期中模擬預(yù)測(cè)卷01（解析版）

2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬預(yù)測(cè)卷01考生注意：1．本試卷含三個(gè)大題，共21題．答題時(shí)，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無(wú)效．2．除第一、二大題外，其余各題如無(wú)特別說(shuō)明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出解題的主要步驟．一．填空題（共12小題）1．平面直角坐標(biāo)系中，若角α＝532°，則α是第二象限的角．【分析】直接利用終邊相同的角的表示化簡(jiǎn)求解即可．【解答】解：532°＝360°+172°，172°與532°終邊相同，是第二象限角．故答案為：二．【點(diǎn)評(píng)】本題考查終邊相同的角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．2．函數(shù)f（x）＝sinxcosx的最大值是．【分析】利用二倍角的正弦函數(shù)公式將函數(shù)解析式變形，根據(jù)正弦函數(shù)的值域，即可得到函數(shù)f（x）的最大值．【解答】解：f（x）＝sinxcosx＝sin2x，∵﹣1≤sin2x≤1，∴﹣≤sin2x≤，則f（x）的最大值為．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二倍角的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．3．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知，則b＝4．【分析】利用余弦定理，即可得解．【解答】解：由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bccosA，所以5＝b2+4﹣4b×，化簡(jiǎn)得（4b+1）（b﹣4）＝0，解得b＝4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形中余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．4．點(diǎn)（a＜0）是角α終邊上一點(diǎn)，那么sinα＝．【分析】由已知求得|OP|，再由正弦函數(shù)的定義求解．【解答】解：∵（a＜0）到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為|OP|＝，∴sinα＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題．5．在直角坐標(biāo)系xOy中，x軸在正半軸上一點(diǎn)M依逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)M一分鐘轉(zhuǎn)過(guò)角α（0＜α＜π），2分鐘到達(dá)第三象限，7分鐘回到原來(lái)位置，則α＝．【分析】由k?2π+π＜2α＜k?2π+（k∈Z），以及7α＝n?2π（n∈Z），可得α＝，再根據(jù)n的范圍，求得α的值．【解答】解：∵0＜α＜π，且由題意，可得k?2π+π＜2α＜k?2π+（k∈Z），則必有k＝0，于是＜α＜，又7α＝n?2π（n∈Z），∴α＝，∴＜＜，則＜n＜，∴n＝2，故α＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查象限角、終邊相同的角的概念和求法，關(guān)鍵是依據(jù)題中的已知條件列出關(guān)于θ，α的等式和不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．6．已知f（x）＝atanx+bsin2x﹣3，且f（2）＝﹣1，則f（﹣2）＝﹣5．【分析】令g（x）＝f（x）+3，易判斷函數(shù)g（x）為定義在R上的奇函數(shù)，結(jié)合f（2）＝﹣1可得g（﹣2）＝f（﹣2）+3＝﹣2，由此求得f（﹣2）＝﹣5．【解答】解：設(shè)g（x）＝f（x）+3＝atanx+bsin2x，易知函數(shù)g（x）為定義在R上的奇函數(shù)，∴g（﹣2）＝﹣g（2）＝﹣f（2）﹣3＝1﹣3＝﹣2，即f（﹣2）+3＝﹣2，∴f（﹣2）＝﹣5．故答案為：﹣5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性的運(yùn)用，考查函數(shù)求值，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．7．扇形面積為16，圓心角為2弧度，則該扇形的弧長(zhǎng)為8．【分析】先利用扇形的面積公式求得扇形的半徑，再由弧長(zhǎng)公式，得解．【解答】解：扇形面積S＝αR2＝×2×R2＝16，所以扇形的半徑R＝4，所以該扇形的弧長(zhǎng)l＝αR＝2×4＝8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形的面積和弧長(zhǎng)公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．8．已知tanθ＝2，則＝﹣．【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)即可求解．【解答】解：因?yàn)閠anθ＝2，所以＝＝﹣＝﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．9．已知向量，方向相反，且，，則在方向上的數(shù)量投影為﹣4．【分析】根據(jù)投影的定義，應(yīng)用公式在方向上的數(shù)量投影為||cosπ，求解即可．【解答】解：向量，方向相反，且，，根據(jù)投影的定義可得：在方向上的數(shù)量投影為||cosπ＝﹣4．故答案為：﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量投影的定義及求解的方法，公式與定義兩者要靈活運(yùn)用．