重組卷01-2023年高考數學真題重組卷（北京）（解析版）

絕密★啟用前

沖刺2023年高考數學真題重組卷01

北京地區(qū)專用(解析版)

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.

1.(2022?北京.統(tǒng)考高考真題)已知全集U={x∣-3<x<3},集合A={x∣-2<x≤l},則Q,A=()

A.(-2,1]B.(—3,—2)1,[1,3)C.[-2,1)D.(—3,—2](1,3)

【答案】D

【解析】由補集定義可知：4,A={x∣-3<x≤-2或l<x<3},即屯4=(一3,-2](1,3),

故選：D.

2.(2021.北京.統(tǒng)考高考真題)在復平面內，復數Z滿足(IT)Z=2,則Z=()

A.-I-ZB.-l+zC.1-/D.1+Z

【答案】D

22(l+z)2(l+z)

【解析】由題意可得：Z=L='，=-=I+1?

I-J(l-z)(l+z)2

故選：D.

3.(2022?北京?統(tǒng)考高考真題)設{%}是公差不為0的無窮等差數列，則“{叫為遞增數列”是“存在正整數N。，

當”>N"時，>0”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】設等差數列{”“}的公差為d,則dw(),記[x]為不超過X的最大整數.

若｛??｝為單調遞增數列，則d>O,

若《20,則當“22時，??>?1>0；若4<0,則4,=q+("-l)d,

由4=α1+(〃T)d>0可得〃>1-3,取M=l-?+1,則當〃>乂時，a,,>0,

aLa.

所以，"｛q,｝是遞增數列”=>“存在正整數N。，當心時時,α,,>0-i

若存在正整數N。，當”>N。時，?>0,取keN*且k>M,ak>0,

假設d<0,令4=為+(〃—k)d<O可得〃>k-”,且女一">k,

dd

當”>k-^+1時，α,,<0,與題設矛盾，假設不成立，則d>O,即數列｛%｝是遞增數列.

所以，“｛%｝是遞增數列”U“存在正整數M，當”>N。時，4>0”.

所以，“｛4｝是遞增數列”是“存在正整數M，當”>M時?，為>0”的充分必要條件.

故選：C.

4.(2020?北京?統(tǒng)考高考真題)在(?-2)5的展開式中，∕的系數為().

A.-5B.5C.-10D.10

【答案】C

5rrr

【解析】(石-2)’展開式的通項公式為：τr+l=C；(√^)^(-2)=(-2)e???.

令3=2可得：/=1,則V的系數為：(_2)七；=(—2)χ5=-10.

故選：C.

5.(2021?北京?統(tǒng)考高考真題)已知/")是定義在上［0,1］的函數，那么“函數/")在上單調遞增”是“函

數/(x)在［0,1］上的最大值為了⑴”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】若函數”x)在［05上單調遞增,則/(%)在［0,1］上的最大值為」⑴,

若/(x)在［05上的最大值為/(1)，

比如"x)=bTj,

為增函數,

故〃x)在[0』上的最大值為〃1)推不出〃力在[0,1]上單調遞增，

故”函數F(X)在[0,1]上單調遞增”是“/(X)在[05上的最大值為“1)”的充分不必要條件，

故選：A.

6.(2022?北京?統(tǒng)考高考真題)在一ABC中，AC=3,BC=4,ZC=90°.P為一ABC所在平面內的動點，且

PC=I,則EVPB的取值范圍是()

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【解析】依題意如圖建立平面直角坐標系，則C(0,0),4(3,0),8(0,4),

因為尸C=I,所以P在以C為圓心，1為半徑的圓上運動,

設P(CoSo,sinθ),θ∈[(),2π],

所以PA=(3-CoSa-Sine),PB=(-cos6,4-sin6),

所以PA?P3=(-cos6)x(3-cos^)+(4-sinθ)×(-sin6)

