高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第28講 數(shù)列概念及等差數(shù)列

第28講數(shù)列概念及等差數(shù)列

一.【課標(biāo)要求】

1.數(shù)列的概念和簡單表示法；通過日常生活中的實例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示

方法(列表、圖像、通項公式)，了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)；

2.通過實例，理解等差數(shù)列的概念，探索并掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和的公式；

3.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題。體會

等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系C

二.【命題走向】

數(shù)列在歷年高考都占有很重要的地位，一般情況下都是一至二個客觀性題目和一個解答

題。對于本將來講，客觀性題目主要考察數(shù)列、等差數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、前n項

和公式等基本知識和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對基本的計算技能要求比較蔵

預(yù)測2010年高考：

1.題型既有靈活考察基礎(chǔ)知識的選擇、填空，又有關(guān)于數(shù)列推導(dǎo)能力或解決生產(chǎn)、生活

中的實際問題的解答題；

2.知識交匯的題目一般是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應(yīng)用問題聯(lián)系的綜合題，還

可能涉及部分考察證明的推理題C

三.【要點精講】

1.數(shù)列的概念

(1)數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；

數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的項。記作a在數(shù)列第一個位置的項叫第1項(或首項),

n

在第二個位置的叫第2項.....序號為〃的項叫第”項(也叫通項)記作.;

tl

數(shù)列的一般形式■.a,a,a.....a.....簡記作｛a｝。

123nn

(2)通項公式的定義：如果數(shù)列｝的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那

n

么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式C

例如，數(shù)列①的通項公式是a=n(n<7,neN),數(shù)列②的通項公式是a=1

n

(〃eNX

+

說明：①9｝表示數(shù)列，a表示數(shù)列中的第〃項，a=/(〃)表示數(shù)列的通項公式：②同

nnn

施口，a=(_1>=(T'"=2"T(Ae乃；

“[+L〃=2攵

翔睹隋通項公式.怫口，1,1.4,1.41,1.414,……

(3)數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：

序號：123456

項：456789

上面每一項序號與這一項的對應(yīng)關(guān)系可看成是一個序號集合到另一個數(shù)集的映射。從函

數(shù)觀點看，數(shù)列實質(zhì)上是定義域為正整數(shù)集N(或它的有限子集)的函數(shù)/(〃)當(dāng)自變量〃從

+

1開始依次取值時對應(yīng)的一系列函數(shù)值/⑴"(2)"(3),……，/(〃)............通常用。來代替

n

/G),其圖象是一群孤立點。

(4)數(shù)列分類：①按數(shù)列項數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；②按數(shù)列項與

項之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列(遞增數(shù)列、遞減數(shù)列)、常數(shù)列和擺動數(shù)列c

(5)遞推公式定義：如果已知數(shù)列七)的第1項(或前幾項)，且任一項a與它的前一

nn

項a(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個

〃一1

數(shù)列的遞推公式。

2.等差數(shù)列

(1)等差數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于

同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母a

表示。用遞推公式表ZF為〃-a=d(〃22)或a-a=>1)o

nn-ln+ln

(2)/^1」的通項公式：a=a+(n-l)J；

n1

說明：等差數(shù)列(通?？煞Q為AP數(shù)列)的單調(diào)性：”〉0為遞增數(shù)列，d=0為常數(shù)列，

d<0為遞減數(shù)列。

(3)等差中項的概念：

定義：如果a,4,成等差數(shù)列，那么A叫做。與〃的等差中項。其中厶=土也

2

a,A,。成等差數(shù)列oA=空^。

2

(4)等差數(shù)列的前和的求和公式：S"+吧3d。

"212

四.【典例解析】

題型L數(shù)列概念

(2009安徽卷文)已知(樂)為等差數(shù)列，四+&+劭=105,%+04+右=99,則生n等于

A.-1B.1C.3D.7

【解析】Va+a+a=105即3a=105,a=35同理可得a=33公差d=a-a=-2

13533443

a=a+(20—4)xd=1.選B。

204

【答案】B

2.根據(jù)數(shù)列前4項，寫出它的通項公式：

(1)1,3,5,7

(2)22-132-142-152-1.

