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文檔簡介
2023年高考金榜預(yù)測卷(三)(新高考卷)
數(shù)學(xué)
一、單項選擇題
1.已知集合A=卜∣g≤3*<9},集合8={x∣log3X<l},則AB=()
A.(0,2)B.[-2,3)
C.[0,2)D.[-2,0)
K答案》A
K解析》A=∣-V∣^≤3Λ<9∣={x∣-2<x<2∣,B={x∣log3X<l}={x∣O<x<3},
則AB=(0,2).
故選:A.
2.已知p:f+x_2>0,/x>a,若〃是4的必要不充分條件,則()
A.?..1B.6,1C.a..-1D.an-2
K答案HA
R解析』條件p∕2+x-2>0,解得x>l或x<-2.
條件4:x>。,
。是夕的必要不充分條件,
(α,+∞)是(YO,-2)_(l,+∞)的真子集,
.'.a≥?.
故選:A.
3.已知tan。=',cos2Θ=()
2
A.?B.-?C.-D.--
3355
K答案2c
K解析》由$而。+8$2。=1,兩邊同時除以COS°6,可得tan*+l=—ζ—,
COS*
I114
代入tan。=:,則:+1=——,解得cos2g==,
24cos'θ5
C43
?cos1θ=cos2^-sin2θ=2cos20-l=2×——1=
故選:C.
4.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時,發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù):1,1,2,3,5,,
從第三項起,每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和,即4+2=/M+4,("eN"),后來人們把這樣
的一列數(shù)組成的數(shù)列{為}稱為“斐波那契數(shù)列”.記出。23=m,則a2+ai+ab++a20i2=
()
A.m-2B.tn-?C.加D.m+?
K答案》B
K解析H因為?+2=?÷∣+??,
所以“2023=a2O22+42021=42022+42020+“2019=""-?022+a2O2O+a2018+?+4?+生,
又因為@i=1,α2+α4+α6+―+α2022=O2023-O1=m-],
故選:B.
5.設(shè)。為.ASC所在平面內(nèi)一點,QC=3BC,則()
3141
A.AC=-AB——ADB.AC=-AB——AD
2233
C.AC=3AB-2ADD.AC=4AB-3AD
K答案UA
K解析X解:由題知OC=3BC,.?.BC=gz>C,
AC=AB+BC
=AB+-DC
3
=AB+∣(r>A+AC)
=AB--AD+-AC,
33
21
^-AC=AB--AD
31
.?.AC=-AB——AD.
22
故選:A
1—Y
6.函數(shù)y=——(x≠0)的反函數(shù)圖象大致是()
X
K答案XB
1_γJ
K解析』因為y=--(Λ≠0),所以孫+χ=l,所以X=";—(γ≠-l),
Xl+y'
1_Y1
所以函數(shù)y=二(XWo)的反函數(shù)為y=--(x≠-l),
函數(shù)y=±(x≠T)的圖象可由反比例函數(shù)y=:的圖象向左平移一個單位得到,從選項
得知B滿足,
故選:B.
7.已知某品牌手機電池充滿時的電量為4000(單位:毫安時),且在待機狀態(tài)下有兩種不
同的耗電模式可供選擇.模式A:電量呈線性衰減,每小時耗電400(單位:毫安時);模
式B:電量呈指數(shù)衰減,即從當(dāng)前時刻算起,,小時后的電量為當(dāng)前電量的"倍.現(xiàn)使該電
子產(chǎn)品處于滿電量待機狀態(tài)時開啟A模式,并在X小時后,切換為5模式,若使且在待機
10小時后有超過2.5%的電量,則X的可能取值為()
A.4.6B.5.8C.7.6D.9.9
K答案UC
R解析》由題意:模式4在待機f小時后電池內(nèi)電量為:y=T00f+4000;設(shè)當(dāng)前電量
為Q,模式B在待機/小時后電池內(nèi)電量為:y=3Q;則該電子產(chǎn)品處于滿電量待機狀態(tài)
時開啟A模式,并在X小時后,切換為B模式,其在待機10小時后的電量為:
l0jr
τ^-τ(-400x+4000),由^τ(-400x+4000)>4000x2.5%=100,BP4(10-x)>2^,令
z=10-x,則4f>2',由圖可分析,
當(dāng)L<r<4時,4f>2',BP0.25<10-x<4=>6<x<9.75,因為6<7.6<9.75
4
故選:C.
