2023年中考數(shù)學副復習教案 一線三等角模型(含答案解析)

【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案

專題4一線三等角模型

解題策略

\________7

在直線AB上有一點P,以A,B,P為頂點的Nl,N2,N3相等，Zl,N2的一條邊在直線AB上,另一條邊在AB

同側(cè)，Z3兩邊所在的直線分別交Nl,Z2非公共邊所在的直線于點C,D.

1.當點P在線段AB上，且N3兩邊在AB同側(cè)時.

(1)如圖，若N1為直角，則有△ACPsZ\BPD.

(2)如圖，若N1為銳角，則有△ACPs^BPD.

2.當點P在AB或BA的延長線上，且N3兩邊在AB同側(cè)時.

如圖，則有△ACPs^BPD.

3.當點P在AB或BA的延長線上，且N3兩邊在AB異側(cè)時.

如圖，則有△ACPS/\BPD.

Z--------------------------------------------------\

經(jīng)典例題

【例1工(2022?全國?八年級課時練習)(1)某學習小組在探究三角形全等時,發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本

圖形.如圖1,已知1：在△力BC中直線/經(jīng)過點4,BD_L直線直線/，垂足分別為

點、D,E.求證：DE=BD+CE.

G

（2）組員小明想,如果三個角不是直角，那結(jié)論是否會成立呢？如圖2,將（1）中的條件改為：在AABC

中=4CQAE三點都在直線/上,并且有4BZM="EC=kBAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請問結(jié)

論OE=BD+CE是否成立？若成立，請你給出證明；若不成立,請說明理由.

（3）數(shù)學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3,過△ABC的邊48,AC

向外作正方形48OE和正方形AC尸G4H是BC邊上的高.延長交EG于點/.若S-EG=7,則

SAW-------------

【例2】.（2022?全國?八年級專題練習）在直線m上依次取互不重合的三個點0,4E,在直線山上方有48=

⑴如圖1,當a=90。時，猜想線段DE,BD,CE之間的數(shù)量關(guān)系是；

（2）如圖2,當0<a<180。時，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理

由；

（3）應(yīng)用：如圖3,在4ABC中/B4C是鈍角=AC,ABAD</.CAE,ABDA=乙4EC=NBAC,直線zn與CB的

延長線交于點F,若BC=3尸48c的面積是12,求4F8。與44CE的面積之和.

【例3】.（2022.浙江紹興.模擬預(yù)測）如圖,中48="=30LDEF=30。,且點E為邊BC的中點.將

ZDEF繞點E旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中，射線DE與線段4B相交于點P,射線EF與射線C4相交于點Q,連結(jié)PQ.

(1)如圖1,當點Q在線段C4上時，

①求證：ABPEs^CEQ；

②線段BE,BP.CQ之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由;

⑵當^APQ為等腰三角形時，求黑的值.

培優(yōu)訓練

\_________________________________?

一、解答題

1.(2022?全國?八年級課時練習)在^ABC中，乙4cB=90。,4c=BC,直線MN經(jīng)過點C,且4。1MN于

D,BE1MN于E.

(1)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時.

①請說明△力DCCEB的理由：

②請說明DE=AD+BE的理由；

(2)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時,DE、AD,BE具有怎樣的等量關(guān)系?請寫出等量關(guān)系，并予以證

明.

(3)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時,DE、AD.BE具有怎樣的等量關(guān)系?請直接在橫線上寫出這個等

量關(guān)系：.

2.(2022?江蘇?八年級課時練習)(1)如圖1,在△A8C中,N84C=9()O4B=AC,直線m經(jīng)過點A,8O_L直線

/n,CEJ_直線見垂足分別為點。、E.求證：△ABO好△CAE；

（2）如圖2,將（1）中的條件改為：在△ABC中,AB=AC,D、4、E三點都在直線機上,并且有N8D4=/

AEC=NBAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論△ABO名是否成立？如成立，請給出證明；若

不成立，請說明理由.

（3）拓展應(yīng)用：如圖3,。,E是0,4,E三點所在直線山上的兩動點（D,A,E三點互不重合），點尸為N8AC平

分線上的一點，且aABF和△ACF均為等邊三角形，連接BDCE,若/BD4=NAEC=NBAC,求證：ADE尸是

等邊三角形.

3.（2022.全國?九年級專題練習）感知：（1）數(shù)學課上，老師給出了一個模型：

如圖\,/-BAD=乙ACB=AAED=90。,由41+42+4BAD=180°,Z2+ND+AAED=180。,可得41=

ZD；又因為4cB=Z.AED=90。,可得△ABC^,△ZME,進而得到合=.我們把這個模型稱為“一線三

等角”模型.

應(yīng)用：（2）實戰(zhàn)組受此模型的啟發(fā),將三等角變?yōu)榉侵苯?，如圖2,在44BC中=AC=10,BC=12,點尸是

BC邊上的一個動點（不與B、C重合），點。是AC邊上的一個動點，且乙4PD=NB.

①求證：4ABP“APCD；

②當點P為8C中點時，求CD的長：

拓展：（3）在（2）的條件下如圖2,當△力PC為等腰三角形時，請直接寫出BP的長.

4.（2022?山東煙臺?七年級期末）問題背景：（1）如圖①，已知AZBC中/84。=90。,48=4（7,直線機經(jīng)過

點A,BDL直線m,CE，直線肛垂足分別為點DE,易證：DE=+.

