2023年高三數(shù)學(xué)高考模擬試卷五附參考答案

2023年高三數(shù)學(xué)高考模擬試卷（5）

一、單選題

1.已知集合A={x6/V||<2X+1<8],B={x|x2-4x+m=0]，若1WAClB,則AUB=

()

A.{1,2,3}B.{1,2,3,4}

C.{0,1,2)D.{0,1,3)

2.下列關(guān)于某個(gè)復(fù)數(shù)z的說法中，①z2=|z|20|6R③|z-i\=GR有且只有一個(gè)說法是錯(cuò)

誤的，則錯(cuò)誤的是（）

A.①B.②C.③D.④

3.已知a,bER,則Q—b>0是a|a|—b網(wǎng)>0的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7777

4.已知cos。+cos(J+可)=1,貝ljcos(26+可)=()

A--B工C-D乃

32

5.已知數(shù)列｛須｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記數(shù)列｛&J的前n項(xiàng)和S”，且滿足2Sn=由±l（neN*），則下列

說法正確的是（）

A.即=2B?。2021.a2022V1

C.S=nDc.1工—1工----工-F—1=Vrn

n出a2an

6.“總把新桃換舊符”（王安石）、“燈前小草寫桃符”（陸游），春節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日，在宋代

人們用寫“桃符”的方式來祈福避禍，而現(xiàn)代人們通過貼“福”字、貼春聯(lián)、掛燈籠等方式來表達(dá)對(duì)新年

的美好祝愿，某商家在春節(jié)前開展商品促銷活動(dòng)，顧客凡購物金額滿80元，則可以從“福”字、春聯(lián)

和燈籠這三類禮品中任意免費(fèi)領(lǐng)取一件，若有5名顧客都領(lǐng)取一件禮品，則他們中恰有3人領(lǐng)取的

禮品種類相同的概率是（）

A?建B.第C含0.黑

7.設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在P處的離散曲率為1—/（ZQIPQ2+NQ2PQ3+

…+乙QkPQQ其中Qt，（i=1.2,3...,k23）為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面

Q,PQ2,Q2PQ3,……，Q/Q1遍及多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面如圖是正四面體、正八面

體、正十二面體和正二十面體，若它們?cè)诟黜旤c(diǎn)處的離散曲率分別是a,b,c,d,則a,b,c,d的

大小關(guān)系是（）

正四面體正八面體

A.a>b>c>dB.a>b>d>cC.b>a>d>cD.c>d>b>a

8.對(duì)于任意x>0都有—?jiǎng)tQ的取值范圍為（）

B

A.[0,e]-[-e】4,e]

」

rJ(—00,—ee]u[e,+00)D.(—00,e]

二、多選題

9.已知向量司=(3,-1),4=(1,-2),則下列結(jié)論中正確的是()

A.ab=5B.\a-b\=V5

C.(a,b)=lD.a||b

10-在銳角△MO中,角4&C所對(duì)的邊為a,b,c，若當(dāng)翳=誓+喑,且建.=

辛㈠+房工），則懸的可能取值為（）

A.V3B.2C.孚D.3鏟

11.已知雙曲線/-彳=1">0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fi（-c,0）,F2（c,0）.直線y=%x+

c）與雙曲線左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，且|AB|=4,則下列說法正確的有

)

A.雙曲線的離心率為學(xué)

B.F2F1-F2M=F2A-F2M

C.出51,F2M=F/2?F]MD.|「訓(xùn)|=|尸2*

僅已知函數(shù)若關(guān)于x的方程/(%)=m恰有兩個(gè)不同解

5，則（x2-X1）/（x2）的取值可能是（）

A.-3B.-1C.0D.2

三、填空題

13.若TieZ,且3WnW6,若Q-*)”的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則該常數(shù)項(xiàng)為.

14.已知4B為拋物線C：%2=4y上的兩點(diǎn)，M(-l,2),若祠=面瓦則直線的方程

為.