8.已知函數(shù)/(x)=京;關(guān)于X的方程[〃》)丁-2(“+1)〃力+/+24=0至少有三個互不
相等的實數(shù)解,則”的取值范圍是()
A.[l,+∞)B.(-l,θ)u(l,-Hχ)
C.(-1,O)U[1,-BX))D.(→o,0)u(l,÷x)
K答案XC
K解析X解:由題知/(χ)=UP(X>0且XN1),
eln?-e
所以r(χ)=
(elnx)2,
故在(0,1)上,Γ(x)<O,∕(x)單調(diào)遞減,
且∕nx<O,
即〃F<0,
在(Le)上J'(x)<0J(x)單調(diào)遞減,
在(e,+∞)上JKX)>0,∕(x)單調(diào)遞增,
有/(e)=l,
畫/(x)圖象如下:
由["x)}一2(4+1)〃》)+病+2”0至少有三個互不相等的實數(shù)解,
即(y(x)-祖/(x)-(α+2))=0至少有三個互不相等的實數(shù)解,
即/(x)=a或/(x)=a+2至少有三個互不相等的實數(shù)解,
由圖可知,當(dāng)“<0或α=1時,y=/(x)與y=。有一個交點,
即/(x)=α有一個實數(shù)解,
此時需要f(x)=α+2至少有兩個互不相等的實數(shù)解,
即a+2>l,解得a>T
故一IVaVO或。=1;
當(dāng)0≤α<l時,/(x)=α無解,舍;
當(dāng).>l時,α+2>3,
此時/(x)=。有兩個不等實數(shù)解,
“x)="+2有兩個不等實數(shù)解,
共四個不等實數(shù)解,滿足題意.
綜上:-ICa<0或α≥l.
故選:C
二、多項選擇題
9.若■!■<:<(),則下列不等式中正確的是()
ab
A.a3<?3B.a2b>ab1C.—?-->"lD.a+b<cιb
ab
K答案XBCD
K解?T∑—<—<0,:.h<a<0;
ab
對于A,a3-bi=(a-b)^a2+ab+b2γ
a-b>0,a2+ab+b2>0,Λa3-b3>0,則/>〃,A錯誤;
對于B,Qb<a<0,:.ab>0,:.a2b>ab2,B正確;
對于(當(dāng)且僅當(dāng)二〃時取等號),
C,QbvavO,Λ->0,→0,.?.*+^≥2ΛP^=2α
ababNab
又出b,.?.等號不成立,即^+g>2,C正確;
ab
對于D,Qb<a<O,.?a+b<O<ab,D正確.
故選:BCD.
10.已知函數(shù)=ASin"+j(3>0,A>0),若X=當(dāng)為/(x)的一個極值點,且
/(X)的最小正周期為T,若萬<7v2τr,則()
3
A.ω--B.A=f
2
C./(x+()為偶函數(shù)D./(x)的圖象關(guān)于點(今,θ)對稱
K答案》ABD
K解析》對于A,因為X='為“X)的一個極值點,所以當(dāng)X=/時,“X)取到最大值
或最小值,
LL,I.,3萬、.(3π7Γ?,.(3ππ\(zhòng),
所以/15J=AaSIn[w69+lJ=±A,所以sm[?yG+ιJ=±l,
即差0+7=∣→Jbr(JteZ),所以O(shè)=Ik+?(Z∈Z),
2π_
又因為4vTv2%,所以冏<2),因為G>0,所以1V0V2,
3
所以G=§,故選項A正確;
對于B,固為0=|,所以/(x)=ASin(Ix+,}
.n[337F7ΓI..57Γ-..Ti...,.