解答關(guān)鍵在于要求熟練應(yīng)用公式，是基礎(chǔ)題．10．函數(shù)的定義域?yàn)椋琸∈Z．【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0可知，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，由此得到定義域．【解答】解：依題意，函數(shù)的定義域滿足，即，由余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，的解為，即所求函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋海军c(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域以及余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．11．方程cos2x﹣cosx＝0在區(qū)間[0，π]上的解集為．【分析】由已知結(jié)合二倍角的余弦公式可求cosx，進(jìn)而可求x．【解答】解：由cos2x﹣cosx＝2cos2x﹣cosx﹣1＝0得cosx＝1或cosx＝﹣，因?yàn)閤∈[0，π]，所以x＝0或x＝．故答案為：{0，}．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二倍角的余弦公式，特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．設(shè)函數(shù)f（x）（﹣1≤x≤10）的圖像為折線QPR（如圖），點(diǎn)Q、P、R坐標(biāo)依次為（﹣1，0）、（0，﹣2）、（10，0），則滿足的θ的取值范圍是（2kπ，π+2kπ），k∈Z．【分析】根據(jù)一次函數(shù)解析式和P、R兩點(diǎn)坐標(biāo)求出f（x）在[0，10]上的解析式，根據(jù)定義域和正弦函數(shù)值域求出sinθ范圍，從而確定3sinθ范圍，令3sinθ＝t，構(gòu)造函數(shù)y＝f（t+2）和函數(shù)，根據(jù)/的范圍作出它們圖像，數(shù)形結(jié)合即可求解．【解答】解：當(dāng)0≤x≤10時(shí)，設(shè)f（x）＝kx+b，則由圖可知，?，∴0≤x≤10時(shí)，．根據(jù)可知，3sinθ＞0?sinθ＞0，又∵﹣1≤sinθ≤1，∴0＜sinθ≤1，∴2＜3sinθ+2≤5，0＜3sinθ≤3，令3sinθ＝t∈（0，3]，則不等式變形為．，作出y＝f（t+2）和在t∈（0，3]上的圖像：顯然在t∈（0，3]上恒成立，故僅需要0＜sinθ≤1即可，解得θ∈（2kπ，π+2kπ），k∈Z．故答案為：（2kπ，π+2kπ），k∈Z．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的分析能力及運(yùn)算能力，屬于中檔題．二．選擇題（共4小題）13．既是區(qū)間上的減函數(shù)，又是以π為周期的偶函數(shù)是（）A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝|sinx| D．y＝|cosx|【分析】結(jié)合三角函數(shù)的周期性，奇偶性及單調(diào)性分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：A：y＝sinx為奇函數(shù)，不符合題意；B：y＝cosx的周期為2π，不符合題意；C：y＝|sinx|周期T＝π，為偶函數(shù)且（0，）上單調(diào)遞增，不符合題意；D：y＝|cosx|為偶函數(shù)，周期T＝π，且（0，）上單調(diào)遞增，不符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性，周期性及奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．14．已知非零向量，，，則“?＝?”是“＝”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】分別從充分性和必要性進(jìn)行判斷，由充分條件與必要條件的定義，即可得到答案．【解答】解：當(dāng)且，則＝0，但與不一定相等，故不能推出，則“?＝?”是“＝”的不充分條件；由，可得，則，即，所以可以推出，故“?＝?”是“＝”的必要條件．綜上所述，“?＝?”是“＝”的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充分條件與必要條件的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握平面向量的基本概念和基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．15．在△ABC中，已知acosA＝ccosC，則△ABC的形狀為（）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形【分析】首先利用正弦定理求得sin2A＝sin2C，進(jìn)一步利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式求出結(jié)果．【解答】解：已知：acosA＝ccosC，利用正弦定理：＝2R，解得：sinAcosA＝sinCcosC，可得：sin2A＝sin2C，所以：2A＝2C或2A＝180°﹣2C，解得：A＝C或A+C＝90°，所以：△ABC的形狀一定是等腰或直角三角形，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．16．設(shè)函數(shù)f（x）的圖像與直線x＝a，x＝b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f（x）在[a，b]上的面積，已知函數(shù)y＝sinnx在上的面積為，則y＝sin（x﹣π）+1在[0，2π]上的面積為（）A．