2'3'4'5'

(3)一丄丄「丄_Lo

1*2'2*33*4'4*5

解析：(1)a=2n-l；(2)a=(〃+l"T；(3)a=上曳。

n?〃+ln〃(及+1)

點評：每一項序號與這一項的對應(yīng)關(guān)系可看成是一個序號到另一個數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系，這

對考生的歸納推理能力有較高的要求。

例2.數(shù)列Q｝中,已知),

〃〃3+

(1)寫出a,a,a；(2)79”是否是數(shù)列中的項？若是，是第幾項？

10”+1?23

解析：(1)Ya=〃2+"l(“eN),102+10-1109

a=--------------=-----

?3+?o33

G+l)2+G+0-1?2+3n+lvz2Z+n2-l出+〃2-1

a=-------------------------=--------------,a=------------------=--------------

n+]33〃233

(2)令79三「""I,解方程得〃=15,或〃=-16,

33

7

〃=15,即79—為該數(shù)列的第15項。

+3

(2)求粒子從原點運動到點P(16,44)時所需的時間;

(3)粒子從原點開始運動，求經(jīng)過2004秒后，它所處的坐標(biāo)。

解析：(1)由圖形可設(shè)A(1,0),A(2,0),厶，A(〃,())，當(dāng)粒子從原點到達(dá)4時，明顯有

12nn

a=3,a+1,

?21

a=。+12=a+3x4,Q=Q+1,

3I143

a=a+20=a+5x4,4=Q+1,

53365

a-a+(2〃-1)x4,a=a+1,

2n-\2”-32n2n-i

a=a+4[3+5+厶+(2〃-1)]=4〃2—1,

2n-lI

a=a+1=47?2o

2n2n-\

b=a-2(2〃-1)=4〃2—4九+1,

2n-\2n-l

b-a+2x2〃=4/12+4〃。

2n2n

c-h+(2n-1)=4〃2—2n=(2九-1)2+(2n-l),

2n-\2n-]

c-a+2〃=4〃2+2〃=(2〃)2+(2〃)，

2n2n

艮卩C=〃2+〃°

n

(2)有圖形知，粒子從原點運動到點P(16,44)時所需的時間是到達(dá)點C所經(jīng)過得時間

44

c再加(44-16)=28秒，

44

所以1=442+44+28=2008秒。

(3)由c=〃2+〃<2004,解得1?幾41+避017,取最大得「二彳%

“2

經(jīng)計算，得c=1980<2004,從而粒子從原點開始運動，經(jīng)過1980秒后到達(dá)點C,再

4444

向左運行24秒所到達(dá)的點的坐標(biāo)為(20,44)o

點評：從起始項入手，逐步展開解題思維。由特殊到一般，探索出數(shù)列的遞推關(guān)系式，

這是解答數(shù)列問題一般方法，也是歷年高考命題的熱點所在。

例4.(1)已知數(shù)列。｝適合a=\,a=衛(wèi)一，寫出前五項并寫出其通項公式；

“?"+i。+2

n

(2)用上面的數(shù)列｛a｝，通過等式=a-a構(gòu)造新數(shù)列%｝，寫出b,并寫出M｝的

nnnn+\nnn

前5項°

解22222

i23344556〃”+1

222

(2)6=____：______

nn+\n+2(及+1)(〃+2)

,1,1,1,1,1

b=一,b=—，b=一,b=一,b=

1326310415521

點評：會根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式，了解遞推公式是給出數(shù)列的又一

種重要方法，能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項。

題型3：數(shù)列的應(yīng)用

例5.湖南省2008屆十二校聯(lián)考第一次考試

如果一個數(shù)列的各項都是實數(shù)，且從第二項開始，每一項與它前一項的平方差是相同的常

數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫這個數(shù)列的公方差.

(1)設(shè)數(shù)列｛a｝是公方差為p的等方差數(shù)列，求a和a(〃22,〃GN)的關(guān)系式；

Mnn-1

(2)若數(shù)列｛a｝既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，證明該數(shù)列為常數(shù)列；

n

⑶設(shè)數(shù)列｛a｝是首項為2,公方差為2的等方差數(shù)列，若將a,a,a,L,a這種順

n12310

序的排列作為某種密碼，求這種密碼的個數(shù).

