一些)，早在史

前木星就已被人類所知曉.

4

已知地球的體積為I.O832xlO∣鼠病,已知球類的體積公式為V=M就3請你據(jù)此估算

3,

木星的半徑.

【答案】

?:地球的體積為L0832×10'2bπ3,

又?「木星的體積是地球的一千三百一十六倍

所以木星的體積為

V=1.0832XIO12X1316Aw∕3=1.425×IO15Az??3

根據(jù)球類的體積公式

V=-πfC

3

可得木星的半徑

Daiiiis

課堂動探九Ketanghudongtanjiu?＞師生互動合作探究

完成6.2練習(xí)

631繳

1.了解無理數(shù)和實數(shù)的概念；會對實數(shù)按照一定的標準進行分類，培養(yǎng)分類能力;

2.了解分類的標準與分類結(jié)果的相關(guān)性，進一步了解體會“集合”的含義；

3.了解實數(shù)范圍內(nèi)相反數(shù)和絕對值的意.

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課時安排：約1課時

教學(xué)重點：進一步理解有理數(shù)和無理數(shù)的概念，會把實數(shù)進行分類

教學(xué)難點：理解實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，并進行相關(guān)運用

教學(xué)方法/過程:

摘習(xí)AIM

—∣g

【問題1]√∑有多大呢？

【答案】1<√2<2

【破解方法】

因為產(chǎn)=1,22=4,

而1<2<4,

所以l<√∑<2.

【問題2]你能不能得到、歷的更精確的范圍？

【破解方法】按照上面的方法，進一步縮小、歷的范圍.

【答案】

因為L-=I.96.1.52=2.25.1.96<2<2.25.

.