重慶市烏江新高考協(xié)作體2023-2024學(xué)年高三年級上冊12月期中數(shù)學(xué)試卷含答案

重慶市烏江新高考協(xié)作體2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月期中

2023-2024學(xué)年(上)期中學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合調(diào)研抽測

高三數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1設(shè)集合Z={x|T<xWl},8={-1,1,2,3},則(Q4)cB=

A.{-1,2,3}B.{1,2,3}C.{-1,1,2}D.{-1,1,2,3}

2.設(shè)全集。={1,2,3,4,5},/={1,3,5},5={1,3},則()

A.U=AuBB.。=(立/川5C.U=A^(^B)D.U=(O/)U(QB)

3.已知等差數(shù)列{4}中，a2+(z8=18,則%=()

A7B.11C.9D.18

4.如圖是一個棱長為2的正方體被過棱4片、的中點河、N,頂點A和過點N頂點。、G的兩個

截面截去兩個角后所得的幾何體，則該幾何體的體積為()

A.5B.6C.7D.8

5.已知平面直角坐標系中的3點2(2,2),5(6,0),C(0,0),則AABC中最大角的余弦值等于()

_V|「國D,巫

A.D.------V/.----------------------

221010

6

6.已知a,萬為銳角，且tana=2,sin(a+/?)二=—,貝ijcos”()

2

3V10R3屈「VioD.叵

A.D.------------

10101010

7.已知函數(shù)/（x）在定義域上的值不全為零，若函數(shù)/（x+1）的圖象關(guān)于（1,0）對稱，函數(shù)/（x+3）的圖

象關(guān)于直線x=l對稱，則下列式子中錯誤的是()

A/(-x)=/(x)B./(x-2)=/(x+6)

C./(-2+x)+/(-2-x)=0D./(3+x)+/(3—x)=0

8.如圖，在棱長為2的正方體48CD-44GA中，M是的中點，點尸是側(cè)面CD2G上的動點,

且〃截面/耳C,則線段"P長度的取值范圍是（）.

A.[V2,V6]B.[76,272]C.[V6,2A/3]D.[76,3]

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分.

9.已知復(fù)數(shù)z=（2—i）（i-1）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為P,則（）

A.P在第二象限B.尸在第四象限

C.z=-1—3iD.z的虛部為3i

10.已知圓M：X2+J2-4X+3=0,則下列說法正確的是（）

A.點（4,0）在圓內(nèi)B.圓M的半徑為1

C.圓M關(guān)于x+3y—2=0對稱D.直線x—島=0與圓M相切

11.記等比數(shù)列｛。“｝的前〃項和為S”若的=2,S3=6,則邑=（）

A.-10B.-8C.8D.10

12.如圖，已知三個兩兩互相垂直的半平面a,尸，7交于點O,矩形的邊8C在半平面7內(nèi),

頂點A,。分別在半平面a,月內(nèi)，40=2,AB=3,4D與平面a所成角為一，二面角

4

Z-8C-。的余弦值為;，則同時與半平面a,尸，7和平面4BC。都相切的球的半徑為（）

A交B.謔C.2V2D,8+4/

■233

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.函數(shù)=2/+2的圖象在尸1處的切線方程是.

14.若等差數(shù)列｛&“｝的前10項和為30,前20項和為100,則前30項和為

15.若方程cosx=L&在xe-兀上有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍為

2L3J------

16.已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,給出下列四個結(jié)論：

①數(shù)列｛4｝每一項%都滿足0<a“；②數(shù)列｛4｝的前〃項和S,<2；

2n-1

③數(shù)列｛a“｝每一項都滿足an<——成立；④數(shù)列｛an｝每一項an都滿足a>I(n€N

n+12

其中，所有正確結(jié)論的序號是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17已知幺=｛a,6,c｝,則求:

(1)集合4的子集的個數(shù)，并判斷0與集合N的關(guān)系

(2)請寫出集合/的所有非空真子集

18.已知命題p:x2+2x-15W0,命題q:|x-1I<m(m>0),若是"的必要不充分條件，

求實數(shù)m的取值范圍

19.如圖，在平面四邊形45C。中，點3與點。分別在NC的兩側(cè)，對角線NC與8。交于點E,

BC=CD=2.

B

(1)若△45。中三個內(nèi)角A、B、。分別對應(yīng)的邊長為。、b、c,的面積

84),麗=3屜，求/BG4和N5CQ；

TT

(2)若AD=gB，且NB4D=—,設(shè)NC8Z)=a,求對角線NC的最大值和此時a的值.

