2023年天津高考金榜預(yù)測數(shù)學(xué)試卷三（解析版）

2023年高考金榜預(yù)測卷（三）（新高考卷）

數(shù)學(xué)

一、單項選擇題

1.已知集合A=卜∣g≤3*<9},集合8={x∣log3X<l},則AB=()

A.(0,2)B.[-2,3)

C.[0,2)D.[-2,0)

K答案》A

K解析》A=∣-V∣^≤3Λ<9∣={x∣-2<x<2∣,B={x∣log3X<l}={x∣O<x<3},

則AB=(0,2).

故選：A.

2.已知p:f+x_2>0,/x>a,若〃是4的必要不充分條件，則()

A.?..1B.6，1C.a..-1D.an-2

K答案HA

R解析』條件p∕2+x-2>0,解得x>l或x<-2.

條件4：x>。，

。是夕的必要不充分條件，

(α,+∞)是(YO,-2)_(l,+∞)的真子集，

.'.a≥?.

故選：A.

3.已知tan。=',cos2Θ=()

2

A.?B.-?C.-D.--

3355

K答案2c

K解析》由$而。+8$2。=1,兩邊同時除以COS°6,可得tan*+l=—ζ—,

COS*

I114

代入tan。=：,則:+1=——,解得cos2g==,

24cos'θ5

C43

?cos1θ=cos2^-sin2θ=2cos20-l=2×——1=

故選：C.

4.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1,1,2,3,5,,

從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，即4+2=/M+4,("eN"),后來人們把這樣

的一列數(shù)組成的數(shù)列｛為｝稱為“斐波那契數(shù)列”.記出。23=m，則a2+ai+ab++a20i2=

()

A.m-2B.tn-?C.加D.m+?

K答案》B

K解析H因為?+2=?÷∣+??,

所以“2023=a2O22+42021=42022+42020+“2019=""-?022+a2O2O+a2018+?+4?+生，

又因為@i=1,α2+α4+α6+―+α2022=O2023-O1=m-],

故選：B.

5.設(shè)。為.ASC所在平面內(nèi)一點,QC=3BC,則()

3141

A.AC=-AB——ADB.AC=-AB——AD

2233

C.AC=3AB-2ADD.AC=4AB-3AD

K答案UA

K解析X解:由題知OC=3BC,.?.BC=gz>C,

AC=AB+BC

=AB+-DC

3

=AB+∣(r>A+AC)

=AB--AD+-AC,

33

21

^-AC=AB--AD

31

.?.AC=-AB——AD.

22

故選:A

1—Y

6.函數(shù)y=——(x≠0)的反函數(shù)圖象大致是()

X

K答案XB

1_γJ

K解析』因為y=--(Λ≠0),所以孫+χ=l,所以X="；—(γ≠-l),

Xl+y'

1_Y1

所以函數(shù)y=二(XWo)的反函數(shù)為y=--(x≠-l),

函數(shù)y=±(x≠T)的圖象可由反比例函數(shù)y=：的圖象向左平移一個單位得到，從選項

得知B滿足，

故選：B.

7.已知某品牌手機電池充滿時的電量為4000(單位：毫安時)，且在待機狀態(tài)下有兩種不

同的耗電模式可供選擇.模式A：電量呈線性衰減，每小時耗電400(單位：毫安時)；模

式B：電量呈指數(shù)衰減，即從當(dāng)前時刻算起，，小時后的電量為當(dāng)前電量的"倍.現(xiàn)使該電

子產(chǎn)品處于滿電量待機狀態(tài)時開啟A模式，并在X小時后，切換為5模式，若使且在待機

10小時后有超過2.5%的電量，則X的可能取值為()

A.4.6B.5.8C.7.6D.9.9

K答案UC

R解析》由題意：模式4在待機f小時后電池內(nèi)電量為：y=T00f+4000;設(shè)當(dāng)前電量

為Q，模式B在待機/小時后電池內(nèi)電量為：y=3Q;則該電子產(chǎn)品處于滿電量待機狀態(tài)

時開啟A模式，并在X小時后，切換為B模式，其在待機10小時后的電量為：

l0jr

τ^-τ(-400x+4000),由^τ(-400x+4000)>4000x2.5%=100,BP4(10-x)>2^,令

z=10-x,則4f>2',由圖可分析,

當(dāng)L<r<4時，4f>2',BP0.25<10-x<4=>6<x<9.75,因為6<7.6<9.75

4

故選：C.

