高考數(shù)學(xué)（理）精優(yōu)大一輪復(fù)習(xí)人教通用版講義第1講集合

第一單元

集合與常用邏輯用語(yǔ)

第1講集合

課前雙基鞏固

___-7褊菽口識(shí);百畝套點(diǎn)一

知識(shí)聚焦:

1.元素與集合

⑴集合元素的性質(zhì):、、無(wú)序性.

⑵集合與元素的關(guān)系:。屬于，記為:②不屬于，記為.

⑶集合的表示方法:列舉法、和.

⑷常見(jiàn)數(shù)集及記法

一自然數(shù)正整數(shù)的叫3有理數(shù)

-整數(shù)集生實(shí)數(shù)集

集集集

2.集合間的基本關(guān)系

文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言記法

集合/I中的

羔6或

子集都是集合中的元XG力=xGB

素

集合力是集合8的

基本真A___

子子集,但集合/?中—/kB,3蜀6

關(guān)系或

集B

有一個(gè)元素不屬B/O&A

醫(yī)A

于力

集合4夕的兀素完

相等AQB,膽A

全——

—任何元素的

VA；A^0,

空集集合，空集是任1可0

。q力

集合的子集

3.集合的基本運(yùn)算

表

示文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言記法

運(yùn)算

屬于A(yíng)____

屬于〃的元

交集

素組成的集

合

屬于1_

并集

屬于夕的元

素組成的集

合

全集〃中_

屬于A(yíng)的元{x/x￡U,

補(bǔ)集

素組成的集xAi

合

4.集合的運(yùn)算性質(zhì)

(1)并集的性質(zhì)：，4Uo=A；A(JA=A；AUB=；JUB==醫(yī)A.

(2)交集的，百FC0=0；AQA=A；Ar\B=BQA',AnB=A<^>AB.

⑶補(bǔ)集的性質(zhì)：，4U(1M=%n;

;［I(Au?=((M(［的;(ri功=.u

常用結(jié)論

(1)非常規(guī)性表示常用蜂如{xx=2("T),"€Z)為偶穌{x/x*土為奇數(shù)集等.

⑵?！鰝€(gè)集合的真子集必是其子集，一個(gè)集合的子集不一定是其真子集；

②(I何一個(gè)集合是它本身的子集；

闞于集合A,B￡若AcB應(yīng)C則Ac6(真子集也滿(mǎn)足)；

/七丹則有A=e>和4片0兩種可能.

⑶集合子集的個(gè)數(shù):集合A中有〃個(gè)元素，則集合A有2"個(gè)子集、2"-1個(gè)真子集、29個(gè)非空子集、2"-2個(gè)非空真

子集.集合元素個(gè)數(shù):card(，U25=card(力*card⑶■cardan歷(常用在實(shí)際問(wèn)題中).

對(duì)點(diǎn)演練:

題組一常識(shí)題

L［教材改編］已知集合月0,1,Vf。若"W4則實(shí)數(shù)x的值為.

2.［教材改編］已知集合4#,公若4U6={a滴,c},則滿(mǎn)足條件的集合8有個(gè).

3.［教材改編〕設(shè)全集的R,集合4={x/0WxW2},廬{y/lWZ3},則(Cd)U斫____________.

4.［教材改編］已知集合4=(-1,1},廬(用才+2}.若/1A戶(hù){1},則實(shí)數(shù)a的值為.

題組二常錯(cuò)題

?索引:忽視集合元素的性質(zhì)致錯(cuò);對(duì)集合的表示方法理解不到觸I錯(cuò);忘記空集的情況導(dǎo)致出錯(cuò);忽視集合運(yùn)算中端

點(diǎn)取值致錯(cuò).

5.已知集合<={1,3,標(biāo)},以1,0},若限,4,則m=.

6.已知xGN,yGN,#={(w)/x+j<2}“g{(w)/*-介廁材。N中元素的個(gè)數(shù)是.

7.已知集合V={x/x-a=O},；V={x/a%-l=0},若MlN或則實(shí)數(shù)a的值是.

8.設(shè)集合,4={^//x-a/<l,x6R},/?={%/!<v<5,xGR},若￡則a的取值范圍為.

課堂考點(diǎn)探究

一施前導(dǎo)應(yīng)京版結(jié)值荽型一

哪究點(diǎn)一集合的含義與表示

例1⑴［2018?全國(guó)卷〃］已知集合44卬)川曠在3/￡乙小乙則/中元素的個(gè)數(shù)為()

A.9B.8

C.5D.4

⑵設(shè)集合力4M,23T/},ZH9/T,1-句,且集合力,4中有唯一的公共元素9,則實(shí)數(shù)a的值為.