4

20.如圖，在三棱臺ZBC-48cl中，ABAC=90°,幺4,平面NBC,AB=AC=2,4G=1,

A、A=B且。為BC中點.求證：8cl平面

21.過點(3,1)的直線分別與x軸、7軸的正半軸交于/,2兩點，求A/OB(。為坐標原點)面積取得最小

值時的直線方程.

22.已知函數(shù)/(%)=6工，g(x)=—cosx.

(1)討論函數(shù)/(x)=7*的單調(diào)性;

(2)設(shè)函數(shù)G(x)=/(x)+g(x)—ax(aeR),若G(x)在一5兀,+8JI上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值

范圍.

2023-2024學(xué)年（上）期中學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合調(diào)研抽測

高三數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.設(shè)集合N={xT<x<l},8={-1,1,2,3}.貝（

A.{-1,2,3}B.{1,2,3}C.{-1,1,2}D.{-1,1,2,3}

【答案】A

【解析】

【分析】先求得然后求得

【詳解】d/=（—8，Tu（i,+8）,（dz）n8={—i,2,3}.

故選：A

2.設(shè)全集U={1,2,3,4,5},Z={1,3,5},3={1,3},則（）

A.U=AuBB,。=（?力川8C.U=A^（^B）D.U")U(科

【答案】C

【解析】

【分析】由條件根據(jù)集合的運算的定義，判斷各選項即可.

【詳解】因為/={1,3,5},5={1,3},。={1,2,3,4,5},

所以ZU8={1,3,5},AuB力U,A錯，

%4={2,4},(dN)U8={l,2,3,4},佃狐丑?！e，

。5={2,4,5},NU(d8)={l,2,3,4,5},C對，

(①Z)U@5)={2,4,5}HU,D錯,

故選：C.

3.已知等差數(shù)列{。“}中，出+%=18,則%=()

A.7B.11C.9D.18

【答案】C

【解析】

【分析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)直接計算求解即可.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列的性質(zhì)可知：。2+4=2%=18,所以%=9.

故選：C.

4.如圖是一個棱長為2的正方體被過棱44、的中點/、N,頂點A和過點N頂點。、C的兩個

截面截去兩個角后所得的幾何體，則該幾何體的體積為()

C.7D.8

【答案】C

【解析】

【分析】將正方體還原,利用割補法計算可得.

【詳解】解：如圖將正方體還原可得如下圖形:

則%3

-&MN=§X]Xlxlx2=§,VD_ND^=-X—xlx2x2=—,VABCD-AIBICIDI=2=8,

所以該幾何體的體積匕=8—1—2=7.

33

故選：C

5.已知平面直角坐標系中的3點2(2,2),5(6,0),C(0,0),則中最大角的余弦值等于(

_V|V2Vio

一3~17(r

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)夾角公式算出AABC每個內(nèi)角的余弦值，然后分析可得結(jié)果.

【詳解】AB=(4,-2),AC=(-2,-2),根據(jù)夾角公式,

AB-AC-4VW

cosA=cos{AB,AC)=

詞4A/1010，

—/—?—24

A4=(-4,2),5C=(-6,0),根據(jù)夾角公式，cosB=3(545。=畫網(wǎng)=直乖=

C8=(6,0),C4=(2,2),根據(jù)夾角公式，c°sC=cos(C民同同=晟公方=《

由/,5,。￡(0,兀)，cosA<09cos5>0,cosC>0,于是A是鈍角，民C是銳角，最大角是A,余弦

值為—巫.

10

故選：c

6.已知，為銳角，且tana=2,sin(q+/?)=；-，則cos/=()

A3V10R3V10?VionV10

10101010

【答案】D

【解析】

【分析】由條件，結(jié)合同角關(guān)系求sina,cosa,再由特殊角三角函數(shù)值求a+,，再利用兩角差的余弦公

式求cos￡.

【詳解】因為tana=2,所以sin?=2cosa,

又sin?a+cos2a=1，a為銳角，

所以sina=2逐,cosa=，且a〉f?

554

jrjr

因為，為銳角，a＞—,所以一＜。+/?＜兀，

44

又sin(a+1)=,所以。+/=,

,,?(3兀、3兀.3兀.V10

故cos/=cos-----a=cos—costz+sin—sin?=------.

I4J4410

故選：D.

