2023年高考數(shù)學(xué)客觀題九 不等式

專題九不等式

【考試內(nèi)容】均值不等式;一元二次不等式的解法;二元一次不

等式組;簡單線性規(guī)劃問題

【近7年全國卷考點(diǎn)統(tǒng)計(jì)】

試卷類型2016201720182019202020212022

全國卷（甲液一555510

全國卷（乙卷）555510

新高考全國I著~

新高考全國∏K5

重要考點(diǎn)回顧

一、均值不等式

I兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).■

I若〃力＞o,貝H≥師當(dāng)且僅當(dāng)Q二耐取等號(hào))

基本變形:①a+b≥2y[ab(a≥0,b≥0);(^+^)2≥ab?

②若a,b∈R,貝IJQ2ψ?2≥2ab,≥(史史『

22

基本應(yīng)用:求函數(shù)最值:注意:①一正二定三取等;②積定和小,

和定積大.

I當(dāng)αθ=p（常數(shù)）,當(dāng)且僅當(dāng)α=耐,α+b最小值為21;

V2

當(dāng)"+b=S（常數(shù)）,當(dāng)且僅當(dāng)〃=。時(shí),〃?。最大值為—；

二、常用的基本不等式

1.設(shè)0∕∈R,則α2≥0,（"∕）2≥0（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）

2.∣Q∣≥Q（當(dāng)且僅當(dāng)Q≥0時(shí)取等號(hào)）;⑷≥-Q（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)模r(shí)取等號(hào)）

C77Cll

3.a>b,ab>O=-<—;

ab

注意:(1)特值法是判斷不等式命題是否成立的一種方法,此法

尤其適用于不成立的命題.

］(2)另外需要特別注意：

①若仍>0,則L時(shí),有Q<k即不等式兩邊同號(hào)時(shí),不等式兩邊

ab

取倒數(shù),不等號(hào)方向要改變.

I②如果對(duì)不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)代數(shù)式,要注意它的正負(fù)號(hào),

如果正負(fù)號(hào)未定,要注意分類討論.

I③圖象法:利用有關(guān)函數(shù)的圖象(指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次］

函數(shù)、三角函數(shù)的圖象),直接比較大小

I④中介值法:先把要比較的代數(shù)式與“0”或“1”比,然后再］

比較它們的大小.

三、不等式的解法

[1._元_次不等式

bb

(I)QX>6(α≠0):①若〃>0,貝卜>一;(1)若〃<0,貝k<一;

aa

11b11b

(2)QX<6(α≠0):①若α>0,貝卜<一;(1)若〃<0,貝卜";

I2.一元二次不等式:一元二次全等式二次項(xiàng)系.小于零的,同

解變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零；

[注:要對(duì)/進(jìn)行討論

3.絕對(duì)值不等式:若〃>0,貝fJ∣x∣<α=-α<x<α;IXl>〃=;%<-〃或x>α

4.二次不等式與二次函數(shù)及二次方程的關(guān)系(Q>0):

二次函數(shù)二次方程二次不等式二次不等式

判別式

y-axλ+bx+cax2-?-bx+c=Qax2+bx+c>0ax2+bx+c<Q

A=b2-4ac

的圖象的根的解集的解集

有兩相異實(shí)I{x∣x<jη或B

IJ>OI{x?xi<x<x2}

%?X1,X2(%1<X2)Ix>x2}

有兩相等］

I{x∈R∣I

實(shí)根

IJ=0IbI,bI

~~0一丁XW------λ}

_X_I_=_X_2__=__2a______2a

沒有實(shí)根IR.

IJ<OI]

考點(diǎn)訓(xùn)練

1.設(shè)〃力∈R,若小⑸>0,則下列不等式中正確的是（

A.?-β>0B.6Z3+Z73<O

C.?+β>0D.a2-b2<0

【答案】C

【解析】特殊值法,取〃=2力=-1,

經(jīng)驗(yàn)證,只有C成立.故選C.