［總結(jié)反思］解決集合含義問(wèn)題的關(guān)鍵有三點(diǎn):一是確定構(gòu)成集合的元素;二是確定元素的限制條件;三

是根據(jù)元素的特征（滿(mǎn)足的條件）構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問(wèn)題.特別提醒含字母的集合問(wèn)題,在求出字母的

值后，需要驗(yàn)證集合的元素是否滿(mǎn)足互異性.

變式題⑴已知集合則下列表示正確的是（）

A.-KJB.-11G/4

C.3A2-iejD.-34知

（2）［2018?上海黃浦區(qū)二模］已知集合2,3},廬（1,班若3-/“4則非零實(shí)數(shù)w的值是.

琳究點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系

例2⑴［2018?武漢4月調(diào)研］已知集合，片"「=1},修x/ax=l},若歸必則實(shí)數(shù)a的取值集合為

（）

A.{1}B.{-1,1}

C.{1,0}D.{1,-1,0}

⑵設(shè)集合歸x/x巧Ya耘,ae中人氣力/封彥留方也力eR},則下列關(guān)系中正確的是（）

kM=NB..醫(yī)N

C.ASMD.J/GN

［總結(jié)反思］（1）一般利用數(shù)軸法、Venn圖法以及結(jié)構(gòu)法判斷兩集合間的關(guān)系,如果集合中含有參數(shù)，需要

對(duì)式子進(jìn)行變形,有時(shí)需要進(jìn)一步對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論.

⑵確定非空集合A的子集的個(gè)數(shù)，需先確定集合.4中的元素的個(gè)數(shù).特別提醒:不能忽略任］可非空集合是

它自身的子集.

⑶根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)值（或取值范圍）的關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素滿(mǎn)足的式子或區(qū)間端點(diǎn)間的

關(guān)系,常用數(shù)軸法、Venn圖法.

變式題⑴設(shè)weR,集合句（孫）//=>},廬{（孫）I卜J,則集合A,B間的關(guān)系為（）

A.A^BB.醫(yī)4

C.A=BD.4n6=0

⑵已知集合H"xWl}“V=（"aWxW3a*l},若廁a的取值范圍是.

哪究點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算

角度1集合的運(yùn)算

例3⑴［2018?長(zhǎng)沙周南中學(xué)月考］已知集合以"/⑴,則（）

A.A（yB={xlx<\}

B.JUB={xlx<e}

C/U（CR囪玉

D.（CMC歸Woa。}

(2)[2018?山西大學(xué)附中5月調(diào)研]已知集合/l={x/2'Wl},四x/lnxd},則AUB=()

A.{x/x<o\B.{x/OWxWe}

C.{*/xWe}D.{x/x>e}

［總結(jié)反思］對(duì)于已知集合的運(yùn)算，可根據(jù)集合的交集和并集的定義直接求解，必要時(shí)可結(jié)合數(shù)軸以及

Venn圖求解.

角度2利用集合運(yùn)算求參數(shù)

例4⑴已知集合A=［x^Z-4x-5<0},5={A-/4AQ8中有三個(gè)元素很域數(shù)"，的取值范圍是()

A.［3,6)B.［1,2)

C.［2,4)D.(2,4］

⑵設(shè)全集廬R,集合集合廬{x/x?},若(CMHB=0廁p應(yīng)該滿(mǎn)足的條件是()

A.p〉lB.1

C.p<1D.pWl

［總結(jié)反思］根據(jù)集合運(yùn)算求參數(shù)，要把集合語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為方程或不等式,然后解方程或不等式，再利用數(shù)

形結(jié)合法求解.

角度3集合語(yǔ)言的運(yùn)用

例5⑴已知集合S={0,l,2,3,4,5},/是$的f子集，當(dāng)xGA時(shí)，若有x-l^A且戶(hù)侔4則稱(chēng)x為4的一個(gè)

"孤立元素"，那么S的無(wú)"孤立元素”的非空子集的個(gè)數(shù)為()

A.16B.17C.18D.20

{a+b,a與匕的奇偶性相同，

⑵對(duì)于&6GN,規(guī)定a*bg集合；l/={(a,Z>)ja*b46,a，bGN),則必中的元素個(gè)數(shù)

(axb,a與b的奇偶性不同，

為.

