怎樣一個(gè)小時(shí)記住中學(xué)所有三角函數(shù)公式

怎樣一個(gè)小時(shí)記住中學(xué)所有三角函數(shù)公式所以當(dāng)我們覺得某個(gè)知識(shí)很難理解的時(shí)候，首先應(yīng)該想到的就是，這個(gè)知識(shí)背后那些最簡(jiǎn)單的概念我們有沒有真正弄清楚。我們要把三角函數(shù)徹底搞清楚，記下來(lái)并且活學(xué)活用，首先就要問(wèn)：三角函數(shù)最簡(jiǎn)單的概念是什么？顯然，就是sin、cos、tg、ctg這四個(gè)概念。這是三角函數(shù)的基本元素。可惜有很多人學(xué)了很長(zhǎng)時(shí)間的三角函數(shù)，這四個(gè)符號(hào)倒是認(rèn)識(shí)了，卻沒有能夠真正理解它們的內(nèi)涵。所謂三角函數(shù)，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是直角三角形的幾條邊的比例關(guān)系。假設(shè)有直角△ABC，∠C=90°，對(duì)應(yīng)斜邊c，∠A和∠B分別對(duì)應(yīng)直角邊a和b。那么，sinA=a/c,cosA=b/c,tgA=a/b,ctgA=b/a。實(shí)際上，這四個(gè)函數(shù)就是為了把直角三角形的比例線段簡(jiǎn)單化，為了避免每次都要寫一大堆線段的比例式，而發(fā)明出來(lái)的。sinA就代表∠A所對(duì)的直角邊與斜邊的比例，cosA就代表∠A的鄰邊與斜邊的比例，tgA就代表∠A的對(duì)邊與鄰邊的比例，ctgA就代表∠A的鄰邊與對(duì)邊的比例。把這些最簡(jiǎn)單的概念弄清楚了，有很多基礎(chǔ)的三角函數(shù)公式就不用記了。比如sin2A+cos2A=1，tgActgA=1，cosAtgA=sinA，sinActgA=cosA。因?yàn)檫@些全都是直接從這個(gè)基本概念推出來(lái)的，比如cosAtgA=sinA，sinActgA=cosA這兩個(gè)公式顛來(lái)倒去的，很容易把tgA和ctgA記混淆，一不小心就會(huì)記成sinAtgA=cosA或者cosActgA=sinA。但是，只要我們知道這四個(gè)基本概念，就知道永遠(yuǎn)都不會(huì)記混淆。所以說(shuō)真正高效的記憶是在徹底理解的基礎(chǔ)上記憶，徹底理解了之后，過(guò)個(gè)十年八年都忘不掉，更不可能說(shuō)什么聽完課就忘、看完書就忘、過(guò)一天就忘了等等。到了高中，三角函數(shù)最大的變化其實(shí)不是公式變得更多了，而是基礎(chǔ)概念擴(kuò)大了。也就是三角函數(shù)的取值范圍從初中的0到90度，變成了任意角，也就是從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮。但是sinA=a/c,cosA=b/c,tgA=a/b,ctgA=b/a這四個(gè)基本概念還是沒有變。學(xué)好高中的三角函數(shù)，最根本的還是在這四個(gè)基本概念的基礎(chǔ)上，再認(rèn)真理解“單位圓”的概念。把這個(gè)單位圓弄清楚了之后，整個(gè)高中的三角函數(shù)公式就迎刃而解，不管它怎么變來(lái)變?nèi)ザ继硬怀鑫覀兊氖终菩摹！皹?biāo)準(zhǔn)圓”就是在坐標(biāo)軸上以O(shè)點(diǎn)為圓心，以1為直徑的圓。從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)做一條到X軸的垂線，這條垂線與X軸還有這個(gè)點(diǎn)到圓心的連線，正好組成一個(gè)直角三角形。如圖所示，在直角坐標(biāo)系上的四個(gè)象限的單位圓上任取一點(diǎn)P（x，y），做PMMO，則這里的PO=1，PM=y，所以sinO的值就是PM的長(zhǎng)度，也就是P點(diǎn)的縱坐標(biāo)值y。同理，這里和初中惟一不同的地方是，初中學(xué)習(xí)的是0到90度，所有的值都是非負(fù)數(shù)，而這里不僅有線段的長(zhǎng)度，還有向量值，也就是x和y可能是負(fù)數(shù)。在第二象限，y是正數(shù)，而x是負(fù)數(shù)，所以在這個(gè)象限里sinO是正數(shù)，而cosO是負(fù)數(shù)；在第三象限，x和y都是負(fù)數(shù)，所以sinO和cosO都是正數(shù)；在第四象限，y是負(fù)數(shù)，x是正數(shù)，所以sinO是負(fù)數(shù)，而cosO是正數(shù)。把這個(gè)道理徹底梳理清楚之后，高中三角函數(shù)的所有角度變化公式就全部都不用記憶了。什么sin(-θ)=-sinθ，cos(-θ)=cosθ你就想到是角度沿著X軸對(duì)折過(guò)來(lái)了，從第一象限跑到第四象限了，再看第四象限對(duì)應(yīng)的y肯定是負(fù)數(shù)，所以sin(-θ)=-sinθ，而x值還是正數(shù)，所以cos(-θ)=cosθ。