7.已知函數(shù)/(x)在定義域上的值不全為零，若函數(shù)/(x+1)的圖象關(guān)于(1,0)對稱，函數(shù)/(x+3)的圖

象關(guān)于直線x=l對稱，則下列式子中錯誤的是()

A./(-x)=/(x)B./(x—2)=/(x+6)

C./(-2+x)+/(-2-x)=0D./(3+x)+/(3—x)=0

【答案】D

【解析】

【分析】由題設(shè)條件可得函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于(2,0)對稱，且關(guān)于直線x=4對稱，從而得到了(“為偶函

數(shù)且為周期函數(shù)，從而可判斷各項的正誤.

【詳解】V函數(shù)/(》+1)的圖象關(guān)于(1,0)對稱，

函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于(2,0)對稱，令/(x)=/(x+1),

.*.F(x)=-F(2-x),即/(3-x)=-/(l+x),—x)=—/(x)-(1)

令G(x)=/(x+3),：其圖象關(guān)于直線工-1對稱，G(2+x)=G(-x),

即〃x+5)=/(3-x),/(x+4)=/(4-x)…⑵

由⑴⑵得，/(x+4)=-/(x),.*./(%+8)=/(x)—(3)

,?./(-x)=/(8-x)=/(4+4-x),

由⑵得/(4+(4-同)=/(4一(4一%))=/(》)，；./(-月=/(工)；；*對；

由⑶，得/(x-2+8)=/(x-2),即/(x-2)=/(x+6),，B對;

由⑴得，/(2-x)+/(x+2)=0,又=

.1./(-2+X)+/(-2-X)=/(2-X)+/(2+X)=0,ACXe；

若/(3+x)+/(3-x)=0,則〃6+x)=—/(x),.?./(12+x)=/(x),

由⑶得/(12+x)=/(x+4),又/(x+4)=-/(x),二=即/(x)=0,與題意矛盾，

；.D錯.

故選：D.

【點睛】本題考查函數(shù)圖象的對稱性、奇偶性、周期性，注意圖象的對稱性與函數(shù)解析式滿足的等式關(guān)系

之間的對應(yīng)性，本題屬于中檔題.

8.如圖，在棱長為2的正方體中，M是4片的中點，點尸是側(cè)面。＞2G上的動點，

且〃截面工友。，則線段"P長度的取值范圍是（）.

A.[V2,V6]B.[V6,2V2]C.[76,273]D.[V6,3]

【答案】B

【解析】

【分析】取CD的中點為N,CG的中點為R,4G的中點為H,證明平面MNRH//平面平面

3

MNRH，線段MP掃過的圖形為AMA7"通過證明MTV?=NRi+兒％2,說明為直角，得線段M長

度的取值范圍為［4四，肱V］即可得解.

【詳解】取CD的中點為N,CG的中點為R,AC的中點為H,作圖如下：

由圖可知,"4//NC,〃4=NC,

所以四邊形MNCB、為平行四邊形,

所以〃N//BC，

因為Afff//4G，4G//zc,

所以MH//AC,

因為上WnM/=M,/Cn8iC=C,

故平面MNRH//平面AB{C,

因為MP〃截面

所以"Pu平面兒何出,線段MP掃過的圖形為AMM?,

由AS=2知=2V2,NR=五,

在RtAMQR中,MR?=(J?+QM2,

即北伍2=「+(君『=6,所以〃;?=布,

所以〃乂2=NR2+〃R2,即為直角，

故線段"P長度的取值范圍為[必?,跖V],即

故選:B

【點睛】本題考查面面平行的判定定理與性質(zhì)定理及空間兩點間的距離;重點考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想;屬于

難度大、抽象型試題.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分.

9.已知復(fù)數(shù)z=(2-i)(i-1)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為P,則()

A.P在第二象限B.尸在第四象限

C.z=—1—3iD.z的虛部為3i

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算，求得z=-l+3i,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義和共朝復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)的基本概

念，逐項判定，即可求解.

【詳解】由題意，復(fù)數(shù)z=(2—i)(i—l)=—l+3i,

所以其對應(yīng)的點(-1,3)位于第二象限，所以A正確，B錯誤；

由復(fù)數(shù)z=-l+3i的虛部為3,所以D錯誤；

又由共軌復(fù)數(shù)的概念，可得I=_l_3i，所以C正確.

