函數(shù)的單調(diào)性與最值-2021年高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)

數(shù)的單調(diào)性與最值

基礎(chǔ)知識(shí)要夯實(shí)

1.函數(shù)的單調(diào)性

（1）單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)/（X）的定義域?yàn)?,如果對(duì)于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間。上的任意兩

個(gè)自變量的值處，X2

當(dāng)時(shí)，都有

定義X1<X2

當(dāng)X1<X2時(shí)，都有八XI）勺（X2）,那么就說(shuō)函數(shù)式X）在區(qū)間。八處）次X2）,那么就

上是增函數(shù)說(shuō)函數(shù)八X）在區(qū)間

。上是減函數(shù)

圖象描述

自左向右看圖象

自左向右看圖象是上升的

是下降的

⑵單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=/（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=/G）在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）

單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=/U）的單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)的最值

前

設(shè)函數(shù)/（*）的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足

提

條對(duì)于任意xG/,都有人x）WM；對(duì)于任意xd/,都有人x）》M；

件

存在xoG/,使得式xo）=M存在xoG/,使得1/Uo）=M

結(jié)

M為最大值拉為最小值

論

基本技能要落實(shí)

一、判斷題（對(duì)的打“J”，錯(cuò)的打“X”）

⑴函數(shù)yM"1■的單調(diào)遞減區(qū)間是（一8,0）U（0,+8）.（）

x

⑵函數(shù)y=/（x）在口，+8）上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是口，+8）.（）

⑶如果一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個(gè)子區(qū)間上都是增函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)在定義域上是增函數(shù).（）

（4）所有的單調(diào)函數(shù)都有最值.（）

【答案】⑴X⑵X（3）義（4）X

二'選填題

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,1）上是增函數(shù)的是（）

A.j=|x|B.y=3~x

C.y=-D.y=—x2+4

x

【答案】A

【解析】y=3—x在R上遞減，y=’在（0,+8）上遞減，）=一爐+4在（0,+8）上遞減，故選

X

A.

2.若函數(shù)火幻=工2—2機(jī)x+1在［2,+8）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

【答案】（-8,2］

【解析】由題意知，［2,+8）,.??根W2.

3.函數(shù)一在［2,3］上的最小值為.

x-1

【答案】:

1在［2,3］上單調(diào)遞減，所以ymin=」一二!

【解析】因?yàn)閥=

x—13-12

1.設(shè)定義在上的函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=/(x)的增區(qū)間為

【答案】［—1,1］和［5,7］

【解析】由圖象可知函數(shù)的增區(qū)間為［—1,1］和［5,7］.

核心素養(yǎng)要做實(shí)

考點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間

1.(2019?石家莊一模)函數(shù)加:)=|X2—3X+2］的單調(diào)遞增區(qū)間是()

33

一,+8B.1,-和［2,4-oo)

22

3D.一二

C.，1］和―，2和［2,+°0)

2I2

【答案】B

x2-3%+2,x<1或%>2,

【解析】j=|x2—3x+2|=<

——3x+2),1<x<2

作出函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知，B項(xiàng)正確.

2.(2019?大慶模擬)函數(shù)加:)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(—8,—2)B.(-00,1)

C.(1,+8)D.(4,+8)

【答案】D

【解析】函數(shù)y=x2—2x—8=(x—1)2—9圖象的對(duì)稱軸為直線x=l,由好一2了一8>0,解得工>4或

XV—2,所以(4,+8)為函數(shù)y=%2—2x—8的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間.根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函

數(shù)八x)=ln(x2—21-8)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4,+8).

2Y"

3.若函數(shù)7=二一與y=Iog3(x—2)在(3,+8)上具有相同的單調(diào)性，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

x-2

【解析】由于y=log3(x-2)的定義域?yàn)镼,+8),且為增函數(shù)，故函數(shù)y=——-=-^~!----------

x-2x—2

4+々

=21---------在(3,+8)上也是增函數(shù)，則有4+?V0,得上V-4.

x-2

答案：(-8,—4)

4.判斷并證明函數(shù)/(*)=依2+工(其中在［1,2］上的單調(diào)性.

X

【解析】函數(shù)人工)=依2+J_(1<戰(zhàn)3)在［1,2］上單調(diào)遞增.