(1)解：由等方差數(shù)列的定義可知：02-02=p(n>2,neN).......................5分

nn-1

⑵證法一：???｛。｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為d,則a=a—a=d

nn/i-ln+ln

又｛a｝是等方差數(shù)列，a2-a2=a2-ai...............................................................................7分

nnH-1w+1n

(a+a)(a-a)=(a+a)(a-a)

nn-1nn-\n+1n〃+ln

即+a-a-a)=-2d2=0,..................................................10分

nn-\n+1n

.?.d=0,即｛。｝是常數(shù)列................................11分

n

證法二：???｛〃｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為d,則a=d……①

nnrt-1

又伍｝是等方差數(shù)列，設(shè)公方差為p,則=p……②........7分

nnn-\

①代入②得，di+Ida一〃=。....③

n

同理有，d2+Ida-p=0........④

M-l

兩式相減得:即2d(a-a)=2厶=0,...................................................10分

nn-1

?即伍｝是常數(shù)列........................................分

??d=0,n11

證法三：(接證法二①、②)

由①、②得出：若1=0,則僅｝是常數(shù)列..............8分

n

若d—0,則a=￡+_L是常數(shù)，."=0,矛盾........10分

"22d

｛｝是常數(shù)列...............分

???4n11

(3)依題意，02-02=2(n>2,ne7V),

nn-\

〃2=4,=4+2(〃-1)=2n+2

1n

a=[2n+2，或a=-+2,.........................................13分

即該密碼的第一個數(shù)確定的方法數(shù)是1,其余每個數(shù)都有“正”或“負(fù)”兩種

確定方法，當(dāng)每個數(shù)確定下來時，密碼就確定了，即確定密碼的方法數(shù)是29=512種,

故，這種密碼共512種.........................................16分

點評：解決此類問題的思路是先將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型來處理。

例6.在某報《自測健康狀況》的報道中，自測血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表

觀察表中數(shù)據(jù)的特點，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白()內(nèi)石

年齡〈歲)303S404SS0G5的必

收解壓(水梗柱毫米)110115120125130135（一）145

舒窕壓(7%帳柱老米)7D737S788083＜一)88

答案：14085

解析：從題目所給數(shù)據(jù)規(guī)律可以看到：收縮壓是等差數(shù)列.舒張壓的數(shù)據(jù)變化也很有規(guī)律：

隨著年齡的變化，舒張壓分別增加了3毫米、2毫米，…照此規(guī)律，60歲時的收縮壓和舒張

壓分別為140；85.

點評：本題以實際問題為背景，考查了如何把實際生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.

它不需要技能、技巧及繁雜的計算，需要有一定的數(shù)學(xué)意識，有效地把數(shù)學(xué)過程實施為數(shù)學(xué)

思維活動。

題型4：等差數(shù)列的概念

例7.設(shè)S"是數(shù)列｛4｝的前。項和，且S,="2,則｛4｝是()

A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列

C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列

答案：B；

初、+P(〃=DP("=D

解法一：a=s1=>?=5

nS—S(n>2)“2n-l(n>2)

nn-1

：.a=2n-l(nGN)

又4+】一%=2為常數(shù)，屋=豊1二常數(shù)

n+1na2n-l

，｛4｝是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列.

解法二：如果一個數(shù)列的和是一個沒有常數(shù)項的關(guān)于n的二次函數(shù)，則這個數(shù)列一定是

等差數(shù)列。

點評：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和基本知識，以及靈活運用遞推式

—s〃]的推理能力.但不要忽略外,解法一緊扣定義，解法二較為靈活。

例8.設(shè)數(shù)列｛〃｝、g｝、｛c｝滿足：b=a—a，c=a+2a+3〃(,

nnnnnn+2nnn+\n+2

證明：｛4｝為等差數(shù)列的充分必要條件是｛c｝為等差數(shù)列且b46(n=l,2,3,...)