（2）拓展延伸：如圖②，將（1）中的條件改為：在△4BC中=4C,2A,E三點都在直線機上,并且有

4BDA=/-AEC=NBAC,請求出三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（3）實際應(yīng)用：如圖③，在△力CB中/4CB=90。/。=BC,點C的坐標為（一2,0）,點A的坐標為（—6,3）,請直

接寫出8點的坐標.

5.（2021?浙江?義烏市繡湖中學教育集團八年級階段練習）（1）模型建立，如圖1,等腰直角三角形A8C中,/

ACB=9（r,CB=CA,直線ED經(jīng)過點C,過A作AD1.ED于￡>,過B作BELED于E.求證：△BEgX

CDA；

（2）模型應(yīng)用：

①已知直線y=|x+3與y軸交于A點，與x軸交于B點,將線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90度，得到線段BC,過

點A,C作直線，求直線AC的解析式；

②如圖3,矩形ABC0,0為坐標原點,B的坐標為（8,6）,A,C分別在坐標軸上/是線段BC上動點，已知點力在第

一象限，且是直線y=2x-5上的一點，若△AP。是不以A為直角頂點的等腰直角三角形,請直接寫出所有符合

條件的點力的坐標.

6.（2022?江蘇?八年級專題練習）（1）課本習題回放：“如圖①，乙4cB=90°,AC=BC,AD1CE,BE1CE,垂

足分別為。,E/D=2.5cm，DE=1.7cm.求BE的長”，請直接寫出此題答案：BE的長為.

（2）探索證明：如圖②，點在/MAN的邊4M、4N上,48=4C,點E,F在4M4N內(nèi)部的射線4。上，且

乙BED=4CFD=LBAC.求證：A4BEmAC”.

(3)拓展應(yīng)用：如圖③，在A4BC中,48=AC/8>8C.點。在邊BC上,C。=2BD,點E、F在線段力。

上/BED=MFD=NB4C.若A4BC的面積為15,則A4CF與ABDE的面積之和為.(直接填寫結(jié)

果,不需要寫解答過程)

7.(2022?全國?八年級課時練習)通過對下面數(shù)學模型的研究學習，解決下列問題：

(1)如圖l,/BAD=90。,AB=A。,過點8作BC，AC于點C,過點。作。E，4C于點E.由/1+/2=/2+

/。=90。,得Nl=/￡>.又NACB=/AEQ=90。,可以推理得到AABC絲△D4E.進而得到AC=,BC

=AE.我們把這個數(shù)學模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；

(2)如圖2,NA4O=NC4E=9()o,AB=AO,AC=AE,連接8C,OE,且8C_LA尸于點與直線4尸交于點

G.求證：點G是力E的中點；

(深入探究)

(3)如圖，已知四邊形ABCD和OEGF為正方形,△AF。的面積為5/,ADCE的面積為S2,則有SiS2

(填“>、=、V")

（圖1）

8.(2021?北京?東北師范大學附屬中學朝陽學校八年級期中)如圖，在△ABC中,/ACB=9(T,AC=BC,直線I

經(jīng)過頂點C,過A、B兩點分別作/的垂線AE、BF,E、F為垂足.

(1)當直線/不與底邊A8相交時，

①求證：NEAC=NBCF.

②猜想E尺AE,8尸的數(shù)量關(guān)系并證明.

(2)將直線/繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，使/與底邊AB交于點。(。不與A8點重合)，請你探究直線/,EF、AE,

3F之間的關(guān)系.(直接寫出)

(1)如圖1,在等腰直角三角形ABC中/4CB=90°,C5=C4直線ED經(jīng)過點C,過4作AD1ED于點。，過B作

BE工ED于點E.求證：BE=CD；

模型應(yīng)用：

(2)已知直線，/y=2x+4與坐標軸交于點力、B,將直線。繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)90。至直線，2,如圖2,求直線

的函數(shù)表達式；

(3)如圖3,已知點A、B在直線y=[x+4上，且48=4位.若直線與y軸的交點為M,M為4B中點.試判斷

在x軸上是否存在一點C,使得△ABC是以4B為斜邊的等腰直角三角形.

10.(2022?全國?八年級課時練習)如圖，線段A8=6,射線BGLAB,尸為射線8G上一點，以AP為邊做正方形

APCD,且點C、。與點8在AP兩側(cè),在線段OP上取一點E,使得/EAP=NBAP,直線CE與線段AB相交于

點、F(點尸與點A、B不重合)，

(1)求證：&AEP色XCEP：

(2)判斷C尸與AB的位置關(guān)系,并說明理由；

(3)的周長是否為定值，若是，請求出這個定值，若不是,請說明理由.

11.（2022?全國?八年級課時練習）如圖，在aABC中,AB=AC=2,/B=40。,點。在線段8c上運動（￡＞不與

B,C重合），連接AO,作ZADE=40°,DE交線段AC于E.

（1）當/BOE=115。吐/BAD=。，點。從B向C運動時,NBA。逐漸變（填“大”或

“小”）；

（2）當0c等于多少時,△A3。嶺△￡）（",請說明理由；

（3）在點。的運動過程中,△AOE的形狀也在改變,判斷當NBA。等于多少時,△4OE是等腰三角形.