X

證明如下：設(shè)1<處V"242,

9191

則f(x2)~f(xi)=ax2+——axx——

x2X］

z、1一

=(X2—Xi)Q(再+犬2)------?

再九2

由1WXIVMW2,得必一1：1>0,2<工1+工2<4,

11

1<X1X2<4,-1<-------<——?

x{x24

又因?yàn)閘<a<3,所以2<〃(修+M)<12,

1

得a(xi+x2)>0

從而八X2）-?Xl）>0,即

故當(dāng)aG（l,3）時(shí)，/>）在［1,2］上單調(diào)遞增.

【思維升華】判斷函數(shù)的單調(diào)性和求單調(diào)區(qū)間的方法

定義法一般步驟為設(shè)元一作差一變形一判斷符號(hào)一得出結(jié)論

若/（X）是以圖象形式給出的，或者/（X）的圖象易作出，則可由圖象的上升或下降

圖象法

確定單調(diào)性

導(dǎo)數(shù)法先求導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

對(duì)于由基本初等函數(shù)的和、差構(gòu)成的函數(shù)，根據(jù)各基本初等函數(shù)的增減性及“增

性質(zhì)法

+增=增，增一減=增，減+減=減，減一增=減”進(jìn)行判斷

對(duì)于復(fù)合函數(shù)，先將函數(shù)/Ig（x）］分解成八。和f=g（x）,然后討論（判斷）這兩個(gè)函數(shù)

復(fù)合法

的單調(diào)性，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的規(guī)則進(jìn)行判斷

［提醒I求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求解.

考點(diǎn)二求函數(shù)的最值

N利用性質(zhì)求最值kr---

求函數(shù)

.的最值,

-（利用換元法求最值J

考法（一）利用性質(zhì)求最值

［例1］⑴函數(shù)_/U）=］g］Tog2（x+2）在區(qū)間［-1,1］上的最大值為

x2,x<l,

⑵已知函數(shù)yu）=\6則/（幻的最小值是________

xH------6,%>1

【答案】(1)3(2)276-6

【解析】⑴由于在R上單調(diào)遞減,

y=log2(x+2)在［-1,1］上單調(diào)遞增，

所以人x)在［-1,1］上單調(diào)遞減，

故人x)在［—1,1］上的最大值為直-1)=3.

(2)因?yàn)?=/在(-8,0)上單調(diào)遞減，在［0,+8)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)xWl時(shí)，/>)min=_A0)=0.

當(dāng)X>1時(shí)，J=x+—^2A/6,當(dāng)且僅當(dāng)》=布時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)Ax)min=2，^—6.

X

X2A/6—6<0,所以/(x)min=2#—6.

【思維升華】函數(shù)最值和單調(diào)性的關(guān)系

⑴若函數(shù)在閉區(qū)間［。，句上是減函數(shù)，則｛x)在［a,句上的最大值是/(a),最小值是八方).

⑵若函數(shù)在閉區(qū)間［a,句上是增函數(shù)，則犬x)在［a,切上的最大值是/(田，最小值是八a).

(3)求函數(shù)最值時(shí)一定要注意所給區(qū)間的開(kāi)閉，若是開(kāi)區(qū)間則不一定有最大(小)值.

考法(二)利用換元法求最值

［例2］函數(shù)/(x)=x-Jx+1的最小值為.

【答案】

4

【解析】令Jx+1=f(f20),則x=F—1,

所以y=F—f—i(f20).

又y=F—f—l(f20)的圖象是對(duì)稱軸為直線t=y,開(kāi)口向上的拋物線的一部分,

所樂(lè).=出-;-l=T

故函數(shù)的最小值為-2.

【思維升華】形如求y=疝互+(cx+J)(acWO)的函數(shù)的值域或最值，常用代數(shù)換元法、三角換

元法結(jié)合題目條件將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求解.

【遷移應(yīng)用】

1.若函數(shù)八%)="2+〃工+力在區(qū)間［0,1］上的最大值是M,最小值是機(jī)，則M—皿)

A.與a有關(guān),且與方有關(guān)B.與a有關(guān),但與b無(wú)關(guān)

C.與a無(wú)關(guān),且與方無(wú)關(guān)D.與〃無(wú)關(guān)，但與力有關(guān)

【答案】B

【解析】設(shè)xi,必分別是函數(shù)於)在［0,1］上的最小值點(diǎn)與最大值點(diǎn)，則機(jī)="+的+方，M=xi+ax2

十瓦

:.M—m=x5-x?+a(X2-xi),

顯然此值與〃有關(guān)，與方無(wú)關(guān).故選B.

