期中模擬預(yù)測卷02（解析版）

2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬預(yù)測卷02考生注意：1．本試卷含三個大題，共21題．答題時，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效．2．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出解題的主要步驟．一．填空題（共12小題）1．點P從圓心在原點O的單位圓上點（1，0）出發(fā)，沿順時針方向運動弧長，到達(dá)點Q，則點Q的坐標(biāo)是．【分析】由題意可得，作出單位圓，結(jié)合圖象，即可求解．【解答】解：點P從圓心在原點O的單位圓上點（1，0）出發(fā)，沿順時針方向運動弧長，到達(dá)點Q，如圖所示：由圖象可知，，OQ＝1，AQ＝OA＝，故Q（）．故答案為：（）．【點評】本題主要考查任意角的概念，屬于基礎(chǔ)題．2．已知角α滿足sinα+cosα＝，則tanα+cotα的值為﹣．【分析】把已知等式兩邊平方，利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，整理求出sinαcosα的值，原式利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡后，代入計算即可求出值．【解答】解：把sinα+cosα＝，兩邊平方得：（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα＝，即sinαcosα＝﹣，則原式＝+＝＝＝﹣．故答案為：﹣．【點評】此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．3．已知角α終邊上有一點P（﹣4，3），則＝．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合任意角的三角函數(shù)的定義，以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，即可求解．【解答】解：∵角α終邊上有一點P（﹣4，3），∴，∴．故答案為：．【點評】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題．4．已知f（x）＝﹣1，則f﹣1（3）＝16．【分析】利用反函數(shù)的定義求解．【解答】解：令，解得x＝16，所以f﹣1（3）＝16，故答案為：16．【點評】本題考查了反函數(shù)的求值問題，屬于基礎(chǔ)題．5．若函數(shù)的最大值為3，則a的值為5．【分析】由三角函數(shù)輔助角公式可得，（，由三角函數(shù)的有界性可得函數(shù)的最大值為，再結(jié)合已知條件運算即可得解．【解答】解：因為即函數(shù)的最大值為，由已知有，即a＝9﹣4＝5，故答案為：5．【點評】本題考査了輔助角公式及三角函數(shù)的有界性，重點考査了三角函數(shù)的最值，屬基礎(chǔ)題．6．△ABC中，a?cosA＝b?cosB，則該三角形的形狀為等腰或直角三角形．【分析】利用正弦定理及二倍角的正弦公式對已知化簡可得，sin2A＝sin2B，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得A與B的關(guān)系進而判斷三角形的形狀．【解答】解：由正弦定理，得：sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，則有2A＝2B或2A+2B＝π，∴A＝B或A+B＝，故答案為：等腰三角形或直角三角形．【點評】本題主要考查了正弦定理及二倍角的正弦在解三角形中的運用，解題的關(guān)鍵點是由sin2A＝sin2B可得2A＝2B或2A+2B＝π，考生在解題時容易漏掉2A+2B＝π的情況，但是在三角形中若有sinA＝sinB只能得到A＝B，兩種情況應(yīng)加以區(qū)別，屬于基礎(chǔ)題．7．函數(shù)f（x）＝是奇函數(shù)（填奇或偶）．【分析】先判斷函數(shù)的定義域，然后檢驗f（﹣x）與f（x）的關(guān)系即可判斷．【解答】解：定義域R，f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），故f（x）為奇函數(shù)．故答案為：奇．【點評】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．8．如圖所示，有一電視塔DC，在地面上一點A測得電視塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前進100米到達(dá)點B，此時測得電視塔尖C的仰角為60°，則此時電視塔的高度是236.6米．（精確到0.1米）【分析】直接利用解直角三角形知識的應(yīng)用和特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：設(shè)電視塔的高度為x，則在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，則，解得．同理在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，則＝1，解得AD＝x，由于，整理得，解得x≈236.6．故答案為：236.6【點評】本題考查的知識要點：解直角三角形知識，特殊角的三角函數(shù)值，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．9．已知cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝﹣，則cos2β＝﹣．