12.（2022?重慶江北?八年級期末）如圖,在平面直角坐標系中，已知4（a,0）、B（O,b）分別在坐標軸的正半軸

上.

（1）如圖1,若。、。滿足（a-4）2+75=^=0,以B為直角頂點,AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△

4BC,則點C的坐標是（）；

（2）如圖2,若a=b,點。是04的延長線上一點，以。為直角頂點,BD為直角邊在第一象限作等腰直角A

BOE,連接4E,求證：/.ABD=UE。；

(3)如圖3,設(shè)AB=c,乙48。的平分線過點D(2,-2),直接寫出a—b+c的值.

13.(2021?湖北堿寧市第三初級中學八年級期中)如圖,在等腰RM4BC中/力BC=90。,點/、B分別在x

(1)如圖①，若點。的橫坐標為5,求點B的坐標；

(2)如圖②，若久軸恰好平分434。,8(?交工軸于點M,過點C作CD_Lx軸于點。，求名的值；

AM

(3)如圖③，若點4的坐標為(-4,0),點B在y軸的正半軸上運動時，分別以O(shè)B、為邊在第一、第二象限中

作等腰Rt△08F,等腰Rt△ABE,連接EF交y軸于點P,當點B在y軸上移動時,PB的長度是否發(fā)生改變？若不

變求PB的值；若變化，求PB的取值范圍.

14.(2022?江西?豐城九中七年級期末)綜合與探究：在平面直角坐標系中，已知A(0,a),B(40)且。力滿

足Ca-3)2+\a-2b-1|=0

(1)求A,8兩點的坐標

(2)已知aABC中AB=CB,N48c=90。,求C點的坐標

(3)已知。，試探究在x軸上是否存在點P,使△ABP是以AB為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫

出點P的坐標；若不存在,請說明理由.

15.(2022?全國?八年級課時練習)如圖，在△ABC中,AB=AC=2,N8=/C=40。,點D在線段8c上運動

(點。不與點B、C重合)，連接A￡>,作/AZ)E=40o,OE交線段AC于點E.

(1)當/BD4=105。時,NEDC=。，/DEC=°；點。從點B向點C運動時，/BD4逐漸

變.(填"大''或"小")

(2)當0c等于多少時,△ABOwAuDCE?請說明理由.

(3)在點。的運動過程中,AAOE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出NBD4的度數(shù)；若不

可以,請說明理由.

16.(2021.北京?北師大實驗中學九年級開學考試)在正方形力BCD中，點E在射線CB上(不與點B,C重合)，

連接DB,DE,過點E作EF1DE,并截取EF=DE(點D下在BC同側(cè))，連接BF.

(1)如圖1,點E在8c邊上.

①依題意補全圖1;

②用等式表示線段BD,BE,BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)如圖2,點E在CB邊的延長線上，其他條件均不變,直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系.

17.(2022?全國?八年級課時練習)在綜合實踐課上，李老師以“含30。的三角板和等腰三角形紙片”為模具與

同學們開展數(shù)學活動.已知,在等腰△ABC紙片中，&4=CB=5/ACB=120。,將一塊含30。角的足夠大的直

角三角尺PMN(ZM=90°XMPN=30°)按如圖所示放置，頂點P在線段B4上滑動(點P不與4,8重合)，三

角尺的直角邊PM始終經(jīng)過點C,并與CB的夾角“CB=a,斜邊PN交4c于點C.

(1)當NBPC=100°時,a=°；

(2)當4P等于何值時，△力PD三ABCP?請說明理由；

(3)在點P的滑動過程中，存在△PCD是等腰三角形嗎？若存在，請求出夾角a的大?。蝗舨淮嬖?，請說明理

由.

M

18.(2021?河南?舞陽縣教研室八年級期中)如圖，等腰直角AABC中,BC=4C,NACB=90。,現(xiàn)將該三角形放

置在平面直角坐標系中，點8坐標為(0,2)，點C坐標為(6,0).

(1)過點A作AO_Lx軸，求。。的長及點A的坐標；

(2)連接OA,若P為坐標平面內(nèi)不同于點A的點，且以0、P、C為頂點的三角形與△OAC全等，請直接寫

出滿足條件的點P的坐標；

(3)已知。4=10,試探究在x軸上是否存在點Q,使△OAQ是以O(shè)A為腰的等腰三角形？若存在，請求出點

。的坐標；若不存在,請說明理由.

19.(2021?山東?肥城市汶陽鎮(zhèn)初級中學七年級階段練習)已知：C。是經(jīng)過NBC4的頂點C的一條直

線,C4=C8.E、F是直線CD上兩點/BEC=4CR4=Na.

(1)若直線CD經(jīng)過NBC4的內(nèi)部/BCO＞乙ACD.

①如圖1/BC4=90。,4a=90。,直接寫出BE,EF,4F間的等量關(guān)系：.

②如圖2/a與ZBCA具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，能使①中的結(jié)論仍然成立？寫出4a與NBC4的數(shù)量關(guān)系，并對結(jié)論

進行證明;

（2）如圖3,若直線CD經(jīng)過/BC4的外部,"=NBC4①中的結(jié)論是否成立？若成立，進行證明；若不成立,

寫出新結(jié)論并進行證明.