8.已知函數(shù)/(x)=京；關(guān)于X的方程[〃》)丁-2(“+1)〃力+/+24=0至少有三個互不

相等的實數(shù)解,則”的取值范圍是()

A.[l,+∞)B.(-l,θ)u(l,-Hχ)

C.(-1,O)U[1,-BX))D.(→o,0)u(l,÷x)

K答案XC

K解析X解:由題知/(χ)=UP(X>0且XN1),

eln?-e

所以r(χ)=

(elnx)2,

故在(0,1)上,Γ(x)<O,∕(x)單調(diào)遞減,

且∕nx<O,

即〃F<0,

在(Le)上J'(x)<0J(x)單調(diào)遞減,

在(e,+∞)上JKX)>0,∕(x)單調(diào)遞增,

有/(e)=l,

畫/(x)圖象如下:

由［"x)｝一2(4+1)〃》)+病+2”0至少有三個互不相等的實數(shù)解，

即(y(x)-祖/(x)-(α+2))=0至少有三個互不相等的實數(shù)解，

即/(x)=a或/(x)=a+2至少有三個互不相等的實數(shù)解，

由圖可知,當(dāng)“<0或α=1時,y=/(x)與y=。有一個交點，

即/(x)=α有一個實數(shù)解，

此時需要f(x)=α+2至少有兩個互不相等的實數(shù)解，

即a+2>l,解得a>T

故一IVaVO或。=1;

當(dāng)0≤α<l時,/(x)=α無解,舍；

當(dāng).>l時,α+2>3,

此時/(x)=。有兩個不等實數(shù)解，

“x)="+2有兩個不等實數(shù)解，

共四個不等實數(shù)解,滿足題意.

綜上：-ICa<0或α≥l.

故選:C

二、多項選擇題

9.若■!■<：<(),則下列不等式中正確的是()

ab

A.a3<?3B.a2b>ab1C.—?-->"lD.a+b<cιb

ab

K答案XBCD

K解?T∑—<—<0,:.h<a<0；

ab

對于A,a3-bi=(a-b)^a2+ab+b2γ

a-b>0,a2+ab+b2>0,Λa3-b3>0,則/>〃，A錯誤;

對于B,Qb<a<0,：.ab>0,:.a2b>ab2,B正確；

對于(當(dāng)且僅當(dāng)二〃時取等號),

C,QbvavO,Λ->0,→0,.?.*+^≥2ΛP^=2α

ababNab

又出b,.?.等號不成立，即^+g>2,C正確；

ab

對于D,Qb<a<O,.?a+b<O<ab,D正確.

故選：BCD.

10.已知函數(shù)=ASin"+j（3>0,A>0）,若X=當(dāng)為/（x）的一個極值點，且

/（X）的最小正周期為T,若萬<7v2τr,則（）

3

A.ω--B.A=f

2

C./(x+()為偶函數(shù)D./（x）的圖象關(guān)于點（今,θ）對稱

K答案》ABD

K解析》對于A,因為X='為“X）的一個極值點，所以當(dāng)X=/時，“X）取到最大值

或最小值,

LL,I.，3萬、.(3π7Γ?,.(3ππ\(zhòng),

所以/15J=AaSIn[w69+lJ=±A，所以sm[?yG+ιJ=±l,

即差0+7=∣→Jbr(JteZ),所以O(shè)=Ik+?(Z∈Z),

2π_

又因為4vTv2%,所以冏<2），因為G>0，所以1V0V2,

3

所以G=§,故選項A正確；

對于B,固為0=|,所以/(x)=ASin(Ix+,}

.n[337F7ΓI..57Γ-..Ti...,.