=ASI/、彳+"^J=Asm5=Asin—=A9故B選項正確;
對m于C,因為/(x)=ASind+?),
π=ASinIx+3]=A<√3χ+a
所以/X+RS=ASinEg)+—
?jH3;4(242)(24J
可知/[x+∣?J不是偶函數(shù),故選項C錯誤;
對于D,因為f(x)=Asin]∣x+力,令]+(=%r(AeZ),解得X=等=(∕∈Z),
所以/(x)的圖象關(guān)于點(半WO)(ZeZ)對稱,
當(dāng)/=2時,/(x)的圖象關(guān)于點(g,θj對稱,故選項D正確.
故選:ABD.
11.已知點P在雙曲線W-E=I上,冷%分別是左、右焦點,若△尸耳心的面積為20,則
169
下列判斷正確的有()
A.點P到X軸的距離為個20
B.I叫+1尸周號
C.△尸耳鳥為鈍角三角形
Tr
D.NF?PF'
K答案HBC
22
K解析》設(shè)點p(%,力).因為雙曲線Cw-L=1,所以c=√i帝=5?
169
又SAm=gx2CIy∕=gχlθχ∣謁=20,所以屏1=4,故A錯誤.
將MI=4代入[-卷=1得條]=1,得聞言.
由雙曲線的對稱性,不妨取點P的坐標(biāo)為傳,4),得歸周=J(+5]+42=修.
1Q鼻747IaSn
由雙曲線的定義得I吶=IP周+2α=?y+8=石,所以|尸埒+|”|=丁+]=丁,故B正
F1ι
確.在△尸耳入中,|PFj|=w>2c=10>|P&|=§t,且
歸就+打桂_儼用2
COSNPE£==---<0
2|叫M周13
則NPE耳為鈍角,所以為鈍角三角形,故C正確.
由余弦定理得CoSNeP鳥=需辟護嘴心所以4瑪吟故D錯
誤,故選:BC.
12.已知函數(shù)/(x)=V-3x+I,則()
A.函數(shù)/(x)有兩個極值點
B.函數(shù)/(x)有三個零點
C.若g(x)=r(x),則g(x)是偶函數(shù)
D.點(1,1)是函數(shù)y=∕(x+l)的對稱中心
K答案XABC
K解析IlA選項:∕,(X)=3X2-3=3(X+1)(X-1),當(dāng)x<T或x>l時,盟x)>0,當(dāng)
TVXVI時,r(χ)<o,所以f(x)在(→≈,T),(l,+∞)上單調(diào)遞增,(Tl)上單調(diào)遞減,
所以/(x)有兩個極值點,故A正確;
B選項:結(jié)合A中函數(shù)單調(diào)性,又/(—2)=—1<0,f(T)=3>O,所以(一2,—1)上存在一
個零點,/(1)=T<O,所以(T,l)上存在一個零點,/(2)=3>0,所以(1,2)上存在一個
零點,所以函數(shù)/(x)有三個零點,故B正確;
C選項:g(x)=3d-3,定義域為R,關(guān)于原點對稱,且g(-x)=3χ2-3=g(x),所以
g(x)為偶函數(shù),故C正確;
D選項:/(x)+∕(T)=X3-3x+l-d+3x+l=2,所以/(x)關(guān)于(0,1)對稱,根據(jù)〃x)的
單調(diào)性可知,/(x)只有一個對稱中心,/(x)的圖象向左平移一個單位得到/(x+l)的圖
象,所以〃x+1)的對稱中心是(—1,1),故D錯.
故選:ABC.
三、填空題
13.曲線y=21nx-x在χ=l處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為.
K答案H2
K解析Il對函數(shù)y=2inx-X求導(dǎo)得y=±-ι,所求切線斜率為左=:τ=ι,
X1
當(dāng)X=I時,y=21nl-l=-l,切點坐標(biāo)為(1,-1),
所以,曲線y=21nx-x在χ=l處的切線方程為y+l=x-l,即y=x-2,
直線丫=*-2交》軸于點(2,0),交y軸于點(O,-2),
所以,曲線y=21nx-x在X=I處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S=gx2?=2.
故R答案H為:2.
ii8
14.若(1—x)=%+4(1+x)+<?(l+x)-++d8(l+x),則%=.