20.（2022?全國?八年級課時練習）（1）如圖（1）在AABC中,N8AC=9（TAB=AC,直線小經(jīng)過點A,8￡>_L

直線皿CE,直線見垂足分別為點。、E.求證：DE=BD+CE；

（2）如圖（2）將（1）中的條件改為：在AABC中力B=AC,。、A、E三點都在直線機上,并且有/BD4=

NAEC=N54C=a,其中a為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論力E=B￡>+CE是否成立？如成立，請給出證明；若

不成立，請說明理由.

圖⑴圖⑵

經(jīng)典例題

__________________/

【例1】.（2022?全國?八年級課時練習）（1）某學習小組在探究三角形全等時,發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本

圖形.如圖1,己知：在AABC中/84。=90。/8=",直線/經(jīng)過點48。_1直線/￡51直線/,垂足分別為

點、D,E.求證：DE=BD+CE.

（2）組員小明想,如果三個角不是直角，那結(jié)論是否會成立呢？如圖2,將（1）中的條件改為：在△ABC

中,48=4CQAE三點都在直線/上,并且有NBZM=^AEC=4BAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請問結(jié)

論DE=BD+CE是否成立？若成立，請你給出證明；若不成立,請說明理由.

（3）數(shù)學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3,過△ABC的邊AB,AC

向外作正方形ABDE和正方形ACFG4H是8c邊上的高.延長HA交EG于點/.若又越。=7,則

SA4￡/=-----

【答案】（I）見解析；（2）結(jié)論成立,理由見解析；（3）3.5

（分析】（1）由條件可證明△A8O絲△CAE,可得D4=CE4E=B￡）,可得DE=BD+CE；

（2）由條件可知/BAD+NC4E=180°-a,且/。BA+NBAO=180°-a,可得NDBA=/CAE,結(jié)合條件可證明^

AB￡）絲△C4E,同（1）可得出結(jié)論；

（3）由條件可知EM=AH=GN,可得EM=GN,結(jié)合條件可證明△EM/gaGM,可得出結(jié)論/是EG的中點.

【詳解】解：（1）證明：如圖1中,直線/,CEL直線/,

，/8Q4=/CEA=90°,

TZBAC=90°,

：.ZBAD+ZCAE=90°,

VZBAD+ZABD=90°,

：.ZCAE=ZABD,

在和△CEA中，

Z.ABD=4CAE

Z.BDA=4CEA,

,AB=AC

???△AOB絲ZXCEA(A4S),

:?AE=BD,AD二CE,

：.DE=AE+AD=BD+CE.

(2)解：成立.

理由：如圖2中，

,?ZBDA=ZBAC=a,

：.ZDBA+ZBAD=ZBAD-^ZCAE=\80°-a,

:?/DBA=/CAE,

在△AD8和△CEA中，

NBDA=Z.AEC

/.DBA=Z-CAE,

AB=AC

：./\ADB^/\CEA(A45),

:.AE=BD,AD=CE,

：.DE=AE+AD=BD+CE.

(3)如圖3,過E1作EM_LH/T-M,GN_L”/的延長線于N.

圖3

工NEM仁/GNI=90。

由(1)和(2)的結(jié)論可知EM=AH=GN

：.EM=GN

在〃和△GN/中，

NG1N=㈤M

EM=GN,

ZGN/=乙EM1

：?4EMl迫叢GNI(A4S),

:.EI=GL

，/是EG的中點.

.'.SAAEI=^SAAEG=3.5.

故答案為：3.5.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握

全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【例2】.(2022.全國?八年級專題練習)在直線m上依次取互不重合的三個點D,4,E,在直線m上方有ZB=

AC,且滿足NBZM=4AEC=/.BAC=a.

⑴如圖1,當a=90。時，猜想線段DE,BD,CE之間的數(shù)量關(guān)系是:

(2汝口圖2,當0<a<180。時，問題(1)中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理

由；

(3)應(yīng)用：如圖3,在△4BC中/BAC是鈍角,AB=AC,^BAD<4cAE/BDA=Z.AEC=ZBAC,直線m與CB的

延長線交于點F,若BC=3FBAABC的面積是12,求^FBD與A4CE的面積之和.

【答案】(DDE=BD+CE

⑵DE=B￡>+CE仍然成立,理由見解析

與△ACE的面積之和為4

【分析】(1)由/Ba4=NBAC=/AEC=90°得到/8AQ+NEAC=/BAQ+/Q8A=90°,進而得至ij

NDBA=NEAC,然后結(jié)合AB=AC得證△DBA@△E4C,最后得到DE=BD+CE；

(2)由NB力A=NBAC=N4EC=a得到N8A。+NEt4C=N84。+N3a4=180°-a,進而得到

ZEAC,然后結(jié)合A8=AC得證△OBA?△"(?,最后得到/)E=8D+CE；

(3)由NBAO>/CAE,ZBDA=ZAEC=ZBAC,得出NCAE=NA8C,由A4S證得△AD8絲Z\CAE,得出

S^ABD=S^CEA,再由不同底等高的兩個三角形的面積之比等于底的比,得出S/XAB尸即可得出結(jié)果.

(1)

解：￡>E=8D+C￡,理由如下，

TZBDA=ZBAC=ZAEC=90°,

：.ZBAD+ZEAC=ZBAD+ZDBA=90°,

；?NDBA=NEAC,

?：AB=ACf

：./\DBA^AEAC(AAS),

：.AD=CE,BD=AE,

：.DE=AD+AE=BD+CE,

故答案為：DE=BD+CE.