=ASI/、彳+"^J=Asm5=Asin—=A9故B選項正確;

對m于C,因為/(x)=ASind+?),

π=ASinIx+3]=A<√3χ+a

所以/X+RS=ASinEg)+—

?jH3；4(242)(24J

可知/[x+∣?J不是偶函數(shù)，故選項C錯誤；

對于D,因為f(x)=Asin]∣x+力，令]+(=%r(AeZ),解得X=等=(∕∈Z),

所以/(x)的圖象關(guān)于點(半WO)(ZeZ)對稱，

當(dāng)/=2時，/(x)的圖象關(guān)于點(g,θj對稱，故選項D正確.

故選：ABD.

11.已知點P在雙曲線W-E=I上，冷%分別是左、右焦點，若△尸耳心的面積為20,則

169

下列判斷正確的有()

A.點P到X軸的距離為個20

B.I叫+1尸周號

C.△尸耳鳥為鈍角三角形

Tr

D.NF?PF'

K答案HBC

22

K解析》設(shè)點p(%,力).因為雙曲線Cw-L=1,所以c=√i帝=5?

169

又SAm=gx2CIy∕=gχlθχ∣謁=20,所以屏1=4,故A錯誤.

將MI=4代入[-卷=1得條]=1，得聞言.

由雙曲線的對稱性，不妨取點P的坐標(biāo)為傳,4),得歸周=J(+5]+42=修.

1Q鼻747IaSn

由雙曲線的定義得I吶=IP周+2α=?y+8=石，所以|尸埒+|”|=丁+]=丁，故B正

F1ι

確.在△尸耳入中，|PFj|=w>2c=10>|P&|=§t,且

歸就+打桂_儼用2

COSNPE￡==---<0

2|叫M周13

則NPE耳為鈍角，所以為鈍角三角形，故C正確.

由余弦定理得CoSNeP鳥=需辟護嘴心所以4瑪吟故D錯

誤,故選：BC.

12.已知函數(shù)/(x)=V-3x+I,則()

A.函數(shù)/(x)有兩個極值點

B.函數(shù)/(x)有三個零點

C.若g(x)=r(x),則g(x)是偶函數(shù)

D.點(1,1)是函數(shù)y=∕(x+l)的對稱中心

K答案XABC

K解析IlA選項：∕,(X)=3X2-3=3(X+1)(X-1),當(dāng)x<T或x>l時，盟x)>0,當(dāng)

TVXVI時，r(χ)<o,所以f(x)在(→≈,T),(l,+∞)上單調(diào)遞增，(Tl)上單調(diào)遞減,

所以/(x)有兩個極值點，故A正確；

B選項：結(jié)合A中函數(shù)單調(diào)性，又/(—2)=—1<0,f(T)=3>O,所以(一2,—1)上存在一

個零點，/(1)=T<O,所以(T,l)上存在一個零點，/(2)=3>0,所以(1,2)上存在一個

零點，所以函數(shù)/(x)有三個零點，故B正確；

C選項：g(x)=3d-3,定義域為R,關(guān)于原點對稱，且g(-x)=3χ2-3=g(x),所以

g(x)為偶函數(shù)，故C正確;

D選項：/(x)+∕(T)=X3-3x+l-d+3x+l=2,所以/(x)關(guān)于(0,1)對稱，根據(jù)〃x)的

單調(diào)性可知，/(x)只有一個對稱中心，/(x)的圖象向左平移一個單位得到/(x+l)的圖

象,所以〃x+1)的對稱中心是(—1,1),故D錯.

故選：ABC.

三、填空題

13.曲線y=21nx-x在χ=l處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為.

K答案H2

K解析Il對函數(shù)y=2inx-X求導(dǎo)得y=±-ι,所求切線斜率為左=:τ=ι,

X1

當(dāng)X=I時，y=21nl-l=-l,切點坐標(biāo)為(1,-1),

所以，曲線y=21nx-x在χ=l處的切線方程為y+l=x-l,即y=x-2,

直線丫=*-2交》軸于點(2,0),交y軸于點(O,-2),

所以，曲線y=21nx-x在X=I處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S=gx2?=2.

故R答案H為：2.

ii8

14.若(1—x)=%+4(1+x)+<?(l+x)-++d8(l+x),則％=.

