湖北省荊州市重點高中2023-2024學年高一上學期12月學生素養(yǎng)測試數(shù)學試題

荊州市省市重點高中2023級高一學生素養(yǎng)測試數(shù)學試題注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單選題（每小題5分，共40分，在每小題所給的四個選項中只有一個選項是符合題目所給的題意的）1.有理數(shù)、、在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】觀察數(shù)軸，確定的正負，再去絕對值符號即得.【詳解】觀察數(shù)軸，，因此，所以.故選：B2.如圖，將的按下面的方式放置在一把刻度尺上，頂點與尺下沿的端點重合，與尺下沿重合，與尺上沿的交點在尺上的讀數(shù)為，若按相同的方式將的放置在該刻度尺上，則與尺上沿的交點在尺上的讀數(shù)與下列哪項最接近（）（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)，，）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合正切函數(shù)的定義即可求解.【詳解】依題知，為等腰直角三角形，則，，則，在，，即，故點在尺上的讀數(shù)約為故選：C3.如圖，在菱形中，，，點在邊上，且.若直線經(jīng)過點，將該菱形的面積平分，并與菱形的另一邊交于點，則線段的長為（）A. B. C. D.5【答案】C【解析】【分析】連接交于O，延長交于點F，由三角形全等可得點F滿足題意且，過作，垂足為，結(jié)合直角三角形分析求解.【詳解】連接交于O，延長交于點F，因為，可知，則點F滿足題意，且，過作，垂足為，由題意可知：，則，可得，則，所以線段的長為.故選：C.4.如圖，將左邊正方形剪成四塊，恰能拼成右邊的矩形.若，則這個正方形的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩個圖形面積相等先求解出的值，然后即可求解出正方形面積.【詳解】左邊正方形的面積為，右邊長方形的面積為，所以且，所以，解得（舍去負值），所以正方形面積為，故選：A.5.歐拉（L.Euler，17071783）是世界上著名的數(shù)學家、天文學家、物理學家.在歐拉的著作《代數(shù)引論》中有這樣一個有趣的題：兩個農(nóng)婦一共帶了100個雞蛋去集市賣，兩人所帶雞蛋個數(shù)不相同，但賣得的錢數(shù)相同.第一個農(nóng)婦說：“如果我有你那么多雞蛋就可以賣15個克羅索（克羅索是古代歐洲的一種貨幣名稱）.”第二個農(nóng)婦答道：“如果我有你那么多雞蛋就只能賣個克羅索.”試問這兩名農(nóng)婦各帶了多少個雞蛋？設(shè)第一個農(nóng)婦帶了個雞蛋，根據(jù)兩人賣得的錢數(shù)相同，可列方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出第二個農(nóng)婦帶的雞蛋個數(shù)，再根據(jù)各自的敘述列出方程即得.【詳解】由第一個農(nóng)婦帶了個雞蛋，得第二個農(nóng)婦帶了個雞蛋，則按她們的說法，第一個農(nóng)婦雞蛋賣得的錢數(shù)為，第二個農(nóng)婦雞蛋賣得的錢數(shù)為，所以故選：B6.如圖，已知，為反比例函數(shù)的圖象上一點，以為直徑的圓的圓心在軸上，與軸正半軸交于，則反比例函數(shù)解析式為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)與軸的另一個交點為，連接，利用勾股定理求出的半徑，再利用得到線段的比例關(guān)系從而求出點的坐標，代入求出即可.【詳解】設(shè)與軸的另一個交點為，連接，如圖：設(shè)的半徑為，，，在中，，，解得，，，，，，為反比例函數(shù)的圖象上一點，，得，即反比例函數(shù)解析式為.故選：C.7.有2個信封，第一個信封內(nèi)的四張卡片上分別寫有1，2，3，4，第二個信封內(nèi)的四張卡片上分別寫有5，6，7，8，甲、乙兩人商定了一個游戲，規(guī)則是：從這兩個信封中各隨機抽取一張卡片，得到兩個數(shù).為了使大量次游戲后對雙方都公平，獲勝規(guī)則不正確的是（）A.第一個信封內(nèi)取出的數(shù)作為橫坐標，第二個信封內(nèi)取出的數(shù)作為縱坐標，所確定的點在直線上甲獲勝，所確定的點在直線上乙獲勝B.取出的兩個數(shù)乘積不大于15甲獲勝，否則乙獲勝C.取出的兩個數(shù)乘積不小于20時甲得5分，否則乙得3分，游戲結(jié)束后，累計得分高的人獲勝D.取出的兩個數(shù)相加，如果得到的和為奇數(shù)，則甲獲勝，否則乙獲勝【答案】A【解析】【分析】畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，分別求出各個選項中甲、乙包含的的基本事件數(shù)量即可得答案.