(2)

OE=8D+CE仍然成立,理由如下，

?/ZBDA=ZBAC=ZAEC=a,

AZBAD+ZEAC=ZBAD+ZZ)BA=180°-a,

；?NDBA=NEAC,

t

：AB=AC1

AADBA^AEAC(AAS),

：.BD=AE)AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

(3)

解：?：NBADCNCAE,NBDA=/AEC=NBAC,

：.ZCAE=ZABDf

在△ABD和△CAE中，

乙480=/.CAE

Z-BDA=Z.CEA,

.AB=AC

.??△ABO四△CAE(AAS),

：.S/\ABD=S/\CAEt

設(shè)△ABC的底邊BC上的高為h,則4ABF的底邊B尸上的高為h,

；

.S/\ABC=d2BC,h=T22,SAABF口BF,h,

■:BC=3BF,

：.S/\ABF=4t

?"△ABF=SLBDF+S4ABD=SdFBD+SLACE=4,

二△FBD與△ACE的面積之和為4.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì),三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

全等三角形的判定與性質(zhì).

【例3】.(2022?浙江紹興?模擬預(yù)測)如圖,AABC中=30。,且點E為邊BC的中點.將

△DEF繞點E旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中，射線CE與線段4B相交于點P,射線EF與射線C4相交于點Q,連結(jié)PQ.

圖1備用圖

⑴如圖1,當點Q在線段C4上時，

①求證：bBPEs^CEQ；

②線段BE,BP,CQ之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

(2)當△4PQ為等腰三角形時，求黑的值.

Hr

【答案】⑴①見解析，②Bf-BPCQ

(2)1或3

【分析】⑴①推導角度關(guān)系可得/C￡Q=/8PE,結(jié)合/B=/C即可得出結(jié)論；②由①中相似可得器=署,

結(jié)合8E=CE即可得出結(jié)論；

(2)Q點可能在線段CA上或者線段CA的延長線上，分兩種情況討論，結(jié)合(1)中的相似三角形即可得出

結(jié)果.

(1)

解：@VZDEF=30°,ZB=30°,

???ZBED+ZCEQ=150°,ZBED+ZBPE=150°

???NCEQ=NBPE,

/B=/C,

：./\BPE^ACEQ；

②理由如下：

.：ABPESACEQ

.￡￡BP

**CQ=CE

：.BECE=BPCQ

?.?點E為邊8C的中點，

；?BE=CE,

:?BE7=BPCQ；

(2)

解：①當點。在線段AC上時，

<//4=180。-/8-/。=120。,為鈍角，

：./\APQ為等腰三角形時有AP=AQ,

V/B=NC,

:?AB=AC,

:?BP=CQ,

VZBAC=120°,

當△APQ為等腰三角形時，有△AP。為等邊三角形

設(shè)A8=AC=2〃廁BC=2取，

BE二CE二6a,

設(shè)AQ=AP=x,

貝I」CQ=2a+x,BP=2a-x,

由(1)得：B氏BPCQ

，(V^〃)2=(2n+x)(2〃-x),

解得：x=a,

:.BP=a,CQ=3ay

?絲3

BP—

綜上靠的值為1或3.

Dr

【點晴】本題考查三角形相似綜合問題，熟練掌握一線三等角的相似三角形模型是解題關(guān)鍵.

培優(yōu)訓練

X,_________________________________?

一、解答題

1.(2022?全國?八年級課時練習)在4ABC中，乙4cB=90。,4c=BC,直線MN經(jīng)過點C,且4。1MN于

D,BE1MN于E.

(1)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時.

①請說明AADC三△CEB的理由；

②請說明DE=4D+BE的理由；

(2)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時,DE、AD.BE具有怎樣的等量關(guān)系?請寫出等量關(guān)系，并予以證

明.

(3)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時,DE、AD.BE具有怎樣的等量關(guān)系?請直接在橫線上寫出這個等

量關(guān)系：.

【答案】(1)①理由見解析；②理由見解析

(2)DE=AD-BE,證明見解析

(3)DE=BE—AD

【分析】本題“一線三垂直”模型即可證明全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可分別在三個圖形中證明

AD.EB、0E之間的關(guān)系.

(1)

解：①_LMN于。J.MN于瓦

：.Z.ADC=乙BEC=90°,

9：Z.ACB=90°,

J.Z.ACD+乙BCE=90°,

Z.ACD+Z.DAC=90°,

C.Z-DAC=乙BCE,

在△4OC和ACEB中

Z-ADC=乙BEC

Z.DAC=乙BCE,

.AC=BC

△ADC=△CEB,

@9：^ADC=△CEB,

：.AD=EC,CD=BE,

\9DC+CE=DE,

?MO+E8=DE,

(2)

結(jié)論：DE=AD—BE,

?：BE1EC,AD1CE,

：.Z.ADC=乙BEC=90°,

+NBCE=90。，

*：Z-ACB=90°,

：.Z.ACEZ.BCE=90。，

C.Z.ACD=乙EBC,

△ADC=△CEB,

：.AD=EC,CD=BE,

：.DE=EC-CD=AD-EBy

⑶

結(jié)論：OE=BE-AD,

\'￡.ACB=90°,

."AC。+Z_BCE=90。，

'：BE1MN,AD1MN,

J./.ADC=乙DEC=90°,

J.^ACD+Z.DAC=90°,

：.Z.DAC=乙BCE,

在△40。和4CEB中

Z.ADC=ABEC

"AC=乙BCE

AC=BC

△ADC=△CEB,

：.AD=EC,CD=BE,

：.DE=CD-EC=EB-AD.