nnnn+1

證明：1。必要性：設(shè)數(shù)列｛a｝是公差為d的等差數(shù)列，則：

n]

b一。=(a-a)-((7-a)=(a—a)-(a-a)=J-d=0,

n+ln〃+l/i+3nn+2n+1nn+3n+211

?1-b<b(n=l,2,3,...)成立；

nM+1

又c-c=(a-a)+2(a-a)+3(〃-a)=6d(常數(shù))(n=l/2,3/...)

n+lnn+1nn+2〃+1〃+3n+21

,數(shù)列｛c｝為等差數(shù)列。

n

2。充分性:設(shè)數(shù)列｛c｝是公差為d的等差數(shù)列，且3<b(n=l,2,3,...),

n2nn+1

c=a+2a+3a……①二c=a+2a+3a......②

nnn+1n+2n+2n+2n+3〃+4

①-②得：

c-c—(a—a)+2(〃-ci)+3(〃-ci)=b+2b+3b

nn+2nn+2n+\n+3n+2〃+4nn+In+2

*'c-c=(cc)+(c-c)=-2d

nn+2n〃+1n+1n+22

?1-b+2b+3b=-2d……③從而有b+2b+3b=-2d……④

nn+1n+22n+1n+2n+32

④一③得：S-b)+20-b)+3(6-b)=0......⑤

〃+lnn+2n+1n+3n+2

?(b-Z?)>0,b-b>0,b—b>0,

n+1nn+2n+1n+3n+2

由⑤得：b-b=0(r)=l,2,3,??.)，

w+ln

由此，不妨設(shè)b=d(“=1,23.?.)，則a-a=d(常數(shù))

n3nn+23

故c=a+2。+3。=4。+2。-3d......⑥

nnM+1n+2n/:+13-

從《而c—4。+2a—3d=4。+2a—5d.....

n+1n+\n+23H+1n3

⑦一⑥得：c—c=2(〃—a)-2d，

n+ln〃+ln3

故Q-a=—(c-c)+d=Ld+d(常數(shù))(〃=1,2,3,…)，

n+ln2〃+1n323

二數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列。

n

綜上所述：｛a｝為等差數(shù)列的充分必要條件是｛c｝為等差數(shù)列且b<b("=1,2,3,...)。

nnnn+1

證法二：

a

令A(yù)n=n+ra/由一令b.知a-a/Wan+j

aa

從而a.rn^n+3-a.2,即An》An+2(n=l,2,3,…)

由c=a+2ai+3ac.=4a1+2a--3a。得

nnn+1n+2,n+1n+1n+2n+3

CCaaaa+3aa

n+rn=(n+l"nJn+2-n+l)(n+3-n+2)?即

A+2A+3A=d

nn+1n+22-⑥

由此得

A+2A+3A=d,.⑦

n+2n+3n+22

⑥-⑦得

(A-A,)+2(A-A,)+3(A-AJ=0⑧

nn+2n+1n+3n+2n+4?

因為A-A,20,A-AA-A，20,

i/"nn+2n+1n+3n+2n+4'

所以由⑧得An-An+2=0(n=l,2,3,…)。

于是由⑥得

4A+2A=A+2A+3A=d,⑨

nn+1n+1n+2n+22

從而

2A+4A=4A+2A_=d⑩

nn+1n+1n+22

由⑨和⑩得4An+2An+1=2An+4An+1,故An+1=A.,即

aa

an+2-n+i=n+ra「(n=l,2,3,…)，

所以數(shù)列｛aj是等差數(shù)列。

點評：該題考察判斷等差數(shù)列的方法，我們要講平時積累的方法巧妙應(yīng)用，有些結(jié)論可

以起到事半功倍的效舄

題型5：等差數(shù)列通項公式

例9.(2009天津卷文)已知等差數(shù)列伍｝的公差d不為0,設(shè)S=a+aq+\+aq，，-\

nn12n

T=a-a夕+A+(—l)，i〃qn-i,q工0,nsN”