2.函數(shù)y=x+，1-上的最大值為.

【答案】V2

【解析】由1一好20,可得一IWXWL

可令x=cos〃，夕￡［0,九］,

則j=cos夕+sin0=A/2sin^+―,夕￡［0,n］,

所以一故原函數(shù)的最大值為

a,a<b,

3.(2020?石家莊模擬)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,定義min{a,b}=<，設(shè)函數(shù)#x)=-x+3,g(x)

b,a>b.

=log2X,則函數(shù)力(x)=min伏x),g(x)}的最大值是

【答案】1

【解析】在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)/(x),g(x)圖象，依題意,

人(“)的圖象如圖中實(shí)線所示.易知點(diǎn)A(2,l)為圖象的最高點(diǎn)，

因此/i(x)的最大值為h(2)=l.

考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

考法(一)比較函數(shù)值的大小

［例1］已知函數(shù)/(X)的圖象向左平移1個(gè)單位后關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)X2>X1>1時(shí)，［/,(X2)-/：X1)］-(X2-

處)<0恒成立，設(shè)。=/—g,b=f(2),c=f(3),則a,b,c的大小關(guān)系為(

)

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.b>a>c

【答案】D

【解析】根據(jù)已知可得函數(shù)/U)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，且在(1,+8)上是減函數(shù)，因?yàn)椤?/

5

=f,JL2<—<3,所以8>〃>c.

2

考法(二)解函數(shù)不等式O

［例2］已知函數(shù)Z(x)=lnx+2X,若八*2-4)<2,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

【答案】(一小,—2)U(2,45)

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)八x)=lnx+2*在定義域上單調(diào)遞增，且/U)=lnl+2=2,

所以由人/一4)<2得八好一4)勺(1),

所以O(shè)vt2—4vi,解得一百<x<—2或2<x<A/5.

考法(三)求參數(shù)范圍O

(3a-l)x+4a,x<1,是定義在上的減函數(shù)，則的取值范圍為

［例3］若/(x)=<Ra

-ax.x>l

【答案】

［83；

3a—1<0,

【解析】由題意知，<(3a-1)x1+4<7>-a,

a>0.

1

CL<一,

3

a2」,所以“e11

解得《一,一

883

?！?,

【思維升華】

考法（一）是比較函數(shù)值的大小.解決此類問(wèn)題時(shí)，應(yīng)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)（如對(duì)稱性

等）將自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，利用單調(diào)性比較大小.

考法（二）是解函數(shù)不等式.求解此類問(wèn)題，主要是利用函數(shù)的單調(diào)性將7M符號(hào)

看個(gè)性脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域以及函數(shù)

奇偶性質(zhì)的應(yīng)用.

考法（三）是求參數(shù)范圍，其方法是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)建含參數(shù)的方程（組）或

不等式（組）進(jìn)行求解，或先得到圖象的升降情況，再結(jié)合圖象求解

對(duì)于求解此類有關(guān)函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用的題目，其通用的方法是利用轉(zhuǎn)化思想解題，

其思維流程是：

找共性第一步|明確函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性

口

第二步|利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題目條件，把要求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易處理問(wèn)題

第豆步|求解轉(zhuǎn)化后問(wèn)題，得出結(jié)果

［提醒］討論分段函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意分段點(diǎn)處的函數(shù)值.

【遷移應(yīng)用】

1.定義在R上的偶函數(shù)人用滿足1Ax）=_/U+2）,且在上單調(diào)遞減，設(shè)。=人應(yīng)），b=f（2）,

={3）,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.b<c<aB.a<b<c

C.b<a<cD.a<c<b

【答案】c

【解析】因?yàn)榕己瘮?shù)/(x)滿足I/U+2)=/U),

所以函數(shù)Ax)的周期為2,則—2),

6=彤)=八0),c=f(3)=j(-l).

因?yàn)橐?<&一2<0,且函數(shù)/U)在［-1,0］上單調(diào)遞減，

所以6<a<c.故選C.