4π B．2π C．π+4 D．π+2【分析】由題意得，作圖，根據(jù)對(duì)稱性，可求解．【解答】解：如圖，y＝sin（x﹣π）+1＝1﹣sinx，根據(jù)對(duì)稱性，S1＝S3，所以，陰影部分面積之和為S1+S2+S4＝S1+S2+S3＝1×2π＝2π，所以，y＝sin（x﹣π）+1在[0，2π]上的面積為2π．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了定積分的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三．解答題（共5小題）17．已知函數(shù)f（x）＝3sin2x+2sinxcosx+5cos2x．（1）若f（α）＝5，求tanα的值；（2）設(shè)△ABC三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，且，求f（x）在（0，B]上的值域．【分析】（1）把f（α）＝5代入整理可得，，利用二倍角公式化簡(jiǎn)可求tanα（2）由，利用余弦定理可得，，即，再由正弦定理化簡(jiǎn)可求B，對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)可得f（x）＝2sin（2x+）+4，由可求．【解答】解：（1）由f（α）＝5，得．∴．∴，即，∴．（5分）（2）由，即，得，則，又∵B為三角形內(nèi)角，∴，（8分）又＝＝（10分）由，則，故5≤f（x）≤6，即值域是[5，6]．（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用正弦及余弦定理解三角形，輔助角公式的應(yīng)用，及正弦函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)的簡(jiǎn)單綜合的運(yùn)用，屬于中檔試題．18．（1）已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x，6），且，求sinα和tanα的值．（2）已知，，且，求角β．【分析】（1）由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得x的值，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而得到sinα和tanα的值．（2）由題意先求出sinα、cos（α﹣β）的值，可得cosβ＝cos[（α﹣（α﹣β）]的值．【解答】解：（1）∵角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x，6），且＝，∴x＝﹣，∴，∴，．（2）由，得，．由，得，再根據(jù)，可得，所以，，又，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的余弦公式，屬于中檔題．19．如圖所示，在河對(duì)岸有兩座垂直于地面的高塔CD和EF．小明在只有量角器（可以測(cè)量從測(cè)量人出發(fā)的兩條射線的夾角）和直尺（可測(cè)量步行可抵達(dá)的兩點(diǎn)之間的直線距離）且不渡過(guò)河的條件下，為了計(jì)算塔CD的高度，他在點(diǎn)A測(cè)得點(diǎn)D的仰角為30°，∠CAB＝75°，又選擇了相距100米的B點(diǎn)，測(cè)得∠ABC＝60°．（1）請(qǐng)你根據(jù)小明的測(cè)量數(shù)據(jù)求出塔CD高度；（2）在完成（1）的任務(wù)后，小明想要計(jì)算兩塔頂之間的距離DF，在測(cè)得∠BAE＝90°之后，小明準(zhǔn)備再測(cè)量?jī)蓚€(gè)角的大小，并為此準(zhǔn)備了如下四個(gè)方案：方案①：測(cè)量∠ABF和∠DAF方案②：測(cè)量∠ABE和∠EAF方案③：測(cè)量∠ABE和∠ECF方案④：測(cè)量∠ABF和∠AFB請(qǐng)問(wèn)：小明的備選方案中有哪些是可行的？寫出所有可行方案的序號(hào)；（3）選擇（2）中的一種方案，并結(jié)合以下數(shù)據(jù)，計(jì)算出兩塔頂DF之間的距離，精確到米．∠ABF＝58.0°，∠ABE＝50.2°，∠DAF＝16.7°，∠EAF＝41.5°，∠ECF＝53.8°，∠AFB＝32.0°．【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和求出∠ACB，由正弦定理求出AC，在△ACD中，利用邊角關(guān)系求解CD即可；（2）分別利用三角形內(nèi)角和定義以及余弦定理進(jìn)行分析判斷即可；（3）利用（2）中的計(jì)算過(guò)程，代入數(shù)值計(jì)算即可．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝180°﹣75°﹣60°＝45°，由正弦定理可得，，所以米，又由題意可知，DC⊥AC，∠DAC＝30°，所以米；（2）可行方案：①②③．理由如下：由（1）知，米，因?yàn)椤螧AE＝90°，所以AB⊥AE，由已知AB⊥EF，且AE∩EF＝E，所以AB⊥平面AEF，又AF?平面AEF，所以AB⊥AF，∠BAF＝90°，①若已知∠ABF和∠DAF．在直角△ABF中，AF＝AB?tan∠ABF，在△ADF中，由余弦定理可得，．②若已知∠ABE和∠EAF．在直角△ABE中，AE＝AB?tan∠ABE，因?yàn)椤螮AC＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣75°＝15°，所以在△EAC中，由余弦定理可得，，在直角△AEF中，EF＝AE?tan∠EAF，在EF上截取EG＝CD，則FG＝EF﹣EG，且四邊形DCEG為矩形，故EC＝DG，在直角△DGF中，．③若已知∠ABE和∠ECF．在直角△ABE中，AE＝AB?tan∠ABE，因?yàn)椤螮AC＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣75°＝15°，所以在△EAC中，由余弦定理可得，，在直角△ECF中，EF＝EC?tan∠ECF，在EF上截取EG＝CD，則FG＝EF﹣EG，且四邊形DCEG為矩形，故EC＝DG，在直角△DGF中，．