(I)若q=l,a=1,S=15，求數(shù)列伍｝的通項公式；

13n

(H)若。=",且5,5,S成等比數(shù)列，求q的值。

I123

(III)若"±L證明(1一4)S-(1+4)7JdqQ-qW/GN*

2〃2nX—q2

(1)解：由題設(shè)，s=a+(a+d)q+(a+2d)q2,將q=I,。=1,S=15

3I1I13

代入解得d=4,所以。=4〃-3〃eN*

n

(2)解：當(dāng)a=d,S=d,S=d+2dq,S=d+2dq+3dq2,6S,S,S成等比數(shù)列，所以S2=5S,

1123I23213

即(d+2歯)2=d(d+2dq+3dq2),注意到dwO,整理得夕二一2

(3)證明：由題設(shè)，可得。=cjn-i,則

n

S=a+aq+aq2+Aaq2n-\①

2nI23In

T=a-aq+aq?-A-aq2?-i②

2nI232n

①-②得，

S-T=2(a4+a夕3+A+aq2n-1)

In2n242n

①+②得，

S+T=2(a4+a92+A+a(72^-2)③

2n2n132n-l

③式兩邊同乘以q,得夕(S+T)=2(a4+a夕2+A+aq2,1-2)

2nIn132〃-1

所以(l-q)S-(1+q)T=2d(q+q3+A+g2"-i)=

2〃2nl-q2

(3)證明：c-c=(a-a)/?+(〃-a)/7+(〃-a)b

12勺《I勺42k”lnn

=(k-I)db+(2-I)dh+A+(k-I)dbqi

11122Inn1

因為d0,bwO,所以

I

c-c

-i----2.=(k-/)+(&-/)g+A+(k-/)q，i

db1122n

1

若kW/,取i=n,

nn

若k=/，取i滿足kw/,且2=/,z+1<y<H

nniijj

由(1)(2)及題設(shè)知，1<i。,且

——S.=(k-/)+(左-/)q+A+(&-Z)(7M-1

dbII22nn

1

①當(dāng)k</時，k-I<-1,由k-/<q-l,i=1,2A-1

iiiiii

即左-/<q-\,(k-I)q<(k-I)qi-2<q｛q-l)?-2

1122r-1i-1

c—c1—qi-\

所以-D+g-4-((7-l)qi-2-qi-\=((7-l)--------qn=-l

db^\-q

因此c-cw0

12

②當(dāng)k>/時，同理可得鼠二%./—1,因此c-c*0

iidb12

1

綜上，cwc

12

【考點定位】本小題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列通項公式與前％項和等基本知識，考查運

算能力和推理論證能力和綜合分析解決問題的能力C

例10.已知等比數(shù)列*｝的各項為不等于1的正數(shù)，數(shù)列｛)，｝滿足ylog

nnnxn

設(shè)y=18,y=12o

36

(1)求數(shù)列｛y｝的前多少項和最大，最大值為多少？

n

(2)試判斷是否存在自然數(shù)M,使當(dāng)〃〉M時，x>1恒成立？若存在，求出相應(yīng)的M,若

n

不存在，請說明理由；

(3)令a=logx(〃〉13,〃eN),試判斷數(shù)列｛a｝的增減性?

nxnn+1n

解：(1)由已知得：y=2logx

nan

設(shè)等比數(shù)列｛x“｝的公比為q(q,1)

Y

由y-y=2(logx-logx)=2logtz=2logq得｛y｝為等差數(shù)列，設(shè)公差為d

n+1nan+\an九an

*.*y-18,y-12,：?d=-2；/.y=y+(〃-3)d=24-2〃

36n3

y<0

設(shè)前上項為最大，則《Al-^ll<k<12y=0

y>0%

、k

.?.前11項和前12項和為最大，其和為132

(2)X“=al2-",〃GN*;若X.>1,則?12-n>1

當(dāng)a>l時，〃V12,顯然不成立；當(dāng)0<a<l時，ft>12

存在M=12,13,14,—,當(dāng)〃〉M時，x>1

n

i.n_11

(3)。=logX=log12-nQ12-S+1)=---------------

"\〃+ian-12

..72—10/?—11—1

?a—a=-----------------=---------------------<0

w+,〃n-11H-12(n-1l)(n-12)

?〃>13時數(shù)列｛a,為遞減數(shù)列

點評：該題通過求通項公式，最終通過通項公式解釋復(fù)雜的不等問題，屬于綜合性的題

目，解題過程中注意觀察規(guī)律.