=cos2，一3cos4-4sin夕+sin,θ

=l-3cos，一4sin。

=1—5Sin(O+9),其中Sino=COSe=g,

因為一l≤sin(e+°)≤l,所以T≤l-5sin(e+0)≤6,BRPA-PBG[-4,6];

故選：D

7.(2021?北京?統(tǒng)考高考真題)函數f(x)=COsx-COS2x是

A.奇函數，且最大值為2B.偶函數，且最大值為2

C.奇函數，且最大值為總D.偶函數，且最大值為總

OO

【答案】D

【解析】由題意，/(-X)=cos(-x)-cos(-2x)=COSX-COSIx=/(X),所以該函數為偶函數，

(]Y9

又f(χ)=cosX-cos2x=-2cos2x+cosx+1=-2∣cosx--I+—，

19

所以當COSX=T時，/(X)取最大值一.

故選：D.

8.(2011?北京?高考真題)在_A3C中，角A,B,C的對邊分別為α,b,c,且8=。力=有間=1,則C=

A.1B.2C.√3-lD.√3

【答案】B

【解析】由余弦定理82=/+。2-為理。$3可得：(6『=『+。2-2ccosg

即H-C-2=0,解得C=2,或C=-I(舍)

故選B

9.(2021?北京?統(tǒng)考高考真題)已知｛《,｝是各項均為整數的遞增數列，且％≥3,若q+%+…+q,=10θ,貝IJ〃的

最大值為()

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】若要使"盡可能的大，則叫，遞增幅度要盡可能小，不妨設數列是首項為3,公差為1的等差

C?-j*,=更上χ∣2=W2>IOO

數列，其前〃項和為S),則。?="+2,2,所以w≤ll.

??S11?^-^κll=88<IOO

對于“+2,?'2

取數列k1各項為=〃+2("=1,2,…10),all=25,

則q+&+…+4]=]θθ,

所以”的最大值為IL

故選：C.

10.（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）已知正三棱錐尸-ABC的六條棱長均為6,S是一ABC及其內部的點構成的

集合.設集合7={QeS∣PQ≤5},則T表示的區(qū)域的面積為（）

34?

A.—B.4C.2"D.3τr

4

【答案】B

【解析】

設頂點P在底面上的投影為O,連接80,則。為三角形ABC的中心,

∏.BO=-×6×-=2√3,?PO=√36-12=2√6.

32

因為PQ=5,故OQ=1,

故S的軌跡為以。為圓心，1為半徑的圓，

2x3x36

而三角形ABC內切圓的圓心為。，半徑為ZXlrXJ°=6>1'

故S的軌跡圓在三角形A8C內部，故其面積為萬

故選：B

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題5小題，每小題5分，共25分.

11.（2008?北京?高考真題）如圖，函數/（X）的圖象是折線段ABC,其中AB,C的坐標分別為

(0,4),(2,0),(6,4),則/(f(0))=；函數/(X)在x=l處的導數/⑴=

【解析】/（/（0））=/（4）=2;f'（y）=kAB=-2.

12.（2022.北京.統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線/+工=1的漸近線方程為＞則加=.

m3

【答案】-3

22

【解析】對于雙曲線V+L=ι,所以加＜0,即雙曲線的標準方程為＞2-3-=1,

m-m

則a=l,b=Q,又雙曲線/+三=1的漸近線方程為y=±且X,

m3

所以N=立，即I==且，解得ZM=—3；

b3sj-m3

故答案為：-3

13.（2021?北京?統(tǒng)考高考真題）若點A（COSaSin。）關于＞軸對稱點為B（CoS（O+芻,Sins+芻），寫出。的一個取

66

值為—.

【答案】K（滿足。=|+*",&eZ即可）

【解析】A（COSaSin。）與8卜s16+?）sin（e+γ））關于y軸對稱，

π

即夕。+:關于＞軸對稱，

6

π

夕+——?-θ=7v+2kπ,k∈Z,

6

則θ=kπ+——,k∈Z,

12

當左=O時，可取。的一個值為昌.