2.定義在［-2,2］上的函數(shù)八七)滿足(%1—*2)|/(*1)-/1*2)］>0，X1#X2,且八〃-a)M2a—2),則實(shí)數(shù)a

的取值范圍為.

【答案】［0,1)

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)式X)滿足(Xl-X2)lAxi)-/U2)］>0,X1#X2,所以函數(shù)在［-2,2］上單調(diào)遞增，

所以一2<2a—2vz2一解得0Wa<l.

(2—u)x+1,x<1,

3.如果函數(shù)八》)=1滿足對(duì)任意X1#X2,都有八“八2)>0成立，那么。的

x

a,x>\xx-x2

取值范圍是.

【答案】1,21

【解析】對(duì)任意X1WX2,都有:(玉)—/(/)>0,

xx-x2

所以y=?A”)在(―8,+8)上是增函數(shù).

2—a>0,

3

所以《a>1,解得一W〃v2.

2

(2-?)xl+l<a

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,2l.

達(dá)標(biāo)檢測(cè)要扎實(shí)

1.函數(shù)人X)中，滿足“對(duì)任意后，X2e(0,+8),當(dāng)X1<X2時(shí)，都有人X1)?X2)”的是()

1,

A.B./(x)=(x—I)2

x

C.f(x)=exD.f(x)=ln(x+l)

【答案】A

【解析】由題意知在(o,+8)上是減函數(shù).A中，/(x)=—滿足要求；B中，y(x)=(x—1)2在

X

［0,1］上是減函數(shù)，在(1,+8)上是增函數(shù)；C中，/(*)=亡是增函數(shù)；D中，_/(x)=ln(x+l)是增函數(shù).

2.函數(shù)/(X)=lOga(x2一曲-5)3>1)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(—8,—2)B.(—8,—1)

C.(2,+°°)D.(5,+8)

【答案】D

【解析】函數(shù)_Ax)=log?(x2—4x—5)

得X2_4x_5>0,得x<—1或x>5.

令zra(x)=x2—4x—5,則m(x)=(x—2)2—9,

機(jī)(x)在［2,+8)上單調(diào)遞增，

又由。>1及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)/>)的單調(diào)遞增區(qū)間為(5,+8),故選D.

ax,x>1,

3.已知函數(shù)/>)=a是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

(4--)%+2,%<1

I2

A.(1,+8)B.[4,8)

c.(4,8)D.(1,8)

【答案】B

【解析】由/U)在R上是增函數(shù),

<2>1,

則有<4-->0,解得4Wa<8.

2

(4一■1)+2Va

(x-a),x<0,

4.設(shè)/(x)=11若/(0)是/(x)的最小值，則a的取值范圍為()

xH---1*a,x>0,

、x

A.[-1,2]B.[-1,0]

C.[1,2]D.[0,2]

【答案】D

【解析】?.,當(dāng)xWO時(shí)，f(x)=(x—a)2,_/(0)是/(x)的最小值，.當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x+—+a^2

X

+a,

當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取.要滿足｛0)是/U)的最小值，

需2+a2/(0)=a2,即a2—a—2^0,解得一lWaW2.

.".a的取值范圍是0WaW2.故選D.

2—x

5.函數(shù)人x)=----,xC(/n,〃］的最小值為0,則機(jī)的取值范圍是()

x+1

A.(1,2)B.(-1,2)

C.[1,2)D.[-1,2)

【答案】D

2-Y3

【解析】因?yàn)榘藊)=---=—H-----在(-1,+8)上單調(diào)遞減，且八2)=0,所以n=2,—

x+1x+1

故選D.

1.［數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理］已知減函數(shù)式功的定義域是實(shí)數(shù)集R,m,〃都是實(shí)數(shù).如果不等式式⑼

(一帆)一人一〃)成立,那么下列不等式成立的是()

A.機(jī)一“VOB.m-n>0

C.m+〃V0D.機(jī)+〃>0

【答案】A

【解析】設(shè)尸(x)=Ax)-/*(一幻，由于八工)是R上的減函數(shù)，???人一工)是R上的增函數(shù)，一人一幻是R

上的減函數(shù)，.?.粗工)是R上的減函數(shù)，，當(dāng)機(jī)V〃時(shí)，有尸(/w)〉"")，即帆)一汽一機(jī))?(")—/(一〃)

成立.因此，當(dāng)大股)一/(%)?(一⑼一八一〃)成立時(shí)，不等式機(jī)一“V0—^定成立，故選A.