［總結(jié)反思］解決集合新定義問(wèn)題的關(guān)鍵是：

⑴準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化:解決新定義問(wèn)題時(shí)，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，緊扣題目所給定義，結(jié)合題目的要求進(jìn)

行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義相混淆.

⑵方法選取:對(duì)于新定義問(wèn)題,可恰當(dāng)選用特例法、篩選法、一般邏輯推理等方法，并結(jié)合集合的相關(guān)性

質(zhì)求解.

第1講集合

考試說(shuō)明1.集合的含義與表示：

⑴了解集合的含義、元素與集合的屬于關(guān)系；

⑵能用自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言(列舉法或描述法)描述不同的具體問(wèn)題.

2.集合間的基本關(guān)系：

⑴理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集；

⑵在具體情境中，了解全集與空集的含義.

3.集合的基本運(yùn)算：

⑴理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義,會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集；

⑵理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集；

⑶能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合間的關(guān)系及運(yùn)算.

【課前雙基鞏固】

知識(shí)聚焦

1.⑴確定性互異性⑵G陣⑶描述法圖示法(4)NN或NZQR

2.任意一個(gè)元素限4至少曙相同A=B不含

3.且且ACiB或或AU8不陣［淵

A(2)￡(3)0ACl①處((同

對(duì)點(diǎn)演練

L4或1［解析］因?yàn)?64所以/~5產(chǎn)/,解得才=1或尸1.

2.4［解析］因?yàn)?4U和即=(喇,所以滿(mǎn)足條件的集合力可以是｛，｝,｛矣｝,｛麗｝,｛她》所以滿(mǎn)足條件的

集合4有4個(gè).

3.(-8,O)U口,+8)［解析］因?yàn)榛騲e｝,F｛y/lWj<3｝fJHU(CMU8=(-8,o)u［l,+8).

4.1［解析］由題意可得1又才+2,2,故a=l,此時(shí)廬｛1,3｝,符合題意.

5.0或3［解析］因?yàn)獒t(yī)4所以折3或3/正，即折3或0=0或/1,根據(jù)集合元素的互異性可知,*1,

所以次=0或3.

6.4［解析］依題意得修(0,2),(0,1),(1,1),(0,0),(1,0),(2,0)｝,所以0n月(1,1),(0,0),(1,0),⑵0)｝,所以wn.v中

有4個(gè)元素.

7.05g1或T［解析］易得,歸處必.：岫3或A=%：a=0或a=±\.

8.2WaW4［解析］由x-a/<l得-4Q+1,由其占得｛::或'WaW

4.

【課堂考點(diǎn)探究】

例1［思路點(diǎn)撥］(1)根據(jù)列舉法，確定圓及其內(nèi)部整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)因?yàn)?G4,所以依據(jù)2aTR或才內(nèi)

分類(lèi)求解，但要注意集合元素的互異性.

⑴A(2)-3［解析］⑴當(dāng)x=-\時(shí)，*T,0,1；當(dāng)產(chǎn)0時(shí)，片T,0,1；當(dāng)x=\時(shí)，片T,0,1.所以集合

?X(T,T),(T,0),(-Ll),(0,T),O0),(0,1),(1,T),(L0),(1」)｝洪有9個(gè)元素.

⑵：?集合A,B中有唯一的公共元素9,.：9e4

若2a-lR,即a巧，此時(shí)因Y,9,25},%9,0,M},則集合獨(dú)中有兩個(gè)公共元素司,9,與已知矛盾,舍去.

若a：'=9,則a=±3,當(dāng)a=3時(shí)月X-4,9,5},廬(-2,-2,9},6中有兩個(gè)元素均為-2,與集合中元素的互異性矛盾，

應(yīng)舍去；

當(dāng)a=-3時(shí),4=(』-7,9},6={9,-8,4},符合題意.

綜上所述,a=-3.

變式題(1)C(2)2［解析］⑴當(dāng)在=0時(shí),x=T,所以TC/1,所以A錯(cuò)誤;令-114公1得〃=學(xué)乙所以-11

M所以B錯(cuò)誤;令-34力hL得仁-11,所以-34G4所以D錯(cuò)誤;因?yàn)橐耬Z,所以如6乙則3Ale4所以c

正確.

⑵由題知，若39之,則加1,此時(shí)集合3不符合元素的互異性，故腎1；

若3-〃尸1,則片2,符合題意；

若3-/肝3,則勿割不符合題意.故答案為2.