【分析】直接利用兩角差的余弦函數(shù)，求出cosβ，然后利用二倍角公式求出cos2β的值．【解答】解：因為，所以cosβ＝﹣，cos2β＝2cos2β﹣1＝＝．故答案為：．【點評】本題是基礎(chǔ)題，考查兩角差的三角函數(shù)以及二倍角公式的應(yīng)用，考查計算能力．10．函數(shù)圖象的對稱軸方程為x＝，k∈Z．【分析】結(jié)合和差角公式及輔助角公式進行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的對稱性可求．【解答】解：＝sinx+＝，令x﹣，k∈Z，解得，x＝，k∈Z．故答案為：x＝，k∈Z．【點評】本題主要考查了和差角公式及輔助角公式的應(yīng)用，還考查了正弦函數(shù)的對稱性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11．設(shè)α1，α2∈R，且，則tan（α1+α2）＝1．【分析】利用三角函數(shù)的有界性可求sinα1，sin2α2的值，再得到α1，α2的值后可得tan（α1+α2）的值．【解答】解：因為1≤2+sinα1≤2，故≤≤1，同理1010≤≤2020，故+≤2021，當(dāng)且僅當(dāng)＝1及＝2020時等號成立，此時α1＝2kπ﹣，2a2＝2lπ﹣，k，l∈Z，故α2＝lπ﹣，l∈Z，故tan（α1+α2）＝tan（2kπ﹣+lπ﹣）＝﹣tan＝1．故答案為：1．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的有界性及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了函數(shù)思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．12．平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)y＝f（x），x∈D上滿足x∈N*，y∈N*的點P（x，y），稱為函數(shù)的“正格點”．若函數(shù)f（x）＝sinmx，x∈R，m∈（1，2）與函數(shù)g（x）＝lgx的圖像存在正格點交點，則這兩個函數(shù)圖像的所有交點個數(shù)為5個．【分析】由已知，根據(jù)“正格點”的定義，求解出滿足函數(shù)f（x）＝sinmx與g（x）＝lgx的正格點交點，即（10，1），根據(jù)該點結(jié)合m的取值范圍，求解出m的值，然后畫出兩函數(shù)圖象看交點個數(shù)即可．【解答】角：由已知，函數(shù)f（x）＝sinmx與g（x）＝lgx的圖象存在正格點交點，而滿足x∈N*，y∈N*的點P（x，y），稱為函數(shù)的“正格點”，所以兩函數(shù)的正格點交點只能是（10，1），則sin10m＝1，所以10m＝+2kπ（k∈Z），所以m＝（k∈Z），而m∈（1，2），所以m＝，所以函數(shù)f（x）＝sinx，g（x）＝lgx，畫出兩函數(shù)圖象，可知：由兩函數(shù)圖象可知，兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)為5個（其中D，E兩點非常接近）．故答案為：5．【點評】本題屬于新概念題，考查了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，作出圖象是關(guān)鍵，屬于中檔題．二．選擇題（共4小題）13．已知，，則x＝（）A． B． C． D．【分析】直接利用反三角函數(shù)求解即可．【解答】解：，，則x＝．故選：D．【點評】本題考查三角函數(shù)求角，反三角函數(shù)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．14．方程cosx＝log8x的實數(shù)解的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由題意利用余弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象特征，得出結(jié)論．【解答】解：方程cosx＝log8x的實數(shù)解的個數(shù)，即函數(shù)y＝cosx的圖象和函數(shù)y＝log8x的圖象交點的個數(shù)．?dāng)?shù)形結(jié)合可得函數(shù)y＝cosx的圖象和函數(shù)y＝log8x的圖象（圖中紅色曲線）交點的個數(shù)為3，故選：B．【點評】本題主要考查余弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象特征，屬于中檔題．15．化簡：的結(jié)果為（）A．1 B．﹣1 C．﹣cosα D．cotα【分析】由已知結(jié)合誘導(dǎo)公式進行化簡即可求解．【解答】解：＝＝1．故選：A．【點評】本題主要考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．已知f（x）＝xsinx，若f（sinα）＜f（sinβ），則一定有（）A．cos2α＞cos2β B．cos2α＜cos2β C．sinα＞sinβ D．