【點睛】本題考查全等三角形的判斷和性質(zhì)，靈活運用“一線三垂直”模型是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?江蘇?八年級課時練習）（1）如圖1,在△ABC中,N8AC=9（）O48=AC,直線機經(jīng)過點A,8Z）_L直線

加右后,直線想垂足分別為點。、E.求證：△ABQZZXC4E；

（2）如圖2,將（1）中的條件改為：在AABC中48=AC,D、A、E三點都在直線機上,并且有N8D4=N

AEC=NBAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論△ABD絲△C4E是否成立？如成立，請給出證明；若

不成立，請說明理由.

（3）拓展應(yīng)用：如圖3,Q,E是DA,E三點所在直線機上的兩動點（Z）,A,E三點互不重合），點尸為N8AC平

分線上的一點，且△4BF和△4CF均為等邊三角形，連接BZ）,CE,若N8D4=NAEC=NBAC,求證：△OEF是

等邊三角形.

【答案】（1）見詳解；（2）成立,理由見詳解；（3）見詳解

【分析】（1）根據(jù)BDJ_直線m,CE_L直線m得NBZM=/.CEA=90°,而MAC=90°,根據(jù)等角的余角相等得

Z.CAE=4ABD,然后根據(jù)“AAS”可判斷AADB=ACEA；

(2)利用NBZM=Z.BAC=a,貝ij4DBA+匕BAD=乙BAD+乙CAE=180°-a,得出iCAE=44BD,然后問

題可求證；

(3)由題意易得8尸=4尸=48=4。,448/=484尸=4凡4。=60。,由(1)(2)易證A4D8三ACE?!,則

有AE=BD,然后可得ZFBD=乙凡4E,進而可證ADBF=AEAF,最后問題可得證.

【詳解】(1)證明：?.?BD1直線線m,

???Z.BDA=ACEA=90°,

vZ-BAC=90°,

???乙BAD+Z.CAE=90°,

???乙BAD4-乙ABD=90°,

???4CAE=乙4BD,

???在A4DB和中，

/-ABD=Z.CAE

Z.BDA=Z.CEA,

AB=AC

???LADB=ACEA(44S)；

解：(2)成立，理由如下：

vZ.BDA=Z.BAC=a,

???乙DBA+乙BAD=乙BAD+Z.CAE=180°-a,

:.Z.CAE=Z.ABD,

???在A/OB和ACEA中，

Z.ABD=Z.CAE

Z-BDA=Z.CEA,

AB=AC

???AADB=AC￡4(44S)；

(3)證明：:△AB/和△人7尸均為等邊三角形，

：.BF=AF=AB=AC.Z.ABF=乙BAF=/.FAC=60°,

???ZBDA=NAEC=ZBAC=120°,

：.^DBA+Z.BAD=乙BAD+Z.CAE=180°-120°,

：.^CAE=乙ABD,

：.^ADB=AC￡71(44S),

：.AE=BD,

■:乙FBD=LFBA+乙ABD,Z.FAE=/.FAC+/.CAE,

."FBD=^FAE,

:.XDBF=LEAF（SAS）,

：.FD=FE/BFD=/.AFE,

：.Z.BFA=乙BFD+^DFA=Z.AFE+^DFA=乙DFE=60°,

...△QFE是等邊三角形.

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的判定與

性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?全國?九年級專題練習）感知：（1）數(shù)學課上，老師給出了一個模型：

如圖1/BAD=乙ACB=LAED=90。,由41+42+/.BAD=180°,Z2+ND+LAED=180。,可得41=

乙D；又因為4cB=/.AED=90。,可得△ABC^△ZME,進而得到第=.我們把這個模型稱為“一線三

等角”模型.

應(yīng)用：（2）實戰(zhàn)組受此模型的啟發(fā),將三等角變?yōu)榉侵苯?，如圖2,在中SB=4C=10,BC=12,點P是

8c邊上的一個動點（不與3、C重合），點。是AC邊上的一個動點，且乙4PD=/B.

①求證：AABPS^PCD；

②當點P為BC中點時，求CD的長；

拓展：（3）在（2）的條件下如圖2,當△4PD為等腰三角形時，請直接寫出8P的長.

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；

（2）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N3=NC根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到N3AP=NCP￡）,即可求證；

②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算，即可求解；

（3）分以=PQ、AP=AD,D4=OP三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】感知：(1),：4ABCS&DAE,

.BC_AC

**AE~DE"

.BC_AE

AC~OE'

故答案為：魯

DE

應(yīng)用：(2)①?：NAPC=/B+NBAP,NAPC=NAPD+/CPD,NAPD=NB,

：.ZBAP=ZCPD,

TAB=AC,

:?/B=/C,

：.AABPsAPCD：

②3012,點P為8C中點，

：.BP=PC=6,

VAABPs4PCD,

.ABBP106

?.而=而n，n即T=而，

解得：CD=3.6；

拓展：(3)當雨二PQ時,△ABPg/\PCD

???PC=AB=\O,

：.BP=BC-PC=12-\O=2；

當AP=AQ時,NA。尸二NAPO,

VNAPD=NB=NC,

:.NAQP=NC,不合題意，

：.AP^AD；

當DA=DP時,NOAP=NAP。=NB,

vzc=zc,

:?△BCb-XkCP,

.BCAC1210

??就=市n即nG=徜

解得：CP=y,

：2511

.BP=BC-CP=12--3=—3

綜上所述，當△APD為等腰三角形時,的長為2或弓.

