2024年中考圓知識(shí)點(diǎn)全面總結(jié)

初中圓復(fù)習(xí)

一、圓的概念

集合形式的概念:1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長時(shí)點(diǎn)的集合;

2、圓日勺外部：可以看作是到定點(diǎn)日勺距離不小于定長時(shí)點(diǎn)的集合;

3、圓的內(nèi)部:可以看作是到定點(diǎn)日勺距離不不小于定長時(shí)點(diǎn)時(shí)集合

軌跡形式的概念：

1、圓：到定點(diǎn)日勺距離等于定長日勺點(diǎn)日勺軌跡就是以定點(diǎn)為圓心,定長為半徑日勺圓；

2、垂直平分線：到線段兩端距離相等日勺點(diǎn)的I軌跡是這條線段日勺垂直平分線（也叫中垂

線）；

3、角的平分線:到角兩邊距離相等日勺點(diǎn)日勺軌跡是這個(gè)角的平分線；

4、到直線口勺距離相等時(shí)點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長時(shí)

兩條直線;

5、到兩條平行線距離相等時(shí)點(diǎn)的軌跡是:平行于這兩條平

行線且到兩條直線距離都相等日勺一條直線。

二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1、點(diǎn)在圓內(nèi)nd<r=點(diǎn)C在圓內(nèi);

2、點(diǎn)在圓上二d=r二點(diǎn)8在圓上;

3、點(diǎn)在圓外二d>rn點(diǎn)A在圓外;

三、直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓相離=d>r=無交點(diǎn);

2、直線與圓相切=d=r=有一種交點(diǎn);

3、直線與圓相交nd<r=有兩個(gè)交點(diǎn);

四、圓與圓的位置關(guān)系

外離（圖l）n無交點(diǎn)d>R+r;

外切（圖2）n有一種交點(diǎn)nd=R+r;

相交（圖3）n有兩個(gè)交點(diǎn)nR-r<d<R+r;

內(nèi)切（圖4）今有一種交點(diǎn)0d=R-r-,

內(nèi)含（圖5）0無交點(diǎn)nd<R—r；

五、垂徑定理

垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。

推論1：（1）平分弦（不是直徑）日勺直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條

??；

（2）弦的垂直平分線通過圓心，并且平分弦所對的兩條弧;

（3）平分弦所對日勺一條弧日勺直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧

以上共4個(gè)定理,簡稱2推3定理:此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要懂得其中2個(gè)即可推

出其他3個(gè)結(jié)論，即：①是直徑②③CE=DE④弧BC=弧5。⑤

弧AC=弧4。中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

c；D

\0

即:在。。中，AB//CD卜---’2

??.弧4。=弧5。

六、圓心角定理

圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等,所對的I弧

相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中,

只要懂得其中日勺1個(gè)相等，則可以推出其他日勺3個(gè)結(jié)論,

即：①NAO3=/DOE；②AB=DE;

@OC=OF;?弧R4=弧班）

七、圓周角定理

1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角口勺二分

之一。

即：ZAOB和ZACB是弧所對的圓心角和圓周角

/.ZAOB=2ZACB

2、圓周角定理的I推論:

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓

周角所對的弧是等弧;

即:在。。中，?.?/C、都是所對日勺圓周角

：.NC=NO

推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角c所對日勺

弧是半圓,所對的弦是直徑。B\A

即:在。。中，：A3是直徑或：/。=90。

/.ZC=90°，是直徑

推論3:若三角形一邊上的中線等于這邊的二分之一，那么這個(gè)三角

形是直角三角形。

即：在△ABC中，：OC=Q4=O5

??.△ABC是直角三角形或ZC=90°

法意:此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上日勺中線等于斜邊的二分

之一的逆定理。

八、圓內(nèi)接四邊形

圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對角。

即：在。。中，?.?四邊ABC。是內(nèi)接四邊形

ZC+ZBAD=180°

ZB+ZD=180°

NDAE=NC

九、切線的性質(zhì)與鑒定定理

1、切線的鑒定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線;

兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，兩者缺一不可

即：：MN，Q4且MN過半徑OA外端

，是。。的I切線

2、性質(zhì)定理:切線垂直于過切點(diǎn)的半徑(如上圖)