sinα＜sinβ【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得f（﹣x）＝f（x），則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，求出其導(dǎo)數(shù)，分析可得f（x）在（0，1）上為增函數(shù)；據(jù)此f（sinα）＜f（sinβ）可以轉(zhuǎn)化為|sinα|＜|sinβ|，變形可得1﹣2sin2α＞1﹣2sin2β，即cos2α＞cos2β，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，f（x）＝xsinx，則f（﹣x）＝（﹣x）sin（﹣x）＝xsinx＝f（x），則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，f（x）＝xsinx，f′（x）＝sinx+xcosx，在（0，1）上，f′（x）＞0，則函數(shù)f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，若f（sinα）＜f（sinβ），則有|sinα|＜|sinβ|，即sin2α＜sin2β，變形可得：1﹣2sin2α＞1﹣2sin2β，即cos2α＞cos2β故選：A．【點評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性奇偶性的判斷，涉及利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，屬于綜合題．三．解答題（共5小題）17．若扇形周長是一定值C（C＞0），當(dāng)α為多少弧度時，該扇形面積有最大值？并求出這個最大值．【分析】設(shè)扇形的圓心角為α（α＞0）弧度，所在圓的半徑為R，由扇形的周長得到，再利用扇形的面積公式，基本不等式即可求解．【解答】解：設(shè)扇形的圓心角為α（α＞0）弧度，所在圓的半徑為R，則扇形的周長C＝2R+l＝2R+αR，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即α＝2rad時，扇形面積有最大值，即當(dāng)α＝2rad時，．【點評】本題主要考查扇形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題．18．已知tanα、tanβ是方程的兩根，且求：（1）tan（α+β）；（2）α+β．【分析】（1）利用韋達(dá)定理可得，再利用兩角和的正切公式即可得解；（2）先判斷tanα、tanβ的符號，從而可求得α，β的范圍，即可得出α+β的范圍，從而可得出答案．【解答】解：（1）因為tanα、tanβ是方程的兩根，所以，所以；（2）因為，所以tanα＜0，tanβ＜0，故，所以﹣π＜α+β＜0，所以．【點評】本題主要考查兩角和的正切公式，考查運算求解能力，屬于中檔題．19．（1）是否存在實數(shù)，使m，使，，且x是第二象限角？若存在，請求出實數(shù)m；若不存在，情說明理由；（2）若，，求的值．【分析】（1）假設(shè)存在實數(shù)m，根據(jù)x是第二象限角，可得sinx＞0、cosx＜0求出參數(shù)m的取值范圍，再根據(jù)平方關(guān)系求出參數(shù)m的值，得出矛盾，即可說明；（2）首先求出sinx+cosx，再通分計算可得．【解答】解：（1）假設(shè)存在實數(shù)m，使，，因為x是第二象限角，所以，，解得0＜m＜1，又sin2x+cos2x＝1，即，解得m＝0，與0＜m＜1矛盾，故不存在實數(shù)m滿足題意；（2）因為，所以sinx+cosx＞0，∵（sinx+cosx）2＝1+2sinxcosx＝2，∴，∴＝．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的定義及同角基本關(guān)系在三角化簡求值中的應(yīng)用，屬于中檔題．20．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若a＝2，，，（1）求sinA；（2）求△ABC的面積S．【分析】（1）由已知利用倍角公式可求cosB，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinA的值．（2）由（1）及正弦定理可得b，利用特殊角的三角函數(shù)值及三角形面積公式即可計算得解．【解答】解：（1）∵，，∴cosB＝2cos2﹣1＝，sinB＝＝，∴sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC＝×（）＝．（2）∵a＝2，sinA＝，sinB＝，∴由正弦定理可得：b＝＝＝，∴S△ABC＝＝×＝．【點評】本題主要考查了倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理，特殊角的三角函數(shù)值及三角形面積公式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．21．設(shè)函數(shù)，函數(shù)，其中a為常數(shù)且a＞0，令函數(shù)f（x）為函數(shù)g（x）和h（x）的積函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式，并求其定義域；（2）當(dāng)時，求函數(shù)f（x）的值域；（3）是否存在自然數(shù)a，使函數(shù)f（x）的值域為．【分析】（1）由已知g（x），h（x）的解析式代入即可求解；（2）利用換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及已知函數(shù)值域即可求解．【解答】解：（1）因為，所以x∈[0，+∞），又，x∈（﹣3，a]，所以，x∈[0，a]．（2）當(dāng)時，，令，則且x＝（k﹣1）2，則，令，，∴，∵在[1，2]上單調(diào)遞減，在[2，+∞）上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，所以，即，所以f（x）的值域為．（3）令，因為