有了這個(gè)東西，剩下那些千變?nèi)f化的什么，sin(θ-π/2)=-sin(π/2)=-cosθ，sin(θ-3π/2)=-cosθ,cos(θ+π)=-cosθ……反正加上一個(gè)角度，就是PO往逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)，減去一個(gè)角度，就是PO往順時(shí)針方向轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到哪個(gè)象限，符號(hào)是正是負(fù)馬上就知道了。這樣后面三角函數(shù)的周期性也順帶著完全弄明白了。然后就是三角函數(shù)和與差的公式，這個(gè)也是從單位圓出來(lái)的，無(wú)非就是單位圓上兩個(gè)點(diǎn)的距離而已。這個(gè)推導(dǎo)課本上都有，看起來(lái)推導(dǎo)過(guò)程比較長(zhǎng)，但只要自己動(dòng)手在草稿紙上畫一下，整個(gè)過(guò)程就一目了然了。三角函數(shù)和與差的公式很復(fù)雜，不僅有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ，cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，還有tg（α+β）和ctg（α+β）的公式。這些公式顛來(lái)倒去的，死記硬背足以把人背出數(shù)學(xué)恐懼癥。如果我們不用“徹底理解+把握規(guī)律”的方法來(lái)記憶，永遠(yuǎn)也別想學(xué)好三角函數(shù)。其實(shí)，我們只需要記住sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ這一個(gè)公式就行了，剩下的全都可以根據(jù)我們的基本概念想出來(lái)。因?yàn)槲覀円呀?jīng)把標(biāo)準(zhǔn)圓記在腦子里面了，無(wú)論什么角度變化，只要大腦里面好像出現(xiàn)一個(gè)鬧鐘一樣：加上一個(gè)角，指針就逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；減去一個(gè)角，指針就順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。有了這個(gè)東西，怎么變都不會(huì)糊涂。所以，sin（α-β）=sin［α+（-β）］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)，這里多了個(gè)符號(hào)，是減，所以要把指針向順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)到第四象限，y是負(fù)數(shù)，x是正數(shù)，sin值變成負(fù)，cos值還是正值，所以sin（α-β）=sin［α+（-β）］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。這就出來(lái)了，不管是符號(hào)還是sin和cos的順序，都絕不會(huì)記錯(cuò)。同理，cos（α+β）=-sin（α+β+π/2）=-sinαcos(β+π/2)-cosαsin(β+π/2)，這里是加上π/2，指針要逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，sin要變成cos，根據(jù)我們的單位圓，我們又可以得出cos（α+β）的公式了。同樣，cos（α-β）=cos［α+（-β）］，我們又可以很容易地知道cos（α-β）的公式了。至于tg（α+β），tg（α-β），ctg（α+β），ctg（α-β），我們只要知道最基礎(chǔ)的四個(gè)概念：sinA=a/c,cosA=b/c,tgA=a/b,ctgA=b/a，就足夠了。tg（α+β）=sin（α+β）/cos（α+β），tg（α-β）=sin（α-β）/cos（α-β）……以此類推，看起來(lái)無(wú)比復(fù)雜的兩角和與差的公式就很清楚地排列在腦海里面，而且過(guò)很長(zhǎng)很長(zhǎng)的時(shí)間，也不會(huì)記錯(cuò)一個(gè)符號(hào)，不會(huì)記錯(cuò)一個(gè)順序。這樣的記憶效果，又豈是任何一種投機(jī)取巧的方法所能夠比擬的？！至于三角函數(shù)的二倍角公式，那就更簡(jiǎn)單了。既然已經(jīng)知道sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，那么sin2α=sin（α+α）=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα。后面的cos2α、tg2α、ctg2α公式也就可以繼續(xù)按照單位圓概念及這四個(gè)基本概念輕而易舉地就想出來(lái)了，根本不需要刻意地去記憶它們。所以說(shuō)來(lái)說(shuō)去，整個(gè)初中高中的三角函數(shù)那么復(fù)雜，其實(shí)記住兩個(gè)東西就行了：第一，sinA=a/c,cosA=b/c,tgA=a/b,ctgA=b/a；第二，單位圓的圖形變化。實(shí)際上，有誰(shuí)記不住嗎？任何人都記得住這兩個(gè)東西，但是，為什么那么多人把初高中的三角函數(shù)學(xué)視為畏途呢？很多人就是在復(fù)雜的公式中轉(zhuǎn)暈了頭