【詳解】畫樹狀圖如下：對于A：由樹狀圖可知，共有種等可能的結(jié)果，其中所確定的點在直線上的點有共個，所確定的點在直線上的點有共個，故兩種情況下的基本事件個數(shù)不一樣，即兩種情況下概率不一樣，選項A符合題意；對于B：由樹狀圖可知，共有種等可能的結(jié)果，其中兩個數(shù)乘積大于15的有共8種，則兩個數(shù)乘積不大于15的也有8種，故兩種情況下的基本事件個數(shù)一樣，即兩種情況下概率一樣，選項B不符合題意；對于C：由樹狀圖可知，共有種等可能的結(jié)果，其中取出的兩個數(shù)乘積不小于20的有共6種，則取出的兩個數(shù)乘積小于20的有10種，，選項C不符合題意；對于D：由樹狀圖可知，共有種等可能的結(jié)果，其中取出的兩個數(shù)相加和為奇數(shù)的有共8種，則取出的兩個數(shù)相加和為偶數(shù)的有8種，故兩種情況下的基本事件個數(shù)一樣，即兩種情況下概率一樣，選項D不符合題意；故選：A.8.已知二次函數(shù)的圖象與直線有且只有一個公共點，且當時，函數(shù)的最小值為，最大值為1，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)條件求解出的值，然后結(jié)合二次函數(shù)的圖象分析在時，由此求得的取值范圍.【詳解】因為的圖象與直線有且只有一個公共點，所以僅有一個解，所以僅有一個解，所以，所以，所以即為，令，且開口向下，對稱軸為，，如下圖：又因為在上的最大值為，最小值為，由圖象可知：，故選：C.二、多選題（每小題5分，共20分，在每小題所給的四個選項中有多個選項是符合題目所給的題意的，漏選得2分，選錯得0分）9.下列說法正確的有（）A.命題“任意兩個正數(shù)、，且”的否定是“存在兩個正數(shù)、，或”B.已知為全集，“”的充要條件是“”C.已知、均為非零實數(shù)，則“”是“”的充分不必要條件D.已知，為實數(shù)，則“”的必要不充分條件是“”【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系直接得出A；由集合之間的關(guān)系得出B；舉反例判斷C；構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性可判斷D.【詳解】A：根據(jù)特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系直接得出A正確；B：等價于A是B的子集，等價于，即“”的充要條件是“”，故B正確；C：舉反例.設(shè)，，系數(shù)比滿足，但它們的解集不同，故不能推出，故C錯誤；D：構(gòu)造函數(shù)，則，因為在上遞增，所以，所以，是的充要條件，故D錯誤；故選：AB10.下列說法正確的是（）A.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則B.函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是C.已知，，，則恒成立D.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于點中心對稱【答案】AC【解析】【分析】利用冪函數(shù)定義及性質(zhì)求出判斷A；利用分段函數(shù)單調(diào)性求出范圍判斷B；作差與0比較判斷C；求出函數(shù)對稱中心坐標判斷D.【詳解】對于A，依題意，，解得，A正確；對于B，依題意，，解得，B錯誤；對于C，依題意，，C正確；對于D，依題意，，，即，令，則，，所以的圖象關(guān)于點中心對稱，D錯誤.故選：AC11.下列有關(guān)最值的結(jié)論中，正確的是（）A.已知，則函數(shù)的最大值為0B.已知，，則的最小值為8C.已知，，，則的最大值為4D.已知，為實數(shù)，則的最大值為【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式，結(jié)合基本不等式的“1”的妙用逐項計算判斷即可.【詳解】對于A，，則，，當且僅當，即時取等號，A錯誤；對于B，由，，得，且，，當且僅當，即時取等號，B正確；對于C，，由，得，解得，當且僅當時取等號，C正確；對于D，顯然要取到最大值，必有，此時，當且僅當，即時取等號，D錯誤.故選：BC12.已知函數(shù)，則下列關(guān)于的方程的命題正確的有（）A.存在實數(shù)，使得方程恰有1個實根B.不存在實數(shù)，使得方程恰有2個不等的實根C.存在實數(shù)，使得方程恰有3個不等的實根D.不存在實數(shù)，使得方程恰有4個不等的實根【答案】ACD【解析】【分析】令，，利用圖象分別研究，，，，下的根的情況.【詳解】令，，作出函數(shù)，的圖象如圖：，，，，當時，，方程無解，即方程無解；當時，，解得，此時恰有一個根，即方程恰有一個根；當時，，解得，此時恰有一個根，即方程恰有一個根；當時，，，有一個根在內(nèi)，另一根在內(nèi)，此時方程恰有兩個不等實根；當時，，，有一個根內(nèi)，另一根在內(nèi)，此時方程恰有三個不等實根；故選：ACD.三、填空題（4小題，每小題5分，共20分）13.若關(guān)于的方程的三個根恰好可以組成某直角三角形的三邊長，則的值為__________.【答案】【解析】【分析】由可得方程的根為，其中是方程的兩根，分為斜邊和為一條直角邊兩種情況，利用韋達定理計算即可.【詳解】由可得方程的根為，其中是方程的兩根，所以，當為斜邊時，，解得，不滿足，舍去；當為一條直角邊時，設(shè)為斜邊，則，即，解得，滿足.