【點睛】本題考查的是三角形相似的判定定理和性質(zhì)定理、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及三角形

的外角性質(zhì),掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?山東煙臺?七年級期末）問題背景:（1）如圖①，已知AABC中/8"=90。,48=力（?,直線〃1經(jīng)過

點A,BD_L直線m,CE，直線〃?,垂足分別為點O,E,易證：DE=+.

（2）拓展延伸：如圖②，將（1）中的條件改為：在△4BC中=4C,O4,E三點都在直線〃?上,并且有

4BDA=/.AEC=N84C,請求出OE,B￡>,CE三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（3）實際應(yīng)用：如圖③，在AACB中/4CB=90。,4c=BC,點C的坐標為（一2,0）,點A的坐標為（一6,3）,請直

接寫出8點的坐標.

【答案】3）BD；CE；證明見詳解；（2）O￡=8D+CE；證明見詳解；（3）點8的坐標為B（l,4）.

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得到ZE=8D./W=CE,結(jié)合圖形解答即可；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、平角的定義證明NABD=NC4E,證明△48。三△CAE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

得到4E=BD.AD=CE,結(jié)合圖形解答即可；

（3）根據(jù)△AECdCFB,得至IJCF=AE=3,BF=CE=OE-OC=4,根據(jù)坐標與圖形性質(zhì)解答即可.

【詳解】（1）證明：VBD1m9CE1m9

：./LADB=Z.CEA=90°,

VzFXC=90。，

+4（L4E=90。，

\'Z.BAD+Z.ABD=90°,

J.^CAE=/.ABD.

在△ADB和△CE4中

Z-ABD=/.CAE

Z.ADB=Z-CEA,

.AB=CA

??△ADB=△CEA,

：.AE=BD.AD=CE,

：.DE=AE^AD=BD+CE,

即：DE=BD+CE,

故答案為：BD；CE；

(2)解：數(shù)量關(guān)系：DE=BD+CE,

證明：在△48。中=180°-/.ADB-/.BAD,

"：/-CAE=1800-ABAC-KBAD/BDA=乙AEC,

二.4ABD=/.CAE,

在△48。和4C4E中，

<Z.BDA=ZAEC

(AB^CA

：.^ABDCAE,

：.AE=BD,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

(3)解：如圖，作AE_Lx軸于瓦BF_Lx軸于F,

由（1）可知，△力EC三△CFB,

：.CF=AE=3,BF=CE=OE-OC=4,

：.OF=CF-OC=1,

.,.點8的坐標為8（1,4）.

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理

是解題的關(guān)鍵.

5.（2021?浙江?義烏市繡湖中學教育集團八年級階段練習）（1）模型建立，如圖1,等腰直角三角形ABC中,/

ACB=9（r,CB=C4,直線ED經(jīng)過點C,過A作ADVED于。，過B作BELED于E.求證：

CDA；

(2)模型應(yīng)用：

①已知直線y=|x+3與y軸交于A點，與x軸交于B點,將線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90度，得到線段BC,過

點A,C作直線，求直線AC的解析式；

②如圖3,矩形A8CO,。為坐標原點,B的坐標為(8,6),A,C分別在坐標軸上/是線段BC上動點，已知點。在第

一象限，且是直線y=2x-5上的一點，若△APO是不以A為直角頂點的等腰直角三角形,請直接寫出所有符合

條件的點。的坐標.

【答案】⑴見解析；(2)y=—1+3；⑶(3,1)或(9,13)或《，爭

【分析】(1)由條件可求得/EBC=L4CC,利用44s可證明ABEC三ACZM；

(2)由直線解析式可求得4、8的坐標，利用模型結(jié)論可得CE=80￡E=A。,從而可求得C點坐標，利用待定

系數(shù)法可求得直線4c的解析式；

(3)分兩種情況考慮：如圖2所示，當乙4np=90。時/。=PD,設(shè)。點坐標為(x,2x—5),利用三角形全等

得到11-2x+x=8,易得D點坐標；如圖3所示，當乙4P。=90。時,AP=PD,設(shè)點P的坐標為(8,m),表示

出。點坐標為(14-m,m+8),列出關(guān)于m的方程，求出m的值，即可確定出。點坐標；如圖4所示，當

^ADP=90。時4D=PD時，同理求出D的坐標.

【詳解】解：(1)由題意可得，乙4cB=Z.ADC=乙BEC=90。，

：.Z.EBC+乙BCE=乙BCE+Z.ACD=90°,

"EBC=乙4c0,

在△BEC和△GM中

乙EBC=UCD

乙E=乙D

BC=AC

???△BEC三△C7X4(44S)；

(2)過點C作CD1%軸于點。，如圖2,

在'=+3中，令y=0可求得x=—4,令x=0可求得y=3,

???0A=3,OB=4

同(1)可證得△CDB=△BOA.