12

STESTT

故答案為：∈-(滿足O=ATT+二MeZ即可).

14.(2010?北京?高考真題)從某小學隨機抽取100名同學,將他們的身高(單位:厘米)數據繪制成頻率分布直

方圖(如圖)。由圖中數據可知“=.若要從身高在［120,130),［130,140加40,150］三組內的學生中,用分層抽

樣的方法選取18人參加一項活動,則從身高在∣140,150∣內的學生中選取的人數應為

頻率

【答案】0.030,3

【解析】因為IO(O?035+0.02+0.01+0.005+a)=l,.?.a=0.03,身高在［120,130),［130,140),［140,150］Ξ

組內的學生人數為IoOX(O?03+0.02+0.01)xl0=60人，其中身高在［140,150］內的學生中人數為

IOoXO.01x10=10,所以從身高在［140,150］內的學生中選取的人數應為2xl8=3人.

15.(2021?北京?統(tǒng)考高考真題)已知函數/(x)=IlgH-"-2,給出下列四個結論：

①若k=0,/O)恰有2個零點；

②存在負數3使得F(X)恰有1個零點；

③存在負數%,使得?(?)恰有3個零點；

④存在正數3使得/O)恰有3個零點.

其中所有正確結論的序號是.

【答案】①②④

【解析】對于①，當&=0時，由"x)=∣lgΛ∣-2=0,可得x=±或X=Io0,①正確；

對于②，考查直線y=h+2與曲線y=—IgX(O<x<l)相切于點P(f,Tgf),

e

kt+2=-Igft=----

對函數y=τgχ求導得y'=-一二，由題意可得100

_1，解得,

XlnlOIOO

^rlnlθκf=------I1ge

e

所以，存在％=-W91ge<0,使得f(x)只有一個零點，②正確:

e

對于③，當直線y=h+2過點(1,0)時，％+2=0,解得左=-2,

所以，當-?lge<無<-2時，直線y=h+2與曲線y=—IgX(O<x<l)有兩個交點，

e

若函數F(X)有三個零點，則直線y=H+2與曲線y=-IgX(O<x<l)有兩個交點，

100

直線y=履+2與曲線y=lgx(x>l)有一個交點，所以，Γ~ge<<一，此不等式無解,

fc+2>0

因此，不存在％<0,使得函數/(χ)有三個零點，③錯誤;

對于④，考查直線y="+2與曲線y=IgX(X>1)相切于點PaIgf),

[Q+2=lgfZ=IOOe

對函數y=igχ求導得y'=一二，由題意可得L1,解得LIge

XlnlOk=------K=-Ξ-

ZlnlO1006

所以，當0<%<黑時，函數f(x)有三個零點，④正確.

故答案為：①②④.

三、解答題共6小題，共85分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.(2022?北京?統(tǒng)考高考真題)在一ABC中，sin2C-√3sinC.

⑴求

(2)若Z?=6,且，ASC的面積為6百，求..ABC的周長.

【解析】(1)因為C￡(0,乃),則SinC>0,由已知可得由SinC=2sinCcosC,

可得CoSC=史?，因此，C=J.

26

(2)由三角形的面積公式可得SjC=BaAinC=Ta=66,解得α=4λ^?

由余弦定理可得C?="?+/.出;CoSC=48+36-2X4√5X6X^=12,.?.c=2√3-

2

所以，.ABC的周長為α+6+c=e?/?+6.

17.(2021?北京?統(tǒng)考高考真題)如圖：在正方體ABa)-A4G。中，E為AA中點，BC與平面Cr)E交于

點、F.

(1)求證：尸為qG的中點；

(2)點M是棱4與上一點，且二面角M-FC-E的余弦值為更，求整的值.

3A由

【解析】⑴如圖所示，取BC的中點/，連結Z)E,EF；FC,

由于A8CZ)-AAG。為正方體，E尸為中點，故E尸CD,

從而E,F,C,。四點共面，即平面CDE即平面CDE尸，

據此可得：直線瓦G交平面C3E于點廠，

當直線與平面相交時只有唯一的交點，故點尸與點尸重合，

即點尸為Be中點.