題型6：等差數(shù)列的前n項和公式

例11.（1）若一個等差數(shù)列前3項的和為34,最后3項的和為146,且所有項的和為390,

則這個數(shù)列有（）

A.13項B.12項C.11項D.10項

（2）設(shè)數(shù)列｛%｝是遞增等差數(shù)列，前三項的和為12,前三項的積為48,則它的首項是

（）

A.lB,2C.4D.6

q1q

（3））設(shè)是等差數(shù)列｛an｝的前八項和，若'=?!>,則'=（）

nn535

612

A.—B.1C.1D.1

10389

解析：（1）答案：A

設(shè)這個數(shù)列有n項

S=3a+___d

3123(?+d)=34

1

<S=S—S=3a+3nd—6d3a+3d(〃-2)=146

3nn-31?

〃（〃一1）.〃(〃-l)d

Sp=an+dan+------------=390

nI2i2

.*.n=13

(2)答案：B

S

前三項和為12,/./.a2=-j.=4

&??。3=48,Va2=4,/.a1?a3=12,ax+a3=8,

把g,03作為方程的兩根且外<。3，

，

.?.X2—8x+12=0,X]=6,X2=2,?.a1=2,a3=6,.,.選B.

(3)答案為A；

點評：本題考查了數(shù)列等差數(shù)列的前n項和公式的運用和考生分析問題、解決問題的能

力C

例12.(1)設(shè)｛an｝為等差數(shù)列，S.為數(shù)列｛3｝的前。項和，已知57=7,15=75,7

S

為數(shù)列｛一｝的前n項和，求7；。

n

(2)已知數(shù)列｛"｝是等差數(shù)列，4=1,4+與+…+b]°=ioo.

(1)求數(shù)列｛》｝的通項"；

(II)設(shè)數(shù)列｛4｝的通項an=\g(1+—),記S。是數(shù)列｛%｝的前n項和，試比較5n

n

與glgb.]的大小，并證明你的結(jié)論。

解析：(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,則

5=na,+Ln(n-1)d.：.S=7,S,=75,

n1Q715

7a+21d=7,\a+3d=l,

：.<i即《】

15a+1056?=75,a+7d=5,

51i

解得d=-2,d=l.A——a+—(n—1)d=-2+—(n—1)

1n12120

??SS_1

?--n-=一,

〃+1n2

Si

???數(shù)列｛一｝是等差數(shù)列，其首項為-2,公差為：，

n2

19

=—ni——n.

44

b=1,

(2)(I)設(shè)數(shù)列｛2｝的公差為d,由題意得<Wb+10(10-1)t/=100.

I'2

解得工\b[=2\,?,?2=2。T.

Cl—乙.

(II)由b=2n~l,知

S=lg(1+1)+\g(1+—)+…+lg(1+―—)

n2〃一1

=\gL(l+1)(1+1)…(1+1

)],

21

^gbn+=\gyj2n+l.

因此要比較"與Jgbn+i的大小，可先比較(1+1)(1+1)…(1+五」)與J2〃+1的

大小.

取n=l,有(1+1)>J2J+1,

取n=2,有(1+1)(1+；)>J2?2+1,.......

由此推測(1+1)(1+：)…(1+」~k)>+1.①

32n-l

若①式成立，則由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定：S>hgbn+1.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式。

(i)當(dāng)n=l時已驗證①式成立。

(ii)假設(shè)當(dāng)n=k(kNl)時，①式成立，即(1+1)(1+1)???(1+—!—)>12k+1.

32k—1

那么，當(dāng)/?=女+1時，(1+1)(1+1)…(1+—1—)[1+——1——]>42k+1

32k-12(K+1)-1

1J2FTT

?(1+--------)='----------(2k+2)。

2k+12k+l

?；r(2k+2”2-2

2k+1

_4左2+8左+4—(4攵2+8攵+3)_1

2k+\-2T+T

...v2&+1曜女+2)>721^3=J2(_+l)+l..