R答案』112
R解析U令f=x+l,貝IJX="1
則原題變?yōu)椋喝?2τ)8=%+卬+4/++?/,貝Ua=
二項式(2-O8的通項公式為卻=Q2s^r(Ty(O≤r≤8)且∕?cZ
當(dāng)r=6時,即7;=C;22(Ty=I⑵6,所以4=112
故K答案》為:112
15.所有的頂點都在兩個平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體,這兩個平行的面稱為上下底
面,它們之間的距離稱為擬柱體的高.生產(chǎn)實際中,我們經(jīng)??吹近S沙、碎石、灰肥等堆
積成上下底面平行,且都是矩形的形狀,這種近似于棱臺的形體就是一種特殊的擬柱體
(如圖所示),已知其高為/?,上底面、下底面和中截面(經(jīng)過高的中點且平行于底面的截
面)面積分別為S-邑和S。,請你用S,S2,S0,/?表示出這種擬柱體的體積V=
K答案27(5+4S+5,)×Λ
OI0
K解析D根據(jù)擬柱體的定義,任一擬柱體都可看作是過某棱臺的若干頂點,截去
m(m≥0)個倒立小棱錐與“("≥0)個正立小棱錐后余的凸多面體.當(dāng)根=〃=0時,就是原棱
臺,即棱臺是特殊的擬柱體.
設(shè)原棱臺的高為〃,上底面、下底面、中截面面積分別為S上,SQS中,
擬柱體的上底面、下底面、中截面的面積分別是S-1和S。,
設(shè)截去的,"個倒立小棱錐的底面面積分別是5”,5lw,
截去的〃個正立小棱錐的底面面積分別是邑,S22,,星“,
Z
那么擬柱體的體積為V=%fj-g∕z(Su+S∣2++Slra)-∣Λ(S2l+?++S2,,)
T即+Sb+府訃9恪SjT恪SJ
=3(S上-砧J+(s下NSj+肉咻]
=lA(sι+S2+√5t?5b.)φ,
因為棱錐的中截面面積等于底面面積的;,
4
1(?nM、
所以S°=s「
jt=∣)
即4S°=4S中-ZSM+ZS2J②,
?k=lk=?)
由棱臺的中截面性質(zhì)可知2離=師+心;,
所以4Sψ=S上+Sτ+2JS上S下③,
________(mnA
將③代入②得:4S°=S上+*+2庫;-∑?+∑S2t
?k=]A=I)
=,ESM)+R下/SJ+2心商
=S1+S2+2Js上?S下,
從而可知JS上?*=^(4S0-SI-S2),代入①并整理得V=^(S,+4SO+S2)×A.
故K答案》為:7(S+4S+S)×A
O102
16.己知拋物線C:/=2Py(P>0)的焦點為F,Q(2,3)為C內(nèi)的一點,M為C上任意
一點,且∣MQ∣+∣”目的最小值為4,則P=;若直線/過點Q,與拋物線C交于A,
B兩點,且。為線段AB的中點,則。鉆的面積為.
R答案H22√2.
K解析2/:y=,是拋物線的準(zhǔn)線,過P作MN,/于N,過Q作QP?U于尸,
IjlIJ?MF?=?MN?,?QM?+?MF?=?QM?+?MN?,易知當(dāng)〃是QP與拋物線的交點時,
IQMl+pW尸I取得最小值,所以3+勺4,p=2,
設(shè)A(XI,%),B(X2,必),顯然x∣≠j?,X]+X2=4,X+%=6,
由卜得才-4=4(%-%),L=告皆二審=I,
x4
X2-=4y2'M
直線A3方程為y-3=x-2,即y=χ+l,
原點。到直線AB的距離為d=」==也,
√22
由[Ify==4x÷yl'得'-I=。,
xl+x2=4,x1x2=-4,
2
?AB?=71+F∣XI-X2∣=√2?√(X,+X2)-4XIX2=G-也2-4x(-4)=8,
所以S(MB=jA8∣d=gx8x*=2夜.
故K答案》為:2;2Λ∕2.