故選：AC

10.已知圓M：X2+y2-4x+3=0,則下列說法正確的是（）

A.點（4,0）在圓內(nèi)B.圓M的半徑為1

C,圓M關(guān)于x+3y—2=0對稱D.直線x—島=0與圓M相切

【答案】BCD

【解析】

【分析】對于A項，求點（4,0）到圓心的距離與半徑比；對于B項，圓化為標準方程即可求出圓心和半徑.

對于C項，驗證圓心是否在直線上；對于D項，驗證圓心到直線的距離與半徑比.

【詳解】已知圓X2+/-4X+3=0,則其標準方程為（X—2>+.V2=1,

：.r=i,B選項正確；圓心M（2,0）,將點（4,0）到圓心〃（2,0）的距離

4='（4-2）2+（0—09=2>Y,

所以，點（4,0）在圓外，A選項錯誤；將圓心四（2,0）代入直線x+3y—2=0,得2+3x0—2=0成立，

所以直線過圓心，則圓M關(guān)于直線x+3y-2=0對稱，C選項正確；

因為圓心河（2,0）到直線x—Gy=o的距離/=r比=1=人所以直線x—Gy=0與圓M相切，D

VI+3

選項正確.

故選：BCD

11.記等比數(shù)列｛四｝的前〃項和為S”若勾=2,邑=6,則邑=（）

A.-10B.-8C.8D.10

【答案】AC

【解析】

【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，解方程2+2q+2/=6求出q的值即得解.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為由于q=2,§3=6,

53-2+2q+2q~-6,則/+q_2=0,q=—2或q=],

所以S4=63+//=6+2x（—2）3=—10或S4=4%=8,

故選：AC.

12.如圖，已知三個兩兩互相垂直的半平面a,0,7交于點。，矩形/8C。的邊在半平面7內(nèi)，

頂點A,。分別在半平面a,月內(nèi)，AD=2,AB=3,40與平面a所成角為一，二面角

4

Z-8C-。的余弦值為;，則同時與半平面a,尸，7和平面4BC。都相切的球的半徑為()

A.顯B,迪C.2A/2D,8+4應(yīng)

233

【答案】AC

【解析】

【分析】如圖，補形為一個長方體，然后以點。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系。-斗，由

線面角和二面角的定義可求得48,。的坐標，求得平面/2C。的法向量，設(shè)平面N2CZ)與x，V，z軸的

交點分別為：^(x,0,0),^(0,j,0),^(0,0,z),將原問題進一步等價于求三棱錐。-PlP2P3的內(nèi)切球半

徑，運用等體積法可求得答案.

【詳解】解：如圖所示，將矩形/BCD所在的平面，補形為一個長方體，然后以點。為坐標原點，建立如

圖所示的空間直角坐標系。-孫z,

由40=2,4D與平面a所成角為3,得幺國=4。=應(yīng)，作4Pl底面于點P,則4DJ.平面

APB,從而BC工BP,

所以NPR4即為二面角/—8C—0的平面角，即NPR4的余弦值為,，則尸5=故

33

AP=/BA2-Bp2=26,B2P=B2B=^，A(后,0,2回,B0C,冬0)，D(O,C),

所以43=-—,—-,-2y/2,AD=(-V2,V2,0),

I22J

設(shè)平面4BCD的法向量玩=(x,y,z),貝ij

AB-m=(^-,,-2A/2)?(x,y,z)=^-+^-J-2A/2Z=0

<2222',

AD-m=(-V2,V2,0)-(x,j,z)=-V2x+42y=0

令x=2,得y=2,z=1,從而m=(2,2,1),

設(shè)平面N2CD與x4,z軸的交點分別為：^(x,0,0),^(0,j,0),^(0,0,z),則

^4-ffl=(V2-x,0,2V2).(2,2,l)=0,所以x=2&，^4-m=(V2,-j,272)-(2,2,1)=0,所以

y=2后，^4.m=(72,0,272-z).(2,2,1)=0,所以z=4正,原問題進一步等價于求三棱錐O-P

尸2尸3的內(nèi)切球半徑，

由于=J(29了+(2'了=4,RR=2R=5(2后+(4揚2=2西,

故△片巴巴是等腰三角形，其面積為,)<4j(2ji6)2—22=12,

三棱錐的表面積為S=g(20x2及+2gx4/+2gX4J5)+12=32,其體積為

昨［xOqxOExOA

設(shè)外接球半徑為凡利用等體積法有廠=」SR,即lx32x7?=”也,.?.；?=正，

3332

同理，當球在三棱錐外面與四個面都相切時，球的半徑為2a，

故選：AC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.函數(shù)/(x)=V-2必+2的圖象在尸1處的切線方程是.