推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。

推論2:過切點(diǎn)垂直于切線時(shí)直線必過圓心。

以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：

即：①過圓心;②過切點(diǎn);③垂直切線,三個(gè)條件中懂得其中兩個(gè)條件就能推出最終一種。

十、切線長定理

切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓日勺兩條切線，它們?nèi)丈浊芯€長相

等,這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

即：...PA、是日勺兩條切線

PA=PB,PO平分ZBPA

十五、扇形、圓柱和圓錐的有關(guān)計(jì)算公式

1、扇形：(1)弧長公式：/=辿；

180

(2)扇形面積公式：S=^^=-IR

3602

”:圓心角R:扇形多對應(yīng)的I圓的I半徑/:扇形弧長S:扇形面積

2、圓柱：

D1

(1)圓柱側(cè)面展開圖

母線長

底面圓周長

01

$表=S側(cè)+25底=17irh+2]產(chǎn)

（2）圓柱的體積：V=

3、圓錐側(cè)面展開圖

（1）S表=s側(cè)+S底=%在廠+"2

⑵圓錐日勺體積：V"

3

練習(xí)題

1.若。。時(shí)半徑為4cm,點(diǎn)A到圓心。的距離為3cm,那么點(diǎn)人與OO的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)A在圓內(nèi)B.點(diǎn)A在圓上c.點(diǎn)A在圓外D.不能確定

2.已知。。日勺半徑為5,弦AB的弦心距為3,則AB的長是

3.如圖,是半徑為1的。。的直徑，點(diǎn)A在。。上，ZAMN=30°,2為AN弧附中點(diǎn)，點(diǎn)尸是直徑MN

上一種動(dòng)點(diǎn)，則求PA+PB的最小值

4如圖2,已知BD是。O的直徑,。0時(shí)弦ACLBD于點(diǎn)E,若NAOD=60。，則NDBC時(shí)度數(shù)為

5.與直線L相切于已知點(diǎn)時(shí)圓的圓心的軌跡是.

6.已知直角三角形的兩直角邊長分別為5和12,則它的外接圓半徑R=,內(nèi)切圓半徑r=

7.OO的半徑為6,OO的一條弦AB為6g,以3為半徑的同心圓與直線AB的位置關(guān)系是

8.PA,P8是。。的切線，切點(diǎn)是A、B,NAPB=50°,過A作。。直徑AC,連接C6,則/尸8C=_

9.如圖4,AB是。。的直徑，弦AC、BO相交于P,則CD：AM等于

A.sinBPCDB.cosBPCC.tanBPCUUD.cotBPC

圖4圖5

10.如圖5,點(diǎn)尸為弦上一點(diǎn)，連結(jié)OP,過PC作尸。_LOP,PC交。。于C,若AP=4,P8=2,則PC

時(shí)長是

A.V2B.2。C.2VIo?D.3

11.圓的最大的弦長為12cm,假如直線與圓相交，且直線與圓心的距離為d,那么

A.d<6cmg“B.6cm<d<12cm

C.d26cmegoD.d>12cm

12.如圖6,在以。為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦/刀是小圓的切線，P為切點(diǎn)，設(shè)AB=12,則兩圓構(gòu)成

圓環(huán)面積為?

-1

圖6圖7

13.如圖7,PE是。。的切線,￡為切點(diǎn),B4B、PCD是割線/2=35,C￡)=50,AC：DB=\：2,則24=____

14.如圖8,是。。的直徑，點(diǎn)。在日勺延長線上，&BD=OB,點(diǎn)。在。。上,N0/5=30°,

求證：。。是。。的切線.

一

圖8

15.如圖，AB既是。C時(shí)切線也是。D的切線,。C與。D相外切,。C—

時(shí)半徑r=2,G)D的半徑R=6,求四邊形ABCD的面積。

16.如圖10,BC是。。於I直徑,A是弦2。延長線上一點(diǎn)，切線。E平分力。于耳求證:

(1)/。是。。的切線.(2)若4。：。2=3：2/C=15,求。。的直徑.(12分)

,A

圖10

17.如圖11,AB是。。的直徑，點(diǎn)。在84時(shí)延長線上，弦CDI4民垂足為況且PC2=PE-PO.(1)

求證:PC是。。的I切線;(2)若。E：EA=1：2,PA=6,求。。的半徑；(3)求sinPCA時(shí)值.(12分)