15.講一個(gè)半徑為5cm的水晶球放在如圖所示的工藝架上，支架是由三根金屬桿PA、PB、PC組成,

它們兩兩成60。角.則水晶球的球心到支架P的距離是cm.

16.某牧場(chǎng)今年初牛的存欄數(shù)為1200,預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長率為5%,且在每年年底賣出100

頭牛.設(shè)牧場(chǎng)從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為數(shù)列q,C2,C3，…，且滿足遞推公式：d+1-

10

k=r(cn-k],｛S=為數(shù)列｛7｝的前n項(xiàng)和,則Si。=(1.O5?1.63答案精確到1).

四、解答題

17.已知遞增等差數(shù)列｛“｝滿足的+=1。，?2-?4=21,數(shù)列｛5｝滿足210g2匕=Gin-1,nE.

N*.

(1)求｛原｝的前n項(xiàng)和Sn；

(2)若7\=正比+(n-1)匕2+…+b”，求數(shù)列｛耳｝的通項(xiàng)公式.

18.在銳角△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且2c2=3+-沖)3-+tanB).

(1)求角4的大小；

(2)若邊a=&,邊BC的中點(diǎn)為。，求中線4。長的取值范圍.

19.如圖甲是由正方形ABCD,等邊AABE和等邊△BCF組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=

6,將其沿AB,BC,AC折起得三棱錐P-ABC,如圖乙.

(1)求證：平面PAC1平面ABC；

(2)過棱AC作平面ACM交棱PB于點(diǎn)M,且三棱錐P-ACM和B-ACM的體積比為

1：2,求直線AM與平面PBC所成角的正弦值.

20.隨著5G商用進(jìn)程的不斷加快，手機(jī)廠商之間圍繞5G用戶的爭(zhēng)奪越來越激烈，5G手機(jī)也頻頻

降價(jià)飛入尋常百姓家.某科技公司為了打開市場(chǎng)，計(jì)劃先在公司進(jìn)行“抽獎(jiǎng)免費(fèi)送5G手機(jī)”優(yōu)惠活動(dòng)

方案的內(nèi)部測(cè)試，測(cè)試成功后將在全市進(jìn)行推廣.

(1)公司內(nèi)部測(cè)試的活動(dòng)方案設(shè)置了第i(iCN+)次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的名額為3i+2，抽中的用戶退出

活動(dòng)，同時(shí)補(bǔ)充新的用戶，補(bǔ)充新用戶的名額比上一次中獎(jiǎng)用戶的名額少2個(gè).若某次抽獎(jiǎng)，剩余

全部用戶均中獎(jiǎng)，則活動(dòng)結(jié)束.參加本次內(nèi)部測(cè)試第一次抽獎(jiǎng)的有15人，甲、乙均在其中.

①請(qǐng)求甲在第一次中獎(jiǎng)和乙在第二次中獎(jiǎng)的概率分別是多少？

②請(qǐng)求甲參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)次數(shù)的分布列和期望？

(2)由于該活動(dòng)方案在公司內(nèi)部的測(cè)試非常順利，現(xiàn)將在全市進(jìn)行推廣.報(bào)名參加第一次抽獎(jiǎng)活

動(dòng)的有20萬用戶，該公司設(shè)置了第i(iCN+)次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為巴=2±*,每次中獎(jiǎng)的用戶退

出活動(dòng)，同時(shí)補(bǔ)充相同人數(shù)的新用戶，抽獎(jiǎng)活動(dòng)共進(jìn)行2n(neN+)次.已知用戶丙參加了第一次抽

獎(jiǎng)，并在這2幾次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中中獎(jiǎng)了，在此條件下，求證：用戶丙參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)次數(shù)的均值小于自

21.已知函數(shù)/(x)=ex+1+ax+a(aGR).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)％之0時(shí)，f(x-1)+ln(x+1)>1,求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

22.如圖，在△力BC中，點(diǎn)4(一1,0),5(1,0).圓/是的內(nèi)切圓，且C/延長線交48于點(diǎn)D,若

C7=2W.