V2sinA+l_sin2C
17.在ABC中,內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是〃、b、c
1-Λ∕2COSA1+cos2C
TT
(1)若8=一,求C;
6
τrπ]c
(2)若Be,求:的取值范圍.
64jh
V2sinA+l_sin2C2sinCcosC_2sinCcosC
(1)解:因為
1-λ/2cosAl+cos2C1÷2COS2C-I2COS2C
cosC≠0
因為A、C∈(O,π),且所以,AHE且Cw1,
CoSA≠J42
I2
a”72sinA÷lSinC
所以,——7=------=-------,
l-√2cosAcosC
所以,V2sinΛcosC+cosC=sinC-QcosAsinC,
則>∕2sin(A÷C)=si∏C-cosC,即V2sinβ=V2sinfC--^j>O,
因為-J<c—學(xué)且c≠?^,所以,o<c-^<當(dāng)且
44424444
所以B=C-E或B+C-E=π(舍),故當(dāng)B=F時,C=∣J.
44612
√6+√2
所吟的取值范圍為也
2
18.定義:在數(shù)列{α,,}中,若存在正整數(shù)限使得Vn∈N*,都有%+?=??,則稱數(shù)列{??)為“型
數(shù)列”.已知數(shù)列{%}滿足=一一
(1)證明:數(shù)列{q}為“3型數(shù)列”;
(2)若4=1,數(shù)列也}的通項公式為求數(shù)列{4,也,}的前15項和品i?
(1)證明:由題知4,+∣=------
α,,+l
11
所以有《+2-,且α-
7+^-----n÷3=7-------,
??÷l1+?+2
1
所以
1+為
=%,
所以數(shù)列{4}為“3型數(shù)列”;
(2)解:由⑴知%+3=?!?4=1,
所以4=%=%=…=α∣3=l,
所以%=aA+她+a力3+…+"以
=G≠ι+??++&d)+(%&+氏4++α,A)+(??+??++??5)
=IX(I>ι+b4H-------F九)+X(H+&+…+%)+(^^2)χ(4+?6+???+?∣5)
(l+25)×5?1?,(3+27)X5
19.芻餐(Chumeng)是中國古代數(shù)學(xué)書中提到的一種幾何體,《九章算術(shù)》中對其有記
載:“下有袤有廣,而上有袤無廣”,可翻譯為:“底面有長有寬為矩形,頂部只有長沒有寬
為一條棱如圖,在芻薨尸中,四邊形ABC。是正方形,EF//AB,AB=4EF=4,
FB=FC,FO,平面A8C。,。為垂足,且N043=NO54,M為FC的中點.
(1)求證:OM//平面ABFE;
(2)若多面體ABCOE尸的體積為12,求平面BC尸與平面AoE所成角的正弦值.
(1)證明:連接版,由于M為FC的中點,又四邊形ABe。是正方形且NOAB=NOBA,
所以。是AC的中點,因此。W//AF,
AFU平面ΛBEE,O"U平面ΛB莊
,所以O(shè)M〃平面ABFE
(2)解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)O尸=。,
A(2√2,0,0),C(-2√2,0,0),β(0,2√2,0),D(0,-2√2,0),F(0,0,?),
所以BA=(2√2,-2√2,0),FE=?fiA=>ef?,-?,a,
貝IJAZ)=(-2λ∕∑,-2λ∕∑,θ),AE=,
設(shè)平面ADE的法向量為m=(x,y,z),則,"?4D=0,g4E=0,即
-2?∕2+y)=0,-^γ-X-y+az=O,取x=l,則1,-1,-^
j?AF-m?√2
故點到平面的距離d=一=∣
AF=(-2√2,0,β),FADE2
AD?AE?2?l↑+a2
cos/.EAD=----j-:—T=/,故sinZEAD=?/一“,
AD?-?AE?7TT7
所以三角形ADE的面積為gAOxAEsinNEAO=2加了,、
所以幾何體的體積為LTBCO+%-M=g16Ω+2√177×I-==12,
7
所以。=2,
設(shè)平面BeF的法向量為〃=(再,χ,z∣),則〃?BF=(),"?CF=(),即
-2?V5y∣+αz∣=O,2>∕5X∣+αz∣=0,<7=2,取x=l,則"=(1,-1,-V∑),
-(.,√5∏1,四)
77I=1,-1,—=1,-1,--,
Ia)I2)
=嚕,所以Sin(*=嚕,
所以卜OS,,“=
∕M∣∣∕?