2.［數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理］如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間/上是增函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間/上是減

X

函數(shù)，那么稱函數(shù)y=/U)是區(qū)間/上的“緩增函數(shù)”，區(qū)間/叫做“緩增區(qū)間”.若函數(shù)/(*)=基2

3

一%+5是區(qū)間/上的“緩增函數(shù)”，則“緩增區(qū)間”/為()

A.［1,+0°)B.［0,5

C.［0,1］D.［1,73］

【答案】D

13

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)式%)=5*2—x+彳的對(duì)稱軸為x=l,所以函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［1,+8)上是增函

數(shù)，又當(dāng)上21時(shí)，=令g(x)=gx—l+二(X'l),則g'(*)=!—；^7=

x22x2lx22x2

由g'(x)W0得即函數(shù)△。='*-1+二-在區(qū)間口，V3］上單調(diào)遞減，

2x-x22x

故''緩增區(qū)間”/為［1,、6］.

6.［多選題］若函數(shù)/(x)滿足條件：

①對(duì)于定義域內(nèi)任意不相等的實(shí)數(shù)。，(恒有手⑺―產(chǎn))=>o；

a-b

②對(duì)于定義域內(nèi)任意XI,X2都有彳七三以吟3成立.

則稱其為G函數(shù).下列函數(shù)為G函數(shù)的是()

A.f(x)=3x+l

B.f(x)=—2x—l

C.f(x)=x2—2x+3

2

D.f(x)=-x+4x-3fxe(-oo,i)

【答案】AD

【解析】①對(duì)于定義域內(nèi)任意不相等的實(shí)數(shù)a,b恒有＞0,則函數(shù)/U)在定義域?yàn)樵?/p>

a-b

函數(shù)；②對(duì)于定義域內(nèi)任意XI,也都有2F(F)；F2式成立,則函數(shù)/U)為“凸函

數(shù)”.其中A.f(x)=3x+1在R上為增函數(shù)，且個(gè)產(chǎn)］=,故滿足條件①②；

B.f(x)=-2x~l在R上為減函數(shù)，不滿足條件①；C.f(x)=x2~2x+3在(-8,1)上為減函數(shù)，在(1,

+8)為增函數(shù)，不滿足條件①；D{x)=-x2+4x-3的對(duì)稱軸為x=2,故函數(shù)八%)=-7+41—3

在(一8,1)上為增函數(shù)，且為“凸函數(shù)"，故滿足條件①②.綜上，為G函數(shù)的是A、D.

7.函數(shù)y=三3x上+1的值域?yàn)?/p>

x—2

【答案】3yGR且尸3}

3x+l,3(X-2)+7-7

【解析】尸31

x-2x—2x—2

77

因?yàn)?---W0,所以3H------W3,

x—2x—2

3T+1

所以函數(shù)7=-----的值域?yàn)榍?"3}.

x-2

a,a<b,

8.記min{〃，b}=<若/(x)=min{x+2,10—x}(x20),則/(x)的最大值為_(kāi)________

b,a>b.

【答案】6

x+2,0<^<4,

【解析】由題意知，f(X)=\所以/(X)max=A4)=6.

10-x,x>4

3.［數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理］函數(shù)/(x)=—L在區(qū)間［a,加上的最大值是1,最小值是《，貝!Ia+b=

x-13

【答案】6

【解析】易知大幻在［a,力］上為減函數(shù)，所以<1

戶)=§,

1

0-1fa=2~

利?所以所以a+b=6.

1[b=4-

3

41一

4.［數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理］已知函數(shù)大0=x+—,g(x)=2x+a,若-,3,三必￡［2,3］使得

x1_2_

/(Xi)^g(X2),則實(shí)數(shù)Q的取值范圍是.

【答案】(-8,0］

「11I""4

【解析】當(dāng)—,3時(shí)，f(x)^2.X--=4,

_2JVx

當(dāng)且僅當(dāng)工=2時(shí)，/U)min=4,

當(dāng)x￡［2,3］時(shí)，g(x)為增函數(shù)，故有(工)111也=22+〃=4+〃.依題意可得/(%)1?加2雙“)111加，解得。40.

9.設(shè)函數(shù)八*)=1