(2)以點。為坐標原點，1M,DC,OR方向分別為X軸，y軸，Z軸正方向，建立空間直角坐標系。-孫z,

=λ(0≤Λ≤l),

則：M(2,2Λ,2),C(0,2,0),F(l,2,2),E(l,0,2),

從而：MC=(―2,2—24—2),CF=(1,0,2),尸E=(0,—2,0),

設平面MCF的法向量為：m=(xl,y1,z1),則:

m`MC=-2xl+(2—2Λ)yl-2zl=0

m?CF=xi+2z1=0

令Zl=T可得：m=2------1

,1-Λ,

設平面CfE的法向量為:τi=(孫％*2)，則:

n?FE=-Zy2=O

n?CF=x2+Iz2=0

令Zl=T可得：^=(2,0,-1),

從而：7H?∕ι=5,∣An∣=√5,

113

整理可得：(2-I)9-=w，故a=](2=]舍去).

18.(2020?北京?統(tǒng)考高考真題)某校為舉辦甲、乙兩項不同活動，分別設計了相應的活動方案：方案一、

方案二.為了解該校學生對活動方案是否支持，對學生進行簡單隨機抽樣，獲得數據如下表:

男生女生

支持不支持支持不支持

方案一200人400人300人100人

方案二350人250人150人250人

假設所有學生對活動方案是否支持相互獨立.

(I)分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；

(II)從該校全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3人中恰有2人支持方案一的

概率；

(UI)將該校學生支持方案二的概率估計值記為Po,假設該校一年級有500名男生和300名女生，除一年

級外其他年級學生支持方案二的概率估計值記為化，試比較P。與Pl的大小.(結論不要求證明)

【解析】(I)該校男生支持方案一的概率為W‰;=：，

200+4003

該校女生支持方案一的概率3為00W}3

300+1004

(II)3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，(1)僅有兩個男生支持方案一，(2)僅有一個男生支持方案

一，一個女生支持方案一，

所以3人中恰有2人支持方案一概率為：(孑(1-$+%)(01|;

(III)P?<P0

19.(2020?北京?統(tǒng)考高考真題)已知函數/(X)=12-χ2.

(I)求曲線y=f(χ)的斜率等于-2的切線方程；

(Il)設曲線y=f(χ)在點α,∕Q))處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為5(/),求5(f)的最小值.

【解析】(I)因為/(x)=12γ2,所以f'(x)=-2x,

設切點為(??,12-Λ0),則-2X0=-2,即AO=1,所以切點為(1,11),

由點斜式可得切線方程為：y-11-2(x-l),即2x+y-13=0.

(II)［方法一］：導數法

顯然f≠o,因為y=〃x)在點(f,12-J)處的切線方程為：y-(12-r)=-2r(x-r),

≠2119

令X=0,得y=∕+12,令y=0,得X=-------，

2t

所以s(o=9r+i2)?［號,

不妨設f>OQ<O時，結果一樣),

則S(>"上=*+24f+中,

所以S'")=」?產+24-卑)=3(/+”:48)

4t4t

_3(/-4)(>+12)_3(1—2)"+2)(產+12)

4/4t2

由S'(r)>O,得t>2,由S'(r)<O,得0<t<2,

所以S⑺在(0,2)上遞減,在(2,+8)上遞增,

所以f=2時，5(f)取得極小值,

也是最小值為S(2)=Wg=32.

O

［方法二］【最優(yōu)解】：換元加導數法

1z2+12/\1(廠+⑵

S(t)=---------------仔9+12)=—??-------LqW0).

2∣2r∣`74?t?

因為SQ)為偶函數，不妨設”0,

令g=√7,則，=Q2,Q>0?