：.CD=BO=4,BD=AO=3.

???0。=4+3=7,

."(一7,4)且4(0,3),

設(shè)直線AC解析式為y=kx+3,把C點坐標代入可得-7k+3=4,解得k=一］,

直線AC解析式為y=-;％+3；

過點。作DE1。4于E,過點。作DF1BC于F,

同理可得：AAED三△DFP

設(shè)。點坐標為(x,2x-5),則AE=DF=6-(2x-5)=ll-2x,

■:DE+DF=EF=BC,即11-2x+x=8,解得x=3,

可得。點坐標(3,1)；

如圖3,當乙4P。=90。時,4P=PD,

過點P作PE1。4于E,過點D作。F1PE于尸，

設(shè)點P的坐標為(8,m),同理可得：4APE三APDF,

：.PF=AE=6—m,DF=PE=8,

二。點坐標為(14-m,m+8),

m+8=2(14—m)—5,得m=5,

點坐標(9,13);

如圖4,當乙4DP=90。時,4。=PD時，同理可得△ADE三4DPF,

設(shè)。(n,2n-5),則DE=PF=nQE=2n-5,AE=DF

則DF=AE=2n-5-6=2n-ll,

'：DE+DF=EF=0C=8

An4-2n-11=8,解得n=y,2n—5=y

??.D點坐標百，y),

圖4

綜上可知滿足條件的點。的坐標分別為（3,1）或（9,13）或（g，y）.

【點睛】本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)、分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活運用相關(guān)性質(zhì)進行求解.

6.（2022?江蘇?八年級專題練習）（1）課本習題回放："如圖①/4CB=90。,4c=8C,401CE,BE1CE,垂

足分別為=2.5cm，DE=1.7cm.求BE的長”，請直接寫出此題答案：BE的長為.

（2）探索證明：如圖②，點B,C在NM4V的邊AM、AN上,48=AC,點E,F在4MAN內(nèi)部的射線4D上，且

上BED=￡CFD=LBAC.求證：2L4BE三ACAF.

（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在A4BC中,48=AC.AB>BC.點。在邊BC上,C。=2BD,點E、F在線段4。

=Z.CFD=^BAC.若A4BC的面積為15,則A4CF與A8DE的面積之和為.（直接填寫結(jié)

果,不需要寫解答過程）

【答案】（1）0.8cw;（2）見解析（3）5

【分析】（1）利用A4S定理證明△CE8絲△ADC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可;

（2）由條件可得/8EA=ZAFC,Z4-NABE,根據(jù)A4S可證明△ABEgaCAF；

(3)先證明得到2L4CF與A8DE的面積之和為△43。的面機再根據(jù)CO=280故可求解.

【詳解】解：(])-BELCEADLCE,

?,.NE=NAQC=90。，

AZ￡BC+ZBCE=90o.

VZBCE+NACO=90。，

:?/EBC=/DCA.

Z-E=Z-ADC

在△CEB和△ADC中,{NE8C=匕DCA

BC=AC

：./\CEB^/\ADCCAAS),

：.BE=DC,CE=AD=2.5cm.

???DC=CE-DE,DE=1.7cm,

：.DC=2.5-\J=0.Scm,

:.BE=0.Scm

故答案為：0.8C7ZZ;

(2)證明：VZ1=Z2,

：.ZBEA=ZAFC.

VZ1=NABE+Z3,Z3+Z4=ABAC.Z1=ZBAC,

：,ZBAC=ZABE+Z3,

：.Z4=ZABE.

?：NAEB=ZAFC,ZABE=N443=AC,

A/\ABE^/\CAF(A4S).

(3)VzBFD=Z.CFD=LBAC

:.ZABE+ZBAE=ZFAC+ZBAE=ZFAC+ZACF

：.ZABE^ZCAF,ZBAE^ZACF

又4B=AC

.,.AABE^ACAF,

S“BE-ShCAF

與ABDE的面積之和等于A4BE與ABDE的面積之和，即為△AB。的面積,

,:CD=2BD,Z\A8O與△AC。的高相同

則SAAB。=

故A4CF與ABDE的面積之和為5

故答案為：5.

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定

理是解題的關(guān)鍵.

7.(2022?全國?八年級課時練習)通過對下面數(shù)學模型的研究學習，解決下列問題：

(1)如圖l,/8A力=90。,AB=A￡),過點B作BC，AC于點C,過點。作。E_LAC于點E.由N1+/2=N2+

/。=90。,得/1=/D又NACB=/AEZ)=90。,可以推理得到△ABC絲△D4E.進而得到AC=,BC

=AE.我們把這個數(shù)學模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；

(2)如圖2,NBAD=NCAE=9()o,4B=A￡),AC=4E,連接8CQE,且BC_LAF于點FQE與直線A尸交于點

G.求證：點G是?！甑闹悬c；

(深入探究)

(3)如圖，已知四邊形48CC和OEGF為正方形,449的面積為S/,Z\Z)CE的面積為$2廁有S,S2

（填“＞、=、＜”）

【答案】（1）DE；（2）見解析；（3）=

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可直接進行求解：

（2）分別過點D和點E作ZWLFG于點H,EQLFG