R答案』112

R解析U令f=x+l,貝IJX="1

則原題變?yōu)椋喝?2τ)8=%+卬+4/++?/,貝Ua=

二項式(2-O8的通項公式為卻=Q2s^r(Ty(O≤r≤8)且∕?cZ

當(dāng)r=6時，即7；=C；22(Ty=I⑵6,所以4=112

故K答案》為：112

15.所有的頂點都在兩個平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，這兩個平行的面稱為上下底

面，它們之間的距離稱為擬柱體的高.生產(chǎn)實際中，我們經(jīng)?？吹近S沙、碎石、灰肥等堆

積成上下底面平行，且都是矩形的形狀，這種近似于棱臺的形體就是一種特殊的擬柱體

(如圖所示)，已知其高為/?,上底面、下底面和中截面(經(jīng)過高的中點且平行于底面的截

面)面積分別為S-邑和S。，請你用S,S2,S0,/?表示出這種擬柱體的體積V=

K答案27(5+4S+5,)×Λ

OI0

K解析D根據(jù)擬柱體的定義，任一擬柱體都可看作是過某棱臺的若干頂點，截去

m(m≥0)個倒立小棱錐與“("≥0)個正立小棱錐后余的凸多面體.當(dāng)根=〃=0時，就是原棱

臺，即棱臺是特殊的擬柱體.

設(shè)原棱臺的高為〃，上底面、下底面、中截面面積分別為S上,SQS中,

擬柱體的上底面、下底面、中截面的面積分別是S-1和S。,

設(shè)截去的，"個倒立小棱錐的底面面積分別是5”,5lw,

截去的〃個正立小棱錐的底面面積分別是邑,S22，，星“，

Z

那么擬柱體的體積為V=%fj-g∕z(Su+S∣2++Slra)-∣Λ(S2l+?++S2,,)

T即+Sb+府訃9恪SjT恪SJ

=3(S上-砧J+(s下NSj+肉咻]

=lA(sι+S2+√5t?5b.)φ,

因為棱錐的中截面面積等于底面面積的;，

4

1(?nM、

所以S°=s「

jt=∣)

即4S°=4S中-ZSM+ZS2J②，

?k=lk=?)

由棱臺的中截面性質(zhì)可知2離=師+心；，

所以4Sψ=S上+Sτ+2JS上S下③,

________(mnA

將③代入②得：4S°=S上+*+2庫;-∑?+∑S2t

?k=]A=I)

=,ESM)+R下/SJ+2心商

=S1+S2+2Js上?S下,

從而可知JS上?*=^(4S0-SI-S2),代入①并整理得V=^(S,+4SO+S2)×A.

故K答案》為：7(S+4S+S)×A

O102

16.己知拋物線C:/=2Py(P>0)的焦點為F,Q(2,3)為C內(nèi)的一點，M為C上任意

一點，且∣MQ∣+∣”目的最小值為4,則P=；若直線/過點Q,與拋物線C交于A,

B兩點，且。為線段AB的中點，則。鉆的面積為.

R答案H22√2.

K解析2/：y=，是拋物線的準(zhǔn)線，過P作MN，/于N,過Q作QP?U于尸,

IjlIJ?MF?=?MN?,?QM?+?MF?=?QM?+?MN?,易知當(dāng)〃是QP與拋物線的交點時,

IQMl+pW尸I取得最小值，所以3+勺4,p=2,

設(shè)A(XI,%),B(X2，必)，顯然x∣≠j?,X]+X2=4,X+%=6,

由卜得才-4=4(%-%)，L=告皆二審=I，

x4

X2-=4y2'M

直線A3方程為y-3=x-2,即y=χ+l,

原點。到直線AB的距離為d=」==也，

√22

由［Ify==4x÷yl'得'-I=。,

xl+x2=4,x1x2=-4,

2

?AB?=71+F∣XI-X2∣=√2?√(X,+X2)-4XIX2=G-也2-4x(-4)=8,

所以S(MB=jA8∣d=gx8x*=2夜.

故K答案》為：2；2Λ∕2.