C

DDB

(1)求點(diǎn)C的軌跡0的方程；

(2)若橢圓各*l(a>b>0)上點(diǎn)值,y°)處的切線方程是簧+孝=1，

①過直線2：x=4上一點(diǎn)M引0的兩條切線，切點(diǎn)分別是P、Q,求證：直線PQ恒過定點(diǎn)N；

②是否存在實(shí)數(shù)九使得|PN|+|QN|=4|PN|?|QN|,若存在，求出；I的值，若不存在，說明理

參考答案

L【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】A,B,C

10.【答案】A,C,D

11.【答案】B,D

12.【答案】B,C

13.【答案】-8

14.【答案】x+2y-3=0

15.【答案】5V5

16.【答案】9920

17.【答案】(1)解：設(shè)數(shù)列｛即｝公差為d9>o),由

十十Ou)=L1

解嚼二或｛淖(舍去)，

所以期=14-(n-l)x2=2n-l,

則210g2%=2九一2,即log2bn=九一1,所以刈=2〃-1，

所以數(shù)列｛匕｝的前n項(xiàng)和3==2n-l

(2)解：由⑴知S.=2n-l,

又由「九=Tib]+(71—1)歷+…+6九9

7n=歷+Si+厲)+(hi+/72+—3)+…+(瓦+/+?,,+bn)

=Si+S2+…+S九=(2—1)+(22-1)+…+(2n-1)

2(2n—1)

=(24-22H----1-2n)—n=——---------n=2n+1-2-n

Z—1

18.【答案】（1）解：由余弦定理得2c2=2accosB（￡anA+tanB）,

即。=acosB^tanA+tanB),

由正弦定理得sinC=sinAcosB^tanA+tanB)=sinAcosB(^^+cos^)

sin(A+B)_sinAsinC

=sinAcosBcosAcos8~cosA'

vsinC。0,???sinA=cos4，即=1,

TT77

,**6(0,1),A=

(2)解：由余弦定理得：2=爐+—近be，則房+c2=2+y/2bc-

_,1一一11

|AD|2=-r(AB+AC>)2=-(c2+b2+V2bc)=7y(l+V2bc)

414Z

由正弦定理得&=「J=rJ=2

sinBsinCsinA

所以b=2sinB,c=2sinC?

37rV2

be=4sinBsinC=4sinBsin(—^——B)=(sinBeosB+sin2B)=y/2(-cos2B+sin2B)+V2

~2

TT「

=2sin(2B-4)+魚

(0<B<57r7r

因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，所以37r兀，即

10cl<2

則與<2B—田<<sin(2.B—百)W1,beG(2V2,2+V2]-

中線40長的取值范圍是(孚，空]

19.【答案】（1）證明：如圖，取AC的中點(diǎn)為0,連接BO,PO.

"：PA=PC,：.P0LAC.

'：PA=PC=6,AAPC=90°,

:.PO==3V2,同理BO=3V2.

又PB=6,：.PO2+OB2=PB2,

：.PO1OB.'：ACC\OB=0,AC,OBc平面ABC,

：.PO1平面ABC.

又P。u平面PAC,

平面PAC1平面ABC

(2)解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)邊長關(guān)系可知，71(372,0,0),C(-3版,0,0)，

8(0,3V2,0),P(0,0,3V2),

ACB=(3V2,3V2,0)，CP=(3V2,0,3V2).

\?三棱錐P-ACM和B-ACM的體積比為1；2,

:.PM：BM=1：2,

V2,2V2),

宿=(-3怎V2,2V2).

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z)，

則C3A/2X+3V2y二0

-，令1=1,得7J=(L—1,-1).

l3V2x+3y/2z=0

設(shè)直線AM與平面PBC所成角為0,

則sin。=|cos（俞，n）|=I荒磊I=亨?