【答案】J=-X+2(或x+y-2=0)

【解析】

【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解，

【詳解】由題意可得了'(X)=3X2—4X,則/⑴=1,r(l)=-l,

故所求切線方程為=,即y=-x+2(或x+y_2=0).

故答案為：y=-x+2

14,若等差數(shù)列｛4｝的前10項和為30,前20項和為100,則前30項和為

【答案】210

【解析】

【分析】

利用等差數(shù)列的前〃項和性質(zhì)即可求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前“項和為S”，

則Si。,S20—Si0,S30—S20成等差數(shù)列,

即30,70,§30-100成等差數(shù)列，

所以2x70=30+S30—100,

%=210,

故答案為：210

【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的前"項和性質(zhì)，需熟記性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.若方程cosx=l在xe-3,兀上有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍為

2L3J

【答案】(T0]

【解析】

11—Q

【分析】根據(jù)題意作圖，由函數(shù)與方程的關(guān)系，可得一V——<1,進而得到答案.

22

【詳解】作出y=cosx,xe-y,K與了=一的大致圖象，如圖所示.

由圖象，可知;〈寧<1,即—故實數(shù)。的取值范圍為(—1,0].

故答案為：

16.已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,給出下列四個結(jié)論：

①數(shù)列｛4｝每一項%都滿足0<%<1eN*）；②數(shù)列｛%｝的前n項和Sn<2.

2n-1

③數(shù)列｛4｝每一項都滿足%<—；成立；④數(shù)列｛4｝每一項%都滿足%>I(〃eN*

〃+12

其中，所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①③④

【解析】

【分析】通過遞推公式，判斷出數(shù)列單調(diào)性，由此得到數(shù)列的取值范圍，根據(jù)取值范圍對①③④進行判斷,

算出S4即可判斷②.

【詳解】由%=1,。什1=?！耙?/p>

…，1111331939

一22328848264128

1339279

5=1+-+-+—=^>2,②錯誤;

428128128

12

又因為q=l,所以4+i>0，所以0<%,①正確;

由-，可彳號=得/川，即W1，

1

又2片9=兩邊同時除以%%+1，可得:

1111(11)

J2-1L-—二2——1幺=2

%+iIan+lanJana,a?-Ja2Id?d-y)

(1)出+-+???+區(qū)

累加可得2----1

I%+i>%+i。2

又因小2],

(1)即有匕卬2

所以“<2----1<2〃,<--------

\an+\y〃+2

,-2,12

當〃=1時，a----=1,所以一——-,③正確;

xn〃+1

由a“+i=(一.1，得

u

2n乙乙

?、1

則當〃22時，

an-l2

n-\

則見:S…".4之

冊-1?！ㄒ?I

0

當〃=1時，％=1=I

n—1

所以(〃￡N),故④正確.

2

故答案為：①③④.

【點睛】思路點睛：數(shù)列中出現(xiàn)大小比較時，若通過原數(shù)列或者構(gòu)造新數(shù)列不能找到大小關(guān)系，常見思路

為對數(shù)列進行放縮，通過將數(shù)列放縮為一個簡單的通項公式再進行大小比較.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知/={<7,仇c},則求:

(1)集合N的子集的個數(shù)，并判斷。與集合/的關(guān)系

(2)請寫出集合/的所有非空真子集

【答案】(1)8,0A(2){a},,{c},{a,b},{a,c},{b,c}

【解析】

【分析】(1)根據(jù)子集的概念，利用列舉法可得集合Z的所有子集，從而可得子集個數(shù)以及0與集合Z的

關(guān)系；

(2)根據(jù)非空真子集的概念，利用列舉法可得答案.

【詳解】(1)Z={見8c}的子集有0,{a},,{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}共8個,

其中0A.

(2)集合力的所有非空真子集有{研，,{c},{a,b},{a,c},{b,c}.

【點睛】本題考查了子集和真子集的概念，屬于基礎(chǔ)題.

18.已知命題p:x2+2x-150O,命題q:Ix-1I<m(m>0),若丁是「q的必要不充分條件，

求實數(shù)m的取值范圍

【答案】[6,+00)

【解析】

【分析】利用不等式的解法求解出命題Dq中的不等式范圍問題，結(jié)合二者的關(guān)系得出關(guān)于字母機的不

等式，從而求解出入的取值范圍.