例2［思路點(diǎn)撥］⑴先求出集合，修彳/41}11,1},當(dāng)村和收0時(shí)，分析集合A；再根據(jù)集合區(qū)A，的關(guān)

系求可⑵把集合對(duì)應(yīng)的函數(shù)化簡(jiǎn)，求出集合MA；即可得跖V.的關(guān)系.

(1)D(2)A［解析］⑴丁集合游歸

?:當(dāng)aR時(shí),A5成立；

當(dāng)B0時(shí)，對(duì)：},貝*=T或;=L

解得a=~\或a=\.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值集合為故選D.

⑵集合M={x/x=5-Aa-f-a2,aER}4Y/X21},

N={y/y=Alj用力+2/W^}={yfy={Zb^\)'A,b^-R}={yI1},.*M=N.

變式題(1)B⑵a<T或a，l［解析］⑴由題意得，集合e(x,y)/片x}表示直線(xiàn)y=x上的所有點(diǎn)，集合

廬'w)I羽)表示直線(xiàn)―v上除點(diǎn)(0,0)外的所有點(diǎn)，所以應(yīng)4故選B.

⑵當(dāng)滬a時(shí)由a>3a+l得a<［,滿(mǎn)足—；當(dāng)A+0時(shí)由,1/nN=z得解得a>\.所以a的

取值范圍是a<］或a>\.

例3［思路點(diǎn)撥］⑴先求出廉/,鼠場(chǎng)再判斷各選項(xiàng)是否正確;⑵先求出4月中不等式的解集，確定出集合

4a再求出兩集合的并集即可.

⑴C(2)A［解析］⑴：,集合4={x/xQ},廬{x/e*Q}=(x/x<0},

.：［R^/X>0},［R/I={A-/A->1}.易知AQ族(x/x<0},故A錯(cuò)誤；

4U歸x/x<1},故B錯(cuò)誤源U(CM術(shù)，故C正確;(［洶C8卻，故D錯(cuò)誤.故選C.

⑵集合/={x/2"Wl}={x/啟0},8={x/lnx<l}={x/O<x<e},.*JU3mx/x⑹，故選A.

例4［思路點(diǎn)撥］⑴分別求出集合A和￡根據(jù),加B中有三個(gè)元素，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)根據(jù)補(bǔ)

集、交集和空集的定義即可得出P滿(mǎn)足的條件.

(1)C(2)B［解析］⑴集合/HxeZ/f心巧<0月0,1,2,3,4},以x/4'印十|工>卦中有三個(gè)元

素,解得2。?.：實(shí)數(shù)w的取值范圍是［2,4).

⑵：?全集廬R,集合集合B=［xlxM

例5［思路點(diǎn)撥］(1)按照S的無(wú)"孤立元素”的非空子集所含元素個(gè)數(shù)的多少分類(lèi)討論，可得出結(jié)果;(2)

根據(jù)定義分情況討論滿(mǎn)足條件的點(diǎn)(a*)的個(gè)數(shù)，從而得出M中的元素個(gè)數(shù).

(1)D⑵41［解析］⑴根據(jù)"孤立元素”的定義知，單元素集合都含"孤立元素".5的無(wú)"孤立元素”

且含2個(gè)元素的子集為{0,1},{1,2},{2,3},{3,4},{4,5},共5個(gè);S的無(wú)“孤立元素”且含3個(gè)元素的子集為

{0,1,2},{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},共4個(gè);S的無(wú)"孤立元素"且含4個(gè)元素的子集為

{0,1,2,3},{0,1,3,4},{0,1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5},共6個(gè);S的無(wú)"孤立元素”且含5個(gè)元素的子集為

{0,1,2,3,4},{1,2,3,4,5},{0,1,2,4,5},{0,1,3,4,5},ft4個(gè);S的無(wú)“孤立元素”且含6個(gè)元素的子集為{0,1,2,3,4,5},

共1個(gè).故S的無(wú)"孤立元素”的非空子集有5用母=20(個(gè)).

⑵由a勸=36,a/eN,知，

若a和％一奇T禺廁aXb=36,滿(mǎn)足此條件的有1X36=3*12=1乂9,故點(diǎn)(a/)有6個(gè)；

若a和b同奇同偶廁a止36,滿(mǎn)足此條件的有1+352+344+33^+32=...=18+18,共18組，

故點(diǎn)(a,6)有35個(gè).

所以"中的元素個(gè)數(shù)為41.

I教師備用例題本欄目為教師專(zhuān)用.

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【備選理由】例1考查對(duì)兩集合之間關(guān)