平面BCF與平面ADE所成角的正弦值為亞
10
20.某公司在一種傳染病毒的檢測試劑品上加大了研發(fā)投入,其研發(fā)的檢驗試劑品ɑ分為
兩類不同劑型/和%.現(xiàn)對其進行兩次檢測,第一次檢測時兩類試劑%和%合格的概率
分別為3:和=3,第二次檢測時兩類試劑四和合格的概率分別為4:和2J.已知兩次檢測過
4553
程相互獨立,兩次檢測均合格,試劑品α才算合格.
(I)設(shè)經(jīng)過兩次檢測后兩類試劑四和az合格的種類數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)若地區(qū)排查期間,一戶4口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”,這種情況下醫(yī)
護人員要對其家庭成員逐一使用試劑品α進行檢測,如果有一人檢測呈陽性,則檢測結(jié)
束,并確定該家庭為“感染高危戶設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為P(O<P<D
且相互獨立,該家庭至少檢測了3個人才確定為“感染高危戶”的概率為f(p),若當(dāng)P=PI)
時,/(P)最大,求%的值.
解:⑴劑型/合格的概率為:43×74=f3;
455
劑型合格的概率為:∣3×∣2=j2.
由題意知X的所有可能取值為0,1,2.
則P(X=O)VI司T,
P(X=I)*|b|+|“-|性,
n/Vc?326
P(X=2)=—×—=—,
'75525
則X的分布列為
X012
6136
P
252525
數(shù)學(xué)期望E(X)=OX卷+Ix導(dǎo)2x*l?
(2)檢測3人確定“感染高危戶”的概率為(I-P)),
檢測4人確定“感染高危戶”的概率為(1-P)'p,
則/(P)=(I-P)2p+(ι-PyP=(I-P)2〃(2一0).
令X=I-〃,因為。v〃vl,所以O(shè)VXV1,
原函數(shù)可化為g(x)=x2(l-巧(OVXVl).
當(dāng)且僅當(dāng)V=J即X=YI時,等號成立.
2
此時P=J*,所以Po=I一日.
?>^>
21.已知等軸雙曲線?l-21=ιω>o,b>0)的右焦點為F(4,0),過右焦點尸作斜率為
a^b^
正的直線/,直線/交雙曲線的右支于P,Q兩點,分別交兩條漸近線于M,N兩點,點
M,P在第一象限,。是原點.
(1)求直線/斜率的取值范圍;
(2)設(shè)OMP,ONP,OPQ的面積分別為品S,&,求的取值范圍.
2δΓδ2
解:(1)已知雙曲線等軸,可設(shè)雙曲線方程為W-W=I,因為右焦點為尸(4,0),故
acr
2。
c=4,由C?=/+/得/=8,所以雙曲線方程的方程為三-上=1,設(shè)直線/的方程為
88
x=ty+4,聯(lián)立雙曲線方程得,
t2-?≠Q(mào)
二;二;(*-1)八g+8=。=.
Δ>0=/<],解得o<f<ι
λ?>,2<0
xl?X2>0
即直線/斜率k=;的取值范圍為(l,+∞).
(2)設(shè)PaJ),漸近線方程為廣出,則P到兩條漸近線的距離4,4滿足,
4
d"_歸一叩N+R」x'y;yx"T≡7
=4.而=A
"區(qū)一飛--1Γ~~ΓX="+44
加二口
?OM?=yJx^+yM=r?r>同理I。NI=J后+4,=所以
IlTl
1
5l-52=∣∣OΛ∕∣-√l?i∣O∕V∣,J2=l.±∕∣.W
?↑~-~r---↑-----r?d.?d-,=τ?,由
2∣I-r∣2?l+t?'2IF
X?-8=>(r2-l)y2+8∕y÷8=0,
x=ty+4'7
7
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