2.設(shè)〃泌>l,c<O,給出下列三個(gè)結(jié)論：

①②屋<死③IOgb(Q-C)>lθgj∕2-c),

VvJLz

其中所有的正確結(jié)論的序號(hào)是()

A.①■B,①②■C.②③HD,①②③

【答案】D

【解析】特殊值法,取〃=3,b=2,c=.l,

經(jīng)驗(yàn)證①②③均成立.故選D.

3.不等式上1<。的解集是()

?I乙

A.(l,+∞)B.(-∞,-2)

C.(-2,l)D.(-∞,-2)U(l,+∞)

【答案】C

【解析】原不等式等價(jià)于(X-I)0+2)<0,解得-2<X<L故選C.

4.不等式P5x+6或的解集為.

【答案】[2,3]

【解析】原不等式等價(jià)于0-2)(*3)式),解得2≤x≤3,

故解集為[2,3].

5.不等式IX-Il<1的解集是

【答案】(0,2)

【解析】由-l<x-l<l,解得0<x<2,

故解集為(0,2).

6.設(shè)函數(shù)—)C+6%≥°，則不等式外χ)MD的解集是()

[XIOjXVUJ

A.(-3,l)U(3,+∞)B.(-3,l)U(2,+∞)

C.(-l,l)U(3,+∞)D.(-∞,-3)U(l,3)

【答案】A

【解析】因?yàn)?∏)=l-4+6=3,

所以不等式/U)/1)的解集就是共幻〉3的解集.

%2—4%+6>3,成X+6>3,

于是有或[

X<Of

X≥Of

解得0Sx<1或x>3或-3<x<0,

即不等式AX)/1)的解集是(-3,1)U(3,+∞),故選A.

7.定義在R上的運(yùn)算。：。。匕二必+2〃+。,則滿足工。(/2)<0的實(shí)數(shù)工

的取值范圍為()

A.(0,2)B.(-2,l)

C.(-∞<2)U(l,+∞)D.(-l,2)

【答案】B

【解析】由題意可得X。(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=√+x-2,

由N+x-2<0得-2<x<l.故選B.

2

派8.設(shè)演*￡匠；若/2丁+32=0,則匕的最小值為.

OCZ

【答案】3

【解析】由得

x-2y+3z=0y=]乙(x+3z),

于是有"二太+3z)2J.?+6%z+9z2/(g+經(jīng)+6),

,

xzxz4Xz4?zX/

因?yàn)槿?z∈R*,由均值定理得、是2畢二6,

Z久y∣ZX

所以有二≥=X(6+6)=3,當(dāng)且僅當(dāng)匚為寸取等號(hào),即燈的最小值為3.

XZ4zXXZ

[1

※鄉(xiāng).設(shè)ZyWR,Q＞1力＞1,若出=〃=3,〃+/?=2，5,則凌+三的最大值是（）

?y

Q-1

A.2B.∣C.lDw

【答案】C

【解析】由。＞1力＞1,且謨=Oy=3得尤=IOga3,y=logA

?1

≠＞?-=logtz-=logZ?,

?3J3

當(dāng)且僅當(dāng)〃=。時(shí),上式等號(hào)成立,此時(shí)工+：取最大值L故選C?

Xy

10.若正數(shù)x,y滿足x+3y=5職則3x+4y的最小值是（）

故選C.

n.下列不等式恒成立的是()

A.+b2<2abB.β2+b2>-2ab

22

C.a+b>2yJIab?D.a+b<-2ab

【答案】B

【解析】顯然當(dāng)。<0力>0時(shí),不等式〃+爐口仍不成立,故A錯(cuò)誤;

V(β+?)2≥0,/.β2+?2+2β?≥0,。2+乒之_2〃。,故B正確；

顯然當(dāng)α<O,A<O時(shí),不等式q+6N2jjZF［不成立,故C錯(cuò)誤；

顯然當(dāng)α>O,b>O時(shí),不等式〃2+6292〃。不成立,故D錯(cuò)誤.