...直線AM與平面PBC所成角的正弦值為孚

20.【答案】（1）解：①甲在第一次中獎(jiǎng)的概率為pi=^=4,

乙在第二次中獎(jiǎng)的概率為P2=苣x衾=翳

②設(shè)甲參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的次數(shù)為X,則X=l,2,3,

nzv..51”10816n,v105.10

。5=1)=正=丁P(X=2)=謳XR=而；p(x=3)=正XRX1=麗,

X123

p11610

339W

???LE/(VXA)=<1lx13i+C2x16麗1+c3x10^=25討

(2)證明：丙在第奇數(shù)次中獎(jiǎng)的概率為卷在第偶數(shù)次中獎(jiǎng)的概率為

設(shè)丙參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的次數(shù)為匕“丙中獎(jiǎng)”為事件4則p(a)=i-(1x|r=i-(|r，

令znWn,mGN*,則丙在第2m-1次中獎(jiǎng)的概率P(Y=2m-1)=(|)根-1x1

在第2nl次中獎(jiǎng)的概率P(y=2m)=(|尸-】x|x1=(|)時(shí)]x

即P(Y=2m-1)=P(Y=2m)=(|尸1x

13m-l

在丙中獎(jiǎng)的條件下，在第26-1,27n次中獎(jiǎng)的概率為式耳)，

~PW

則丙參加活動(dòng)次數(shù)的均值為

E(Y)=[(1+2)+5(3+4)+6)2(5+6)+-+(fr-1(2n-1+2n)],

設(shè)S=3+7x焉+llx(5)2+…+(4九-I)。)"""i'

則,S=3x)+7x+…+(4zi—5)(3+(4n—1)(卷)9

Q222Qn-1&n

?拿=3+4后+電+…+電]-(4n-l)(f)-

5=學(xué)_12與27(|嚴(yán)_1,

45

所以E（Y）=2n

5。-電Q)

21.【答案】(1)解：由題知/(%)=蛾+】+。％+。，/(%)的定義域?yàn)镽,

?**/(%)=ex+1+a?

(對(duì)函數(shù)/(%)求導(dǎo)后.由于y=e%+i恒大于0,故對(duì)a進(jìn)行正負(fù)分類討論，從而判斷函數(shù)/(%)

的單調(diào)性)

當(dāng)a之。時(shí)，/(%)>0在R上恒成立，故/(%)在R上是增函數(shù)：

當(dāng)a<0時(shí)，令/(%)=0得%=ln(-a)-1,

在(―8,ln(—a)—1)上有f(%)<0，在(ln(—a)—1,4-oo)上有f(%)>o，

/./(x)在(-oojn(-a)-1)上是減函數(shù),在(ln(-a)-1,+8)上是增函數(shù)

(2)解：當(dāng)1之0時(shí)，/(x-1)+ln(x+1)>1,

即ex+ax+ln(x+1)-1>0,(*)

令g(x)=ex+ax+ln(x+1)—1(%>0),

則9(x)=e”++a(x>0).

①若a>-2,由(1)知，當(dāng)a=-l時(shí)，/(%)=ex+1-x-1在(一1,+8)上是增函數(shù)，

故有/(x)>f(-1)=e-1+1+1-1=1,

即f(%)=e"+i-x-1>1,得ex+1>%4-1+1,故有ex>14-x.

(由(1)可判斷e^>l+x,此不等式為常見不等式，熟記更利于解題)

(當(dāng)且僅當(dāng)％+1=占，即久=0,且a=—2時(shí)取等號(hào))

(根據(jù)ex>l+x及基本不等式可知需對(duì)a和-2的大小分類討論)

...函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,+oo)上單調(diào)遞增，

，g(x)?g(。)=o，，(*)式成立?

②若a<—2,令<p(x)-ex+a，

則w'(x)=ex-----=(x+1)>o,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.

。+1)(x+1)

函數(shù)(p(x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增.

V(p(O)=2+a<0,

1I1

租(-a)=e-a+T—+a>l-a+1―+a=1+T—>0,

/.3x0e(0,-a)，使得(p(Xo)=0，

則當(dāng)OVxV'o時(shí)，？(%)V0(%o)=0,即g'(x)V0.