令g(α)=U*,則面積為S=}g(α)F,只需求出g(α)=G±艮的最小值.

a4a

4w,?a-a*i-?23八12_3(?2-2)(a2+2)_3(α-√2)(a+√2)(a2+2)

g'(α)=

因為α>0,所以令g'(α)=0,得α=√∑?

隨著”的變化，g'(α),g(α)的變化情況如下表:

a(。向6(a,+(?)

g’(")-0÷

g(4)減極小值增

所以［g(α)］mM=g(&)=%=8四.

所以當“=應，即r=2時，［5(f)］mi?=；x(8&)2=32.

因為［5(f)］為偶函數,當/<0時，［S(%n=S(-2)=S⑵=32

綜上,當f=±2時，S⑺的最小值為32.

［方法三］：多元均值不等式法

同方法二，只需求出g(α)=此衛(wèi)(4>0)的最小值.

a

人,、“"+124443444r-

Vg(α)=---------=a3H1-----1—≥4ij∕∏-------------=8ov2?

aaaa?aaa

4

當且僅當/=一，即α=&時取等號.

a

所以當α=JL即f=2時，［S(f)］mm=(x(80)2=32?

因為S(f)為偶函數，當f<O時，［S(f)］而n=S(-2)=S(2)=32.

綜上，當f=±2時，SQ)的最小值為32.

［方法四］：兩次使用基本不等式法

同方法一得到S(f)=(入⑵>(八⑵=(尸+4)+叫+4)+64=+64+↑6≥?癇+16=32

4∣∕∣r+4廣+4`7r÷4

,下同方法一.

【整體點評】(H)的方法一直接對面積函數求導數，方法二利用換元方法，簡化了運算，確定為最優(yōu)解；

方法三在方法二換元的基礎上，利用多元均值不等式求得最小值，運算較為簡潔；方法四兩次使用基本不

等式，所有知識最少，配湊巧妙，技巧性較高.

r22

20.(2021.北京.統(tǒng)考高考真題)已知橢圓［v=Im">0)一個頂點40,-2),以橢圓E的四個頂點

a~b-

為頂點的四邊形面積為4石.

(I)求橢圓E的方程；

(2)過點P(0,-3)的直線/斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點8,C,直線A8,AC分別與直線交

y=-3交于點M,N,當∣PM∣+∣PMWI5時，求k的取值范圍.

【解析】(1)因為橢圓過A(0,—2),故匕=2,

因為四個頂點圍成的四邊形的面積為4石，故gx2αx2?=4√5,即0=有，

O-5

故橢圓的標準方程為：上+X=1.

54

設8(χ,y),C(x2,%),

因為直線BC的斜率存在，故XIX2#。，

…乂+2-XXr

故直線A8:y=^—x-2,令y=_3,則XM=一一1?,同理礪=一一

x∣y∣+2y2+2

Y=JΖJQ—3

直線BUy=履-3,由7+5^=20可得CSGX-30履+25=0,

i?Δ=900?2-*4l∞(4+5?2)>0,解得k<—1或&>1.

,30k25

又%+%=E'k2=E故XIX2>0，所以XMXN>0

又IPM+BM=曷+?∣=

%+，％+/

50k3(R

2煙”(4+W)=4+5/-4+5攵2

22

kxλx1-?(x1+x2)+125攵*30?十1

4+5?2-4+5?2+

故5∣M≤15即k∣v3,

綜上，-3≤%<T或l<）l≤3.

21.（2021?北京?統(tǒng)考高考真題）設P為實數.若無窮數列｛4｝滿足如下三個性質，則稱｛可｝為火.數列：

①al+p≥O,且,+P=O;

②*〈勾”,（"=1,2,…）；

③q…θ｛?+q+p，q“+%+p+1｝,（加,〃=1,2,…）.

（1）如果數列｛q｝的前4項為2,-2,-2,-1,那么｛%｝是否可能為見數列？說明理由；

（2）若數列｛%｝是況。數列，求為；

（3）設數列｛4｝的前”項和為S