V2sinA+l_sin2C

17.在ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是〃、b、c

1-Λ∕2COSA1+cos2C

TT

(1)若8=一，求C；

6

τrπ]c

(2)若Be,求:的取值范圍.

64jh

V2sinA+l_sin2C2sinCcosC_2sinCcosC

（1）解：因為

1-λ/2cosAl+cos2C1÷2COS2C-I2COS2C

cosC≠0

因為A、C∈(O,π),且所以，AHE且Cw1,

CoSA≠J42

I2

a”72sinA÷lSinC

所以，——7=------=-------，

l-√2cosAcosC

所以，V2sinΛcosC+cosC=sinC-QcosAsinC，

則>∕2sin(A÷C)=si∏C-cosC,即V2sinβ=V2sinfC--^j>O,

因為-J<c—學(xué)且c≠?^,所以，o<c-^<當(dāng)且

44424444

所以B=C-E或B+C-E=π(舍)，故當(dāng)B=F時，C=∣J.

44612

√6+√2

所吟的取值范圍為也

2

18.定義:在數(shù)列｛α,,｝中,若存在正整數(shù)限使得Vn∈N*,都有%+?=??,則稱數(shù)列｛??）為“型

數(shù)列”.已知數(shù)列｛%｝滿足=一一

（1）證明:數(shù)列｛q｝為“3型數(shù)列”；

（2）若4=1,數(shù)列也｝的通項公式為求數(shù)列｛4,也,｝的前15項和品i?

（1）證明:由題知4,+∣=------

α,,+l

11

所以有《+2-,且α-

7+^-----n÷3=7-------,

??÷l1+?+2

1

所以

1+為

=%,

所以數(shù)列｛4｝為“3型數(shù)列”；

(2)解：由⑴知%+3=?！?4=1,

所以4=%=%=…=α∣3=l,

所以％=aA+她+a力3+…+"以

=G≠ι+??++&d)+(%&+氏4++α,A)+(??+??++??5)

=IX(I>ι+b4H-------F九)+X(H+&+…+%)+(^^2)χ(4+?6+???+?∣5)

(l+25)×5?1?,(3+27)X5

19.芻餐(Chumeng)是中國古代數(shù)學(xué)書中提到的一種幾何體，《九章算術(shù)》中對其有記

載：“下有袤有廣，而上有袤無廣”，可翻譯為：“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬

為一條棱如圖，在芻薨尸中，四邊形ABC。是正方形，EF//AB,AB=4EF=4,

FB=FC,FO，平面A8C。，。為垂足，且N043=NO54,M為FC的中點.

(1)求證：OM//平面ABFE；

(2)若多面體ABCOE尸的體積為12,求平面BC尸與平面AoE所成角的正弦值.

(1)證明：連接版,由于M為FC的中點，又四邊形ABe。是正方形且NOAB=NOBA,

所以。是AC的中點，因此。W//AF,

AFU平面ΛBEE,O"U平面ΛB莊

,所以O(shè)M〃平面ABFE

(2)解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)O尸=。，

A(2√2,0,0),C(-2√2,0,0),β(0,2√2,0),D(0,-2√2,0),F(0,0,?),

所以BA=(2√2,-2√2,0),FE=?fiA=>ef?,-?,a,

貝IJAZ)=(-2λ∕∑,-2λ∕∑,θ),AE=,

設(shè)平面ADE的法向量為m=(x,y,z),則,"?4D=0,g4E=0,即

-2?∕2+y)=0,-^γ-X-y+az=O,取x=l,則1,-1,-^

j?AF-m?√2

故點到平面的距離d=一=∣

AF=(-2√2,0,β),FADE2

AD?AE?2?l↑+a2

cos/.EAD=----j-：—T=/,故sinZEAD=?/一“，

AD?-?AE?7TT7

所以三角形ADE的面積為gAOxAEsinNEAO=2加了,、

所以幾何體的體積為LTBCO+%-M=g16Ω+2√177×I-==12,

7

所以。=2,

設(shè)平面BeF的法向量為〃=(再,χ,z∣),則〃?BF=(),"?CF=(),即

-2?V5y∣+αz∣=O,2>∕5X∣+αz∣=0,<7=2,取x=l,則"=(1,-1,-V∑),

-(.,√5∏1,四)

77I=1,-1,—=1,-1,--,

Ia)I2)

=嚕,所以Sin(*=嚕,

所以卜OS,,“=

∕M∣∣∕?