④由于∠ABF和∠AFB在同一個(gè)三角形中，無(wú)法獲取其他三角形中的邊角關(guān)系，故而無(wú)法利用正弦定理和余弦定理進(jìn)行求解．（3）選擇方案①，解析如下：∠ABF＝58.0°，∠DAF＝16.7°，由（1）知，米．由（2）中方案①知，在直角△ABF中，AF＝AB?tan∠ABF＝100?tan58.0°＝160.03米，在△ADF中，由余弦定理可得，＝，故兩塔頂DF之間的距離為47米．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，同時(shí)考查了線面垂直的判定，邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化化歸能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．20．已知函數(shù)y＝f（x），x∈D，如果對(duì)于定義域D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，對(duì)于給定的非零常數(shù)P，總存在非零常數(shù)T，恒有f（x+T）＜P?f（x）成立，則稱函數(shù)f（x）是D上的P級(jí)遞減周期函數(shù)，周期為T；若恒有f（x+T）＝P?f（x）成立，則稱函數(shù)f（x）是D上的P級(jí)周期函數(shù)，周期為T．（1）判斷函數(shù)f（x）＝x2+3是R上的周期為1的2級(jí)遞減周期函數(shù)嗎，并說(shuō)明理由？（2）已知，y＝f（x）是[0，+∞）上的P級(jí)周期函數(shù)，且y＝f（x）是[0，+∞）上的嚴(yán)格增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，f（x）＝sinx+1．求當(dāng)時(shí)，函數(shù)y＝f（x）的解析式，并求實(shí)數(shù)P的取值范圍；（3）是否存在非零實(shí)數(shù)k，使函數(shù)是R上的周期為T的T級(jí)周期函數(shù)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【分析】（1）利用P級(jí)遞減周期函數(shù)定義，計(jì)算驗(yàn)證作答；（2）根據(jù)給定條件，利用P級(jí)周期函數(shù)定義，依次計(jì)算n＝1，2，3時(shí)解析式，根據(jù)規(guī)律寫出結(jié)論作答；（3）假定存在符合題意的k值，利用P級(jí)周期函數(shù)定義列出方程，探討方程解的情況即可作答．【解答】解：（1）依題意，函數(shù)f（x）＝x2+3定義域是R，2f（x）﹣f（x+1）＝2（x2+3）﹣[（x+1）2+3]＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1＞0，即?x∈R，f（x+1）＜2f（x）成立，∴函數(shù)f（x）是R上的周期為1的2級(jí)遞減周期函數(shù)；（2）∵T＝，y＝f（x）是[0，+∞）上的Pxey周期函數(shù)，∴f（x+）＝P?f（x），即f（x）＝P?f（x﹣），當(dāng)x∈[0，）時(shí)，f（x）＝sinx+1，當(dāng)x∈[，π）時(shí)，x﹣∈[0，），f（x）＝P[sin（x﹣）+1]，當(dāng)x∈[，2π）時(shí)，x﹣∈[π，），則f（x）＝Pf（x﹣）＝P3[sin（x﹣）+1]，???當(dāng)x∈[）時(shí)，x﹣∈[（n﹣1），），則f（x）＝Pf（x﹣）＝Pn[sin（x﹣n）+1]，當(dāng)x∈[0，）時(shí)，y∈[1，2），當(dāng)x∈[，π）時(shí)，y∈[P，2P），當(dāng)x∈[）時(shí)，y∈[P2，2P2），當(dāng)x∈[）時(shí)，y∈[Pn，2Pn），∵y＝f（x）是[0，+∞）上的嚴(yán)格增函數(shù)，則有，解得P≥2，∴當(dāng)x∈[（n∈N*）時(shí)，f（x）＝Pn[sin（x﹣）+1]，且P∈[2，+∞）．（3）假定存在非零實(shí)數(shù)，使函數(shù)f（x）＝（）x?coskx是R上的周期為T的T級(jí)周期函數(shù)，即?x∈R，恒有cos（kx+kT）＝T?2T?coskx成立，當(dāng)k≠0時(shí)，x∈R，則kx∈R，kx+kT∈R，∴coskx∈[﹣1，1]，cos（kx+kT）∈[﹣1，1]，要使cos（kx+kT）＝T?2T?coskx恒成立，則有T?2T＝±1，當(dāng)T?2T＝﹣1，即時(shí)，由函數(shù)y＝2x與y＝﹣的圖解存在交點(diǎn)知方程有解，∴存在k＝，m∈Z，符合題意，其中T滿足T?2T＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)新定義問(wèn)題，理解新定義、找出數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想與題意有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，再轉(zhuǎn)化、抽象為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題解答，是中檔題．21．已知函數(shù)f（x）＝sin2ωx+2sinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0）．（1）化簡(jiǎn)y＝f（x）的表達(dá)式；（2）若y＝f（x）的最小正周期為π，求y＝f（x），x∈（0，）的單調(diào)區(qū)間與值域；（3）將（2）中的函數(shù)f（x）圖像上所有的點(diǎn)向右平移φ（φ∈[0，]）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝g（x），且y＝g（x）圖像關(guān)于x＝0對(duì)稱．若