2k=1

因而(1+1)(1+；)A(1+元二)(1+五二)>F*+1)+1.

D乙K1乙K-r1

這就是說①式當(dāng)n=k+l時也成立.

由(i),(ii)知①式對任何正整數(shù)"都成立.

由此證得：Sn>l|gbn+1o

評述：本題主要考查等差數(shù)列的求和公式的求解和應(yīng)用，對一些綜合性的問題要先理清

思路再行求解。

題型7：等差數(shù)列的性質(zhì)及變形公式

例13.(1)設(shè)｛%｝(nGN*)是等差數(shù)列，S”是其前n項的和,且S5Vs6,S6=S7>S8>

則下列結(jié)論續(xù)誤的是()

A.d<0B.a7=0

C.Sq>S.D.Sfi與s7均為sn的最大值

(2)等差數(shù)列｛%｝的前m項和為30,前2m項和為100,則它的前3m項和為()

A.130B.170C.210D.260

解析：(1)答案：C；

由5[<5二得。]+生+凡+…+4<d+d+…??.4>(),

□O1Z331Z□OO

>

又S=S_,.\a1+a_+>-+a=an+a_+--?+0.+0,,a=0,

由$7>Sa，得4<0,而C選項Sq>Sg,即a6+a7+aa+aq>on2(a+a)>0,

/ooy□o/oy/o7R

由題設(shè)。7=0,%<o,顯然c選項是錯誤的。

(2)答案：C

m(m—1),cc

ma+d=30

i2

解法一:由題意得方程組

2ma+2-(2"—l)d=I。。

2

視m為己知數(shù)，解得d=-,a=1°(加+2),

m2?m2

°c3ma(3/n-l),n10(m+2)3nz(3m-l)40_

S=3ma+____12________-d=3m-____-+_________1=210

一0

3，"?2m22m2

解法二：設(shè)前m項的和為與，第m+1到2m項之和為瑪，第2m+l到3m項之和為b3,

則與，b2,%也成等差數(shù)列。

于是4=30,b2=100-30=70,公差4=70-30=40。

b3=b2+d=70+40=110

.?.前3m項之和S=b.+b+b=210.

3m1273

—

解法三：取m=l,貝Ua1=S1=30,a2=S251=70,從而d=a2—a1=40o

于是a3=a2+d=70+40=110.10。

點評：本題考查等差數(shù)列的基本知識，及靈活運用等差數(shù)列解決問題的能力，解法二中

是利用構(gòu)造新數(shù)列研究問題，等比數(shù)列也有類似性質(zhì).解法三中，從題給選擇支獲得的信息可

知，對任意變化的自然數(shù)m,題給數(shù)列前3m項的和是與m無關(guān)的不變量，在含有某種變化

過程的數(shù)學(xué)問題，利用不變量的思想求解，立竿見影。

p

例14.在XOY平面上有一點列P](4，%),P2(a2，n(%，與)，…，對每

個自然數(shù)。，點P。位于函數(shù)y=2000(Qx(0VaV10=的圖象上，且點P.、點(c,0)與

點(n+1,0)構(gòu)成一個以匕為頂點的等腰三角形。

(I)求點P”的縱坐標(biāo)與的表達(dá)式；

(H)若對每個自然數(shù)"，以2,b.I，42為邊長能構(gòu)成一個三角形，求a的取值范圍；

(III)(理)設(shè)8.=%,b?…與(〃GN).若a取(H)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，求數(shù)

列｛BJ的最大項的項玲

(文)設(shè)t=lg(與)(cCN).若。取(II)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列｛cj

前多少項的和最大?試說明理由。

解析：.解：(I)由題意，a=n+-,：.b=2000(二)n+to

n2n10

(II),函數(shù)y=2000(.)x(0<a<10)遞減，

對每個自然數(shù)n,有2

則以幺，纟J與2為邊長能構(gòu)成一個三角形的充要條件是",+b,>b，

即(--)2+(——―1)>0,

1010

解得aV—5(1+-J5)或。>5(-J5—1),

.*.5(V5-1)<a<10.