故答案為：.14.如下圖，分別過點（，2，…，）作軸的垂線，交的圖象于點，交直線于點.則的值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)的縱坐標和的縱坐標的絕對值之和為的長，表示出，然后利用裂項相消法即可求解.【詳解】由已知，，故答案為：.15.已知，，則__________.（結(jié)果用，表示）【答案】【解析】【分析】應(yīng)用指對互化及對數(shù)的運算律及換底公式即可.【詳解】，則，，則，則，故答案為：16.函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當時，.若對任意的，均有成立，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，進而可得結(jié)果.【詳解】∵是定義在上的偶函數(shù)，且當時，，所以當時，，則，∴，則，則等價于，當時為增函數(shù)，則，即對任意恒成立，設(shè)，則，解得，又，所以.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是：依題意將問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立.四、解答題（6小題，共70分）17.若關(guān)于的一元一次不等式組的解集是，求關(guān)于的分式方程的非負整數(shù)解.【答案】或2或3【解析】【分析】由不等式組的解確定的取值范圍，再解分式方程即可得答案.【詳解】由不等式組，解得，而不等式組的解集為，則，由分式方程，解得且，于是，即且，又為非負整數(shù)且，因此或或，所以分式方程的非負整數(shù)解為0或2或3.18.已知關(guān)于的一元二次方程.（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍；（2）當取滿足（1）中條件的最小整數(shù)時，設(shè)方程的兩根為和，求代數(shù)式的值.【答案】（1）且；（2）2027.【解析】【分析】（1）利用判別式大于0，列出不等式求解即得.（2）由（1）求出，再利用韋達定理計算即得.【小問1詳解】依題意，且，解得且，所以取值范圍是且.【小問2詳解】由（1）知，且，，則，此時方程變?yōu)?，于是，又，，即，，因此，所?19.如圖①，一張矩形紙片，其中，，先沿對角線對折，點落在點的位置，交于點.（1）線段與是否相等？請說明理由；（2）如圖②，再折疊一次，使點與點重合，得折痕，交于點，求和長.【答案】（1），理由見解析（2），.【解析】【分析】（1）通過證明可得結(jié)果；（2）設(shè)，，在中利用勾股定理列方程求出，再利用，線段成比例可求出.【小問1詳解】，理由：如圖①，由對折和圖形的對稱性可知，，，在矩形中，，，，，在和中，，，，，；【小問2詳解】如圖②，設(shè)，，則有：，，，在中，，，，即解得：.，，又，，，，即：，解得：，即：，所求的、長分別為，.20.如圖，邊長為8的正方形的兩邊在坐標軸上，以點為頂點的拋物線經(jīng)過點，點是拋物線上點A，間的一個動點（含端點），過點作于點，點，的坐標分別為，，連接，，.（1）小明探究點的位置發(fā)現(xiàn)：當點與點A或點重合時，與的差為定值，進而猜想：對于任意一點，與的差為定值，請你判斷該猜想是否正確，并說明理由；（2）小明進一步探究得出結(jié)論：若將“使的面積為整數(shù)”的點記作“特別點”，則存在多個“特別點”，且使的周長最小的點也是一個“特別點”.請直接寫出所有“特別點”的個數(shù)，并直接寫出周長最小時“特別點”的坐標.【答案】（1）正確，理由見解析（2）11個“特別點”，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求拋物線的解析式，設(shè)，結(jié)合兩點間距離公式分析判斷；（2）過點P做軸，垂足為H，設(shè)，利用割補法整理得，結(jié)合題意分析判斷；結(jié)合（1）分析可得，可得當P、E、F三點共線時，周長最小.【小問1詳解】正確，理由如下：因為邊長為8的正方形的兩邊在坐標軸上，以點為頂點的拋物線經(jīng)過點A，則，，設(shè)拋物線解析式為：，則，解得：.故拋物線的解析式為：；設(shè)，則，因為，可得，，所以.【小問2詳解】過點P做軸，垂足為H，設(shè)，則，當時，則；當時，則；當時，則；當時，則；當時，則；綜上所述：，，當時，取最大值13；當時，取最小值為4；所以，當時，或，即有2個點P；根據(jù)二次函數(shù)對稱性可知：當且為整數(shù)，共有9個；所以共有11個“特別點”．當點P運動時，DE大小不變，則PE與PD的和最小時，的周長最小，因為，即，可得，當P、E、F三點共線時，最小，此時點P，E的橫坐標都為4，將代入得，即，此時的周長最?。?1.已知函數(shù)的圖像關(guān)于原點中心對稱.（1）求實數(shù)的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；（3）已知，，若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）1（2）在上是減