平面BCF與平面ADE所成角的正弦值為亞

10

20.某公司在一種傳染病毒的檢測試劑品上加大了研發(fā)投入，其研發(fā)的檢驗試劑品ɑ分為

兩類不同劑型/和%.現(xiàn)對其進行兩次檢測，第一次檢測時兩類試劑%和%合格的概率

分別為3:和=3,第二次檢測時兩類試劑四和合格的概率分別為4:和2J.已知兩次檢測過

4553

程相互獨立，兩次檢測均合格，試劑品α才算合格.

(I)設(shè)經(jīng)過兩次檢測后兩類試劑四和az合格的種類數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)若地區(qū)排查期間，一戶4口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)

護人員要對其家庭成員逐一使用試劑品α進行檢測，如果有一人檢測呈陽性，則檢測結(jié)

束，并確定該家庭為“感染高危戶設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為P(O<P<D

且相互獨立，該家庭至少檢測了3個人才確定為“感染高危戶”的概率為f(p),若當(dāng)P=PI)

時，/(P)最大，求%的值.

解：⑴劑型/合格的概率為：43×74=f3;

455

劑型合格的概率為：∣3×∣2=j2.

由題意知X的所有可能取值為0,1,2.

則P(X=O)VI司T，

P(X=I)*|b|+|“-|性，

n/Vc?326

P(X=2)=—×—=—,

'75525

則X的分布列為

X012

6136

P

252525

數(shù)學(xué)期望E(X)=OX卷+Ix導(dǎo)2x*l?

(2)檢測3人確定“感染高危戶”的概率為(I-P)),

檢測4人確定“感染高危戶”的概率為(1-P)'p,

則/(P)=(I-P)2p+(ι-PyP=(I-P)2〃(2一0).

令X=I-〃，因為。v〃vl,所以O(shè)VXV1,

原函數(shù)可化為g(x)=x2(l-巧(OVXVl).

當(dāng)且僅當(dāng)V=J即X=YI時，等號成立.

2

此時P=J*,所以Po=I一日.

?>^>

21.已知等軸雙曲線?l-21=ιω>o,b>0)的右焦點為F(4,0),過右焦點尸作斜率為

a^b^

正的直線/,直線/交雙曲線的右支于P,Q兩點，分別交兩條漸近線于M,N兩點，點

M,P在第一象限，。是原點.

(1)求直線/斜率的取值范圍；

(2)設(shè)OMP,ONP,OPQ的面積分別為品S,&,求的取值范圍.

2δΓδ2

解：(1)已知雙曲線等軸，可設(shè)雙曲線方程為W-W=I,因為右焦點為尸(4,0),故

acr

2。

c=4,由C?=/+/得/=8,所以雙曲線方程的方程為三-上=1,設(shè)直線/的方程為

88

x=ty+4,聯(lián)立雙曲線方程得,

t2-?≠Q(mào)

二;二；(*-1)八g+8=。=.

Δ>0=/<］,解得o<f<ι

λ?>,2<0

xl?X2>0

即直線/斜率k=；的取值范圍為(l,+∞).

(2)設(shè)PaJ),漸近線方程為廣出，則P到兩條漸近線的距離4,4滿足,

4

d"_歸一叩N+R」x'y；yx"T≡7

=4.而=A

"區(qū)一飛--1Γ~~ΓX="+44

加二口

?OM?=yJx^+yM=r?r>同理I。NI=J后+4,=所以

IlTl

1

5l-52=∣∣OΛ∕∣-√l?i∣O∕V∣,J2=l.±∕∣.W

?↑~-~r---↑-----r?d.?d-,=τ?,由

2∣I-r∣2?l+t?'2IF

X?-8=>(r2-l)y2+8∕y÷8=0,

x=ty+4'7

7