【詳解】解：N+2x-15W0的解集為[-5,3],

故命題〃成立有xe[-5,3],

由Ix-1|<m(m>0),,

得xG[l-m,m+1],

若力是飛的必要不充分條件，即p是g的充分不必要條件，

因此有[-5,3]為口-加，加+1慎子集，

l-m<-5

即，.，(兩個等號不能同時取到)

m+l>3

解得：m>6

19.如圖，在平面四邊形45C。中，點B與點。分別在NC的兩側(cè)，對角線NC與5。交于點E,

BC=CD=2.

(1)若中三個內(nèi)角A、B、C分別對應(yīng)的邊長為。、b、C,A48C的面積

5="("+〃一/),而=3屜，求N8G4和N3。；

1—71

(2)若AD=亞AB，且/氏4。=—,設(shè)NC8O=a,求對角線NC的最大值和此時a的值.

4

712兀

【答案】(1)NBCA=—,NBCD=——

63

(2)當。=巴時，對角線NC長的最大值為2/+2

8

【解析】

【分析】(1)利用三角形的面積公式以及余弦定理可求出tan//C5的值，結(jié)合的取值范圍可求得

7T

NNC8的值，設(shè)NBCD=6,則一＜。＜兀，利用正弦定理可求得8的值；

6

(2)利用余弦定理求得AD,結(jié)合余弦定理分析可知，△48。為等腰直角三角形，再利用余弦定理結(jié)合

三角函數(shù)看可求出AC的長的最大值及其對應(yīng)的a的值.

【小問1詳解】

解：因為A4SC的面積S+〃-，)，即LqbsinN24cs=，

12v＞26

整理可得5由/幺。3=且(：05/幺。5〉0，所以，tanZACB=—，

33

冗71

又因為0<NNC5<7T,則NNC5=—,設(shè)2BCD=9,則一<。<兀，

66

CEBE

在&BCE中，由正弦定理得sinZCBE—.兀，

sin—

6

CE_DE

在ACDE中，由正弦定理得sinZCDE—.G兀),

I6J

BE_DE

因為5C=C￡>,則NC8￡=NC￡)￡,所以，兀一.仆兀、，

sin-sin0——

6I6)

因為而=3礪，則。E=28E,所以，sin19—2]=名;=1,

I6/2BE

...7L八.?萬兀5兀一廣c7T7TAF/匚八27r-7―.2兀

因為一＜8＜兀，則0＜。一一＜—,所以t，0一一二一，解得8=——，即n—.

6666233

【小問2詳解】

71

解：因為5C=C0=2,則/&)C=/CBD=a,其中0＜a＜一,

2

則NBC。=兀一2a,

由余弦定理可得BO?=5。2+c02-ZBCCOcos(兀一2a)=8+8cos2”

=8+8(2cos2a—1)=16cos2a,則BD=4cosa,

兀

在△A8Z)中，AD=41AB-NBAD=一,

4

6

222

由余弦定理可得5￡>2=2^2+AD2_2AB.ADcos-=3AB-242ABx—=AB,

42

兀

所以，BD=AB,故NADB=NBAD=—,故△48。為等腰直角三角形，

4

兀

則ZABD=-,

2

所以，AC2=AB2+BC2-2AB-BCcos—+tz=16cos2?+4+2x4cos?x2xsintz

2a+；1+12,

=8(l+cos2a)+4+8sin2a=8^2sin

口心八71.71_兀5兀

易知0<a<一,則一<2aH—<—,

2444

故當2。+；=9時，即當時，4C取最大值，且最大值為，8行+12=2亞+2?

42o

20.如圖，在三棱臺NBC-481G中，ZBAC=90°,幺4,平面NBC，AB=AC=2,4G=1,

=且。為中點.求證：8。_￡平面4/。；

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】建立空間直角坐標系，求得相關(guān)點坐標，根據(jù)空間位置關(guān)系的向量證明方法，即可證明結(jié)論.

【詳解】由題意，以點A為坐標原點，AB,2。，幺4分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系,

則N（0,0,0）,4（0,0,G）,5（2,0,0）,0（020）,0（1,1,0）,

則數(shù)=（一2,2,0）,石=（0,0,G）,m=（U,0）,

故反S麴=-2xO+2xO+GxO=O,，^J,m。

5C-AD