故選B.

12.若實(shí)數(shù)〃力滿足〃泌>0,則下列不等式中恒成立的是（）

A.a+b>2j^B.a-^-b<2y∕~ab

C.∣+2?>2√^?D.→2?<2√^?

乙

【答案】A

【解析】因?yàn)椤?gt;0,所以〃十招2而,當(dāng)且僅當(dāng)〃二耐取等號(hào).■

又α>6>0,所以〃+b>2√^,故A正確,B錯(cuò)誤；

→2b>2惇豆為信,當(dāng)且僅當(dāng)+24即〃=4。時(shí)取等號(hào),故CD錯(cuò)誤.

故選A.

13.下列函數(shù)中最小值為4的是()

.4

A.)=N+2χ+4B.y=∣sinx∣+j-

4

C,y=2x+22~xD.y=ln%+—

【答案】C

【解析】對(duì)于A,因?y=x2+2x+4=(x+l)2+3>3,

所以函數(shù)的最小值為3.故A錯(cuò)誤；...

4I4―

對(duì)于B,因?yàn)镺<∣sinx區(qū)1,所以y=∣sinx∣+南荷≥2JlSin%∣?鬲京=4,

當(dāng)且僅當(dāng)ISinXI=篇亓即ISin川二2時(shí)取等號(hào).

4

因?yàn)镮Sin本1,所以等號(hào)取不到,所以產(chǎn)ISinX1+扁U4.故B錯(cuò)誤;

I?1?l?I

【解析】對(duì)于C,因?yàn)?%>0,所以戶2'+22-%=2%+念2M.盤=4,

當(dāng)且僅當(dāng)2%=2,即X=I時(shí)取等號(hào).

所以函數(shù)的最小值為4.故C正確；

114

對(duì)于D,因?yàn)楫?dāng)X=一時(shí),y=In-+格=-1-4=-5<4,

θee

所以函數(shù)的最小值不是4.故D錯(cuò)誤.

故選C.

14.已知兩兩不相等的XlJl,x2,J2,x3J3,同時(shí)滿足①?勺1，芍勺2，%3＜為；

②巧+力二勺+為二與+為；③XLyl+χ3y3=2χ2）?以下選項(xiàng)恒成立的是（）

A.2X2<?+?B.2X2>?+?

22

C.X2<X↑X3D.X2>X↑X3

【答案】A

【解析1設(shè)/+y1=X2+為=%+為=2根,

x=m—a,X-Tfi-b,(x?3=τn—c

則有12f

y1=m+a,y2=τn+b,=m+cf

根據(jù)題意,應(yīng)該有，":"J，'且//+/-M=2⑺2-按)>0

Va,bfc>0,

則有49j9，則M+占-212=()+(租-C)-2(吵力=26-(。+。).

mz>b乙,

因?yàn)?2力2_(〃+0)2=2(〃2+G2Am+c)2>0,所以冗1+冗3-2冗2=2~-(〃+0)>0.

故A正確,B錯(cuò)誤；

而上面已證26-Q-C>0,

因?yàn)椴恢佬〉恼?fù),所以該式子的正負(fù)無法恒定.

故選A.

15.(多選題)已矢口〃>0力>0,且α+b=l,貝IJ)

1ab1

A?Q2+∕72>±B.2->-

-22

C.log2β+log2?≥-2D.√α+√F≤V2

【答案】ABD

［解析］對(duì)于A,已矢口。力>0,且1,所yZ(β+?)2<2β2+2?2,

則〃2+抉之:故A正確；

對(duì)于B,利用分析法:要證只需證明〃力>-1即可,即。

由于4>0,0>0,且所LUtz>0,-1<0-1<0,故B正確；

2

【解析】對(duì)于CJOg2〃+log26=log2Q6Slog2(W9=2故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,由于〃>0/>0,且〃+/?=1.

利用分析法:要證√^+√Fs√Σ成立，

只需對(duì)關(guān)系式進(jìn)行